mot so bai toan tinh thu vi

Một số bài tập tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính
P
( )
( )
2
2003 .2013 31.2004 1 2003.2008 4
2004.2005.2006.2007.2008
+ +
=
HD: đặt 2003 = x
Tử thức A = [x
2
(x + 10) + 31(x + 1) 1][x(x+5) + 4]
A = (x
3
+ 10x
2
+ 31x + 30)(x + 1)(x + 4)
A = (x
3
+ 2x
2
+ 8x
2
+ 16x + 15x + 30)(x + 1)(x + 4)
A = (x + 2) (x + 3) (x + 1) (x + 4) (x + 5)
Mẫu thức B = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)
Suy ra P =
1
A

B
=
Bài 2: Tính
A = Sin
2
1
0
+ Sin
2
2
0
+ . + Sin
2
89
0
HD:
A = (Sin
2
1
0
+ Sin
2
89
0
) + (Sin
2
2
0
+ Sin
2

88
0
) + .+ (Sin
2
44
0
+ Sin
2
46
0
) + Sin
2
45
0
A = (Sin
2
1
0
+ Cos
2
1
0
) + (Sin
2
2
0
+ Cos
2
2
0

) + . + (Sin
2
44
0
+ Cos
2
44
0
) + Sin
2
45
0
A = 44,5
Bài 3: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2005x + 1 = 0
và x
3
; x
4
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2006x + 1 = 0
Tính B = (x
1
+ x

3
)(x
2
+ x
4
)(x
1
+ x
4
)(x
2
+ x
3
)
HD: Xét phơng trình x
2
+ 2005x + 1 = 0 =>
1 2
1 2
2005
. 1
x x
x x
+ =


=

và phơng trình x
2

+ 2006x + 1 = 0 =>
3 4
3 4
2006
. 1
x x
x x
+ =


=

B = (x
1
2

+ x
1
x
4
+ x
1
x
3
+ x
3
x
4
)( x
2

2

+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4
)
B = [x
1
2

+ x
1
(x
3
+ x
4
) + x
3
x
4
] [ x

2
2

+ x
2
( x
3
+ x
4
) + x
3
x
4
]
B = (x
1
2
+ 1 2006x
1
)( x
2
2
2006x
2
+ 1)
B = x
1
2
x
2

2
- 2006x
1
2
x
2
+ x
1
2

+ x
2
2

2006x
2
+ 1 2006x
1
x
2
2

+ 2006
2
x
1
x
2
2006x
1

B = 16088121
Bài 4: Cho các số không âm thoả mãn: a
2005
+ b
2005
= a
2006
+ b
2006
= a
2007
+ b
2007
.
Tính giá trị của biểu thức P = a + b
HD:
( ) ( )
( ) ( )
2005 2005
2005 2005 2006 2006
2005 2005 2007 2007 2006 2006
1 1 0
1 1 0
a a b b
a b a b
a b a b a a b b

+ =

+ = +

+ = + + =




nhân 2 vế với a

( ) ( )
( ) ( )
2006 2005
2006 2006
1 1 0(1)
1 1 0(2)
a a ab b
a a b b

+ =


+ =


Từ (1) và (2) => b
2005
[a(b 1) b(b 1)] = 0
b
2005

( b 1)( a b) = 0 (*)
Vì a, b 0 Nên (*)
1b
a b
=


=

Với b = 1 => a = 1 => P = 2
Với a = b => a = b = 1 => P = 2
Thật vậy a = b. Thay vào ta có a
2005

+ b
2005

= a
2006
+ b
2006
2a
2005
(1 a) = 0 a = 1
=> b = 1
Bài 5: Tính
a) A =
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x b x c x c x b

c a c b a b a c a b c b
+ + + + + +
+ +

b) B =
( )( )( )
( )( )( )
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z x z

+ + +
+ + + + + +
(Với a, b, c đôi một khác nhau cho trớc)
HD: a) Xét đa thức A là đa thức bậc 2 đối với biến x
=> A có nhiều nhất 2 nghiệm
+ Với x = - a => A = 1
+ Với x = - b => A = 1
b) Tơng tự B là đa thức bậc 3 đối với biến x hoặc biến y hoặc biến z
=> B có nhiều nhất 3 nghiệm
+ Với x = y => B = 0
+ Với x = z => B = 0
+ Với y = z => B = 0
Bài 6: Tính
a) A =
1999 1999 1999
1 1 1
1 2 1000
1000 1000 1000
1 1 1
1 2 1999

+ + +
ữ ữ ữ


+ + +
ữ ữ ữ

=>
A = 1 với mọi x
=>
B = 0 với mọi x, y , z
b)
( )
2
4 4 4 4
1 1 1 1
1 9 25
2 1n
 
   
 ÷
− − − −
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
−
 
HD:
a) A

1
=
1999 1999 1999
1 1 1
1 2 1000
    
+ + +
 ÷ ÷  ÷
    
=
2000.2001 2999
1000!
A
2
=
1000 1000 1000
1 1 1
1 2 1999
    
+ + +
 ÷ ÷  ÷
    
=
1001.1002 2999
1999!
=> A =
1
2
2999! 1999!.1000!
. 1

1999!.1000! 2999!
A
A
= =
b) B =
2 2 2 2 2 5 2 1 2 3 2 1
3 1 1 1 1
3 3 5 5 2 3 2 3 2 1 2 1
n n n n
n n n n
− − − +
      
− − + − +
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷
− − − −
      
B =
1 5 3 7 2 3 2 1
3. . . . .
3 3 5 5 2 1 2 1
n n
n n
− +
−
− −
B =
2 1
2 1
n
n

+
−
−
Bµi 7: TÝnh
Cho x > 0 tho¶ m·n x
2
+
2
1
x
= 7. TÝnh N = x
5
+
5
1
x
HD: * x
2
+
2
1
x
= 7 ⇔
2
1 1
9 3( 0)x x x
x x
 
+ = ⇔ + = >
 ÷

 
* (x
2
+
2
1
x
)(
1
x
x
+
) = 21 ⇔ x
3
+ x +
1
x
+
3
1
x
= 21
* x
3
+
3
1
x
= 18
* (x

3
+
3
1
x
)( x
2
+
2
1
x
) = 126 ⇔ x
5
+
5
1
x
= 123
Bµi 8: Cho a, b, c ≠ 0. TÝnh T = x
2007
+ y
2007
+ z
2007

BiÕt x, y, z tho¶ m·n:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c

+ +
= + +
+ +
HD: Tõ
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
+ +
= + +
+ +
⇔
2
2
x
a
-
2
2 2 2
x
a b c+ +
+
2
2
y
b
-
2
2 2 2
y

a b c+ +
+
2
2
z
c
-
2
2 2 2
z
a b c+ +
= 0
⇔ x
2
.
2 2
2 2 2
b c
a b c
+
+ +
+ y
2
.
2 2
2 2 2
a c
a b c
+
+ +

+ z
2
.
2 2
2 2 2
a b
a b c
+
+ +
= 0
Do a, b, c ≠ 0 => x = y = z = 0 => T = x
2007
+ y
2007
+ z
2007
= 0.
Bµi 9: Chøng tá x =
3 3
9 4 5 9 4 5+ + −
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x
3
– 3x – 18 = 0
TÝnh x = ?
HD: Tõ x =
3 3
9 4 5 9 4 5+ + −
⇔ x
3

= 9 + 4
5
+ 9 - 4
5
+ 3
( ) ( )
2
3
9 4 5 9 4 5+ −
+ 3
( ) ( )
2
3
9 4 5 9 4 5+ −
⇔ x
3
= 18 + 3
3 3
9 4 5 3 9 4 5+ + −
⇔ x
3
– 3x – 18 = 0
*) TÝnh x nh sau x
3
– 3x – 18 = 0
⇔ x
3
– 27 – 3x + 9 = 0
⇔ (x – 3)(x
2

– 3x + 6) = 0 (x
2
– 3x + 6 ≠ 0)
⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3
Bµi 10: Cho (x +
2
3x +
)(
2
3y y+ +
) = 3. TÝnh x + y
HD: Ta cã (x +
2
3x +
)(
2
3y y+ +
) = 3. Nh©n liªn hîp ta cã
(x -
2
3x +
) (x +
2
3x +
)(
2
3y y+ +
) = 3(x -
2
3x +

)
(x +
2
3x +
) (y +
2
3y +
)(
2
3y y− +
) = 3(y -
2
3y +
)
⇔
2 2
2 2
3 3
3 3
y y x x
x x y y

− − + = − +


− − + = − +


⇔
2 2

2 2
3 3(1)
3 3(2)
x y x y
x y y x

+ = + − +


+ = + − +



Tõ (1) vµ (2) => x + y = 0
Bµi 11: Cho a, b, c tho¶ m·n
2 2 2
0
14
a b c
a b c
+ + =


+ + =

TÝnh Q = 99 + a
4
+ b
4
+ c

4

HD: * Tõ a + b + c = 0 => a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 0 => ab + ac + bc = - 7
=> a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
+2(a
2
bc + b
2
ac + abc
2
) = 49
=> a
2

b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
+ 2abc(a+ b + c) = 49 => a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
= 49
* a
2
+ b
2
+ c
2
= 14 => a

4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a
2
b
2
+ a
2
c
2
+ b
2
c
2
) = 196
=> a
4
+ b
4
+ c
4
= 98
* Q = 99 + a
4
+ b
4
+ c

4
= 197
Bµi 12: Cho a lµ sè tù nhiªn ®îc viÕt b»ng 222 ch÷ sè 9. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña N
mµ N = a
2
+ 3
HD: * Cã a = 999 9 = 10…
222
– 1
* a
2
+ 3 = (10
222
– 1)
2
+ 3 = 10
444
– 2.10
222
+ 1 + 3 = 10
222
.98 + 4
* Tæng c¸c ch÷ sè cña sè N lµ: 9 + 8 + 4 = 21
Bµi 13: TÝnh S =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 3 3 4 2006 2007
+ + + + + + + + +
HD: C¸ch 1* TQ

( )
2
2
1 1
1
1
n
n
+ +
+
=
( )
2 2
2
2
2 1
1
1
n n n
n n
+ + +
+
+
=
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
1

1
1 1
n n
n n n n
+
+ +
+ +

=
( )
( )
2
2
2 1
1
1
1
n n
n n
+ +
+
+
=
( )
2
1
1
1n n
 
+

 ÷
 ÷
+
 
=
1 1
1
1n n
+ −
+
C¸ch 2 *) NÕu a, b, c lµ ba sè bÊt k× tho¶ m·n a + b + c = 0
Ta lu«n cã
2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
 
+ + = + +
 ÷
 
Chứng minh:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
2
a b c
a b c a b c ab ac bc a b c abc a b c
+ +

+ + = + + + + + = + + + = + +
ữ

=>
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
Bài 14: Tính S =
2
2
2
2007
1 2007
2008
+ +
HD: S =
2
2 2
1 1
2007 1
2007 2008

+ +
ữ

= 2007
2 2
1 1
1
2007 2008

+ +
ữ

Bài 15: Cho x, y thoả mãn
3 2
2 2 2
2 4 3 0(1)
2 0(2)
x y y
x x y y

+ + =


+ =


Tính Q = x
2
+ y
2

HD: * Từ (1) có : x
3
= - 2y
2
+ 4y 3 = -2(y
2
2y + 1) 1
x

3
= - 2(y 1)
2
1 -1 x -1 (3)
* Từ (2) ta có: x
2
+ x
2
y
2
= 2y (1 + y
2
) = 2y x
2
=
2
2
1
y
y+
0
* Do (y 1)
2
= y
2
2y + 1 => y
2
+ 1 2y
=> x
2

=
2
2
1
y
y+

2
2
y
y
= 1( y 0) => - 1 x 1 (4)
* Kết hợp (3) và (4) => x = -1. Thay vào (1) hoặc (2) => y = 1
Vậy Q = 2
Bài 16: Tính tổng
a) S = 2 + 2.3 + 3.4 + + 2008.2009
b) S = a + a(a + 1) + + (a + n 1)(a + n) (a, n Z)
HD: a) S = 2 + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + + 2008(2008 + 1)
S = 2 + 2
2
+ 2 + 3
2
+ 3 + + 2008
2
+ 2008
S = (1
2
+ 2
2
+ 3

2
+ + 2008
2
) + ( 1+ 2+ 3 + + 2008)
S=
2008.(2008 1)(2.2008 1)
2009.1004
6
+ +
+
b) ý b tơng tự
Chú ý: S = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
( n N)
S =
.( 1)(2. 1)
6
n n n+ +
Chứng minh bằng quy nạp
* n = 1 => S = 1 đúng
* n = 2 => S = 5 = 1 + 2
2
đúng
* n = 3 => S = 14 = 1+ 2

2
+ 3
2
đúng
* Giả sử đúng với n = k tức là ta có S = 1 + 2
2
+ + k
2
=
.( 1)(2. 1)
6
k k k+ +
Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1
Bài 17: Tính S = 1.3 2.4 + 5.7 6.8 + + 1997.1999 1998.2000
HD: S = - 5 13 21 29 - - 3997
S = -
4002.400
800400
2
=
Chú ý dãy S = - 5 13 21 29 - - 3997 các số hạng của tổng lập thành cấp số
cộng công sai d = - 8
Bài 18: Tính S =
( ) ( )
2 2
2
1 1
1
b c
a

a
+ +
+
+
( ) ( )
2 2
2
1 1
1
c a
b
b
+ +
+
+
( ) ( )
2 2
2
1 1
1
a b
a
c
+ +
+
Trong đó a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = 1
HD:
* ab + bc + ca = 1 (a + c)b = 1 ac b =
1 ac
a c

+
* 1 + b
2
= 1 +
( )
2 2 2 2 2 2
2
2
1 2 2 1 2
( )
ac a c a ac c ac a c
a c
a c
+ + + + +
=
+
+
=> 1 + b
2
=
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1a c
a c
+ +
+
* Tơng tự

1 + a
2
=
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1b c
b c
+ +
+
; 1 + c
2
=
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1a b
a b
+ +
+
* S = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = ab + ac + ab + bc + ac + bc
S = 2
Bài 19: Tính tổng
S = a
1
+ a
2
+ + a

99
với a
n
=
1
( 1) 1n n n+ + +
( n = 1, 2, 3, , 99)
HD: * Cách 1 a
1
=
1
2 2+
; a
2
=
1
3 2 2 3+
; .; a
99
=
1
100 99 99 100+
* Cách 2: Xét tổng quát
* a
n
=
1
( 1) ( 1)n n n n+ + +
=
( 1) 1

( 1)
n n n n
n n
+ +
+
=
1 1
1n n

+
* a
1
= 1 -
1
2
; a
2
=
1
2
-
1
3
; a
3
=
1
3
-
1

4
; .; a
99
=
1
99

1
10
=> S = a
1
+ a
2
+ + a
99
=
9
10
Bài 20: Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn hệ:
2 2
3 3
4 4
3
5
9
17
ax by
ax by
ax by
ax by

+ =


+ =


+ =


+ =

Tính giá trị của biểu thức
A = ax
5
+ by
5

B = ax
2009
+ by
2009
HD: * C¸ch 1: ax
2
+ by
2
= 5 =>
3 2
2 3
5
5

ax by x x
ax y by y

+ =


+ =


Céng vÕ víi vÕ => 9 + 3xy = 5(x + y) (1)
* ax
3
+ by
3
= 9 =>
4 3
3 4
9
9
ax by x x
ax y by y

+ =


+ =


Céng vÕ víi vÕ => 17 + 5xy = 9(x + y) (2)
* Tõ (1) vµ (2) =>

2
3
xy
x y
=


+ =

* (x + y)(ax
4
+ by
4
) = 51 ⇔ ax
5
+ by
5
= 33
* C¸ch 2: Ta cã
1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
3 2 1
5 2 1
9 2 1
17 2 1
ax by
ax by
ax by

ax by
+ = = +
+ = = +
+ = = +
+ = = +
Suy ra ax
5
+ by
5
= 2
5
+ 1
ax
2009
+ by
2009
= 2
2009
+ 1
Tæng qu¸t: ax
n
+ by
n
= 2
n
+ 1
Bµi 21: Cho a
2
+ b
2

+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 (1). TÝnh S = a
2
+ b
9
+ c
1945
HD: + Ta cã
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 => - 1 ≤ a, b, c ≤ 1.
Tõ (1) => a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 ⇔ a
2

(a – 1) + b
2
(b – 1) + c
2
(c – 1) = 0
Do – 1≤ a, b, c ≤ 1 => a
2
(a – 1) + b
2
(b – 1) + c
2
(c – 1) ≤ 0
=> a, b, c ∈ (0;1) => b
2
≈ b
9
; c
2
≈ c
1945
=> S = 1
Bµi 22: Gi¶ x, y, z lµ c¸c sè thùc kh¸c 0 tho¶ m·n:
3 3 3
1 1 1 1 1 1
2(1)
1(2)
x y z
y z z x x y
x y z


   
 
+ + + + + = −

 ÷  ÷
 ÷
 

   

+ + =

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P =
1 1 1
x y z
+ +
HD: Tõ (1) cã :
2
x x y y z z
y z z x x y
+ + + + + = −
⇔
2 2 2 2 2 2
2
x z x y xy y z yz xz
xyz
+ + + + +
= −
⇔ (
2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0x z xz xy y z x y xyz yz xyz
+ + + + + + + =
⇔ xz(x + z) + y
2
(x + z) + xy( x+ z) + yz(x + z) = 0
⇔ (x + z)[x(y + z) + y(y + z)] = 0
⇔ (x + z)(y + z)(x + y) = 0
⇔
x z
y z
x y
= −


= −


= −

KÕt hîp víi (2), Ta cã:
+ Víi x = - z => y = 1 => x = z = 0
+ Víi y = - z => x = 1 => y = z = 0
+ Víi x = - y => z = 1 => x = y = 0
 P = 1.
Trªn ®©y lµ mét sè bµi to¸n hay, mong c¸c b¹n bæ sung thªm!