Ứng dụng chương trình RDM trong phân tích kết cấu thân tàu, chương 7 pps

Chương 7:
CƠ SỞ CỦA PPPTHH TRONG PHÂN
TÍCH KẾT CẤU
Theo PPTHH, kết cấu liên tục được chia thành một số hữu
hạn các phần tử gọi là rời rạc hóa kết cấu. Các phần tử này được
nối kết với nhau bởi các điểm trên biên mỗi phần tử gọi là các nút.
Trên m
ỗi phần tử, dạng hàm của đại lượng cần tìm được chọn gần
đúng, đơn giản gọi l
à hàm gần đúng hay hàm xấp xỉ. Các hàm xấp
xỉ này sau đó được được biểu diễn qua giá trị của nó (và có khi cả
các đạo h
àm của nó) tại các điểm nút của phần tử. Các giá trị này
được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn cần tìm
c
ủa bài toán. Sau khi tìm được các ẩn số này ta sẽ tìm được hàm
c
ủa đại lượng cần tìm và các đại lượng còn lại.
2.3.1. Hàm xấp xỉ chuyển vị.
Hàm xấp xỉ mô tả gần đúng phân bố chuyển vị trong phần tử.
Về nguyên tắc, hàm xấp xỉ u phải thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ gồm
3 điều kiện:
- Liên tục: về mặt vật lý điều kiện này thể hiện yêu cầu liên
t
ục của biến dạng, nói cách khác phần tử biến dạng không
có sự đứt gãy.
- Tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và các
đạo hàm riêng đến bậc cao nhất của u mà phiếm hàm I(u)
đòi hỏi.
- Trên biên phần tử, u và đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là
liên t

ục.
Trên thực tế ta thường chọn hàm xấp xỉ chuyển vị có dạng
đa thức bởi các lý do sau đây:
- Dễ thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ.
- Cho phép tính toán nhanh bằng “tay” cũng như bằng máy
tính.
- Có kh
ả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng bậc của đa
thức xấp xỉ (về lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho
nghiệm chính xác).
Dạng của đa thức được chọn sao cho không làm mất tính
đẳng hướng h
ình học. Có như vậy các hàm xấp xỉ mới độc lập
tuyến tính với hệ tọa độ của phần tử. Muốn vậy dạng các đa thức
được chọn từ tam giác Pascal (cho phần tử 2 chiều) hay từ tháp
Pascal (cho phần tử 3 chiều).
Yêu cầu thứ hai khi chọn dạng đa thức là số tham số của đa
thức xấp xỉ tức số phần tử của {a} phải bằng số bậc tự do của véc
tơ chuyển vị nút phần tử {
e

}. Điều kiện này cho phép ta nội suy
đa thức xấp xỉ (của chuyển vị) theo các giá trị chuyển vị nút phần
tử.
2.3.2. Ma trận nội suy.
Sau khi đã chọn được dạng đa thức hay dạng hàm biểu diễn
phân bố chuyển vị trong phần tử, nhiệm vụ tiếp theo là đi tìm các
h
ệ số của đa thức. Các hệ số của đa thức được xác định nhờ nội
suy đa thức theo các giá trị v

à có khi cả đạo hàm của nó tại các nút
của phần tử. Hay nói cách khác ta biểu diễn đa thức theo giá các
chuyển vị nút của phần tử bằng cách đồng nhất giá trị của đa thức
và đôi khi cả giá trị các đạo h
àm của đa thức với giá trị của các
chuyển vị nút phần tử.
Giả sử ta có một phần tử gồm r nút và đa thức xấp xỉ có
dạng:
{u(x, y, z)} = [P(x, y, z)]{a}
(2.11)
Th
ực hiện đồng nhất:


 


 
 
 
   
e
rrrrr
aAa
zyxP
zyxP
zyxu
zyxu
























),,(

),,(
,,

,,
2
111111

(2.12)
Trong (2.12): A: ma tr
ận vuông (n
e
x n
e
) và chỉ chứa tọa độ
các điểm mút phần tử x
i
, y
i
, z
i
: (i = r,1 ) : tọa độ các điểm mút
phần tử.
Từ (2.12) suy ra:






e
Aa

1

(2.13)
Thay (2.13) vào (2.11):













e
AzyxPazyxPzyxu

1
.,,)],,([),,(


Hay:






e
Nzyxu

),,(
(2.14)

Trong (2.14): [N] là ma tr
ận hàm dạng hay ma trận nội suy.
[N] = [P(x, y, z)][A]
-1
(2.15)
(2.14) bi
ểu diễn sự phân bố chuyển vị trong phần tử qua các
chuyển vị tại nút phần tử.
2.3.3. Ma trận độ cứng phần tử và véc tơ tải phần tử.
Hàm xấp xỉ chuyển vị trong phần tử được biểu diễn qua véc
tơ chuyển vị nút phần tử:
{u} = [N]


e

Theo các phương trình liên hệ giữa chuyển vị và biến dạng
(các phương tr
ình Cauchy), phân bố biến dạng trong phần tử sẽ là:

















eee
BNu


(2.16)
Trong (2.16):

Véc tơ biến dạng:




T
zxyzxyzyxe


(2.17)
Ma tr
ận toán tử vi phân:
 




























xz
yz
xy
z
y
x
/0/
//0

0//
/00
0/0
00/
(2.18)
- Ma tr
ận tính biến dạng của phần tử:
[B] = [ ]

[N]
(2.19)
Trong trường hợp vật liệu tuân theo định luật Hooke, phân
bố ứng suất trong phần tử:
{

e
} = [D]{

e
}
(2.20)
Trong (2.20):
- Ma tr
ận các hệ số đàn hồi:
[D] =


































2
21

00000
0
2
21
0000
00
2
21
000
0001
0001
0001
)21)(1(







E
(2.21)
- E,

: mô đun đàn hồi Young và hệ số Poison của vật liệu.
Thay (2.16) vào (2.20) ta được:
{

e
} = [D][B]{


e
}
Hay: {

e
} = [H]{

e
}
(2.22)
Trong (2.22): [H] là ma tr
ận tính ứng suất của phần tử.
[H] = [D][B]
(2.23)
Th
ế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được xác định bởi:
U
e
=

Ve

{
2
1
e
}
T
{


e
}.d

(2.24)
Công c
ủa ngoại lực gồm lực khối {g
e
} và lực mặt {p
e
} trên
các chuy
ển dời {u} là:
A
e
=

Ve
{ g
e
}
T
{u}.d

+

Se
{ p
e
}

T
{u}.ds
(2.25)
Th
ế năng toàn phần của phần tử:

e
= U
e
– A
e
=

Ve

{
2
1
e
}
T
{

e
}.d

-

Ve
{ g

e
}
T
{u}.d

-

Se
{ p
e
}
T
{u}.ds
(2.26)
Thay
(2.20) và (2.22) vào (2.26) ta được:

e
({

e
}) =

Ve
2
1
{

e
}

T
([B]
T
[D][B]){

e
}d

–
(

Ve
{ g
e
}
T
{u}.d

+

Se
{ p
e
}
T
{u}d

+

Ve

2
1
{

e
}
T
[D][B]d

){

e
}
Hay:

e
=
2
1
{

e
}
T
[K
e
]{

e
} – {


e
}
T
{F
e
}
(2.27)
Trong (2.27):
- Ma tr
ận độ cứng phần tử:
[K
e
] =

Ve
[ B]
T
[D][B]d

(2.28)
-
Véc tơ tải phần tử :
{F
e
} =

Ve
[ N]
T

{g
e
}d

+

Se
N ][
T
{p
e
}ds
(2.29)