Phương pháp lặp loại mann halpern cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN TÀI GIÁP
PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN - HALPERN
CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />2
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ
đạo nghiêm khắc của thầy giáo GS.TS. Nguyễn Bường. Tơi xin gửi
lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.
Tơi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cơ
giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 – 2013, những người đã
đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tơi nhiều
kiến thức cơ sở.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, khoa Tốn – Tin trường ĐHKH, Đại học Thái Ngun đã tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học tốn K5A đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ
tơi trong suốt thời gian học tập và q trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong

được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Ngun, ngày 06 tháng 05 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Tài Giáp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />3
LỜI NĨI ĐẦU
Rất nhiều bài tốn nảy sinh trong các lĩnh vực khác nhau của tốn
học như tối ưu, giải tích biến phân và phương trình đạo hàm riêng có
thể mơ tả dưới dạng phương trình
x = Tx,
trong đó T là một tốn tử phi tuyến xác định trên một khơng gian metric
X. Nghiệm của phương trình này được gọi là điểm bất động của ánh xạ
T . Nếu T là ánh xạ co trên khơng gian metric đầy đủ X, khi đó Ngun
lý ánh xạ co Banach đảm bảo rằng ánh xạ T có duy nhất điểm bất động
và dãy lặp Picard {T
n
x} hội tụ mạnh về điểm bất động của ánh xạ T .
Tuy nhiên nếu T là ánh xạ khơng giãn, tức là
d(T x, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X,
thì ta phải thêm một số giả thiết đặt lên ánh xạ T trong một số khơng
gian nhất định để đảm bảo cho sự tồn tại của điểm bất động của ánh xạ
T . Từ những năm 60, những nghiên cứu về bài tốn điểm bất động của
lớp các ánh xạ khơng giãn đã trở thành một trong những hướng nghiên
cứu chính hết sức sơi động của giải tích phi tuyến do mối liên hệ với các
tính chất hình học của khơng gian Banach cùng với các tính chất tương
ứng của các loại ánh xạ khơng giãn với các lý thuyết về tốn tử đơn điệu
và tốn tử J-đơn điệu.
Mối liên hệ giữa lý thuyết tốn tử đơn điệu và lý thuyết về ánh xạ
khơng giãn chủ yếu dựa trên hai tính chất: (1) nếu T là ánh xạ khơng
giãn thì ánh xạ bù I − T là đơn điệu và (2) tốn tử giải của tốn tử

đơn điệu A là khơng giãn. Hơn nữa trong cả hai trường hợp tập điểm
bất động của ánh xạ khơng giãn trùng với tập các khơng gian điểm của
tốn tử đơn điệu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />4
Một hướng nghiên cứu rất quan trọng của bài tốn điểm bất động là
xây dựng các phương pháp lặp cho bài tốn. Tuy nhiên, khi T là ánh xạ
khơng giãn, ngay cả khi T có điểm bất động, thì dãy lặp Picard {T
n
x}
khơng hội tụ trong trường hợp tổng qt. Chính vì lý do này, trong
những thập niên gần đây, các phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động
của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert hoặc khơng gian Banach
đã và đang nhận được sự quan tâm đặc biệt. Những phương pháp lặp
nổi tiếng cần phải kể đến là phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp
Halpern. Thuật tốn lặp Mann được đề xuất năm 1953 với dãy lặp được
xác định như sau
x
n+1
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T x
n
, (0.1)
ở đây x
0
là điểm bất kì trên C, {α

n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1). Ơng đã chứng minh sự
hội tụ yếu của dãy lặp (0.1) tới điểm bất động của ánh xạ T , với T là
ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng C trong khơng gian Hilbert vào
chính nó với điều kiện dãy tham số {α
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện
∞

n=0
α
n
(1−α
n
) = ∞. Năm 1967, Brower và Petryshyn là những người đầu
tiên vận dụng thuật tốn lặp Mann để có được sự hội tụ mạnh của dãy lặp
{x
n
} tới điểm bất động của tốn tử giả co chặt trong khơng gian Hilbert.
Thuật tốn lặp Halpern được đề xuất vào năm 1967 với dãy lặp {x
n
}
được xác định như sau:
x
n+1
= β
n

u + (1 − β
n
)T x
n
, n ≥ 0,
ở đây u, x
0
là 2 điểm cố định trên C và dãy {β
n
} ⊂ (0, 1) với điều kiện
lim
n→∞
β
n
= 0 và
∞

n=0
β
n
= ∞. Tác giả đã chứng minh được sự hội tụ mạnh
của phương pháp đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trên tập
con lồi đóng bị chặn C trong khơng gian Hilbert.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />5
Đã có rất nhiều các kết quả cơng bố về các phương pháp lặp cho
bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn dựa trên ý tưởng về
các phương pháp lặp Mann và Halpern. Trong luận văn này, chúng tơi
trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho bài tốn điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn trong khơng gian
Hilbert dựa trên bài báo của GS.TS. Nguyễn Bường năm 2011.

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận
và danh sách tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản và các vấn đề liên quan
đến luận văn.
Chương 2: Trình bày phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho ánh xạ
và nửa nhóm khơng giãn. Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh
xạ khơng giãn và phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung của nửa
nhóm khơng giãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />6
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
H khơng gian Hilbert thực
R
n
tập hợp số thực
x ∈ D x thuộc tập D
x ∈ D x khơng thuộc tập D
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
∅ tập hợp rỗng
∩ phép giao các tập hợp
∪ phép hợp các tập hợp
x := y x được định nghĩa bằng y
X
∗
khơng gian liên hợp của X
int X phần trong của tập X
x, y tích vơ hướng của x và y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />7
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Chương này trình bày một số định nghĩa, các tính chất về giải

tích hàm và hai phương pháp lặp cổ điển là phương pháp lặp Mann -
Halpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn.
1.1 Khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn và khơng
gian Banach
Định nghĩa 1.1: Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một
tích vơ hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thoả mãn các
điều kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Khơng gian tuyến tính X cùng tích vơ hướng ., . được gọi là khơng
gian tiền Hilbert. Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.2: Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến
tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số  x  gọi
là chuẩn của x, thoả mãn các điều kiện:
1.  x > 0, ∀x = 0,  x = 0 ⇔ x = 0;
2.  αx = α  .  x , ∀x ∈ X, α ∈ R;
3.  x + y ≤ x  +  y , ∀x, y ∈ X.
Một khơng gian định chuẩn đầy đủ là khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.3: Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương
trong X là một ánh xạ φ : X × X → K thỏa mãn các điều kiện:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />8
a)φ (x + y, z) = φ (x, z) + φ (y, z) (∀x, y, z ∈ X) ;
b)φ (λx, y) = λφ (x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K) ;
c)φ (y, x) = φ (x, y) (∀x, y ∈ X) ;
trong đó φ (x, y) là số phức liên hợp của số φ (x, y)
d) φ (x, x) = (x, y)
Khi đó ta ký hiệu φ (x, x) = (x, y) .

Điều sau đây là hiển nhiên.
Định lý 1.1: Nếu x → x là một chuẩn trên E thì d(x, y) = x − y
là một mêtric trên E, mêtric này thỏa mãn
d(x+z,y+z) = d(x,y) và d(λx, λy) = λd (x, y) với mọi x, y, z ∈ E, λ ∈ K.
Một khơng gian định chuẩn là một khơng gian vectơ cùng với một chuẩn
trên nó. Khơng gian định chuẩn là khơng gian mêtric với mêtric sinh
bởi chuẩn.
Định lý 1.2: Chuẩn x → x là hàm liên tục đều từ E vào R.
Chứng minh
Theo Định nghĩa 1.2 |x − y| ≤ x − y và y ≤ x − y + x
từ đó |x − y| ≤ x − y . Vậy chuẩn là hàm liên tục đều.
Định lý 1.3: Giả sử E là một khơng gian định chuẩn. Khi đó
ánh xạ (x, y) → x + y từ E × E vào E và (λ, x) → λx từ K × E vào E
là liên tục.
Chứng minh: Giả sử (x, y) và (x
0
, y
0
) ∈ E × E Ta có :
(x + y) − (x
0
+ y
0
) = (x − x
0
) + (y + y
0
) ≤ (x − x
0
 + (y + y

0
)
Điều này cho ta tính liên tục của ánh xạ (λ, x) → λx tại điểm (λ
0
, x
0
) .
Định lý 1.4: Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đó với
mọi a ∈ E ánh xạ x → a + x là phép đồng phơi đẳng cự (tức là bảo tồn
khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K, λ = 0 ánh xạ x → λx là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />9
phép đồng phơi đều E lên E.
Chứng minh: Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh. Kết luận về
tính liên tục hai chiều được suy ra từ các đẳng thức :
(a + x) − (a + y) = x − y ,
λx − λy = |λ| x − y .
Hệ quả 1.1: Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đó các điều kiện
sau đây là tương đương
a.U là lân cận của điểm 0 ∈ E,
b.αU là lân cận của 0 với mọi α = 0,
c.a + U là lân cận của a với mọi a ∈ E.
Khơng gian Banach là khơng gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh
bởi chuẩn).
Ví dụ 1.1: Khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach
a) Xét khơng gian vectơ K
n
. Với mỗi x = (x
1
, x
n

) đặt:
x =

n

i=1
|x
i
|
2

1/2
,
x
1
=
n

i=1
|x
i
| ,
x
2
= sup
1≤i≤n
|x
i
| .
Ta nhận được ba chuẩn khác nhau trên K

n
. Các chuẩn này tương
đương với nhau ( tức là cùng sinh ra một tơpơ trên K
n
). K
n
với chuẩn
đầu tiên gọi là khơng gian Euclide.
b) Kí hiệu C [a, b] là khơng gian vectơ các hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R
vào K ( đây là K – khơng gian vectơ với phép tốn hàm). C [a, b] là khơng
gian định chuẩn với chuẩn f
2
= sup
x∈[a,b]
|f(x)| .
Dãy f
n
→ g trong C [a, b] có nghĩa là f
n
− g → 0 hay
sup
x∈[a,b]
|f(x) − g(x)| = C
n
→ 0. Theo giải tích cổ điển điều này có nghĩa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />10
là dãy {f
n
} hội tụ đều đến hàm g. Vì lý do trên, chuẩn sup trong C [a, b]
còn được gọi là chuẩn hội tụ đều.

C [a, b] là khơng gian Banach. Thật vậy, nếu {f
n
} là một dãy Cauchy
trong C [a, b] thì với mọi ε > 0 tồn tại n
0
sao cho:
với mọi m, n ≥ n
0
, x ∈ [a, b] , |f
m
(x) − f
n
(x)| ≤ f
m
− f
n
 < ε.
Theo tiêu chuẩn Cauchy trong Giải tích cổ điển, dãy {f
n
} hội tụ đều
đến một hàm g nào đó. Vì các hàm {f
n
} liên tục nên g liên tục, nghĩa là
g ∈ C [a, b] . Nói cách khác, dãy {f
n
} hội tụ trong C [a, b] với chuẩn sup.
c) Nếu X là một khơng gian tơpơ compăc tùy ý thì C(X) các hàm liên
tục từ X vào K với chuẩn sup cũng là một khơng gian Banach.
d) Trên khơng gian C [a, b] hàm f → f
1

=
b

a
|f (x)|dx cũng là một
chuẩn. Khơng gian C [a, b] với chuẩn này khơng đầy đủ.
1.2 Tập lồi và tập bị chặn
Định nghĩa 1.4:
Tập con A của một khơng gian vectơ E được gọi là lồi nếu mọi vectơ
x, y ∈ A và mọi số thực λ ∈ [0, 1] đều có λx + (1 − λ)y ∈ A.
Tập {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} và tập {λx + (1 − λ)y : λ ∈ (0, 1)}
được gọi tương ứng là đoạn và khoảng nối x và y. Một tập con A của E
được gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U của O trên E đều tồn tại một số
tự nhiên n sao cho A ⊂ nU = {nx : x ∈ U} .
Với mọi ε > 0 kí hiệu: B
ε
= B(0, ε) = {x ∈ E : x < ε} .
Định lý 1.5: V ới mọi ε > 0, x, y ∈ B
ε
là tập lồi và bị chặn. Do đó
trong khơng gian định chuẩn tồn tại một cơ sở lân cận (của điểm 0) gồm
những tập lồi và bị chặn.
Chứng minh:
Để chứng minh B
ε
lồi ta lấy tùy ý x, y ∈ B
ε
và λ ∈ [0, 1]. Bởi vì
λx + (1 − λ)y ∈ B
ε

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />11
λx + (1 − λ)y ≤ λ x + (1 − λ) y < λε + (1 − λ)ε = ε.
Nên λx + (1 − λ)y ∈ B
ε
. Vậy B
ε
là tập lồi. Để xét tính bị chặn
của B
ε
ta lấy tùy ý lân cận của U điểm 0. Khi đó tồn tại n ∈ N để
B

0,
ε
n

⊂ U. Từ đó B
ε
⊂ nB

0,
ε
n

⊂ nU.
1.3 Khơng gian l
p
Với mọi p ≥ 1 ta ký hiệu l
p

là tập tất cả các dãy x = (x
n
) các phần
tử trong K sao cho
∞

n=1
|x
n
|
p
< ∞. Với mọi dãy
x = (x
n
), y = (y
n
), λ ∈ K, đặt x + y = (x
n
+ y
n
) λx = (λx
n
) ta có các
phép tốn để biến l
p
thành một khơng gian vectơ trên trường K.
Định lý 1.6: Với mọi p ≥ 1, l
p
là khơng gian Banach với chuẩn
x

p
=

∞

n=1
|x
n
|
p

1/p
.
Chứng minh: Xét tập X = (0, +∞) ⊂ R . Với mỗi dãy x = (x
n
) ∈ l
p
đặt tương ứng với hàm:
f : X → K,
xác định bởi f (x) = x
n
nếu x ∈ (n − 1, n]. Rõ ràng x
p
= f
p
và
x
n
∈ l
p

nếu và chỉ nếu f ∈ L
p
(X). Do đó l
p
có thể coi như một khơng
gian con của L
p
(X). Điều này cho ta kết luận l
p
là một khơng gian định
chuẩn với chuẩn đã chỉ ra. Giả sử {f
k
} là một dãy Cauchy trong l
p
. Khi
đó nó cũng là một dãy Cauchy trong L
p
(X) vì vậy f
k
→ f ∈ L
p
(X).
Bởi vì f
k
= const trên mỗi đoạn (n − 1, n] nên f = const trên mỗi đoạn
(n − 1, n]. Điều này có nghĩa là f ∈ l
p
và l
p
là đầy đủ.

Ví dụ 1.2: Trong khơng gian l
2
ta đưa vào tích vơ hướng :
(x, y) =
∞

n=1
ξ
n
η
n
,
(x = (ξ
1
ξ
2
, ) ∈ l
2
, y = (η
1
η
2
, ) ∈ l
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />12
Khi đó: x = (
∞

n=1

|ξ
n
|
2
)
1/2
.
Khơng gian l
2
đầy đủ đối với chuẩn đó. Vậy l
2
là khơng gian Hilbert .
1.4. Tốn tử đơn điệu
Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X
∗
là một tốn tử
với miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
.
Định nghĩa 1.5: Tốn tử A được gọi là
1) Đơn điệu nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
2) Đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y;
3) Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm khơng âm δ(t) khơng giảm với
t ≤ 0, δ(t) = 0 và A(x) − A(y), x − y ≥ δ (x − y) , ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A

là một hằng số dương thì tốn tử A được gọi
là đơn điệu mạnh.
Chú ý 1.1: Trong trường hợp A là tốn tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính khơng âm của tốn tử.
1.5 Ánh xạ chiếu Mêtric
Cho H là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ., . và chuẩn ., và
D là một tập con lồi đóng, khác rỗng của H.
Định nghĩa 1.6: Với mọi điểm x ∈ H, tồn tại duy nhất một điểm gần
x nhất trong D, kí hiệu bởi P
D
(x). Điểm này thỏa mãn
x − P
D
(x) ≤ x − y , ∀y ∈ D.
Ánh xạ P
D
được gọi là phép chiếu Mêtric của H lên D, tức là:
P
D
(x) − P
D
(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H.
Phép chiếu P
D
được xác định bởi P
D
(x) ∈ D và
x − P
D
(x), P

D
(x) − y ≥ 0, ∀x ∈ H, ∀y ∈ D
và có tính chất
x − y
2
≥ x − P
D
(x)
2
+ y − P
D
(x)
2
, ∀x ∈ H, ∀y ∈ D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />13
1.6 Phương pháp lặp Mann, Halpern cho ánh xạ khơng giãn
1.6.1 Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, Mann [1] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp
x
n+1
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T (x
n
), x
1

∈ C, n ≥ 1,
và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc. Ơng đã chứng minh rằng, nếu dãy
{α
n
} được chọn sao cho
∞

n=1
α
n
(1 − α
n
) = ∞ thì dãy {x
n
} sẽ hội tụ yếu
về một điểm bất động của ánh xạ T , với T : C → C là một ánh xạ
khơng giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H vào
chính nó. Tuy nhiên, trong trường hợp H là một khơng gian Hilbert vơ
hạn chiều thì dãy lặp chỉ hội tụ yếu mà khơng hội tụ mạnh.
1.6.2 Phương pháp lặp Halpern
Tiếp theo, trong mục này chúng tơi đề cập đến phương pháp lặp của
Halpern [2] được đề xuất năm 1967 dạng
x
n+1
= α
n
u + (1 − α
n
)T (x
n

), n ≥ 0, (1.1)
trong đó u, x
0
∈ C, {α
n
} ⊂ [0, 1] và T là một ánh xạ khơng giãn từ tập
con lồi đóng C của khơng gian Hilbert H và C. Ơng đã chứng minh nếu
α
n
= n
−α
, α ∈ (0, 1) thì dãy {x
n
} xác định bởi (1.1) sẽ hội tụ yếu về một
điểm bất động của T .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />14
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN
CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN [8]
2.1. Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn
Bổ đề 2.1 [5]. Cho H là một khơng gian Hilbert thực, khi đó ta có đồng
nhất thức:
x − y
2
= x
2
− y
2
− 2x − y, y.
Bổ đề 2.2 [3].Cho C là một tập hợp con đóng lồi khác rỗng của khơng

gian Hilbert thực H. Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử z ∈ C
sao cho z − x ≤ y − x với mọi y ∈ C, và z = P
C
(x) khi và chỉ khi
z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C, trong đó P
C
là một hình chiếu từ H
trên C.
Bổ đề 2.3. (Ngun lý nửa đóng) [6]. Nếu C là một tập hợp con lồi đóng
khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H, T là một ánh xạ khơng giãn
trên C, {x
n
} là một dãy trong C thỏa mãn x
n
 x và x
n
− T x
n
→ 0,
thì x − Tx = 0.
Bổ để 2.4. Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Randon-Riesz
hoặc tính chất Kadec-Klee, tức là với dãy {x
n
} ⊂ H với x
n
 x và
x
n
 → x, thì x
n

→ x.
Bây giờ chúng ta giới thiệu và chứng minh kết quả dãy lặp của ánh xạ
khơng giãn sau
x
0
∈ H bất kỳ,
z
n
= α
n
P
C
(x
n
) + (1 − α
n
)T P
C
(x
n
),
y
n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)T z

n
,
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z
2
≤ x
n
− z
2
+ β
n
(x
0

2
+ 2x
n
− x
0
, z)},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x

n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x
0
), n ≥ 0;
(2.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />15
Định lý 2.1. Cho C là một tập hợp con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H và cho T là một ánh xạ khơng giãn trên C với
F (T ) = ∅. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là các dãy số trong [0,1] sao cho α
n
→ 1
và β
n
→ 0. Khi đó, dãy {x
n
}, {y
n
} và {z

n
} được định nghĩa bởi (2.1) hội
tụ mạnh về u
0
= P
F (T)
(x
0
), khi n → ∞.
Chứng minh: Trước hết, ta có bất đẳng thức
y
n
− z
2
≤ x
n
− z
2
+ β
n
(x
0

2
+ 2x
n
− x
0
, z)
tương đương với

(1 − β
n
)x
n
+ β
n
x
0
− y
n
, z ≤ x
n
− y
n
, x
n
 −
1
2
y
n
− x
n

2
+
β
n
2
x

0

2
.
Vì vậy, H
n
là một nửa khơng gian. Rõ ràng là:
F (T ) = F(T P
C
) := {p ∈ H : T P
C
(p) = p},
với mọi ánh xạ T từ C vào trong C. Như vậy, do tính lồi của .
2
và
tính chất khơng giãn của P
C
, ta thu được với bất kỳ p ∈ F (T ) ta có
z
n
− p
2
= α
n
P
C
(x
n
) − p + (1 − α
n

)T P
C
(x
n
)
2
= α
n
(P
C
(x
n
) − P
C
(p)) + (1 − α
n
)[T P
C
(x
n
) − T P
C
(p)]
2
≤ α
n
x
n
− p
2

+ (1 − α
n
)P
C
(x
n
) − P
C
(p)
2
≤ x
n
− p
2
.
Bằng lập luận tương tự và Bổ đề 2.1 với x = x
0
− p và y = x
n
− p, ta
thu được:
y
n
− p
2
= β
n
x
0
+ (1 − β

n
)T z
n
− p
2
≤ β
n
x
0
− p
2
+ (1 − β
n
)T z
n
− Tp
2
≤ β
n
x
0
− p
2
+ (1 − β
n
)z
n
− p
2
≤ β

n
x
0
− p
2
+ (1 − β
n
)x
n
− p
2
= x
n
− p
2
+ β
n
(x
0
− p
2
− x
n
− p
2
)
= x
n
− p
2

+ β
n
(x
0

2
+ 2x
n
− x
0
, p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />16
Do đó, p ∈ H
n
với mọi n ≥ 0. Điều đó có nghĩa F (T ) ⊂ H
n
với mọi
n ≥ 0.
Tiếp theo, ta chỉ ra F (T ) ⊂ H
n
∩ W
n
với mỗi n ≥ 0. Bằng quy nạp.
Với n = 0, ta có W
0
= H, và do đó F (T ) ⊂ H
0
∩W
0
. Giả sử x

i
đã biết và
F (T ) ⊂ H
i
∩ W
i
với i > 0. Tồn tại duy nhất một phần tử x
i+1
∈ H
i
∩ W
i
sao cho x
i+1
= P
H
i
∩W
i
(x
0
). Do đó, theo Bổ đề 2.2 ta có:
x
i+1
− x
0
, p − x
i+1
 ≥ 0
với mỗi p ∈ H

i
∩ W
i
. Vì F (T ) ⊂ H
i
∩ W
i
, nên F (T ) ⊂ W
i+1
. Vậy, ta có
F (T ) ⊂ H
i+1
∩W
i+1
. Hơn nữa, do F (T ) là một tập con lồi, khác rỗng của
H, nên tồn tại duy nhất một phân tử u
0
∈ F (T ) sao cho u
0
= P
F (T)
(x
0
).
Từ x
n+1
= P
H
n
∩W

n
(x
0
), ta nhận được:
x
n+1
− x
0
 ≤ z − x
0

với mọi z ∈ H
n
∩ W
n
. Từ u
0
∈ F (T ) ⊂ W
n
, ta thu được:
x
n+1
− x
0
 ≤ u
0
− x
0
 n ≥ 0. (2.2)
Điều này chứng tỏ {x

n
} là dãy bị chặn. Do đó {P
C
T P
C
(x
n
)}, {z
n
} và
{T z
n
} cũng bị chặn. Tiếp theo, ta chỉ ra rằng:
lim
n→∞
x
n+1
− x
n
 = 0. (2.3)
Từ định nghĩa của W
n
và Bổ đề 2.2 dẫn đến x
n
= P
W
n
(x
0
).

Vì x
n+1
∈ H
n
∩ W
n
, nên ta có
x
n+1
− x
0
 ≥ x
n
− x
0
 n ≥ 0.
Do đó, {x
n
− x
0
} là khơng giảm và bị chặn. Vậy tồn tại
lim
n→∞
x
n
− x
0
 = c. Mặt khác, do x
n+1
∈ W

n
, ta có
x
n
− x
0
, x
n+1
− x
n
 ≥ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />17
và do đó
x
n
− x
n+1

2
= x
n
− x
0
− (x
n+1
− x
0
)
2
= x

n
− x
0

2
− 2x
n
− x
0
, x
n+1
− x
0
 + x
n+1
− x
0

2
≤ x
n+1
− x
0

2
− x
n
− x
0


2
∀n ≥ 0.
Do vậy, (2.3) được suy ra từ bất đẳng thức trên và
lim
n→∞
x
n
− x
0
 = c.
Do α
n
→ 1 và {x
n
}, {T P
C
(x
n
)} là các dãy bị chặn, từ (2.1) ta có:
lim
n→∞
z
n
− P
C
(x
n
) = lim
n→∞
(1 − α

n
)P
C
(x
n
) − T P
C
(x
n
) = 0. (2.4)
Mặt khác, vì x
n+1
∈ H
n
nên
y
n
− x
n+1

2
≤ x
n
− x
n+1

2
+ β
n
(x

0
 + 2x
n
− x
0
, z)}.
Do đó, từ (2.3), tính bị chặn của {x
n
}, β
n
→ 0 bất đẳng thức trên kéo
theo:
lim
n→∞
y
n
− x
n+1
 = 0. (2.5)
Điều này cùng với (2.3) dẫn đến
lim
n→∞
y
n
− x
n
 = 0. (2.6)
Chú ý rằng T z
n
= y

n
− β
n
(x
n
− Tz
n
) + β
n
(x
n
− x
0
), nên ta có
x
n
− Tz
n
 ≤ x
n
− y
n
 + β
n
x
n
− Tz
n
 + β
n

x
n
− x
0
.
Từ (2.2) và bất đẳng thức trên, suy ra:
x
n
− Tz
n
 ≤
1
1 − β
n

x
n
− y
n
 + β
n
u
0
− x
0


.
Do β
n

→ 0 (β
n
≤ 1 − β với β ∈ (0, 1)), (2.4) và bất đẳng thức cuối ta
nhận được:
lim
n→∞
x
n
− Tz
n
 = 0. (2.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />18
Từ z
n
∈ C và T : C → C, ta có T z
n
= P
C
(T z
n
) và do đó
z
n
− Tz
n
 ≤ z
n
− P
C
(x

n
) + P
C
(x
n
) − P
C
(T z
n
)
≤ z
n
− P
C
(x
n
) + x
n
− Tz
n
.
Vì vậy từ (2.4), (2.7) và bất đẳng thức trên, ta suy ra:
lim
n→∞
z
n
− Tz
n
 = 0. (2.8)
Do {x

n
} bị chặn nên tồn tại dãy con {x
n
j
} của {x
n
} hội tụ yếu tới một
phân tử p ∈ H khi j → ∞. Từ (2.7) và (2.8), ta có {z
n
j
} hội tụ yếu đến
p. Từ {z
n
} ⊂ C, chúng ta thu được p ∈ C. Do Bổ đề (2.3) và (2.8), suy
ra p ∈ F(T ) [4]. Từ (2.2) và tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn dẫn
đến
x
0
−u
0
 ≤ x
0
−p ≤ lim inf
j→∞
x
0
−x
n
j
 ≤ lim sup

j→∞
x
0
−x
n
j
 ≤ x
0
−u
0
.
Do vậy, ta nhận được
lim
j→∞
x
0
− x
n
j
 = x
0
− u
0
 = x
0
− p.
Điều này kéo theo x
k
j
→ p = u

0
do Bổ đề 2.4. Do tính duy nhất của
hình chiếu u
0
= P
F (T)
(x
0
), nên ta có x
n
→ u
0
.
Từ (2.6) và (2.7)-(2.8), ta cũng lần lượt thu được: y
n
→ u
0
và z
n
→ u
0
.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hibert thực H và T : C → H là một ánh xạ khơng giãn với F(T ) = 0.
Giả sử {β
n
} là một dãy số trong [0,1] thỏa mãn β
n
→ 0 . Khi đó, dãy

{x
n
} và {y
n
}, xác định bởi :
x
0
∈ H là phần tử bất kỳ
y
n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)T P
C
(x
n
),
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z
2
≤ x
n
− z

2
+ β
n
(x
0
 + 2x
n
− x
0
, z)},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x
0
), n ≥ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />19

hội tụ mạnh về u
0
= P
F (T)
(x
0
), khi n → ∞.
Chứng minh: Đặt α
n
≡ 1 trong Định lý 2.1, ta được điều chứng minh.
Hệ quả 2.2. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hibert thực H và T : C → H là một ánh xạ khơng giãn với F (T ) = ∅.
Giả sử {α
n
} là một dãy số trong [0,1] thỏa mãn α
n
→ 1. Khi đó, dãy
{x
n
} và {y
n
}, xác định bởi:
x
0
∈ H là phần tử bất kỳ
y
n
= T (α
n
P

C
(x
n
) + (1 − α
n
)T P
C
(x
n
)),
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z ≤ x
n
− z},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
H

n
∩W
n
(x
0
), n ≥ 0,
hội tụ mạnh về u
0
= P
F (T)
(x
0
), và n → ∞.
2.2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung của nửa
nhóm khơng giãn
Ta chứng minh kết quả dãy lặp của nửa nhóm khơng giãn sau:
x
0
∈ H bất kỳ,
z
n
= α
n
P
C
(x
n
) + (1 − α
n
)

1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(x
n
)ds,
y
n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)
1
t
n

t
n
0
T (s)z
n

ds,
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z
2
≤ x
n
− z
2
+ β
n
(x
0

2
+ 2x
n
− x
0
, z)},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n

 ≥ 0},
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x
0
), n ≥ 0, n ≥ 0,
(2.9)
Bổ đề 2.5 [7]. Cho C là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của
khơng gian Hibert thực H và {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm các ánh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />20
xạ khơng giãn trên C. Khi đó, với mỗi h > 0 thì
lim sup
t→∞
sup
y∈C




T (h)

1
t

t

0
T (s)yds

−
1
t

t
0
T (s)yds




= 0.
Định lý 2.2. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H và {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm các ánh xạ khơng
giãn trên C với F = ∩
t>0
F (T (t)) = ∅. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là các dãy
số trong [0,1] thỏa mãn α
n
→ 1 và β
n
→ 0, và {t
n

} là dãy số thực dương
phân kì. Khi đó, các dãy {x
n
}, {z
n
} và {y
n
}, xác định bởi (2.9) cùng hội
tụ về u
0
= P
F
(x
0
), khi n → ∞.
Chứng minh: Với mỗi p ∈ F, ta có p = P
C
(p) = T (s)P
C
(p), với mỗi
s > 0, và do đó từ (2.1) và tính chất lồi của .
2
, ta thu được:
z
n
− p
2
=





α
n
(P
C
(x
n
) − p) + (1 − α
n
)

1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(x
n
)ds − p





2

=




α
n
(P
C
(x
n
) − P
C
(p))
+ (1 − α
n
)

1
t
n

t
n
0
[T (s)P
C
(x
n
) − T (s)P

C
(p)]ds





2
≤ α
n
x
n
− p
2
+ (1 − α
n
)

1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(x
n
) − T (s)P

C
(p)ds

2
≤ α
n
x
n
− p
2
+ (1 − α
n
)P
C
(x
n
) − P
C
(p)
2
≤ x
n
− p
2
.
Bằng cách lập luận tương tự, ta cũng thu được
y
n
− p
2

=




β
n
(x
0
− p) + (1 − β
n
)

1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds − p





2
≤ β

n
x
0
− p
2
+ (1 − β
n
)




1
t
n

t
n
0
[T (s)z
n
− T(s)p]ds




2
≤ β
n
x

0
− p
2
+ (1 − β
n
)z
n
− p
2
≤ β
n
x
0
− p
2
+ (1 − β
n
)x
n
− p
2
= x
n
− p
2
+ β
n
(x
0
− p

2
− x
n
− p
2
)
≤ x
n
− p
2
+ β
n
(x
0

2
+ 2x
n
− x
0
, p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />21
Do đó, p ∈ H
n
với n ≥ 0. Điều đó có nghĩa là F ⊂ H
n
với n ≥ 0. Tương
tự trong chứng minh của định lý trên, ta nhận được những tính chất
sau:
(i) F ⊂ H

n
∩ W
n
,x
n+1
− x
0
 ≤ u
0
− x
0
 , u
0
= P
F
(x
0
) với n ≥ 0.
Điều này kéo theo {x
n
} bị chặn. Do vậy dãy

1
t
n

t
n
0
T (s)P

C
(x
n
)ds

, {z
n
} và

1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds

(2.10)
cũng bị chặn.
(ii)
lim
n→∞
x
n+1
− x
n
 = 0,

lim
n→∞
z
n
− P
C
(x
n
) = 0,
lim
n→∞
y
n
− x
k+1
 = 0,
lim
n→∞
y
n
− x
n
 = 0.
lim
n→∞




x

n
−
1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds




= lim
n→∞




z
n
−
1
t
n

t

n
0
T (s)z
n
ds




= 0. (2.11)
Bởi vì {x
n
} là dãy bị chặn nên tồn tại một dãy con {x
n
j
} của {x
n
} hội
tụ yếu đến phần tử p ∈ H khi j → ∞. Do vậy theo (2.11), dãy con {z
n
j
}
cũng hội tụ yếu đến p và do đó p ∈ C.
Mặt khác, với mỗi h > 0, chúng ta có
T (h)z
n
− z
n
 ≤





T (h)z
n
− T(h)

1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds





+




T (h)

1

t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds

−
1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds




+





1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds − z
n




≤ 2




1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds − z

n




+




T (h)

1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds

−
1
t
n

t
n

0
T (s)z
n
ds




.
(2.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />22
Đặt C
0
= {z ∈ C : z − u
0
 ≤ 2x
0
− u
0
}. Do u
0
= P
F
(x
0
) ∈ C, từ
(2.9) và (2.10) suy ra
z
n
− u

0
 =




α
n
(P
C
(x
n
) − u
0
) + (1 − α
n
)

1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(x
n
)ds − u

0





=




α
n
[P
C
(x
n
) − P
C
(u
0
)]
+ (1 − α
n
)

1
t
n


t
n
0
T (s)P
C
(x
n
)ds −
1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(u
0
)ds





≤ α
n
x
n
− u

0

+ (1 − α
n
)




1
t
n

t
n
0
[T (s)P
C
(x
n
) − T (s)P
C
(u
0
)]ds




≤ x

n
− x
0
 + x
0
− u
0

≤ 2x
0
− u
0
.
Do vậy, C
0
là một tập con lồi đóng khác rỗng bị chặn.
Dễ dàng thấy rằng {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm các ánh xạ khơng
giãn trên C
0
. Từ Bổ đề 2.4, ta thu được
lim
n→∞




T (h)

1
t

n

t
n
0
T (s)z
n
ds

−
1
t
n

t
n
0
T (s)z
n
ds




= 0
với mọi h > 0 cố định và do đó từ (2.11)-(2.12) ta nhận được:
lim
n→∞
T (h)z
n

− z
n
 = 0
với mỗi h > 0. từ Bổ đề (2.3), suy ra p ∈ F (T (h)) với mọi h > 0. Điều
này có nghĩa là p ∈ F. Theo chứng minh của Định lý 2.1 và sử dụng
(2.10) và (2.11), ta cũng thu được {x
n
}, {y
n
} và {z
n
}, xác định bởi (2.9)
hội tụ mạnh về u
0
khi n → ∞. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert
thực H và {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm các ánh xạ khơng giãn trên
C với F = ∩
t>0
F (T (t)) = ∅. Giả sử {β
n
} là một dãy trong [0,1] thỏa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />23
mãn β
n
→ 0. Khi đó, các dãy {x
n
} và {y
n
}, xác định bởi

x
0
∈ H là một phần tử bất kỳ,
y
n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)
1
t
n

t
n
0
T (s)P
C
(x
n
)ds,
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z
2

≤ x
n
− z
2
+ β
n
(x
0
 + 2x
n
− x
0
, z)},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x

0
), n ≥ 0,
cùng hội tụ về u
0
= P
F
(x
0
), khi n → ∞.
Chứng minh: Đặt α
n
≡ 1 trong Định lý 2.2, ta nhận được điều phải
chứng minh
Hệ quả 2.4. Cho C là một tập hợp con khơng rỗng đóng lồi trong một
khơng gian Hilbert thực H và cho {T (t) : t > 0} là nửa nhóm khơng
giãn trên C sao cho F = ∩
t>0
F (T (t)) = ∅. Giả sử rằng {α
n
} là một
chuỗi trong [0,1] thỏa mãn α
n
→ 1. Thì {x
n
} và {y
n
}, được xác định bởi
x
0
∈ H là một phần tử bất kỳ,

y
n
=
1
t
n

t
n
0
T (s)

α
n
P
C
(x
n
) + (1 − α
n
)
1
t
n

t
n
0
T (s)P
C

(x
n
)ds

ds,
H
n
= {z ∈ H : y
n
− z ≤ x
n
− z},
W
n
= {z ∈ H : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
H
n
∩W
n
(x
0

), n ≥ 0,
hội tụ mạnh đến cùng một điểm u
0
= P
F
(x
0
), khi n → ∞.
Chứng minh: Đặt β
n
≡ 0 trong Định lý 2.2, ta nhận được điều phải
chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />24
KẾT LUẬN
Với mục đích tìm hiểu và trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-
Halpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn. Trong luận văn này tơi
đã trình bày được các vấn đề sau:
- Trình bày những định nghĩa và tính chất cơ bản về khơng gian Hilbert,
khơng gian định chuẩn và khơng gian Banach, tập lồi và tập bị chặn,
tốn tử đơn điệu.
- Trình bày phương pháp lặp Mann-Halpern cổ điển để tìm điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn.
- Trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern để tìm điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn T và điểm bất động chung của nửa nhóm
khơng giãn {T (t) : t > 0} .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />