Phương pháp lặp năng lượng xác định tần số và dạng dao dộng riêng của dầm liên tục

Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Mục lục
Trang
Mục lục 1
Mở đầu
1. Tên đề tài 4
2. Lý do chọn đề tài 4
3. Mục tiêu đề tài 4
4. Giới hạn nghiên cứu 4
Chơng 1
Tổng quan
1.1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình 6
1.2. Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình 7
1.3. Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình 8
1.4. Phân loại dao động 9
1.4.1. Phân theo số bậc tự do của hệ 9
1.4.2. Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động 9
1.4.3. Phân theo sự tồn tại của lực cản 10
1.4.4. Phân theo kích thớc và cấu tạo của hệ 10
1.4.5. Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động 10
1.4.6. Phân theo dạng và biểu đồ dao động 10
1.5. Bậc tự do của hệ dao động 10
1.6. Phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình vi phân chuyển động 11
1.6.1. Phơng pháp dựa trên nguyên lý Đalămbe 11
1.6.2. Phơng pháp sử dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ 11
1.6.3. Phơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamintơn 12
1.7. Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng 12
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
1

Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

1.7.1. Phơng pháp chính xác 12
1.7.2. Phơng pháp gần đúng 14
1.7.2.1. Phơng pháp Rayleigh 14
1.7.2.2. Phơng pháp Bupnop Galoockin 16
1.7.2.3. Phơng pháp Lagơrăng Ritz 17
1.7.2.4. Phơng pháp thay thế khối lợng 19
1.7.2.5. Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác định tần số cơ bản của dao
động riêng 20
1.7.2.6. Phơng pháp sai phân 22
1.7.3. Phơng pháp đúng dần 24
Chơng 2
Dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do
2.1. Xây dựng phơng trình vi phân dao động tổng quát hệ hữu hạn bậc tự do 27
2.1.1. Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm 27
2.1.2. Phơng trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do 29
2.2. Bài toán dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do 31
2.3. Xác định tần số dao động riêng 31
2.4. Xác định dạng dao động riêng 32
2.5. Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng 34
2.6. Chuẩn hoá dạng các dao động riêng 36
Chơng 3
Phân tích dao động theo phơng pháp Rayleigh
các bớc hoàn thiện
3.1. Phân tích dao động theo phơng pháp Rayleigh 39
3.2. Lựa chọn hàm dạng của phơng pháp Rayleigh 42
3.3. Hoàn thiện tăng độ chính xác của phơng pháp Rayleigh 46
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục

2
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

3.4. Phơng pháp Rayleigh Ritz 52
3.5. Thuật toán tính tần số và dạng dao động riêng thứ nhất theo phơng pháp
Rayleigh, sử dụng quá trình lặp. 55
Chơng 4
Sử dụng quá trình lặp ở dạng ma trận để tính đồng thời tần
số và dạng dao động riêng cho hệ dầm phẳng
4.1. Mở đầu 59
4.2. Phân tích dạng dao động thứ nhất 59
4.3. Chứng minh sự hội tụ của quá trình lặp 66
4.4. Phân tích dạng dao động cao hơn 69
4.4.1. Phân tích dạng dao động thứ hai 69
4.4.2. Phân tích các dạng dao động cao hơn 74
4.4.3. Phân tích các dạng dao động cao nhất theo cách lặp trực tiếp 77
Chơng 5
Xây dựng sơ đồ khối tính đồng thời tần số và dạng dao
động riêng các ví dụ tính toán
5.1. Xây dựng thuật toán sơ đồ khối
86
5.2. Các ví dụ tính toán 91
Phần kết luận kiến nghị h ớng nghiên cứu tiếp của luận văn 140
Tài liệu tham khảo 142
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
3
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Phần mở đầu

1. Tên đề tài.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số và dạng dao động riêng của
dầm liên tục.
2. Lý do chọn đề tài.
Với mục tiêu đảm bảo nội dung theo yêu cầu của một luận án thạc sĩ khoa
học kỹ thuật do Phòng sau đại học đề ra, nên việc chọn nội dung nghiên cứu cần
phù hợp với phần đã học và yêu cầu thực tế ngoài sản xuất. Tính tần số và dạng
dao động riêng của kết cấu là một lĩnh vực hiện đang đợc chú trọng trong nghiên
cứu nhằm nâng cao chất lợng và giảm giá thành xây dựng công trình, bớc đầu đã
có một số thành tựu đáng kể. Tuy nhiên cha phải đã giải quyết đợc hết các vấn đề
đang tồn tại. Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vực này thì việc chọn
hớng nghiên cứu cách tính tần số và dạng dao động riêng của kết cấu dạng dầm
liên tục là một điều cần thiết. Mục đích của đề tài là nhằm cụ thể hoá một phơng
pháp tính dao động của kết cấu, giúp cho ngời dùng cũng nh các nhà nghiên cứu có
đợc một công cụ dễ hiểu, trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu.
Đề tài này đi sâu vào nghiên cứu nắm chắc một trong các cách tính tần số và
dạng dao động riêng của hệ kết cấu dạng dầm, trên cơ sở đó có thể phát triển để
giải quyết một số các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng.
3. Mục tiêu đề tài.
Nghiên cứu cách tính tần số và dạng dao động riêng của hệ kết cấu dầm liên
tục dựa trên phơng pháp lặp năng lợng.
4. Giới hạn nghiên cứu.
- Nắm chắc lý thuyết tính toán với công trình chịu tải trọng động.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
4
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

- Đi sâu nghiên cứu tần số và dạng dao động riêng đối với kết cấu dầm với
bài toán hữu hạn bậc tự do.

- Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
5
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Ch ơng 1
Tổng quan
1.1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình.
Khái niệm về động lực học gắn liền với khái niệm lực thay đổi theo thời
gian; nghiên cứu động lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tác dụng
của tải trọng thay đổi theo thời gian.
Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình bao gồm:
a/ Kiểm tra hiện tợng cộng hởng của các công trình chịu tải trọng động,
tránh hiện tợng cộng hởng làm h hỏng công trình. Trong ngành GTVT, điều 1.53
quy trình thiết kế quy định: Với kết cấu nhịp cầu ô tô, cầu thành phố và cầu bộ
hành thì chu kỳ dao động thẳng đứng không đợc nằm trong khoảng 0.3s đến 0.7s,
còn chu kỳ dao động theo phơng nằm ngang không đợc trùng hoặc bằng bội số của
chu kỳ dao động thẳng đứng.
b/ Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực do tải trọng động gây ra để căn cứ vào
đó mà kiểm tra khả năng chịu lực của công trình.
c/ Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để kiểm tra công trình theo
điều kiện cứng, đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn. Mặt khác tìm các biện
pháp xử lý với các công trình chịu rung động lớn, nghiên cứu cách giảm rung
động.
Dới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kết cấu sẽ dao động và
dao động đó đợc biểu thị dới dạng chuyển vị của kết cấu. Do đó khi phân tích và
giải quyết bài toán động lực học công trình sẽ cho phép xác định đợc sự thay đổi
của chuyển vị theo thời gian ứng với quá trình thay đổi của tải trọng động. Các
tham số khác nh nội lực, ứng suất, biến dạng nói chung đều đợc xác định sau khi

có sự phân bố chuyển vị của kết cấu. Tất cả các tham số đó đều là các hàm thay
đổi theo thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
6
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Tuy nhiên, đôi khi việc giải bài toán động lực học công trình còn đợc tiến
hành bằng việc sử dụng hệ số động lực. Khi đó, nội lực chuyển vị và mọi tham số
của hệ đều đợc tính toán thông qua hệ số động với các kết quả tính toán tĩnh. Tất
cả các đại lợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một thời điểm xác định, không
phải là hàm theo biến thời gian.
1.2. Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình.
Việc tính toán động lực học công trình khác với việc tính toán tĩnh học công
trình ở những đặc trng cơ bản sau:
Trớc hết, dới tác dụng của tải trọng động thay đổi theo thời gian, trạng thái
ứng suất biến dạng của hệ cũng sẽ biến đổi theo thời gian. Nh vậy, bài toán động
sẽ không có nghiệm duy nhất nh bài toán tĩnh. Do đó, cần phải tìm sự liên tục của
nghiệm tơng ứng với mọi thời điểm thời gian biểu thị trạng thái thực của hệ. Chính
vì thế mà việc tính toán động rất phức tạp và khó khăn hơn nhiều so với việc tính
toán tĩnh.
Mặt khác, đặc trng cơ bản của bài toán động đợc phân biệt rõ so với bài toán
tĩnh ở chỗ: ở bài toán tĩnh, dới tác dụng của tải trọng tĩnh là tải trọng tác dụng rất
chậm lên công trình, sự chuyển động của hệ là chậm và lực quán tính rất nhỏ, có
thể bỏ qua đợc. ở bài toán động, tác dụng của tải trọng động lên công trình gây ra
sự chuyển động của hệ với gia tốc lớn, và lực quán tính phụ thuộc vào gia tốc
chuyển động (đạo hàm bậc hai của chuyển vị theo thời gian) là không thể bỏ qua
đợc. Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là sự khác biệt cơ bản nhất của bài
toán động lực học so với bài toán tĩnh.
Ngoài ra việc xét tới ảnh hởng của lực cản cũng là đặc trng cơ bản phân biệt

bài toán động so với bài toán tĩnh. Bản chất của lực cản chuyển động (lực tắt dần)
rất phức tạp và đa dạng. Vì vậy, việc tính lực cản làm cho bài toán động phức tạp
hơn so với bài toán tĩnh. Trong tính toán đôi khi không xét tới ảnh hởng của lực
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
7
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

cản, đôi khi lực cản đợc tính một cách gần đúng với giả thiết phù hợp. Nhng phải
luôn thấy rằng lực cản luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển động của hệ.
1.3. Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình.
Hầu nh các kết cấu xây dựng trong quá trình sử dụng đều phải chịu tác dụng
của tải trọng động ở dạng này hay dạng khác. Tải trọng động là tải trọng bất kỳ có
độ lớn, phơng, vị trí thay đổi theo thời gian. Tải trọng động tác dụng lên công trình
rất đa dạng và phức tạp. Theo các đặc trng của nó, tải trọng động với một quy luật
bất kỳ nào đó đợc phân ra là tải trọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ.
Các tải trọng có chu kỳ
Tải trọng có chu kỳ là tải trọng lặp đi lặp lại theo thời gian qua các chu kỳ.
Chu kỳ của tải trọng có thể là liên tục mà cũng có thể là gián đoạn. Nếu tải trọng
tác dụng có quy luật hình sin hoặc cos với chu kỳ liên tục thì gọi là tải trọng điều
hoà đơn giản.
Các dạng khác của tải trọng có chu kỳ thờng phức tạp hơn. Sự phức tạp biểu
hiện ở quy luật của tải trọng trong mỗi chu kỳ.
Tải trọng không có chu kỳ
Có thể là các loại tải trọng ngắn hạn và các tải trọng dài hạn tổng quát:
- Tải trọng ngắn hạn: Nguồn kích động đặc trng của các tải trọng ngắn
hạn có thể lấy ví dụ là các vụ nổ.
- Tải trọng động dài hạn là dạng tải trọng động thờng gặp, ví dụ nh tác
dụng của động đất đối với các công trình đều là tải trọng dài hạn.
Trong thực tế thờng gặp một số loại tải trọng động nh sau:

+ Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t) ví
dụ nh là tải trọng do môtơ có phần quay không cân bằng gây ra.
+ Tải trọng di động có trị số không đổi P(z) ví dụ nh đoàn xe chạy trên
cầu.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
8
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

+ Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t) ví dụ nh tải trọng động gây
ra bởi đầu máy xe lửa chạy, chu kỳ phụ thuộc vào tốc độ đầu máy.
+ Lực địa chấn tác dụng lên công trình.
+ Lực khí động do gió tác dụng lên công trình.
+ Tải trọng do va chạm: Nh có vật rơi hoặc va đập lên công trình.
+ Tải trọng động phức tạp: Là tổ hợp các dạng tải trọng trên và một số
trờng hợp khác.
1.4. Phân loại dao động.
Tuỳ theo sự phân bố khối lợng trên hệ, cấu tạo và kích thớc của hệ, tính chất
của các loại tải trọng động và các tác dụng động bên ngoài.mà ngời ta có rất
nhiều cách phân loại dao động khác nhau. Để thuận lợi cho việc phân tích dao
động của các hệ, có thể phân ra nh sau:
1.4.1. Phân theo số bậc tự do của hệ.
Phân theo số bậc tự do, đa hệ về 3 loại dao động sau:
- Dao động của hệ một bậc tự do.
- Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do.
- Dao động của hệ vô hạn bậc tự do.
1.4.2. Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động.
- Dao động tự do: là dao động sinh ra do lực kích thích đột ngột hoặc lực
bất kỳ rồi bỏ ra tức thời. Điều kiện ban đầu đợc tạo nên do các lực xung kích
tức thời và tách hệ ra khỏi vị trí cân bằng.

- Dao động cỡng bức: Là dao động sinh ra do chịu tác dụng của tải trọng
động, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao
động. Dao động cỡng bức bao gồm rất nhiều loại: dao động của hệ chịu tải
trọng có chu kỳ, dao động của hệ chịu tải trọng di động, dao động của các
công trình chịu tải gió, động đất
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
9
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

1.4.3. Phân theo sự tồn tại của lực cản.
- Dao động tắt dần: là dao động có xét tới lực cản.
- Dao động không tắt dần: là dao động bỏ qua ảnh hởng của lực cản.
1.4.4. Phân theo kích thớc và cấu tạo của hệ.
Theo cách phân loại này dao động của hệ sẽ bao gồm:
- Dao động của hệ thanh.
- Dao động của tấm.
- Dao động của vỏ.
- Dao động của các khối móng.
- Dao động của hệ treo
- Dao động của các kết cấu công trình đặc biệt
1.4.5. Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động.
- Dao động tuyến tính: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân tuyến tính.
- Dao động phi tuyến: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân vi tuyến
1.4.6. Phân theo dạng và biểu đồ dao động.
- Dao động hình sin
- Dao động phức tạp có chu kỳ.
- Dao động tăng dần.

- Dao động rối loạn.
1.5. Bậc tự do của hệ dao động.
Bậc tự do của hệ dao động là số tham số độc lập cần thiết để xác định đầy
đủ vị trí của tất cả các khối lợng của hệ.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
10
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Trớc hết ta xét hệ với các khối lợng tập trung. Trong các hệ này có thể bỏ
qua các lực quán tính của thanh và chỉ tính đến các lực quán tính phát sinh do các
khối lợng tập trung. Để tính bậc tự do, ta dùng các giả thiết sau:
- Coi các khối lợng tập trung của hệ là các chất điểm.
- Bỏ qua chiều dài co giãn do biến dạng uốn.
Ta có thể xác định số bậc tự do của hệ bằng cách đặt vào các khối lợng của
hệ các liên kết loại một vừa đủ để sao cho tất cả các khối lợng của hệ trở thành bất
động.
Số bậc tự do của hệ dao động có thể bằng, nhỏ hơn hoặc lớn hơn khối lợng
của hệ.
Xét hệ thanh với khối lợng phân bố, ở hệ này không đợc phép bỏ qua lực
quán tính của thanh và nh vậy hệ sẽ có bậc tự do là vô cùng. Để tính toán các hệ có
bậc tự do là vô cùng ta cần phải thiết lập và giải hệ phơng trình vi phân với các đạo
hàm riêng, bởi vì trong trờng hợp này lực quán tính phụ thuộc cả vào toạ độ và thời
gian.
1.6. Phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình vi phân chuyển động.
Trong dao động công trình có hai phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình
chuyển động là phơng pháp tĩnh và phơng pháp năng lợng.
1.6.1. Phơng pháp dựa trên nguyên lý Đalămbe.
Dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của lực tĩnh học trong đó chỉ cần
bổ sung các lực quán tính viết theo nguyên lý Đalămbe. Nh vậy các phơng trình

cân bằng tĩnh trở thành các phơng trình cân bằng động.
1.6.2. Phơng pháp sử dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ.
Phù hợp với nguyên lý này, phơng trình chuyển động của hệ đợc xác định từ
biểu thức công của tất cả các lực trên các chuyển vị khả dĩ bằng không. Để nhận đ-
ợc phơng trình chuyển động của hệ, ta tiến hành các bớc sau:
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
11
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

- Xác định tất cả các lực đặt vào các khối lợng của hệ, trong đó kể cả lực
quán tính đợc xác định phù hợp với nguyên lý Đalămbe.
- Đa vào các chuyển vị khả dĩ tơng ứng với các bậc tự do của hệ.
- Tính biểu thức công của tất cả các lực trên các chuyển vị khả dĩ và cho
bằng không.
1.6.3. Phơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamintơn.
Phơng pháp này đa ra phơng trình chuyển động từ biểu thức biến phân các
hàm năng lợng của hệ.
1.7. Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng.
Chia làm 3 nhóm phơng pháp:
A. Nhóm phơng pháp chính xác.
B. Nhóm phơng pháp gần đúng.
C. Nhóm phơng pháp đúng dần.
1.7.1. Phơng pháp chính xác.
Xây dựng phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh
thẳng.
Xét hệ thanh thẳng có khối lợng phân bố. Hệ này có vô số bậc tự do. Dao
động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ đợc biểu diễn bằng đờng đàn hồi của nó.
Phơng trình đờng đàn hồi này là hàm của hai biến số: toạ độ x và thời gian t.
y = f(x,t)

Theo sức bền vật liệu ta đã có mối liên hệ giữa độ võng và nội lực trong dầm
có mối liên hệ vi phân sau:

=


2
2
x
y
EJ
-M(x,t)
Ngoài ra, giữa nội lực và tải trọng cũng có sự liên hệ sau:
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
12
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

=


2
2
),(
x
txM
-p(x,t)
trong đó p(x,t) là cờng độ tải trọng phân bố, đại lợng này mang dấu dơng khi chiều
tải trọng hớng lên trên.
Kết hợp hai biểu thức trên ta có:

=


=












2
2
2
2
2
x
M
x
y
EJ
x
p(x,t) (1-1)
Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích,
lực quán tính và lực cản (hình vẽ). Lực kích thích phân bố có cờng độ q(x,t); lực

quán tính phân bố hớng theo chiều của chuyển vị, nếu xét tại thời điểm dầm có
chuyển vị dơng thì lực này có cờng độ:
-m(x)
2
2
),(
t
txy


Lực cản có chiều ngợc với chiều của chuyển động và có cờng độ r(x,t).
Vậy ta có:
p(x,t) = -q(x,t) -
),(
),(
)(
2
2
txr
t
txy
xm
+

hay:
p(x,t) = -q(x,t) +m(x)
2
2
),(
t
txy


),( txr
+
Thay biểu thức trên vào (1-1) thu đợc:
),()(),(
2
2
2
2
2
txr
t
y
xmtxq
x
y
EJ
x

=












Vậy phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng:
),(),()(
2
2
2
2
2
txqtxr
t
y
xm
x
y
EJ
x
=+

+












(1-2)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
13
q(x,t) > 0
x
y
r(x,t)
-m(x)
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật


2
2
x

y


Phơng trình (1-2) là phơng trình vi phân của dao động cỡng bức hệ vô số bậc tự do.
Phơng trình vi phân dao động riêng tơng ứng sẽ là:
0)(
2
2
2
2
2
=


+












t
y
xm

x
y
EJ
x
(1-2a)
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì phơng trình (1-2) và (1-2a) có dạng:
EJ
txq
EJ
txr
t
y
EJ
xm
x
y ),(),()(
2
2
4
4
=+


+


(1-2b)
0
)(
2

2
4
4
=


+


t
y
EJ
xm
x
y
(1-2c)
Nếu dầm có khối lợng phân bố đều, trong các phơng trình trên ta có m(x) = m.
Dùng các phơng pháp giải phơng trình vi phân chính xác của toán học, ta sẽ
giải ra đợc các nghiệm riêng ứng với các dạng dao động riêng với tần số riêng
i
.
1.7.2. Phơng pháp gần đúng.
1.7.2.1. Phơng pháp Rayleigh.
Phơng pháp Rayleigh dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lợng. Theo định
luật này, ở bất kỳ thời điểm nào ta cũng có biểu thức:
T + U = hằng số.
Trong đó:
T: Động năng của hệ.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục

14
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

U: Thế năng của hệ.
Giả sử dao động của hệ có dạng:
y
i
(x,t) = y
i
(x) sin(
i
t +
i
) (1-3)
Xét hệ với các trạng thái đạt giá trị năng lợng lớn nhất, áp dụng cơ sở định luật bảo
toàn năng lợng ta có:
T
max
= U
max
(1-4)
Phơng trình (1-4) là phơng trình cơ bản của phơng pháp năng lợng.
Ta xét một hệ bất kỳ vừa có khối lợng phân bố m(x), vừa có khối lợng tập
trung m
i
.
Thành lập biểu thức động năng, với trờng hợp động năng lớn nhất:
T
max
=

[ ]



+
)()()(
2
22
2
kiki
i
xymdzxyxm

(1-
5)
Thành lập biểu thức thế năng, với trờng hợp thế năng lớn nhất:
U
max
=
[ ]


dx
xyEJ
ix
2
)(
2
''
(1-

6)
Thay (1-5), (1-6) vào (1-4) ta thu đợc biểu thức bình phơng tần số nh sau:
[ ]





+
=
)()()(
)(
22
2
''
1
2
kiki
i
xymdxxyxm
dxxyEJ

(1-7)
Nh vậy, nếu biết trớc chính xác dạng dao động riêng ứng với tần số
i
nào đó thì
có thể xác định đợc tần số
i
đó một cách chính xác theo công thức (1-7).
Phơng pháp Rayleigh khi xác định tần số dao động riêng theo công thức gần

đúng thì thờng có giá trị lớn hơn trị số chính xác. Điều này xảy ra là do việc giả
định đờng đàn hồi thờng khó chính xác, do vậy sẽ dẫn đến hiện tợng đa thêm vào
hệ các liên kết, các liên kết này sẽ làm tăng độ cứng của hệ, nên tần số dao động
tìm đợc sẽ lớn hơn tần số dao động thực tế của hệ.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
15
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

1.7.2.2. Phơng pháp Bupnop Galoockin.
Dựa theo phơng trình vi phân của dạng dao động chính thứ j ta có:
[EJ (x) y
j

(x)]

-
j
2
m (x) y
j
(x) = 0 (1-8)
Giả thiết rằng nghiệm của phơng trình (1-8) đã biết và có thể biểu diễn nh sau:
y
j
(x) =

=
n
i

ii
xa
1
)(

(1-9)
Với
i
(x): là hàm chọn trớc thoả mãn các điều kiện biên.
a
i
: các hằng số cha biết.
Thay (1-9) vào (1-8) ta có:

==
=






n
i
iij
n
i
ii
xaxmxaxEJ
1

2
''
1
''
0)()()()(

(1-
10)
Biểu thức (1-10) đúng với bất kỳ giá trị nào của x và cũng đúng với trờng hợp khi
ta nhân cả 2 vế của nó với một hàm
k
(x) bất kỳ (k chỉ số dạng dao động riêng), có
nghĩa là:
0)()()()()(
1
2
''
1
''
=

==
xxaxmxaxEJ
k
n
i
iij
n
i
ii

(1-
11)
Lấy tích phân biểu thức (1-11) trên toàn chiều dài của dầm, khai triển, viết ở dạng
chính tắc ta có:
C
k1
a
1
+ C
k2
a
2

+ C
k3
a
3
+.+ C
kn
a
n
= 0 (1-12)
(k = 1,2,..,n)
với
C
ki
=

=
L
kijk
n
i
ii
dxxxxmxxaxEJ
0
2
''
1
''
)()()()()()(

(1-
13)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
16
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

Nếu ta đặt
''
1
''
)()(

=
n
i
ii
xaxEJ

= -q
i
thì số hạng đầu tiên trong (1-13) có thể
xem nh công khả dĩ của tải trọng q
i
trên chuyển vị
k
(x). Do đó khi các tham số

i
(x) và
k
(x) chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên thì biểu thức (1-13) có thể coi
là công của tải trọng q
k
trên chuyển vị dời
i
(x). Từ lý luận đó chúng ta thấy rằng

hàm
i
(x) thoả mãn điểu kiện biên thì C
ki
= C
ik
.
Trong công thức (1-12) các hệ số a
i
là cha xác định. Chúng phải có giá trị để
sao cho phơng trình (1-12) luôn thoả mãn với mọi giá trị của k (k = 1,2,,n). Các
hàm
i
(x) phải chọn sao cho thoả mãn toàn bộ (hoặc một phần các điều kiện biên)
của bài toán và chọn càng gần các dao động chính thì càng tốt. Ví dụ có thể chọn
hàm dạng
i
(x) theo đờng đàn hồi do các tải trọng khác nhau trên hệ tạo nên nh tải
trọng phân bố, tập trung có thể chọn là hàm lợng giác v.v
Trong công thức (1-12), các hệ số a
i
là cha xác định. Hệ phơng trình đó là
thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm a
i
khác không thì định thức của các hệ số
trong phơng trình chính tắc phải bằng không:
D =
nnnn
n
n

n
CCC
CCC
CCC
CCC
......
.........................................................
......
......
.......
21
33231
22221
11211
= 0 (1-
14)
Khai triển (1-14) ta đợc phơng trình tần số, phơng trình này là bậc n đối với
j
2
.
Phơng pháp Bupnop Galookin áp dụng đợc cho cả hệ bảo tồn và không bảo
tồn [1]
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
17
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

1.7.2.3.Phơng pháp Lagơrăng Ritz.
Phơng pháp Lagơrăng Ritz đợc xây dựng trên cơ sở thế năng toàn phần
của hệ.

Nguyên lý Lagơrăng phát biểu nh sau: Trong tất cả các trạng thái khả dĩ,
trạng thái cân bằng dới tác dụng của các lực có thể sẽ tơng ứng với trạng thái mà
theo đó thế năng toàn phần của hệ sẽ có giá trị dừng.
Thế năng toàn phần đợc biểu diễn dới dạng công của ngoại lực và nội lực
của hệ khi chuyển từ trạng thái biến dạng về trạng thái không biến dạng nh sau:
U =
[ ]


L L
dxxyxqdxxy
xEJ
0 0
2
''
)()()(
2
)(
(1-15)
Trong đó: q(x) là lực quán tính do khối lợng phân bố gây ra khi hệ dao động.
Lực quán tính đợc xác định nh sau:
q
j
(x) = m (x)
j
2
y
j
(x)
Thay vào (1-15) ta đợc:

U =
[ ]


L L
jj
dxxyxmdxxy
xEJ
0 0
22
2
''
)()(
2
1
)(
2
)(

(1-16)
Cũng tơng tự nh phơng pháp Bupnop Galookin, ta giả thiết dạng của dao động nh
sau:
y
j
(x) =

=
n
i
ii

xa
1
)(

(1-17)
Thay (1-17) vào (1-16) ta thu đợc:
U =















==
L L
n
i
ii
j
n
i

ii
dxxaxmdxxa
xEJ
0 0
2
1
2
2
1
''
)()(
2
)(
2
)(



(1-
18)
Từ điều kiện thế năng cực tiểu, với các biến a
n
, ta thu đợc các phơng trình chính tắc
trong phơng pháp Lagơrăng Ritz viết ở dạng thu gọn ta có:
C
k1
a
1
+ C
k2

a
2
+ C
k3
a
3
+.+ C
kn
a
n
= 0
(k = 1,2,..,n)
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
18
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

với
C
ki
=
[ ]

L
ki
L
jki
dxxxxmdxxxxEJ
0 0
2''''
)()()()()()(

(1-
19)
Qua (1-19) ta luôn có C
ik
= C
ki
.
Từ (1-18) ta thiết lập đợc n phơng trình với các ẩn là a
1
, a
2
, ..,a
n
. Hệ phơng trình
đó là thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm a
n
khác không thì định thức của các
hệ số trong phơng trình chính tắc phải bằng không:
D =
nnnn
n

n
n
CCC
CCC
CCC
CCC
......
.........................................................
......
......
.......
21
33231
22221
11211
= 0 (1-
20)
Khai triển (1-20) ta đợc phơng trình tần số, phơng trình này là bậc n đối với
j
2
.
Phơng pháp Lagơrăng - Ritz chỉ áp dụng đợc cho các hệ bảo tồn [1].
1.7.2.4. Phơng pháp thay thế khối lợng.
Các phơng pháp gần đúng ở trên dựa trên sự gần đúng là do giả định gần
đúng ban đầu dạng dao động y(x). Phơng pháp thay thế khối lợng là phơng pháp
dựa trên cơ sở đơn giản hoá sơ đồ khối lợng.
Theo phơng pháp này chúng ta thay thế các khối lợng phân bố và tập trung
trên kết cấu thành các khối lợng tập trung với khối lợng ít hơn đặt tại một số điểm
đặc biệt. Có thể thay thế khối lợng phân bố theo một trong hai cách sau:
- Chia các khối lợng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lợng

phân bố trên mỗi khoảng về trọng tâm của nó.
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
19
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

- Phân bố các khối lợng phân bố theo nguyên tắc đòn bẩy. Theo cách này
khối lợng phân bố trên mỗi đoạn đợc thay thế bằng khối lợng phân bố trên mỗi
đoạn đợc thay thế bằng khối lợng đặt ở hai đầu đoạn đó.
Thay thế khối lợng theo cách thứ hai thờng cho ta một hệ mới đơn giản hơn
cách thứ nhất, vì số lợng các khối lợng tập trung ít hơn. Tần số dao động của hệ
mới này chính là tần số gần đúng của hệ thực. Mức độ chính xác của lời giải phụ
thuộc số lợng và vị trí đặt các khối lợng trong sơ đồ mới. Số khối lợng càng nhiều
thì kết quả càng chính xác. Thông thờng, nếu chỉ quan tâm đến tần số của vài dạng
dao động đầu tiên, ta có thể biến đổi hệ về hệ có hai, ba bậc tự do cũng đủ thoả
mãn đợc yêu câu về độ chính xác cần thiết.
Sau khi đã chọn đợc sơ đồ khối lợng, ta tiến hành nh đối với bài toán hệ hữu
hạn bậc tự do với việc giải các phơng trình tần số, thu đợc các tần số cần thiết.
1.7.2.5. Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác định tần số cơ bản của dao
động riêng.
Vấn đề là, đối với có nhiều hoặc vô cùng bậc tự do, nếu chỉ cần xác định tần
số thứ nhất thì ta có thể tính gần đúng bằng cách thay hệ thực bằng hệ mới chỉ có
một khối lợng tập trung gọi là khối lợng tơng đơng (chỉ có một bậc tự do).
Lúc này tần số dao động riêng của hệ thay thế đợc xác định bằng công
thức :

1
.

= =

k
M M
M : là khối lợng tơng đơng.


: chuyển vị của dầm tại vị trí đặt M , do lực tập trung P = 1 gây ra.
Nội dung cơ bản của phơng pháp là xác định M và vị trí đặt M sao cho tần
số dao động riêng của hệ thay thế bằng hoặc gần bằng tần số thấp nhất của hệ đã
cho. Ngời ta thấy rằng nên đặt khối lợng tơng đơng với vị trí có chuyển vị lớn nhất
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
20
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

khi dao động. Nếu ngoài khối lợng phân bố, trên hệ còn có khối lợng tập trung t-
ơng đối lớn, thì nên đặt ở M ở vị trí có khối lợng tập trung.
Phơng pháp khối lợng tơng đơng đợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết gần
đúng sau: Hai hệ tơng đơng về động năng thì cũng tơng đơng về tần số.
Nh vậy điều kiện để tần số của hệ thay thế bằng tần số của hệ thực là: động
năng lớn nhất T(b) của hệ thay thế tơng đơng phải bằng động năng lớn nhất T(a)
của hệ thực khi dao động.
T(a) = T(b) (1-21)
Giả thiết đờng đàn hồi của hệ khi dao động có dạng:
y(x,t) = y(x).Z(t)
Suy ra vận tốc dao động tại thời điểm bất kỳ có hoành độ x là :

( , ) ( ) ( )=
&
y x t y x t
Do đó, tổng động năng của hệ thực là:

2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2




= +


& &
k
dx mm x y x t y x t
a

vì chuyển vị của hệ thay thế tơng đơng cũng đợc bằng chuyển vị của hệ thực tại
điểm có hoành độ a, nên ta có thể viết biểu thức động năng của hệ thay thế nh
sau:
T(b) =
2
( ) ( )
2



&
rb
y a t

Thay các kết quả vào biểu thức (1-21) ta thu đợc:

2 2
2
( ) ( ) ( )
( )
+




=


k k
tb
d mm x y x x y x
y a
(1-22)
Sau khi tìm đợc M
tb
ta có thể xác định
1

theo công thức đã nói ở trên.

2
1
1

=

tb
Nhận xét :
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
21
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

- Khi dùng phơng pháp này ta cũng phải giả thiết trớc đờng đàn hồi y(x)
của hệ, và chỉ tính đợc tần số
1

- Vị trí (a) của khối lợng tơng đơng M
tb
nên chọn ở điểm có chuyển vị
lớn nhất do trọng lợng bản thân của dầm thực gây ra.
- Nguyên nhân gây ra sai số của
1

là do phơng trình y(x) chọn không
chính xác, hoặc chọn vị trí đặt khối lợng không hợp lý và giả thiết Hai hệ tơng đ-
ơng về động lợng thì cũng tơng đơng về tần số là gần đúng.
1.7.2.6. Phơng pháp sai phân.
Nh ta đã biết, khi đi tìm dạng dao động riêng chính xác của hệ ứng với tần
số khác nhau thì điều khó khăn chủ yếu là phải giải các phơng trình vi phân dao
động rất phức tạp.
Trong các trờng hợp khi dạng tải trọng phức tạp hay dầm có tiết diện thay
đổi thì khó khăn càng lớn. Do đó có thể tìm nghiệm gần đúng của phơng trình vi
phân bằng các phơng trình sai phân.

Trong các phơng pháp giải gần đúng bài toán dao động của hệ thanh phơng
pháp sai phân tơng đối đơn giản hơn và có thể áp dụng dễ dàng cho các trờng hợp
các thông số của hệ thay đổi (ví dụ nh khối lợng thay đổi, tiết diện thay đổi).
Nội dung của phơng pháp sai phân là thay thế các đạo hàm trong các phơng
trình vi phân bằng các tỷ số hiệu số. Sau khi thay thế ta đợc một hệ phơng trình đại
số tuyến tính. Nh vậy ta đã thay thế việc giải phơng trình vi phân bằng việc giải
một hệ phơng trình đại số tuyến tính.
Xét hệ dầm dài l có khối lợng phân bố đều. Ta có phơng trình vi phân dao
động riêng của dầm mang khối lợng phân bố đều :

4 2
4 2
0



+ =

y m y
x J x
Nếu đặt : y(x,t) = y(x)sin(
+ t
)
thì sau khi biến đổi ta đợc phơng trình sau :
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
22
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

4
4
4
( ) 0 =

d y
yk x
d
với
2
4

=

m
k
J
nếu đặt x=
1.
,thì phơng trình trên có thể diễn tả ở dạng sau :

4
4
4
0 =

d y
y(x)k
d
với

4 2
4
1
=

m
k
J
(1-23)
Chia dầm thành n đoạn bằng nhau có chiều dài
x
, ta có :
l=n.

x
;
1. = x
;
1
=
n
Phơng trình (1-23) có thể viết gần đúng dới dạng vi phân nh sau:

0
4
4
4
=

yk
y

Lấy sai phân tại điểm i, theo hình vẽ:

2112
3
1
34
2111
223
111
2
1
464
33
2
+++
+
++

++==
+==
+==
=
iiiiiiii
iiiiiii
iiiiii
iii
yyyyyyyy

yyyyyyy
yyyyyy
yyy
Thay các kết quả trên vào (1-23) ta thu đợc phơng trình sai phân viết cho
điểm bất kỳ i nh sau:
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
23
x
y
y
i
x x
y
i+1
y
i-1
y
i
y
i+1
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật


4
2 1 1
4
4 6 4 0
+

ữ

+ + =
i i i i i+2
k
y
n
y y y y
với i=1,2,3,,(n-1) (1-24)
Kết hợp các điểm ở bờ biên ta thiết lập đợc (n-1) phơng trình thuần nhất có
dạng (1-24). Từ điều kiện định thức các hệ số của hệ bằng không ta thiết lập đợc
phơng trình tần số bậc (n-1). Sau khi giải phơng trình tần số ta đợc (n-1) tần số
dao động riêng.
1.7.3. Phơng pháp đúng dần

ở các phơng pháp gần đúng, có chung một nhợc điểm là nếu nh cha biết đợc
tần số chính xác thì không đoán đợc sai số của nó.
Phơng pháp đúng dần cho phép tìm đợc giá trị đúng dần của tần số, càng sát
với trị số chính xác của tần số nếu càng thực hiện nhiều lần tính toán. Nh vậy có
thể ớc tính đợc phạm vi sai số của tần số bằng cách so sánh kết quả trong hai lần
tính kế tiếp nhau. Đồng thời cũng có thể dựa vào độ chính xác yêu cầu mà thực
hiện số lần tính cần thiết.
Ngoài ra trong quá trình tính tần số ta cũng có thể tìm đợc dạng dao động
riêng tơng ứng. Tuy nhiên, phơng pháp này có nhợc điểm là nếu không có sự trợ
giúp của các chơng trình (máy tính) thì nó thực hiện sẽ dài, vì phải có quá trình lặp
tìm các phơng trình đờng đàn hồi.
Xét dầm có các khối lợng tập trung m
k
và khối lợng phân bố m(x). Giả sử
biết biên độ của các dạng dao động chính là y

i
(x) thì các lực quán tính tác dụng
lên hệ có dạng:
q(x)=m(x)
2
( )

i i
y x
p
k
= m
k
2
( )

i i
y x
Bây giờ nếu giảm các tải trọng đi
i
2
lần ta có lực quán tính là:
( ) ( ) ( )
( )
=
=
i
k k i
q x m x y x
p m y x

Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
24
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật

thì đờng đàn hồi
(1)
( )
i
y x
do những tải trọng này gây ra cũng sẽ giảm đi
i
2
lần so
với đờng y
i
(x), do vậy ta có:

(1)
y (x)
( )

=
i
i
i
y x
Đẳng thức này nghiệm đúng với bất kì giá trị nào của x. Vì hàm y
i
(x) cha

biết nên trong lần gần đúng thứ nhất ta giả thiết hàm dạng theo hàm
i
(x) nào đó
và xác định đợc giá trị gần đúng thứ nhất theo công thức sau:

(1)
(1)
(x)
( )


=

i
i
i
x
(1-25)
trong đó
i
(1)
là đờng đàn hồi do các tải trọng phân bố
( ) ( ) ( )=
i
q x m x x
và tải trọng tập trung
( )=
k k i
p m x
gây ra.

Do hàm
i
(x) chọn ban đầu thờng không đúng với dạng dao động thực nên
đại lợng
(1)

i
xác định theo (1- 25) ứng với các điểm khác nhau trên hệ sẽ có giá
trị khác nhau. Nếu giá trị
(1)

i
này không khác nhau nhiều lắm thì có thể lấy giá
trị trung bình của chúng làm kết quả cần tìm

i
. Nếu các giá trị
(1)

i
khác nhau
nhiều thì cần phải tiếp tục tính toán, tức là cần thực hiện lần tính tiếp theo.
Trong lần tính tiếp theo, ta lại giả thiết phơng trình dao động có dạng
(1)
( )
i
x
; lúc này các tải trọng có giá trị:

( ) ( ) ( )

( )
=
=
(1)
i
(1)
k k i
q x m x y x
p m y x

Gọi phơng trình đờng đàn hồi do các tải trọng này gây ra là
(1)
( )
i
x
; ta sẽ
tính đợc tần số gần đúng lần thứ hai theo công thức sau:

(2)
(2)
(x)
( )

(1)

=

i
i
i

x
Phơng pháp lặp năng lợng xác định tần số
và dạng dao động riêng của dầm liên tục
25