Phương pháp điểm gần kề giải mô hình cân bằng nash cournot

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC







NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN








PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ
GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN






PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ
GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01. 12


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU








THÁI NGUYÊN - 2013

1
Mục lục
Mở đầu 2
1 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ
TUYẾN TÍNH 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Tốn tử trong khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Tốn tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash-Cournot . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . . 25
2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHI
LÕM 30
2.1 Mơ hình cân bằng Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề . . . . . . . 32
2.3 Thuật tốn tìm điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mở đầu
Bài tốn bất đẳng thức biến phân là m ột cơng cụ rất hữu hiệu để nghiên
cứu và giải các bài tốn ứng dụng như bài tốn cân bằng tro ng kinh tế,
tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi, bài tốn cân bằng mạng Trong
đó có mơ hình cân bằng bán độc quyền Nash-Cournot. Mơ hình cân bằng
thị trường bán độc quyền được Cournot đưa ra vào năm 1838 và được rất
nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Sa u nay nó được mơ tả
như một trường hợp đặc biệt của mơ hình cân bằng Nash trong lý thuyết
trò chơi khơng hợp tác gồm n người chơi, vì vậy nó được gọi là mơ hình
cân bằng thị trường Nash-Cournot. Gần đây người ta q uan t âm nhiều đến
việc giải quyết bài tố n trên vì những ứng dụng của nó vào thực tiễn cuộc
sống là rất đa dạng, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế.
Mục đích chính của luận văn là trình bày về mơ hình cân bằng Nash-
Cournot cho cước phí tuyến tính và đặc biệt là trường hợp cước phí lõm.
Khi cước phí lõm, mơ hình cân bằng Nash-Co urnot được mơ tả dưới dạng
bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC. Luận vă n đã mơ tả thuật
tốn lặp dựa trên ý tưởng của phương pháp điểm gần kề để tính điểm dừng
của bà i tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lõm. Ngồi phần mở đầu,

kết luận và các tài liệu tham khả o, các kết quả nghiên cứu trong luận văn
này được trình bày thành hai chươ ng với tiêu đề sau:
Chương 1: Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cước phí tuyến tính. Chương
này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về k hơng gian Hilbert thực, giải tí ch
lồi và mộ t số khái niệm về ánh xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu cùng với một
số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của tốn tử đơn điệu trong khơng
gian Hilbert. Đồng thời giới thiệu về bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn
hợp và mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính
Chương 2: Mơ hình cân bằng Nash-Cournot cước phí lõm. Chương này
giới thiệu về mơ hình cân bằng thị trường Nash-Cournot với cước phí lõm
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
và giới thiệu phương pháp giải mơ hình trong trườ ng hợp hàm chi phí là
hàm lõm bằng phương pháp tìm điểm dừng theo thuật tốn điểm gần kề.
Để hồn thành được luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học, Viện Hàn lâ m Khoa học và
Cơng nghệ Vi ệt Nam), người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em t rong
suốt q tình học tập và nghiên cứu để em có thể hồn thiện luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới q thầy cơ giáo giảng
dạy tại Đại học Thái Ngun và tại Viện Tốn học đã mang đến cho em
nhiều kiến thức bổ ích khơng chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc
sống.
Tơi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng mơn đã giúp đỡ tơi trong thời
gian học tập tại Đại học Thái Ngun và trong q trình hồn thành l uận
văn này.
Cuối cùng, co n xin cảm ơn bố mẹ. Nhờ có bố mẹ khơng quản gian k hó,
vất vả sớm khuya nhưng vẫ n tạo mọi điều k iện tốt nhất để con có được
thành quả ngày hơm nay.
Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Ngun dưới sự hướng dẫn tr ực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Mặc
dù, em đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là phức t ạp

và mới mẻ, lại do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế
nên khó trá nh khỏi thiếu sót. Em mong nhận được sự g óp ý của q thầy
cơ và các bạn.
Thái Ngun, tháng 9 - 2013
Người viết Luận văn
Nguyễn Thị Phương Lan
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
Chương 1
MƠ HÌNH CÂN BẰNG
NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ
TUYẾN TÍNH
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Nội dung chí nh của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về khơng
gian Hilbert thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh
xạ đơn điệu, tốn tử đơn điệu. Đồng thời trình bày m ột số kết quả liên
quan đến tính đơn điệu của các tốn tử đơn trị và đa trị trong khơng gi an
Hilbert. Bên cạnh đó cũng g iới t hiệu về bài tốn bất đẳng thức biến phâ n
hỗn hợp và mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính. Các
kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ các tài liệu [1], [2], [4], [7].
1.1.1 Tốn tử trong khơng gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho k h ơng g i an véc t ơ X trên trường số K(K = R). Một
ánh xạ từ X × X → K được gọi là tích vơ hướng trên X nếu nó th ỏa mãn
các điều k i ện sau:
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x , y = y, x, ∀x, y ∈ X;
(iii) x + x
′
, y = x, y + x
′
, y, ∀x, x

′
, y ∈ X;
(iv) λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K;
Số x, y được gọi là tích vơ hướng c ủa hai véctơ x, y.
Chú ý 1.1. Từ địn h nghĩa tích vơ hướng và cá c điều kiện (ii) và (iv) ta
suy ra:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
-) x, y + y
′
 = x, y + x, y
′
, ∀x, y, y
′
∈ X,
-) x, λy = λx, y, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một khơng gian tuyến tính thực, X được gọi là
khơng gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X xác định một số thực được kí
hiệu là x, y là tích vơ hướng c ủa x,y thỏa mãn các tính chất sau:
(i) x, x ≥ 0, nếu x = 0; x, x = 0, nếu x = 0;
(ii) x , y = y, x;
(iii) x + y, z = x, z + y, z;
(iv) αx, y = αx, y, ∀α ∈ R.
Định lý 1.1. Trong khơng gian tiền Hilbert X, với mỗi x, y ∈ X ta ln
có bất đẳng thức sau:
|x, y|
2
≤ x, y.y, y
được gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Chứng minh
Với y = 0 bất đẳng thức ln đúng.

Giả sử y = 0, ∀λ ∈ R ta có :
x + λy, x + λy ≥ 0
hay
x, x + λy, x + λx, y + |λ|
2
y, y ≥ 0.
Chọn λ = −
x, y 
y, y
ta được:
x, y  −
|x, y|
2
y, y
≥ 0.
Từ đó suy ra |x, y|
2
≤ x, y.y, y.

Dấu
′′
=
′′
trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ
thuộc tuyến tính.
Định lý 1.2. Mọi khơng gian tiền Hilbert X là khơng gian tuyến tính định
chuẩn với chuẩn được xác định
x =

x, x, ∀x ∈ X

Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
với k í hiệu này bất đẳng thức Schwarz được viết thành |x, y| ≤ x y.
Chứng minh
Từ (i) trong định nghĩa tích vơ hướng ta suy ra:
∀x ∈ X, x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = 0.
Từ (i) và (iv ) trong định nghĩa tích vơ hướng ta có:
λx =

λx, λx =

|λ|
2
x
2
= |λ| x , ∀x ∈ X, λ ∈ R.
Mặt khác ∀x, y ∈ X ta có:
x + y
2
=x + y, x + y
=x
2
+ y, x + x, y + y
2
=x
2
+ 2x, y + y
2
≤x
2
+ 2 |x, y| + y

2
.
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz t a có:
x + y
2
≤ x
2
+ 2 x y + y 
2
≤ (x + y)
2
,
vậy x + y ≤ x + y.
Như thế . là một chuẩn trên H.

Định lý 1.3. Cho X là khơng gian tiền Hilbert, vớ i mọi x, y ∈ X ta ln
có bất đẳng thức hình bình hành sau đây:
x + y
2
+ x − y
2
= 2

x
2
+ y
2

.
Chứng minh

Với mọi x, y ∈ X ta có:
x + y
2
= x + y, x + y = x
2
+ x, y + y , x + y
2
x − y
2
= x − y, x − y = x
2
− x, y − y, x + y
2
,
cộng hai bất đẳng thức trên ta được:
x + y
2
+ x − y
2
=x
2
+ y
2
+ x
2
+ y
2
=2

x

2
+ y
2

.
Vậy định lý được chứng minh.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7

Định nghĩa 1.3. Cho X là một khơng gian định chuẩn, dã y { x
n
} ⊂ X
được gọi là dãy cơ bản trong X nếu:
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, t ức là x
n
− x
m
 → 0, kéo theo sự
∃x
0
∈ X sao cho x
n
→ x
0

thì X được gọi là khơng gian đủ.
Định nghĩa 1.4. Nếu X là khơng gian tiền Hilbert và đầy đủ thì X được
gọi là khơng gian Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một khơng gian Hilbert
thực.
Định lý 1.4. Giả sử {x
n
}, {y
n
} là hai dãy trong khơng gian Hilbe rt H sao
cho x
n
→ x
0
, y
n
→ y
0
. Lúc đó
x
n
, y
n
 → x
0
, y
0
, kh i n → ∞.
Chứng minh
Giả sử lim

n→∞
x
n
= x
0
, lim
n→∞
y
n
= y
0
trong khơng gian H.
Ta cần chứng minh lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
) trong H.
Thật vậy
|x
n
, y
n
 − x
0

, y
0
| = |x
n
, y
n
 + x
n
, y
0
 − x
n
, y
0
 − x
0
, y
0
|
≤ |x
n
, y
n
− y
0
| + |x
n
− x
0
, y

0
|
≤ x
n
 y
n
− y
0
 + x
n
− x
0
 y
0
 .
Vì dãy {x
n
} hội tụ trong H nên ∃M > 0 sao cho x
n
 ≤ M, ∀n ∈ N. Khi
đó bất đẳng t rên trở thành:
|x
n
− y
n
 − x
0
− y
0
| ≤ M y

n
− y
0
 + y
0
 x
n
− x
0
 ,
cho n → ∞ theo giả thiết ta suy ra
lim
n→∞
x
n
, y
n
 = x
0
, y
0
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
Định nghĩa 1.5. Hai véctơ x, y ∈ H được gọi là hai véctơ trực giao với
nhau kí hiệu là x⊥y nếu x, y = 0.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây:
1. 0 ⊥ x, ∀x ∈ H;
2. x ⊥ y ⇒ y ⊥ x, ∀x, y ∈ H;
3. x ⊥ {y

1
, y
2
, , y
n
} ⇒ x⊥α
1
y
1
+ α
2
y
2
+ + α
n
y
n
, ∀x ∈ H, n ∈ N
∗
,
α
i
∈ R, i = 1, 2, , n;
4. x ⊥ y
n
, y
n
→ y khi n → ∞ thì x ⊥ y, ∀x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.6. Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao của M, kí h iệu là
M

⊥
, là tập hợp sau:
M
⊥
= {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M } .
Định lý 1.5. ( Định lý F.Riesz)
Với mỗi véctơ a cố định thuộc khơng gia n Hilbert H, hệ thức:
f(x) = a, x, (1.1)
xác định một phiếm hàm tuy ến tính liên tục f(x) trên khơng gian H, với:
f = a . (1.2)
Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên khơng gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1)
trong đó a là một véctơ của H thỏa mãn (1.2).
Chứng minh
Phần thứ nhất của định lý, ta dễ dàng chứng minh được v ì f (x) = a, x,
rõ ràng là m ột phiếm hàm tuyến tính và do
|f (x)| = |a, x| ≤ a ×  x ; (1.3)
|f (a)| = |a, a| ≤ a × a , (1.4)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2) . Để chứng minh phần ngược
lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên khơng gian Hilbert
H. Tập hợp
M = {x ∈ H : f (x) = 0} ,
rõ ràng là m ột khơng gian con đóng của H.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Nếu M
⊥
= {0} thì dựa vào cách phân tích x = y +z với y ∈ M, z ∈ M
⊥
,
ta thấy rằng z = 0, cho nên f(x) = f (y) = 0, ∀x ∈ H, do đó f (x) = 0, x,

nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với a = 0. Vậy chỉ còn phải x ét trường
hợp M
⊥
= {0}. Ta có f(x
0
) = 0, nên véctơ
a =
f(x
0
)
x
0
, x
0

x
0
= 0.
Với mọi x ∈ H ta có:
y = x =
f(x)
f(x
0
)
x
0
∈ M,
vì
f(y) = f ( x) −
f(x)

f(x
0
)
f(x
0
) = 0.
Mà x
0
∈ M
⊥
, y, x
0
 = 0, tức là

x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x
0

= x, x
0
 −
f(x)
f(x
0

)
x
0
, x
0
 = 0,
hay
f(x) =

f(x
0
)
x
0
, x
0

x
0
, x

= a, x.
Như vậy f(x) có dạng (1. 2).
Cách biểu diễn đó là duy nhất vì nếu f(x) = a
′
, x thì a − a
′
, x = 0,
nghĩa là a − a
′

= 0. Cuối cùng do (1.3) và (1.4) nên phải có (1.2) như trên.

Theo Định lý 1.5 tr ên cho phép lập một tương ứng một đối một giữa
các phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H và các véctơ a ∈ H. Tương
ứng đó là m ột phép đẳng cự tuyến t ính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa
phiếm hàm f với véctơ a sinh ra nó thì có H
∗
= H, nghĩa là khơng gian
Hilbert trùng với khơng gian liên hợp của nó.
Cho A là tốn tử tuyến tính liên tục t rong khơng gian Hilbert H. Với
mỗi y ∈ H cố định, ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:
f(x) = Ax, y, x ∈ H.
Ta thấy f là phiếm hàm tuyến t ính liên tục, tồn tại duy nhất y
∗
∈ H để
Ax, y = x, y
∗
, ∀x ∈ H.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
Định nghĩa 1.7. Cho A là một tốn tử tuyến tính liên tục trong khơng
gian Hilbert H, ánh xạ A
∗
: H → H xác đ ị nh như sau:
∀y ∈ H, A
∗
y = y
∗
,
thỏa mãn Ax, y = x, A
∗

y = x, y
∗
.
Khi đó A
∗
được gọi l à tốn tử liên hợp của tố n tử A.
1.1.2 Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.8. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C với
mọi λ ∈ [0, 1] sao cho:
λx + (1 − λ) y ∈ C.
Nhận xét 1.1. Theo định ngh ĩ a tập ∅ được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.9. (i) Tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với
mọi x ∈ C, với mọi λ > 0 ta có λx ∈ C;
(ii) Tập C được gọi là nón có đỉnh tại x
0
nếu C − x
0
là nó n có đỉnh tại 0;
(iii) Nón C có đỉnh t ại x
0
được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi nghĩa l à:
∀x, y ∈ C, ∀λ > 0, µ ∈ R ⇒ λx + µy ∈ C.
Định nghĩa 1.10. Cho C = ∅ là tập lồi trong khơng gia n Hi l bert H và
x ∈ C, ta định nghĩa các tập hợp sau:
(i) Nón pháp tuyến ngồi của C tại x, kí hiệu là N
C
(x) được định nghĩa
như sau:
N
C

(x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ;
(ii) Nón đối cực củ a C, kí hiệu là C
∗
được định nghĩa như sau:
C
∗
:= {w ∈ H : w, x ≤ 0, ∀x ∈ C} ;
(iii) Nón đối ngẫu của C, kí hiệu là C
+
được định nghĩa như sau:
C
+
:= {w ∈ H : w, x ≥ 0, ∀x ∈ C} .
Cho C ⊆ H là tập lồi khác rỗng và hàm f : C → R ∪ {+∞}, ta có các
định nghĩa về các loại hàm lồi sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là
(i) lồ i trên C nếu với m ọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C ta có:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f(y).
(ii) l ồi ngặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x = y ta có:
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f(y).
(iii) lồi mạnh trên C nế u với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, tồn tại
τ ∈ R, τ > 0 ta có :
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f(y) −
1
2
λ(1 − λ) τ x − y
2
.
(iv) l õm trên C nếu −f là hàm l ồi t rên C.

Định nghĩa 1.12. (i) Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, kí hiệu là epif
được định nghĩa như sau:
epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r} .
(ii) Miền hữu hiệu (effective doma i n) của f, kí hiệu là domf được địn h
nghĩa như sau:
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} .
(iii) Hàm f được gọi là chính thư ờng (prope r) nếu domf = ∅ và với mọi
x ∈ C, f (x) > −∞ .
(iv) H àm f được gọi là đóng nếu epif l à tập đóng trong H × R.
Nhận xét 1.2. ( - ) f là hàm l ồi ngặt hay lồ i mạnh thì f là hàm lồi.
(-) f lồi trên C khi và ch ỉ khi epif là tập lồi trong H × R.
(-) f lồi suy ra domf lồi .
Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của dưới vi phân
hàm lồi
Định nghĩa 1.13. (i) Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới
tại x nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:
f(x) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U.
(ii) Với f (x) = +∞ hàm f được gọi là nử a liên tục dưới tại x n ế u vớ i mọi
N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:
f(y) ≥ N, ∀y ∈ U.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Định n ghĩa 1.14. Hàm f được gọi là nửa liên t ục dưới trên H nếu f nửa
liên tục dưới tại mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.15. (i) Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục trên
tại x nếu với mọi ε > 0, t ồn tại lân cận U của x sao cho:
f(x) + ε ≥ f (y), ∀y ∈ U.
(ii) Với f (x) = +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu với mọi
N > 0 , tồn t ại lân cận U của x sao cho:
f(y) ≤ −N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.16. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H nếu f nửa

liên tục trên tại mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.17. Hàm f được gọi là liên tục tại x ∈ H nếu và chỉ nếu f
nửa l i ên tục trên và nửa liê n tục dưới tại x.
Định nghĩa 1.18. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ H, hàm
f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại x
∗
∈ Hsao cho:
lim
z→x
f(z) − f(x) − x
∗
, z − x
z − x
= 0,
hàm f được gọi là hàm khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ H.
Nhận xét 1.3. Điểm x
∗
nếu tồn tại sẽ là duy n hất và được gọi l à đạo hàm
của hàm f tại x, thường kí hiệu là ∇f(x) hoặc f
′
(x).
Định nghĩa 1.19. Giả sử f : H → R ∪ {∞} là h àm lồi, phiếm hàm
x
∗
∈ H
∗
được gọi là dưới đạo hàm (subgrad i e nt) của hàm f tại ¯x ∈ H nếu:
f(x) − f(¯x) ≥ x
∗
, x − ¯x, ∀x ∈ H.

Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại ¯x được gọi là dưới vi phân (subdifferen-
tial) của f tại ¯x, được kí hiệu là ∂f (x) tức là:
∂f(x) := {x
∗
∈ H
∗
: f (x) − f(¯x) ≥ x
∗
, x − ¯x, ∀x ∈ H} .
Hàm f được gọi là k hả vi dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f(¯x) = ∅.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Mệnh đề 1.1. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H, ¯x ∈ domf. Khi
đó, ∂f(¯x) = ∅ khi và ch ỉ khi f
′
(¯x, .) nửa liên tục dưới tại 0, trong đó f
′
(¯x, .)
là đạ o hàm tại x theo phương bất kì của hàm f.
Định nghĩa 1.20. Cho hàm f xác định trên tập Q ⊂ H, xét bài tốn:
min {f(x) : x ∈ Q} . (P )
(i) Điểm x ∈ Q được gọi là điểm chấp nhận được của bài tốn (P).
(ii) Điểm ¯x ∈ Q được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài tốn (P),
nếu t ồn tại lân cận U của ¯x sao cho:
f(¯x) ≤ f (x), ∀x ∈ Q ∩ U.
(iii) Điểm ¯x ∈ Q được gọi là nghiệm tối ưu tồn cục của bà i tốn (P) nếu:
f(¯x) ≤ f (x), ∀x ∈ Q.
Nhận xét 1.4. (-) Hiển nhiên ¯x ∈ Q là nghiệm tối ưu tồn cục của bài
tốn (P) thì ¯x là nghiệm tối ưu địa phương của bài tốn (P).
(-) Nếu tập Q là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Q thì bài tốn (P)
được gọi là một bài tốn quy hoạch lồi.

(-) Nếu Q = H thì bài tốn (P) được gọi là bài tốn tối ưu khơng ràng
buộc.
Định lý 1.6. (i) Nếu bài tốn (P) là một bài tốn quy hoạch lồi thì mọi
nghiệm tố i ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu tồn cục.
(ii) Giả sử trong bài tốn (P) ta có Q = H và f là một hàm lồi, để ¯x
là nghiệm tối ưu tồn cục của bài tốn (P) thì điều kiện cần và đủ là
0 ∈ ∂f(¯x).
Chứng minh.
(i) Giả sử ¯x ∈ Q là nghiệm tối ưu địa phương của bài tốn (P ) , theo định
nghĩa tồn tại lân cận U của điểm ¯x sao cho:
f(¯x) ≤ f (x), ∀x ∈ Q ∩ U,
trên Q ta lấy điểm x tùy ý, với λ > 0 đủ nhỏ ta có:
λx + (1 − λ)¯x ∈ U.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Từ đó
f(¯x) ≤ f (λx + (1 − λ)¯x) ≤ λf(x) + (1 − λ)f (¯x),
hay
λf(¯x) ≤ λf (x) ⇒ f(¯x) ≤ f (x),
chứng tỏ ¯x là nghiệm tối ưu tồn cục.
(ii) ¯x là nghiệm tối ưu tồn cục của (P)
⇔ f (¯x) ≤ f (x), ∀x ∈ H
⇔ 0 = 0, x − ¯x ≤ f (x) − f(¯x), ∀x ∈ H
⇔ 0 ∈ ∂f(¯x)( theo định nghĩa).
Vậy mệnh đề được chứng minh.

1.1.3 Tốn tử đơn điệu
Định nghĩa 1.21. Cho tập X, Y thuộc khơng gian Hilbert H,
(i) Ánh xạ F : X → Y là đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, xác định
duy nhất một phần tử F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là F : X → Y
Ánh xạ ngược F

−1
: Y → X được định nghĩa như sau:
F
−1
(y) = {x ∈ X : F (x) = y} .
(ii) Ánh xạ F : X → Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, thì F (x)
là một co n của khơng gian Y (có thể là tập rỗng ) v à ta thường kí hiệu là
F : X → 2
Y
hay F : X → π(y).
Ánh xạ ngược F
−1
: Y → X được định nghĩa như sau:
F
−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ Y ∩ F (x)} .
Định nghĩa 1.22. Đồ thị ( gphF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF)
của ánh xạ đa trị F : X → 2
Y
được định nghĩa t ương ứng bằng các cơng
thức sau:
gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ;
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅} ;
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)} .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
Định nghĩa 1.23. Cho H là khơng g i an Hilbert với tích vơ hư ớng ·, ·
(i) Tốn tử đơn trị T : H → H
∗
(H = H
∗

) được gọi là tốn tử đơn điệu
nếu:
T (x) − T (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
(ii) Tốn tử đơn trị T được gọi là tốn tử đơn điệu ngặt n ếu:
T (x) − T (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ H, x = y.
(iii) Tốn tử đơn trị T được gọi là tốn t ử đơ n điệu mạnh nếu với hằng số
c > 0 ta có:
T (x) − T (y), x − y ≥ cx − y
2
, ∀x, y ∈ H.
(iv) Tố n tử đơn trị T được gọi là tố n tử đơn đ i ệ u cực đại nếu nó là đơn
điệu và đồ thị của nó khơng phải là tập con thực sự của đồ thị của một
tốn tử đơn điệu nào k hác.
(v) Tốn tử đ ơn trị T được gọi là đồ ng bức với h ệ số σ > 0 (viết tắt là
σ-đ ồng bức) trên H nếu:
T (x) − T (y), x − y ≥ σ T (x) − T (y)
2
, ∀x, y ∈ H.
Ví dụ 1.1. Cho tốn tử T đơn trị xác định trên R như sau:
T (x) = x, ∀x ∈ R.
Khi đó T là tốn tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có:
T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = (x − y)
2
≥ 0.
Nhận xét 1.5. Nế u T là tốn tử khơng giãn trên khơng gian Hilbert H thì
A = I − T là tốn tử đơn điệu, trong đó I là tốn tử đồng nhất.
Thật vậy
∀x, y ∈ H ta có T (x ) − T (y) ≤ x − y do vậy
0 ≤ A(x) − A(y)
2

=x − y
2
−2x − y, T (x) − T (y) + T (x) − T (y)
2
≤2

x − y
2
−x − y, T (x) − T (y)

≤2 (A(x) − A(y), x − y) .
Vậy A là tốn tử đơn điệu.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Định nghĩa 1.24. H là khơ ng gian Hilbert với t í ch vơ hướng ·, ·
(i) Tốn tử đa trị T : H → 2
H
được gọi là tốn tử đơn điệu nếu:
u − v, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y).
(ii) Tốn tử đa trị T được gọi là tốn tử đơn đi ệu ngặt nếu:
u − v, x − y > 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y) .
(iii) Tốn tử đa trị T được gọi là tốn tử đơn điệu mạnh nếu với hằng số
α ∈ R, α > 0 ta có:
x − y, u − v ≥ αx − y
2
, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y).
(iv) Tốn tử đa trị được gọi là tốn tử đ ơ n điệu cực đại nếu đồ thị của nó
khơng phải là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một tốn tử đơn điệu
nào khác.
(v) Tốn tử đa trị T được gọi là đồng bức với hệ số σ > 0 (viết tắ t là
σ-đ ồng bức) trên H nếu:

u − v, x − y ≥ σu − v
2
, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y).
Ví dụ 1.2. Xét tốn tử đa t rị trong R:
T (x) =

{1} khi x > 0
∅ khi x = 0.
Ta có:
u − v, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y),
nên T là tốn tử đơn điệu.
Khi đó tốn tử ngược T
−1
: H → 2
H
được xác định như sau:
T
−1
(y) = {x ∈ H : y ∈ T (x), ∀y ∈ H} .
Định lý 1.7. Tố n tử tuyến tính A : H → H là đơn điệu khi và chỉ khi
Az, z ≥ 0 , ∀z ∈ H.
Chứng minh
Hiển nhiên domA = H và A là tốn tử đơn điệu, theo định nghĩa A là tốn
tử đơn điệu k hi và chỉ khi
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
hay
A (x − y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H.
Đặt z = x − y ta có A(z), z ≥ 0, ∀z ∈ H suy ra điều phải chứng minh.


Định lý 1.8. ( Phép tốn bảo tốn tính đ ơn điệu)
Các tính chất sau ln đúng
(i) T : H → 2
H
đơn điệu khi và chỉ khi T
−1
: H → 2
H
là đơ n điệu;
(ii) Nếu T
1
, T
2
là các tốn tử đơn điệu từ H → 2
H
và nếu λ
1
, λ
2
≥ 0 thì
λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
cũng là tốn tử đơn điệu;
Nếu t hêm điề u kiện T

1
, T
2
là đơn điệu ngặt và λ
1
> 0, λ
2
> 0, thì λ
1
T
1
+λ
2
T
2
là đơ n điệu ngặt.
(iii) Nếu T : H → 2
H
là tốn tử đơn điệu và A : H → H là tốn tử tuyế n
tính, A
∗
là tốn tử liên hợp của A thì S(x) = A
∗
T (Ax + b) cũng là tốn
tử đơ n điệu;
Ngồi ra nếu A là đơn ánh và T là tốn tử đơn điệu ngặt thì S là tốn tử
đơn điệu ngặ t .
Chứng minh
(i) Theo định nghĩa tốn tử T là đơn điệu khi và chỉ khi
x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y),

hay
x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT
−1
, ∀x ∈ T
−1
(u), ∀y ∈ T
−1
(v)
điều này cho thấy T
−1
là tốn tử đơn điệu.
(ii) Hiển nhiên ta có:
dom (λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
) = {z ∈ H : λ
1
T
1
(z) + λ
2
T
2
(z) = ∅}
=domT

1
∩ domT
2
.
Giả sử x, y ∈ domT
1
∩ domT
2
và
u ∈ (λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
) (x) = λ
1
T
1
(x) + λ
2
T
2
(x)
v ∈ (λ
1
T
1

+ λ
2
T
2
) (y) = λ
1
T
1
(y) + λ
2
T
2
(y).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
Lấy u
i
∈ T
i
(x), v
i
∈ T
i
(x), i = 1, 2, sao cho
u = λ
1
u
1
+ λ
2
u

2
, v = λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
,
do T
1
, T
2
là các tốn tử đơn điệu, nên ta có
x − y, u
1
− v
1
 ≥ 0, x − y, u
2
− v
2
 ≥ 0.
Nhân lần lượt hai biểu thức này với λ
1
và λ
2
rồi cộng lại ta được:
u − v, x − y ≥ 0.

Điều này chứng tỏ λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
là tốn tử đơn điệu.
Khẳng định sau đây được suy ra ngay từ định nghĩa của đơn điệu ngặt:
Nếu T
1
, T
2
là đơn điệu ngặt và λ
1
> 0, λ
2
> 0, thì λ
1
T
1
+ λ
2
T
2
là đơn điệu
ngặt.
(iii) Lấy x, y ∈ domT, u ∈ S(x) = A
∗

T (Ax + b) , v ∈ S(y) = A
∗
T (Ay + b)
chọn u
1
∈ T (Ax + b) và v
1
∈ T (Ay + b) sao cho u = A
∗
u
1
, v = A
∗
v
1
.
Do tính đơn điệu của T ta có:
v − u, y − x = A
∗
v
1
− A
∗
u
1
, y − x
= v
1
− u
1

, (Ay + b) − (Ax + b) ≥ 0.
Từ đó chứng tỏ S là tốn tử đơn điệu.
Giả sử A là đơn ánh và T là tốn tử đơn điệu ngặt, k hi đó nếu x = y
thì Ax = Ay kéo theo Ax + b = Ay + b.
Giả sử u, v, u
1
, v
1
được lấy như trên, vì T là tốn tử đơn điệu ngặt nên
v
1
− u
1
, (Ay + b) − (Ax + b) ≥ 0.
Sao cho
v − u , y − x ≥ 0,
từ đó chứng tỏ S là tốn tử đơn điệu ngặt.

1.1.4 Bất đẳng thức biến phân
Định nghĩa 1.25. Cho C là tập con lồi đ óng khác rỗng của H và ánh xạ
F : C → H là liên tục. Bài tốn bất đẳng thức biến phân được định nghĩa
như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho : F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19

Bài tốn bất đẳng thức biến phân đượ c kí hiệu là VIP(C;F).
Tập tất cả các nghiệm của VIP (C;F) kí hi ệu là SOL - VIP(C;F).
Định nghĩa 1.26. ( Bài tốn bù).
Cho C là một nón lồi trong H và ánh xạ F : C → R
n
. Bài tốn bù phi
tuyến được kí hiệu là NCP(C;F), được định ngh ĩ a như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho : F (x
∗
) ∈ C
∗
và F (x
∗
), x
∗
 = 0,
trong đó C
∗
là nón đối ngẫu của C, tức là:
C
∗
= {y ∈ R
n
|y, x ≥ 0, ∀x ∈ C}.
Mệnh đề 1.2. Khi C là một nón trong H ta ln có:
SOL − V IP (C; F) = SOL − NCP (C; F ).
Chứng minh
Giả sử x

∗
∈ SOL − V IP (C; F ), tức là x
∗
∈ C và F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0,
∀x ∈ C.
Cho x = 0 ∈ C thì từ định nghĩa của bấ t đẳng thức biến phân cho ta
F (x
∗
), −x
∗
 ≥ 0. Vì x
∗
∈ C và C là nón nên 2x
∗
∈ C.
Cho x = 2x
∗
∈ C thì từ định nghĩa của bất đẳng thức biến phân cho ta
F (x
∗
), x
∗
 ≥ 0. Suy ra F (x
∗
), x
∗

 = 0.
Ta có:
F (x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − F (x
∗
), x
∗
 = F (x
∗
), x ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vì thế F (x
∗
) ∈ C
∗
hay x
∗
∈ SOL − NCP (C; F ) .
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ SOL − NCP (C; F ) .
Vì F (x
∗
) ∈ C
∗
nên F (x

∗
), x ≥ 0, ∀x ∈ C. Đồng thời F (x
∗
), x
∗
 = 0.
Kết hợp hai điều kiện trên ta có:
F (x
∗
), x − x
∗
 = F (x
∗
), x − F (x
∗
), x
∗

= F (x
∗
), x ≥ 0, ∀x ∈ C.
Suy ra x
∗
∈ SOL − V IP (C; F ).

Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Định nghĩa 1.27. Hàm g : C → R ∪ {+∞} được gọi là hàm đánh giá của
bài tốn bất đẳng thức biến phân nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
i) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ C;
ii) g(x) = 0 ⇔ x ∈ SOL − V IP (C; F ) .

Định nghĩa 1.28. ( Hàm đánh giá Auslender)
Hàm đánh giá Auslender của VIP(C;F) được kí hiệu là g
A
(x) và được cho
bởi cơng thức:
g
A
(x) := max
y∈C
F (x), x − y, ∀x ∈ C
Định nghĩa 1.29. Cho H là khơng gian Hilbert thực, C là tập con lồi đóng
khác rỗng của H, F : C → H là ánh xạ đơ n điệu và ϕ là hàm lồi chính
thường của H. Ta xét bài t ốn bất đẳng thức biến phân tổng qt sau (còn
được gọi là bất đẳng thức biến phân hỗn hợp):
Tìm x
∗
∈ C sao cho : F (x
∗
), x − x
∗
 + ϕ(x) − ϕ (x
∗
) ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.5)
trong đó ·, · là tích vơ hướng trong H.
Chuẩn của tích vơ hướng được định nghĩa bằng · .
Nhận xét rằng khi ϕ là hàm khả vi liên tục trên C, bất đẳng thức (1.5)
tương đương với:
Tìm x
∗
∈ C sao cho : F (x

∗
) + ∇ϕ(x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.6)
Với bài tốn (1.5) ta xét hàm đánh giá sau:
g(x) = − min

F (x), y − x +
1
2
y − x, G(y − x) + ϕ(y) − ϕ(x), y ∈ C

(1.7)
trong đó G là tốn tử tuyến t ính tự liên hợp xác định dương từ H vào
chính nó.
Trong trường hợp ϕ là khả vi ta thu được hàm đánh giá:
g
1
(x) = − min

F (x) + ∇ϕ(x), y − x +
1
2
y − x, G(y − x), y ∈ C

.
(1.8)
Chú ý rằng hàm mục tiêu tro ng bài tốn xác định g

1
(x) là tồn phương
lồi mạnh. Vì C là lồi đóng và hàm mục tiêu là lồi mạnh nên bài tốn quy
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
hoạch (1.7) và (1.8) ln giải được với x ∈ C. Cho h(x) và h
1
(x) tương
ứng là nghiệm duy nhất của bài tốn (1.7) và (1.8). Nếu ϕ là hàm hằng
thì hai ánh xạ h(x) và h
1
(x) là trùng nhau. Vì thế, trong trường hợp này
h(x) = h
1
(x), ∀x ∈ C. Trong trường hợp tổng qt ta có h( x) = h
1
(x).
Ngồi ra, cả h(x) và h
1
(x) có tính chất chung là một điểm x
∗
là nghiệm
của bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.5) nếu và chỉ nếu
h(x) = h
1
(x) = x
∗
.
Định lý 1.9. Giả sử bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.5) có nghiệm với
ϕ là hàm dưới khả vi. Khi đó điểm x
∗

là ng hiệm của bà i tốn ( 1.5) nếu và
chỉ n ếu x
∗
là điểm bất động của h. Khẳng định này cũn g đúng cho h
1
.
Chứng minh
Cho x
∗
là nghiệm của (1.5) và h(x
∗
) là nghiệm duy nhất của bài tốn xác
định g(x
∗
). Khi đó,
F (x
∗
), h(x
∗
) − x
∗
 + ϕ (h(x
∗
)) − ϕ(x
∗
) ≥ 0. (1.9)
Vì h(x
∗
) là nghiệm của bài tốn xác định g(x
∗

) và bài tốn này lồi, do đó
tồn tại z
∗
∈ ∂ϕ (h(x
∗
)) thỏa mãn:
F (x
∗
) + G (h(x
∗
) − x
∗
) + z
∗
, y − h(x
∗
) ≥ 0, y ∈ C. (1.10 )
Thay y = x
∗
trong bất đẳng thức này t a có:
F (x
∗
) + G (h(x
∗
) − x
∗
) + z
∗
, x
∗

− h(x
∗
) ≥ 0. (1.11)
Cộng hai bất đẳng thức (1.9) và (1.1 1) ta được:
G (h(x
∗
) − x
∗
) , x
∗
− h(x
∗
) + z
∗
, x
∗
− h(x
∗
) + ϕ (h(x
∗
)) − ϕ(x
∗
) ≥ 0,
(1.12 )
vì z
∗
∈ ∂ϕ (h(x
∗
)), ta có:
z

∗
, x
∗
− h(x
∗
) ≤ ϕ(x
∗
) − ϕ (h(x
∗
)) .
Vì thế
z
∗
, x
∗
− h(x
∗
) + ϕ (h(x
∗
)) − ϕ(x
∗
) ≤ 0. (1.13 )
Từ bất đẳng t hức (1.12) và (1.13) ta suy ra:
G (h(x
∗
) − x
∗
) , x
∗
− h(x

∗
) ≥ 0,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
suy ra h(x
∗
) = x
∗
. Do G tự l iên hợp và xác định dương.
Ngược lại, giả sử h(x
∗
) = x
∗
. Thì tùy theo (1.10) ta có:
F (x
∗
) + z
∗
, y − x
∗
 ≥ 0,
vì z
∗
∈ ∂ϕ (h(x
∗
)) nên
z
∗
, y − x
∗
 ≤ ϕ(y) − ϕ(x

∗
), ∀y ∈ C.
Cộng hai bất đẳng thức ta được:
F (x
∗
), y − x
∗
 + ϕ(y) − ϕ(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Điều này có nghĩa x
∗
là nghiệm của bài tốn (1.5). Có thể chứng minh h
1
tương tự bằng cách sử dụng cơng thức.
1.2 Mơ hình cân bằng Nash-Co urnot cổ điển
1.2.1 Phát biểu mơ hình Nash-Cournot
Giả sử trong mơ hình cân bằng kinh tế thị trường có n hãng cùng tham
gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất. Kí hiệu x
i
∈ C
i
⊆ R
+
là sản
lượng sản phẩm mà hãng i (i = 1, 2, , n) dự định sẽ thực hiện. Ta giả
sử rằng giá của một đơn vị sản phẩm do hãng i cung cấp là p
i
và nó phụ
thuộc vào tổng sản lượng của tất cả các hãng kí hiệu là σ :=

n

i=1
x
i
, nghĩa
là ta có p
i
= p
i
(σ). Đặt h
i
(x
i
) là tổng chi phí sản xuất của hãng i khi hãng
thực hiện kế hoạch sản lượng x
i
và hàm lợi nhuận của hãng được xác định
bởi
f
i
(x
1
, x
2
, , x
n
) := x
i
p

i
(
n

i=1
x
i
) − h
i
(x
i
), i = 1, 2, , n, (1.14 )
trong đó h
i
là hàm chi phí của hãng i chỉ phụ thuộc trên mức sản xuất của
nó.
Cho C
i
∈ R, (i = 1, 2, , n) là tập chiến lược sản phẩm của hãng thứ i.
Như vậy, mỗi hãng i chỉ được lựa chọn phương án sản xuất thuộc tập C
i
.
Mỗi hãng đều có chung một mong muốn là cực đại hàm lợi nhuận của hã ng
mình bằng cách chọn số lượng sản phẩm để sả n xuất. Giả sử tập chiến lược
Số hóa bởi trung tâm học liệu />23
C của mơ hình cân bằ ng thị trường kinh tế là tích Cartesian các tập chiến
lược của mỗi hãng, tức là:
C = C
1
× C

2
× × C
n
,
Tập C cũng được gọi l à miền khả thi (hay tập chiến l ược) của tất cả các
hãng. Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.30. Một điểm x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) ∈ C được gọi là đi ểm cân
bằng Nash của mơ hình cân bằng Nash-Cournot nếu với mọi i = 1, 2, , n,
với mọi y
i
∈ C
i
ta đều có
f
i
(x
∗
1
, , x

∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
) ≤ f
i
(x
∗
1
, , x
∗
n
). (1.15 )
Đặt f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x

∗
i+1
, , x
∗
n
) = f
i
(x
∗
[y
i
]),
thì (1.15) sẽ tương đương với
f
i
(x
∗
[y
i
]) ≤ f
i
(x
∗
1
, , x
∗
n
), ∀y
i
∈ C

i
, i = 1, 2, , n. (1.16 )
Từ đây ta nhận thấy điểm cân bằng có ý nghĩa kinh tế như sau: Tại
điểm cân bằng cho biết lợi nhuận của các hãng là cao nhất và nếu có một
hãng rời bỏ vị trí cân bằng mà các hãng khác vẫn giữ ngun ở vị trí đó
thì lợi nhuận của hãng này chỉ có thể bị thiệt đi chứ khơng thể tăng lên.
Do đó tất cả các hãng đều muốn mình ở vị trí cân bằng.
Với mỗi x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ C và y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ C ta đặt:
Ψ (x, y) := −
n

i=1
f
i
(x
1
, , x
i−1

, y
i
, x
i+1
, , x
n
) = −
n

i=1
f
i
(x[y
i
]), (1.17)
và
Φ (x, y) = Ψ (x, y) − Ψ (x, x) . (1.18 )
Khi đó, bài t ốn tìm điểm cân bằng của mơ hình Nash-Cournot tương
đương bài tốn cân bằng sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho : Φ (x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.19 )
Mệnh đề 1.3. Điểm x
∗
∈ C là một điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x
∗
là ng hiệm của bài tốn cân bằng (1.19).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />