Tài liệu Phương pháp tọa độ trong giải toán hình học doc

Trao ®æi vÒ
:
:
Ph
Ph
−¬
−¬
ng
ng
ph
ph
¸
¸
p
p
to
to
¹
¹
®é
®é
trong
trong
gi
gi
¶
¶
i
i
to
to

¸
¸
n
n
h
h
×
×
nh
nh
h
h
ä
ä
c
c
Ng−êi so¹n :
Bớc I: Chọn hệ trục toạ độ gắn với bitoán
Tín hiệu để chọn hệ trục l trong bi toán có chứa các
đờng thẳng vuông góc nhau , ta sẽ chọn các trục chứa các đờng
thẳng vuông góc đó
Bớc II: Phiên dịch bi toán hình học sang ngôn
ngữ toạ độ
Bớc III: Dùng ngôn ngữ vecter, toạ độ để giải
bitoán
Bớc IV: Phiên dịch bi toán trở lại ngôn ngữ
hình học ban đầu
Các bớc giải bitoánbằngPhơng pháp toạ độ
Một số cách chọn hệ trục trong không gian
I, đối với hình hộp chữ nhật hình lập phơng:

Chọn gốc l 1 trong 8 đỉnh
Ba cạnh phát xuất từ một
đỉnh nằm trên 3 trục
x
y
z
A
B
C
D
A
B
C
D
II, Chóp tam giác có góc tam diện đỉnh vuông
x
y
z
S
A
B
C
Chọn gốc của hệ
trục trùng với đỉnh
của góc tam diện
vuông
Ba trục chứa ba
cạnh phát xuất từ
đỉnh góc tam diện
vuông đó

O
x
y
z
C
B
A
D
Iii, Tứ diện đều
Cách I:
Dựng hình lập phơng
ngoại tiếp tứ diện đều
Chọn hệ trục có gốc
trùng với 1 đỉnh của hình
lập phơng
Ba cạnh phát xuất từ
đỉnh đó nằm trên 3 trục
D3
D2
D1
Iii, Tứ diện đều
o
A
B
C
D
x
y
z
G

Cách II:
Hai trục lần lợt chứa đờng cao v một cạnh tơng ứng của
mặt BCD
Trục còn lại vuông góc với mặt BCD ( cùng phơng với đờng
cao AG).
Chú ý : Chóp tam
giác đều cũng chọn
nh cách 2 ny
x
y
z
O
A
B
C
D
S
Trục Oz chứa đờng cao SO của
hình chóp
Hai trục Ox , Oy lần lợt chứa
hai đờngchéođáy
Chú ý : Hình chóp tứ giác
đều ( đáy l hình vuông
v các cạnh bên bằng
nhau ) cũng chọn nh
vậy.
iV, Chóp tứ giác có đáy l hình thoi , các cạnh
bên bằng nhau
V, Chóp tứ giác có đáy l hình chữ nhật , các
cạnh bên bằng nhau

Chọn hai trục chứa hai
cạnh hình vuông đáy
Trục thứ ba vuông góc
đáy ( cùng phơng với
đờngcaoSO củahình
chóp - trục Az nynằm
trong mặt chéo SAC)
x
y
z
S
Z
O
A
B
C
D
S
A
B
C
A
C
B
z
x
y
O
Chọn hai trục lần lợt
l cạnh đáy v chiều

cao tơng ứng của tam
giác cân l đáy của
chóp
Trục còn lại chứa
đờng trung bình của
mặt bên
Chú ý : Lăng
trụ tam giác
đều cũng chọn
nh vậy.
Vi, Lăng trụ đứng có đáy l tam giác cân
x
y
z
A
B
C
D
A
B
D
C
o
O
Chọn trục cao nằm trên
đờng thẳng nối tâm hai
đáy
Hai trục kia chứa hai
đờngchéođáy
Chú ý : Lăng trụ tứ

giác đều cũng chọn
nh vậy ( lăng trụ
tứ giác đều l lăng
trụ đứng có đáy l
hình vuông)
VII, lĂNG TRụ Đứng có đáy l hình thoi :
A
B
C
A
’
C
’
B
’
z
x
y
Chän ®Ønh tam gi¸c
vu«ng ®¸y lμm gèc . Ba
trôc chøa ba c¹nh ph¸t
xuÊt tõ ®Ønh nμy
Viii, l¡NG TRô §øng cã ®¸y lμ tam gi¸c vu«ng :
Bi1:(Đại học khối B năm 2002)
Cho hình lập phơng ABCD. cạnh a.
a, Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng v
b, Gọi M , N , P lần lợt l trung điểm của các cạnh , CD , .
Tính góc giữa hai đờng thẳng MP v
111 1
A

BCD
1
A
B
1
B
D
1
BB
11
A
D
1
CN
Các bitoánminhhoạ
Lời giải
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A1 trùng với O , Ox chứa cạnh

A1B1 , Oy chứa cạnh A1D1 , Oz chứa
cạnh A1A
Tronghệtrụcđãchọntacó:
A1(0 ; 0 ; 0) , B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) , D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) , B(a ; 0 ; a) , C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
z
C1
D1
B
C
D
y
a
a, TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng
th¼ng A1B vμ B1D
§t A1B qua A1(0 ; 0 ; 0) vμ cã
VTCP
11
1
(1; 0;1)uAB
a
==
uuur
r
§t B1D qua B1(a ; 0 ; 0) vμ cã
VTCP
21
1

( 1;1;1)uBD
a
==−
uuuur
r
A1B vμ B1D lμ hai c¹nh ®èi cña tø
diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do
®ã:
[]
[]
u
uuuur
r
r
rr
11 1 2
11
12
A
B.u,u
d(A B ; B D) =
u,u
Cã ,
uuuuur
11
A
B=(a;0;0)
[
]
r

r
12
u,u =(-1;-2;1)
11
a(-1) + 0.(-2) + 0.(-1)
a
d(A B;B D) = =
1+4+1 6
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
b, Gäi M , N , P lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh
BB1 , CD , A1D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP

vμ C1N
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
M
N
P
Ta cã
M(a ; 0 ; ) ,
2
a
N( ; a ; a ) ,
2

a
P( 0; ; 0 ) ,
2
a
§t MP cã VTCP
3
2
(2;1;1)uMP
a
==−−
uuur
r
§t C1N cã VTCP
41
2
(1;0;2)uCN
a
==−
uuuur
r
Gäi lμ gãc gi÷a MP vμ C1N , ta cã
ϕ
34
34
1
. ( 2).( 1) 1.0 1.2
090
411104
uu
cos

uu
hayC N MP
ϕϕ
−−+−
== =⇒=
++ + +
⊥
o
rr
rr
o
A
S
B
C
x
y
z
G
s
z
a
Bi2:(Đại học khối A- năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , cạnh đáy bằng a.
Gọi M , N lần lợt l trung điểm các cạnh SB , SC . Tính diện
tích tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Do S.ABC l chóp tam giác đều
nên đáy ABC l tam giác đều cạnh
a . Gọi O l trung điểm cạnh AC ,
ta có BO vuông góc với AC.

Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ :
Ox chứa OB , Oy chứa AC,
( Oz song song SG l chiều cao
chóp tam giác đều S.ABC )
Khi đó O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0),
B( ; 0 ; 0) ( Vì OB = )
C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
( )
()Oz ABC

2
a
3
2
a
3
2
a
2
a
3
6
a
s
z
0>
s
z
Lời giải
o

A
S
B
C
x
y
z
G
s
z
a
M
N
4
a−
⎡
⎤
′
⎣
⎦
u
uur uuur
r
uuur
uuuur
r
ss
1
s
s

s
s
2
1
zz
2a 3 a 3
M( ;0;),N( ; ;)
32 12 2
mp(AMN)co VTPT:n = AM,AN
z
2a 3 -a
AM = ( ; ; )
3
az
22
z
a3
-a 3z
-5 3a
n=( ; ; )
88
-3a
AN = ( ; ; )
12 4
2
4
2
2
2
2

() : ,
3
3
(; ; )
22 6
3
(;0;)
3
3
(;;)
62
ss
s
s
mp SBC co VTPT n SB SC
a
SB z
aa
SC
az
a
z
az
n
⎡
⎤
′
=
⎣
⎦

=−
−
−
−
=
−
−
=
u
ur uuur
r
uur
r
uuur
Δ
Δ
⊥⇔ ⇔ ⇔
⎡⎤
⎣⎦
rr
uuuuruuur
r
22 22
42
2
ss
12 s
22 22
422
22 2

ss
AMN 1 s s
2
222
AMN
-a z 3a z
15a 15a
(AMN) (SBC) n .n = 0 - + = 0 z =
16 16 6.24 36
az 3az
1 1 1 25.3a 1 a 25a a 25a
S = AM, AN = n = + + = . z + 3z + = 4z +
2226464283163
24
a 15a 25a a 10
S= 4. + =
16 36 3 16
O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( ; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
2
a
3
2
a
2
a
−
3
6
a
s

z
Bi3: ChohìnhhộpchữnhậtABCD.ABCD có AB = a ,
AD = 2a , AA = . M l điểm thuộc đoạn AD , K l trung
điểm của BM
1, Đặt AM = m ( ). Tính thể tích khối tứ diện AKID
theo a v m ( trong đó I l tâm hình hộp ) . Tìm vị trí của M để
thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
2, Giả sử M l trung điểm của AD.
a, Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(BCK) l hình gì ?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
b, CMR đờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AA
2a
02ma

<
Lời giải
A
D
C
B
A
D
C
B
x
y
z
2a
2a
a

M
m
K
I
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A trùng với O , Ox chứa cạnh
AD , Oy chứa cạnh AB , Oz chứa cạnh
AA
Tronghệtrụcđãchọntacó:
A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) ,
C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a ) , B(0 ; a ; a ) ,
C(2a ; a ; a ) , D(2a ; 0 ; a )
2
2
2
2
1, Do I l tâm hình hộp nên I l trung điểm
BD,
suy ra I(a ; ; )
2
a
2
2
a
M nằm trên đoạn AD v AM = m nên M(m ; 0 ; 0)
K l trung điểm BM nên
2
(;; )
22 2

maa
K
'
33322
2
'(;; )
22
2
'(;; )
22 2
'(2;0;2)
22
11 2
'. ' , ' . . .
22 2 2 22
6622
20
02 22
12 2 212 2 2
22
62 2 2 2 62 4 24
AKID
A
aa
AI a
ma a
AK
AD a a
aa a m ma
aa

VAIAKADa
a
aaa
aa ama aama
ama
Hay V
=
=
=


==+




=+++=+=



uuur
uuuur
uuuur
uuur uuuur uuuur
2
'
2
(2 ) ( 0 2 )
24
KID

a
am do m a= <
3
'
2
0202 2
12
AKID
a
ma amaV< <
Cũng vì
Dấu bằng xảy ra khi v chỉ khi 2a - m = 2a hay m = 0 , điều ny
cũng đồng nghĩa M trùng A
Vậy
3
'
2
12
AKID
a
maxV M A
=

A
D
C
B
A’
D’
C’

B’
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
2a, mp(B’CK) còng chÝnh lμ
mp(B’CM) , mp nμycã®iÓmchung
víi mÆt AA’D’D ë ®iÓm M nªn nã
c¾t mÆt AA’D’D theo giao tuyÕn
qua M vμ song song víi B’C ( v×
B’C song song víi mÆt AA’D’D ) ,
giao tuyÕn nμyc¾t AA’ t¹i N . Nèi
NB’ ta thu ®−îc thiÕt diÖn lμ h×nh
thang B’CMN ( do MN song song
víi B’C)
V× M lμ trung ®iÓm AD
nªn M( a ; 0 ; 0)
1
'(2;0;1)
2
uBC
a
−
==−
uuuur

r
§−êng th¼ng B’C cã vÐct¬
chØ ph−¬ng lμ
[
]
(;')dMBC =
ChiÒu cao cña thiÕt diÖn B’CMN lμ
,
(;')
M
Cu
hdMBC
u
⎡
⎤
⎣
⎦
==
u
uuur
r
r
A
D
C
B
A’
D’
C’
B’

x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
22 2
(;;0)
(2;0;1)
,(;;2)
22
201 3
MC a a
u
MC u a a a
aa a a
h
=
=−
⎡⎤
=−
⎣⎦
++
==
++
uuuur
r

uuuur
r
V× MN song song víi B’C vμ B’C
song song víi A’D nªn MN song song
A’D , mμ M lμ trung ®iÓm AD nªn N
lμ trung ®iÓm AA’
222 2
22 2 2
26
ˆ
,()
22
ˆ
','' (2)(2)6
aa
AMN vuong choMN AM AN a
B BC vuong cho B C B B BC a a a
Δ=+=+=
Δ=+=+=
2
'
62
(6 ).
(' ). 32
2
3
ˆ
222
BCMN
aa

a
BC MN h a
Vay S
+
+
== =
&
2b, CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu
®−êng kÝnh AA’
A
D
C
B
A’
D’
C’
B’
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
N lμ trung ®iÓm AA’ nªn
MÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ cã t©m lμ N , cã b¸n
kÝnh R = AA’/2 , ta cã :
2

(0;0; )
2
'
a
N
B
McoVTCP
′
22
2
2
(0;0; )
2
'
11
'(;;2)(1;1;2)
2
(;0; )
2
22
0
0
22
11
,
12 21
2
(;' )
2
112

'
(;' )
2
a
N
Dt B M co VTCP
BM a a a
aa
a
MN a
aa
a
a
MN
a
dNBM
AA
Hay d N B M R
ξ
ξ
ξ
′
−−
==−−=−
−
−
−
++
−
⎡⎤

−
⎣⎦
== =
++
==
uuuuur
r
uuuur
uuuur
r
r
VËy ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®−êng
kÝnh AA’