HSG lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc-2007

sở giáo dục & đào tạo
vĩnh phúc
_____________
đề chính thức
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh
năm học 2006-2007
______________________________
môn thi : toán
Đề dành cho học sinh trờng THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu1: Cho phơng trình bậc hai:
033m
2
m4)x(m
2
x =+++
( m là tham số)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
đều khác 1.
Khi đó chứng minh rằng:
9
49
2
x1
2
2
mx
1

x1
2
1
mx
7

+

<
Câu2 : Giải phơng trình:
4
22x
2
x
2x
23x
2
x
3x
=
+
+
+
Câu3: Giải hệ phơng trình:





=++

=++
112x3y
112y3x

Câu 4: Tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đờng tròn
ngoại tiếp R thoả mãn điều kiện: a
2
+ c
2
= 2b
2
= 4R
2
. Đờng cao kẻ từ A và đờng phân
giác trong của góc B của tam giác ABC cắt nhau tại I ( điểm I thuộc miền trong tam
giác ABC).
Chứng minh rằng diện tích tam giác IAC bằng diện tích tam giác IBC.
Câu 5: Cho a, b, c là các số nguyên dơng thoả mãn
c
1
b
1
a
1
=
và d là ớc chung lớn
nhất của chúng. Chứng minh rằng abcd và d(b - a) là các số chính phơng.

Hết
Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
sở giáo dục - đào tạo
vĩnh phúc
_____________
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh năm học
2006-2007
______________________________
hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán
cho học sinh trờng thpt chuyên
I/ Hớng dẫn chung :
- Hớng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lợc một cách giải . Nếu học sinh có cách giải đúng, khác
đáp án thì các giám khảo thống nhất và vận dụng thang điểm để chấm.
- Khi chấm , các ý cho 0,5 đ có thể chia nhỏ tới 0,25 đ. Điểm của toàn bài là tổng điểm của
tất cả các câu, làm tròn đến 0,25đ.
II/ Đáp án và biểu điểm:
Câu1 (3,0đ):
Phơng trình có nghiệm
21
, xx
đều khác 1 khi và chỉ khi

+






2,0
0443
2,0
0)33(4)4(
02
0
222
2
mm
mm
mm
mmm
mm






<

0
2

3
2
m
m
(*) 1,0đ
Với điều kiện (*), theo định lý Vi- et :



+=
=+
33
4
2
21
21
mmxx
mxx
0,5đ
Ta có
21
)
21
(1
)
21
(
21
)
21

2
2
)
21
((
2
x1
2
2
mx
1
x1
2
1
mx
xxxx
xxxmxxxxxm
++
++
=

+

0,5đ

16
2
2138
2
23

+=

+
= mm
m
mmm
0,5đ
Xét hàm f(m) =
16
2
+ mm
với m thoả mãn (*) , dễ thấy f(m) là hàm số nghịch biến
trên






2;
3
2
\
{ }
0
9
49
)(7)
3
2

()()2( << mffmff

đpcm. 0,5đ
Câu2(2,0đ):

Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình, nên chia cả tử và mẫu của vế trái của phơng trình
cho x ta đợc phơng trình tơng đơng
4
2
2
2
3
2
3
=
+
+
+
x
x
x
x
0,5đ
Đặt
x
xt
2
+=
ta có phơng trình

=
=
=+=

+

4
9
4
0362544
2
2
3
3
2
t
t
tt
tt
0,5đ
Với t = 4 ta có
220244
2
2
==+=+ xxx
x
x

0,5đ
Với t =
4
9
ta có
)(0894
4
92
2
VNxx
x
x =+=+
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là
22 =x
0,5đ
Câu3(2,0đ):
Xét hệ





=++
=++
)2(112x3y
(1)112y3x
Điều kiện của ẩn:
2
1
;

2
1
yx
. Lấy phơng trình(1) trừ phơng trình (2) theo vế ta có
123123 +++=+++ yyxx
(3) 0,5đ
Dễ thấy hàm số f(t) =
123 +++ tt
là đồng biến trên






+ ;
2
1
Khi đó từ (3) suy ra f(x) = f(y)

x = y 0,5đ
Với x = y, từ (1) ta có
xxxxxx =+++=+=++ 112212131123
0,5đ
725
0310
1
2
1
)1()12(4

1
2
1
22
=





=







=+

x
xx
x
xx
x

2
Vậy hệ có nghiệm là

=
=
725
725
y
x
05đ
Câu 4(2,0đ):
Vì điểm I thuộc miền trong tam giác ABC
nên các góc B và C đều nhọn.
Từ giả thiết ta suy ra:
222222
4sin8)sin(sin4 RBRCAR ==+

,
2
1
sin
2
= B

CA
22
sinsin +
= 1 0,5đ

sin

2
B = cos
2
B và sin
2
A = cos
2
C

sinB = cosB và sinA = cosC 0,5đ
Gọi D = BI

AC, M= CI

AB, H = AI

BC
Theo định lý Cêva ta có:
1
sin.cos.2
cos.sin.2
.
cos.
cos.
.1 =====
ABR
CBR
a
c
Bc

Cb
DC
DA
HB
HC
MB
MA
DA
DC
HC
HB
MB
MA

Suy ra M là trung điểm của AB. 0,5đ
Hạ AE và BF vuông góc với CM thì AE = BF
( ) ( )
IBCSIACS =
. 0,5đ
Câu 5(1,0đ):
Đặt
d
c
C
d
b
B
d
a
A === ,,

A,B,C có ƯSCLN là 1 và
CA
111
=
B
ABABC
CAB
AB
==

)(
1
(*) 0,25đ
Giả sử (B-A) không phải là số chính phơng. Khi đó tồn tại số nguyên tố p
với số mũ cao nhất là 2r+1 sao cho
12
)(
+

r
pAB
(**)
Nếu
1+r
pA
thì
1+r
pB
22

.
+

r
pBA
. Nhng C không chia hết cho p ( do A, B, C
không có ớc số chung khác 1), do đó từ (*) suy ra
22
)(
+

r
pAB
. Điều này mâu
thuẫn với với (**). Nh vậy số mũ cao nhất là m với m

r để
m
pA
.
Tơng tự ta thấy số mũ cao nhất là n với n

r để
n
pB
.
Suy ra số mũ cao nhất là m+n

2r để
nm

pAB
+


số mũ cao nhất là m+n

2r để
nm
pAB
+
)(
. Điều này mâu thuẫn với với (**).Vậy B-A là số chính phơng. 0,5đ
Ta có ABC(B-A) = AB.AB

ABC(B-A) là số chính phơng

ABC là số chính phơng. Do
vậy (b - a)d = d
2
(B-A) và abcd = d
4
.ABC là những số chính phơng. 0,25đ
___________________________________
3
M
I
B
A
C
H

D
E
F