DE THI THU DH 2010+da CHI TIET

đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số
1
12

+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phơng trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=
2. Giải hệ phơng trình :

=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
Câu III 1.Tính tích phân sau:
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x
I dx
x


=
+ +


2. Cho
0 x y z<
: Chng minh rng

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y

+ + + + + + + +


+ + +

+ +
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu Va 1. Cho ng trũn (C): x
2
+ y

2
- 2x + 4y - 4 = 0 v ng thng d: x
+ y + m = 0. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho
tam giỏc ABC vuụng.
2. Vit phng trỡnh ng thng d i qua im
( )
4; 5;3M - -
v ct c hai
ng thng:
2 3 11 0
':
2 7 0
x y
d
y z
+ + =


+ =

v
2 1 1
'':
2 3 5
x y z
d
- + -
= =
-

.
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);
Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2. ) Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú
A(0;0;0); B(1;0;0);
D(0;1;0),A(0;0;1). im M l trung im ca AB , N l tõm hỡnh vuụng ADDA
a) Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua C,DM,N
b) Tớnh bỏn kớnh ng trũn l giao ca mt cu (S) vi mt cu i qua A,B,C,D
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tớnh tng:
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C C C C C= + + + + +
******** Hết ********
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán
đề chính thức
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
12

+
x
x
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'


=

+
=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+)
. Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
. Tiệm cận:
=

+
=




1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x

+=

+
=
+
+


1
12
limlim
1
1

x
x
y
x
x
Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim
=

+
=


x
x
y
x
x
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
x
-
1
+
y' - -

y 2
-
+
2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2
Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam
giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
1,00
Gọi M









+
1
3
2;
0
0
x
x
(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:

1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0

++


=
x
xx
x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A









+
1

6
2;1
0
x
B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S

IAB
=
2
1
. IA. IB=
63.212
1
6
2
1
0
0
==


x
x
(đvdt)
0,25
0,25
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=

Câu Nội dung Điểm
IB (HS tự chứng minh).




=
+=
=

31
31
12
1
6
0
0
0
0
x
x
x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31 ++
)
M

2
(
32;31
)
Khi đó chu vi AIB =
6234 +
0,5
II.1
Giải phơng trình lợng giác
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2

x
cos
2
x
sin3
+=






+







( )






+

+=






+







2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x

cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2
3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos =

+++







1,00
*
x x x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2


= = = = +
ữ

Z
*
2xsin0xsin2 ==+
(vô nghiệm)
0,5
*
22
3
4
xsin
2

3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos
2
x
sin =







+=







+=+
(vô nghiệm) Vậy
nghiệm của phơng trình là:

( )
x k2 k
2

= + Z
0,5
II.2
Giải hệ phơng trình:






=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* Hệ phơng trình tơng đơng với





=++

=+
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

+ =


+ + + =


Dat
2
2
3
x u
y v

=

=

* Thay vào hệ phơng trình ta có:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v

+ =

+ + =


2
0
u
v
=


=

hoặc
0
2
u
v
=

=

1,00
0,25
0,25
0,25

0,25
C©u Néi dung §iÓm
thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ :
2
3
x
y
=


=

;
2
3
x
y
= −


=

;

2
5
x
y

=


=


;
2
5
x
y

= −


=


;
III.1
( )
( )
( )
( )
( )

2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sinx cos 2 2 cos sinx 2
sinx cos 2
cos sinx
2 2
sinx cos 2
sinx cos 2
2ln sinx cos 2 2
2
2 os( ) 1
4
x x
I dx
x
x
dx
dx dx
x
x
dx
x
c x
π

π π π
π
π
π
π
+ + − − −
=
+ +
−
= − −
+ +
+ +
= − + + −
 
− +
 ÷
 
∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2
0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 2
os ( )
2 8
dx
x

c
π
π
π
 
= − + − + −
 
−
∫
2
0
tan( ) 2tan
2 2 8 2 8
x
π
π π π π
= − − = −
0,25
0,25
0,25
0,25
C©u Néi dung §iÓm
III.2 1,00
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI
⊥ MN vµ AI ⊥ MN. Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN).
Do ®ã
MN.AI.SI
6
1

S.SI
3
1
V
AMNAMN.S
==
1,00
S
A
C
B
M
N
I
K
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy

x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)

3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +

( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
− ≤ =
⇔ − ≤
Tương tự:
( )
4
2
ab
b c a c− ≤

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Nội dung Điểm
Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI SK nên tam giác
ASK cân tại A. Do đó
2
3a
AKSA ==
0,5
0,5
MN =
4
a

MN
2
1
NI,
2
a
BC
2
1
===
,
4
3a
2
SA
2
SC
SN ===

4
2a
16
a
16
a3
NISNSI
22
22
===
1,00

4
10a
8
a
4
a3
SISAAI
22
22
===
. Vậy
96
5a
2
a
4
10a
4
2a
6
1
V
3
AMN.S
==
0, 5
0, 5
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức:
4
1

SC
SN
.
SB
SM
.
SA
SA
V
V
ABC.S
AMN.S
==
1,00
+ Ta có: (d
1
) // (d
2
) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25
Va
1.( 1 im)
T phng trỡnh chớnh tc ca ng trũn ta cú tõm I(1;-2), R =
3, t A k c 2 tip tuyn AB, AC ti ng trũn v
ACAB

=> t giỏc ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3
23= IA

VIa

=
=
==


7
5
6123
2
1
m
m
m
m
1,00
Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(

02)
1
12
()
1
12
2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt
t
x
x
=
+
+
1
12

2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=
t
t 22
2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]
5,2
, ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4 < m
hoặc -5 <
4<m
0,25
0,75
Câu Nội dung Điểm
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2)
; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các
cạnh của hình vuông trên.
1,00
+ Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là
);( ban

(a

2
+ b
2


0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:
);(
1
abn


.Phơng trình AB có dạng:
a(x-2) +b(y-1)= 0

ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0

- bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
Hay



=
=

+
+
=

+

ab
ab
ba
ab
ba
b
2
43
2222
Tr ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr ờng hợp 2: b= -a . Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
0,25
Vb
2
Cho ():





=
+=
+=

4
21
3
z
ty
tx
; ()





+=
=
+=
uz
uy
ux
42
2
22

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và ()
1,0
0
+ Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d
Khi đó
[ ]
)1;2;4(',
2

1
==
uuu
d

+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến:
[ ]
)10;1;2(,
1
==
d
uun

Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến:
[ ]
)12;18;6(,'
2
==
d
uun

Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)

0,25

0,25

0,25


0,25
VIIb Ta cú:
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 ) i C iC i C+ = + + +


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009

( )
C C C C C C
C C C C C C i
+ + + +
+ + +
Thy:
1
( )
2
S A B= +
, vi
0 2 4 6 2006 2008

2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C C C C C C= + + +

0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C C C C C C= + + + + +
+ Ta cú:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i+ = + + = + = +
.
0,25
0,25
0,25
C©u Néi dung §iÓm
Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của
2009
(1 )i+
nên
1004
2A =
.
+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C+ = + + + +
Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C+ + + = + + +
Cho x=1 ta có:

0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2C C C C C C+ + + + + + + =
.
Suy ra:
2008
2B =
.
+ Từ đó ta có:
1003 2007
2 2S = +
.
0,25
Chý ý häc sinh lµm c¸ch kh¸c kÕt quÈ ®óng vÉn ®îc ®iÓm tèi ®a