CHUYEN DE CUC TRI(DUNG ON TH VAO 10)

A/ đặt vấn đề
I/Lí do chọn đề tài:
Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em học
sinh học yếu môn toán vì các lí do sau :
1/ Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức thức cơ bản.
2/Lí do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi đó là phơng
pháp , nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng , cho từng loại toán.
Muốn chứng minh một đẳng thức thì phải làm sao? Tìm GTLN , GTNN thì phải
làm thế nào ? Các em không nắm chắc.
Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vận
dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải từng loại toán nh thế nào .
Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS
cha có một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải các loại
toán cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ.
Trong chơng trình toán THCS Các bài toán tìm GTLN , GTNN chiếm một vị trí rất
quan trọng . Các bài toán này rất phong phú , đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức , vận
dụng một cách hợp lý , khá độc đáo và nhỉều cách giải . Vì vậy các bài toán tìm GTLN;
GTNN gọi chung là (những bài toán cực trị) thờng xuyên xuất hiện trong các sách giáo
khoa , sách nâng cao của các khối lớp . "Những bài toán cực trị " theo tôi là dạng toán
rất hay nó giúp học sinh phát triển trí thông minh , sáng tạo, khả năng t duy toán học cao
.
Qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức ,đọc nhiều tài liệu, nghiên cứu kĩ thực tế giảng
dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh ,qua những năm giảng dạy ở trờng THCS
,tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm , giúp bản thân giảng dạy tốt hơn cũng nh quá trình
học tập của học sinh dạt kết quả cao hơn.
II / Mục đích nghiên cứu : Trên cơ sở thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học theo
hớng phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập , không ngừng nâng cao chất lợng
dạy và học - Đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi . Bản thân tôi mạnh dạn hệ
thống kiến thức :
" Các bài toán cực trị và phơng pháp giải " để giúp học sinh trong nhà trờng ở nơi tôi
đang công tác đạt kết quả cao hơn trong quá trình học tập .

III. Đối t ợng nghiên cứu:
* Quá trình dạy học của giáo viên
* Vấn đề tự học của học sinh THCS
1
IV. Ph ơng pháp nghiên cứu.
- Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết.
- Su tầm tài liệu nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết và vấn đề tự học .
- Tiến hành điều tra thực tiễn kết quả học tập của học sinh Phơng pháp truyền
thụ kiến thức của giáo viên .
- Kiểm nghiệm , đối chứng giữa lý thuyết và thực tiễn từ đó rút ra bài học trong
công tác nghiên cứu .
V. Thời gian nghiên cứu.
- Từ ngày 27/10/2009 đến ngày 20/12/2009. Xác định tên đề tài, lập kế hoạch, lập
đề cơng, thu thập số liệu thông tin ở đơn vị thực tế
- Từ ngày 20/12/2004 đến ngày 30/12/2004. Xử lý thông tin, viết bản thảo.
- Từ ngày 30/12/2004 đến 11/1/2005. Bổ sung hoàn chỉnh viết đề tài chính thức.
b/ nội dung đề tài
I/ yêu cầu:
1/ Với giáo viên:
- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng
dạng toán
- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó
- Rèn luyện khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức
trong nghiên cứu .
- Trong quá trình giảng dạy , phải chú ý tìm ra những vớng mắc , sai sót mà học sinh
hay mắc phải khi giải các bài tập .
2/ Với học sinh :
-Hiểu đợc bản chất các loại toán
- Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụmg phơng pháp hợp lý của từng dạng vào
giải toán

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó
với cách giải hay hơn.
II/ Nội Dung Cơ Bản
1/ Khái niện về bài toán cực trị
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái ''nhất ''trong mối quan hệ đã
biết . Đó là việc đi tìm GTLN(cực đại )hay GTNN ( cực tiểu )của một đại lợng và gọi
chung là " những bài toán cực trị " .
2/ Nội dung cụ thể gồm hai phần :
Phần 1 : Cực trị đại số .
Phần 2 : Cực trị hình học .
2
Phần 1: Cực Trị Đại Số
*/ Một số kiến thức cơ sở:
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức
A luôn lớn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng ) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để
A=k thì k đợc gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền
xác định nói trên .Nh vậy để tìm GTNN của biểu thức ta cần :
- Chứng minh rẳng A

k

giá trị của biến và với k là hằng số .
- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến .
Để tìm GTLN của A ta cần:
- Chứng minh rằng A

k

giá trị của biến với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến .

Ta kí hiệu min A là GTNN của A
Ta kí hiệu max A là GTLN của A
Chú ý:
1/ Nếu chỉ chứng minh đợc A
k
hoặc A
k
thì cha đủ để kết luận về GTNN hoặc
GTLN của biểu thức .
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức :
A = (x-1)
2
+ (x-3)
2

Giải :
Ta có : (x-1)
2


0

x (1)
(x-3)
2


0

x (2)

Suy ra A

0

x
Nhng không thể kết luận Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và ( 2)
Ta có A = x
2
2x+1+x
2
- 6x+9 = 2.(x-2)
2
+2

2

x
Vậy Min A = 2 đạt đợc

x-2 = 0

x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên.
Ví dụ: Xét biểu thức A = x
2
ta thấy x
2


0

x và x
2
= 0 khi x = 0
Vậy biểu thức A có GTNN khi x = 0 . Biểu thức này không có GTLN.
Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản .Nhất là đối
với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận đợc một cách đầy đủ các kiến thức cơ
bản để giải loại toán này . Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một số dạng
toán cực trị thờng gặp ở THCS.
Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ
A/ Với các đa thức nguyên.
I/ Ph ơnmg pháp tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai.
Lí thuyết áp dụng:
A
2


0

x ( X là biến của biểu thức A)


A
2k

0

x
Ví dụ 1: Tìm min của biểu thức A=2.(x-3)
2

-3
Giải: Ta thấy (x-3)
2

0

x

2.(x-3)
2

0

x


2.(x-3)
2
-3

- 3

x

Min A=-3

x+3 = 0 hay x=-3
Ví dụ2: Tìm GTNN của biểu thức : B = (x-1)
2
+(x-5)

2
Giải:
Ta có : B = (x
2
-2x+1)+(x
2
-10x+25)


B = 2x
2
-12x+26


B = 2(x
2
- 6x+9)+8


B = 2(x-3)
2
+8
Ta thấy : 2(x-3)
2

0

x

2(x-3)

2
+8

0

x


MinB = 8 đạt đợc

x-3=0 hay=3
Vậy Min B = 8

x=3
3
Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau:
Ta có : (x-1)
2

0

x
(x-5)
2

0

x
Từ đó suy ra minB = 0 ; ở đây kết luận minB=0 là sai vì không xảy ra đồng thời hai bất
đẳng thức trên.

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: C= -x
2
+6x-15
Giải:
C = -x
2
+6x-15 = -(x
2
+6x-15)
=-(X
2
-6X+9+6)
= -(X-3)
2
6
Ta có: (x-3)
2


0

x

-(x-3)
2
-6

-6

x

MaxC = -6 đạt đợc

x-3=0hay x=3
ví dụ4: Tìm GTNN của Đ = x-
2004x
Giải:
TXĐ: D =
{
x

R/ x

2004
}
Ta có: Đ = (x-2004)-
2004x
+2004
Đ = (
2004x
)
2
-
2004x
+
4
1
+
4
8015

Đ = (
2004x
-
2
1
)
2
+
4
8015
Ta có: (
2004x
-
2
1
)
2


0

x

D

(
2004x
-
2
1

)
2
+
4
8015

4
8015

x

D

MinD =
4
8015
Khi x =
4
8017

D
Chú ý: Khi tìm GTNN,GTLN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác
định của biểu thức.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức :
E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Giải: E = (x
2
+5x+4)(x
2
+5x+6)

E = (x
2
+5x+4)
2
+2(x
2
+5x+4) +1-1
E = (x
2
+5x+4 +1)
2
1
E = (x
2
+5x+5)
2
1
Ta có: (x
2
+5x+5)
2


0

x


MinE = -1

x
2
+5x+5 = 0

x=
2
55 +
hoặc x=
2
55
Vậy MinE = -1 Khi x=
2
55 +
hoặc x=
2
55
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức:
Ta có: F(x,y) = x
2
+2y
2
-2xy-4y+5
F(x,y) = x
2
-2xy+y
2
+y
2
-4y+4+1
F(x,y) = (x-y)

2
+(y-2)
2
+1
Ta có = (x-y)
2

0

x
(y-2)
2

0

y


(x-y)
2
+(y-2)
2
+1

1

x,y

Min(x,y) =1

=
=
02
0
y
yx
hay x=y=2
Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức:
G = x
2
+ 2y
2
- 3z
2
- 2xy + 2xz-2x-2y- 8z+2010
4
Giải :
Ta có :G=(x-y+z-1)
2
+(y+z-2)
2
+(z-1)
2
+2004
Vì (x-y+z-1)
2

0

x,y,z
(y+z-2)
2

0

y,z
(z-1)
2

0

z


(x-y+z-1)
2
+(y+z-2)
2
+(z-1)
2
+2004

0

x,y,z

MinG = 2004






=
=+
=+
01
02
0
z
zy
zyx
hay x=y=z=1
Vậy min G =2004 khi x=y=z=1
Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức :
A=2x
2
+3x+1
B=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
C=x
4
+2x
3
+1

D=x- 4
1993x
Bài 2; Tìm GTLN của biểu thức
E= -5x
2
-4x+1
F = -(2x-1)
2
-1
G=-x
4
+6x
3
-10x
2
+6x+9
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức
H= x
2
+2y
2
-2xy+2x-10
I= x
2
+6y
2
+14z
2
-8yz+6zx-4xy
Ghi nhớ : Qua các ví dụ và các bài tập trên ta thấy những biểu thức có dạng tam thức

bậc hai ax
2
+bx+c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc hai, hoặc đa về dạng bình phơng
đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất luỹ thừa bậc hai
II / Ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối
1/ Lý thuyết áp dụng :

BA +
BA +

BABA
Đẳng thức xảy ra khi A.B

0
Ví dụ 1:Tìm GTNN của biểu thức
A=
31 + xx
Giải
Ta có :
31 + xx
=
xx + 31


xx + 31
= 2
Từ đó suy ra A
x 2
Vậy Min A=2

(x-1)(3-x)
0

hay 1
3

x
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức
B =
44
22
++ xxx
Giải:
Ta có: B =
( )
2
2
2 xx +
B =
xxxx ++ 22
= 2
Từ đó suy ra MinB = 2 đạt đợc khi và chỉ khi x(2-x)

0 hay o
2

x
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức
C =
( )

)11(2112 +++++ xxxx
5
Giải:
TXĐ: D=
{
1/ xRx
}
Ta có C=
122122 ++++++ xxxx
C =
1121121 +++++++ xxxx
C =
22
)11()11( ++++ xx
C=
211111111 =++++++++ xxxx
Vậy MinC=2 đạt đợc

(
11 ++x
)(1-
1+x
)
0
hay-1
0 x
Ví dụ 4:
Tìm GTLN của biểu thức:
D =
143 + aa

-
1815 + aa
Giải: TXĐ:
{ }
1/ aRa
D =
4141 + aa
-
16181 + aa
D =
2
)21( a
-
2
)41( a
D=
21 a
-
41 a

4121 + aa
= 2
Vậy MaxD = 2 đạt đợc






0)41)(21(

1
aa
a
Hay a
16

2/ Các bài tập ứng dụng:
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
22
1664 xx ++
F =
2222
1997399419963992 +++ xxx
G =
)11(2)11(2
3333
++++++ xxxx
H=
4
1
44
22
+++ xxxx
III/ ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức cauchy
1/ Lí thuyết áp dụng :
Bất đẳng thức cauchy:
Cho n số không âm a
1
,a

2
, ,a
n

n
n
n
aaa
n
aaa


2
21
1

+++
Đẳng thức xảy ra khi a
1
=a
2
= =a
n
Chú ý :Từ đó suy ra hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của
tổng sau đây :
a/ Nếu a
1
+a
2
+ +a

n
là hằng số

(a
1
,a
2
, ,a
n
)max


a
1
=a
2
= =a
n
b/ Nếu a
1
. a
2
a
n
là hằng số

(a
1
+a
2

+ +a
n
)min


a
1
=a
2
= =a
n


2/ Các ví dụ:
Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức :
A =
3
16
+
+
x
x
với x

0
6
Giải:
A =
3
16

+
+
x
x
=
3
25
3
3
9
3
259
+
+=
+

=
+
+
x
x
x
x
x
x
= -6+
3
)3(25
26
3

25
3
+
+
+
+
++
x
x
x
x


A

4. Vậy minA=4

4
33
25
3 =
+
=+ xx
Ví dụ 2: Cho x,y là các số thay đổi sao cho 0

x

3;0

y

4. Tìm GTLN của biểu thức:
B=(3-x)(4-y)(2x+3)
Giải:
Ta có: B=(3-x)(4-y)(2x+3)=
2.
6
1
. (3-x).3(4-y)(2x+3y)=
6
1
(6-2x).(12-3y)(2x+3y)
Với 0

x

3;0

y

4 thì 6-2x

0; 12-3y

0;2x+3y

0
áp dụng hệ quả BĐT cauchy vơi ba số không âm ta có
(6-2x).(12-3y)(2x+3y)

3
6
3
)32()312()26(
=






+++ yxyx
Suy ra B

3
6.
6
1

36 B
Đẳng thức xảy ra khi : 6-2x=12-3y=2x+3y

x=0vày=2
Vậy maxB=36

x=0;y=2
Ví dụ 3:
Cho a;b là 2 số dơng , các số dơng x,y thay đổi sao cho
x

a
+
y
b
=1
Tìm GTNN của biểu thức : C= x+y
Giải:
Ta có:
x
a
+
y
b
=1

C=(x+y)(
x
a
+
y
b
)
C=(a+b)(
x
ay
+
y
bx
) . áp dụng BĐT cauchy với 2số
x

ay
;
y
bx

Ta có:
x
ay
+
y
bx

0,.2 > yx
y
bx
x
ay


x
ay
+
y
bx

2
ab
Vậy C

a+b+2

ab


x,y>0

MinC= a+b+2
ab

x
ay
=
y
bx

b
a
y
x
=
Ví dụ 4: Cho a,b là 2 số dơng thoả mãn : 3a+5b=12 .
Tìm GTNN của biểu thức D = ab
Giải:
Vì a,b là 2 số dơng , Suy ra 3a, 5b là các số dơng. áp dụng BĐT cauchy ta có
12=3a+5b

2
ba 5.3

6
5

12
153615 DDab

Vậy maxD=
5
12

3a=5b=6

a=2,b=
5
6
Ví dụ5: Cho a,b là hai số dơng thoả mãn :ab=216.Tìm GTNN của biểu thức :E=6a+4b
Giải vì a,b là 2 số dơng ; Suy ra 6a,4b >0 . áp dụng BĐT cauchy tacó:
6a+4b
144216.6.424.62 EEba
7
Vậy minE=144đạt đợc khi 6a=4b

a=12;b=18
Ghi nhớ: Qua các ví dụ áp dụng BĐT cauchy ta thấy BĐT cauchy chỉ áp dụng đợc đối
với 2 số dơng. Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng đợc.
+/ Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTLN của các số đó.
+/ Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc GTNN của các số đó.
3/ Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức F=x+
2
1 x
Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức
G=

x
xx 44
2
++
với x>0
H=
1
2
x
x
với x>1
Bài 3: Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=xy .Tìm GTNN của biểu thức K=x+y
Bài 4: Cho x,y,z là các số thoả mãn xy+yz+zx=100 .
Tìm GTNN của biểu thức I=xyz
IV/ Ph ơng pháp tìm c c trị theo BĐT Bunhiacôpxki
1/ Lí thuýêt áp dụng:
BĐT Bunhiacôpxki : Cho n cặp số bất kỳ a
1
,a
2
, ,a
n
; b
1
,b
2
, ,b
n
ta có BĐT
(a

1
b
1
+a
2
b
2
+ +a
n
b
n
)
2


(a
1
2
+a
2
2
+ +a
n
2
)(b
1
2
+b
2
2

+ +b
n
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
2/ Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn x
2
+4y
2
=25.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
M= x+2y
Giải:
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
(x+2y)
2

(x
2
+4y
2
)(1
2
+1
2
)=50

502 + yx
Hay -
50


M


50
Vậy MaxM=5
2
khi

=
=
4
25
2
25
y
x
MinM=- 5
2
khi







=
=
4
25
2
25
y
x
Ví dụ 2: Cho x,y là hai số thoả mãn x
2
+y
2

=1. Tìm GTNN,GTLNcủa biểu thức
N=x
11 +++ xyy

Giải :áp dụng BĐT Bunhiacôpxki
N
2
=( x
11 +++ xyy
)
2


( x
2
+ y
2
)(x+y+2)

N
2


x+y+2
Mặt khác (x+y)
2


2(x
2

+ y
2
)=2


2-
2
x+y+2

2+
2
Suy ra N
2

2+
2

-
2222 ++ N
8
Vậy MaxN=
22 +
MinN= -
22 +
Ví dụ 3: Cho x,y,x là các số thực thoả mãn xy+yz+xz=4.
Tìm GTNN của biểu thức : P= x
4
+y
4
+z

4
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
(xy+yz+xz)
2


( x
2
+y
2
+z
2
)( x
2
+y
2
+z
2
) khi và chỉ khi 16

( x
2
+y
2
+z
2
)
2
(1)
Mặt khác áp dụng lần hai BĐT Bunhiacôpxki ta có :

(x
2
+y
2
+z
2
)
2


(1
2
+1
2
+1
2
)(x
4
+y
4
+z
4
) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 3(x
4
+y
4
+z
4
)

16

x
4
+y
4
+z
4

3
16

Vậy minP=
3
16
khi x=y=x=
3
32
Ví dụ 4: Cho 2 số dơng a,b . Hai số dơng x,y thay đổi sao cho
x
a
+
y
b
=1 .
Tìm x,y để x+y đạt GTNN
Giải:Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
x+y=(
22

yx +
)(
y
b
x
a
+
)=(
22
yx +
)(
))()(
22
y
b
x
a
+

y
b
y
x
a
x ( +
)
2
Suy ra: x+y

(

aa +
)
2
. Đẳng thức xảy ra khi:
ba
ba
yx
b
y
a
x
+=
+
+
==
Suy ra: Min(x+y)= (
aa +
)
2
khi x=
).( baa +
; y=
).( bab +
Ví dụ 5: Cho x, y,x,t

0 thoả mãn x(x-
4
1
)+y(y-
4

1
)+t(t-
4
1
)
2
1

Tìm GTLN của S = x+y+z+t
Giải :
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :
( x+y +z + t)
2
< ( 1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
2
+ y
2
+z
2
+ t
2
)
Hay
4

1
(x+y+z+t)
2
< x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
(1)
Từ giả thiết suy ra x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
-
4
1
( x+ y + z + t ) <
2
1
( 2)
Kết hợp (1) và (2) ta có :
4
1

( x+ y +z +t )
2
-
4
1
( x+y+z+t ) <
2
1


S
2
- S -2 < 0


-1 < S < 2
Vậy Max S = 2 đạt đợc khi x = y = z = t =
2
1
3/ Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho x,y là hai số thoả mãn x + 2y = 3 . Tìm GTNN của E = x
2
+ 2y
2
9
Bài 2 : Tìm GTLN của biểu thức P =
zyx 542 ++
cho biết x, y, z là các biến số thoả
mãn x
2

+ y
2
+ z
2
= 169 .
Bài 3 : A =
11 +++ yx
biết x, y > 1 và x + y = 2
Bài 4 : Cho a,b là hai số thoả mãn a > 3 và a+b > 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=a
2
+b
2

.
B/ Đối với các biểu thức phân
I/ Đối với các biểu thức phân có TXĐ D

R
Để tìm cực trị của các biểu thức có tập xác định D

R ta thờng sử dụng các ph-
ơng pháp đã nêu ở phần các biểu thức nguyên nh áp dụng BĐT Cauchy, tính chất của
luỹ thừa bậc hai
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của hàm số :
y=
1
2
x
+

x
1
với 0< x<1
Giải :
Ta có y =
x
xx
x
xx
xx
+
+

+
=+

1
1
2221
1
2
y= 3+
x
x
x
x
x
x
x
x

+

+

1
1
2
23
1
1
2
với 0 < x < 1
=> y > 3 + 2
2
suy ra min y = 3 + 2
2
đạt đợc
x
x
x
x
=

1
1
2
hay x =
2
- 1

Ví dụ 2: Cho a > 0 , b > 0 tìm GTNN của biểu thức:
A =
x
bxax ))(( ++
với x > 0
Giải:
Ta có A=
x
ab
xba
x
bxabaxx
+++=
+++
2
=> A > a+b+2
x
ab
x +
A > a + b + 2
ab
=> Min A = a + b + 2
ab
đạt đợc x =
hay
x
ab
x=
ab
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức

10
B =
2
1
2
+
+
x
x
với x > 0
Giải ta có: B =
4
2
5
2
2
5)2(4)44(
2

+
++=
+
++++
x
x
x
xxx
Ta có B >2
4
2

5
).2(
+
+
x
x
B > 2
45
Vậy Min B = 2
45
đạt đợc khi và chỉ khi x =
5
- 2
Các bài tập áp dụng:
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
A =
x
xx 44
2
++
với x > 0
B =
1
2
x
x
với x > 1
C=
xx
x 5

1
+

với 0 < x < 1
D =
)1(
1
2
2
>

+ x
x
x
II/ Đối với các biểu thức phân có TXD là R. Để tìm GTLN hay GTNN của
các biểu thức dạng này ta áp dụng tính chất:
1/ Lý thuyết áp dụng:
Biểu thức y = f (x) xác định
x
R
Phơng trình y = f (x) có nghiệm
2/ Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
y =
1
1
2
2
++
+

xx
xx

Giải: TXĐ : D = R
=> y =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
luôn luôn có nghiệm
x
2
y + xy + y = x
2
- x- 1 có nghiệm
x
2
( y - 1) + x ( y + 1) + ( y - 1) = 0 có nghiệm


= ( y + 1)
2
- 4 ( y - 1)
2
> 0
11

- 3 y
2
+ 40 + 5 > 0

3
405
3
405 +
=

y
=> GTLN của biểu thức là
3
405 +
=y
GTNN của biểu thức là
3
405
=y
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
1
1
2
2
+
++
x
xx
Giải:

TXĐ : D = R
=> Phơng trình A=
1
1
2
2
+
++
x
xx
có nghiệm
Ax
2
+ A = x
2
+x + 1 có nghiệm
(A-1) x
2
+x + A -1 = 0 có nghiệm


= 1 - 4 ( A-1)+2 > 0
4 (A - 1)
2
< 1

2
1
1 A

2
3
2
1
A
Vậy Max A =
2
1
min;
2
3
=A
3/ Các bài toán áp dụng:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
1
1
2
2
+
+
x
xx
B =
12
1
2
2
++
++

xx
xx
C =
1
32
2
+

xx
x
12
o
Phần II: cực tri hình học
Một số kiến thức cơ sở:*
Trong quá trình giải các bài toán hình học ta thờng gặp các bài toán về tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó. Các bài toán này thờng đợc
gọi là toán cực trị hình học nội dung của nó thờng đợc diễn đạt dới dạng sau:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó ( độ dài đờng
thẳng, bán kính đờng tròn, chu vi, diện tích một hình nào đó ). Yêu cầu phải tìm các
giá trị h
1
,h
2
cố định thảo mãn BĐT.
h
1
< h< h
2
đồng thời chỉ rõ vị trí hình học của các đại lợng biến thiên đang xét để tại đó h đạt giá
trị nhỏ nhất h

1
hoặc giá trị lớn nhất h
2
. Đối với nhiều bài toán cụ thể chỉ cần tìm một
trong hai giá trị này. Để giải các bài toán tìm cực trị thông thờng ta sử dụng các phơng
pháp sau :
- Quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên , giữa đờng xiên và hình chiếu.
- Bất đẳng thức và cạnh trong tam giác, về cạnh và góc trong tam giác.
- Các bất đẳng thức trong đờng tròn, đờng kính và dây cung và khoảng cách đến tâm.
- Vận dụng các kiến thức đại số, các phơng pháp ở phần cực trị đạt số, đặc biệt là hai
BĐT Cauchy và Bunhiacôpxki.
Phân loại bài tập và minh hoạ
I - Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đ ờng vuôg góc với đ ờng xiên :
1/ Kiến thức cơ sở :
* 0H

d ( M

d)
ta có : - 0H < 0M
* HA < HB

0A < 0B
d

* d d
- A

d; B

d

( AB

d)
- A
,


d

(A
,


A ); B



d

( B


B)
=> AB < A

B

2/ Một số ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là các góc nhọn, M là điểm bất kỳ
thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ B và C đến
AM .Tìm vị trí của M để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
13
A
B
H
C
K
A A d
B B d
A H M D
0
Giải :
Ta có





CMCK
BMBH
( quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)
=> BC + CK < BM + CM
Hay BH + CK < BC ( vì M

BC)
=> BH + CK lớn nhất khi đẳng thức xảy ra nghĩa là BH + CK = BC
Khi đó AM

BC
M là chân đờng cao đi qua đỉnh A của tam giác ABC.
Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích bằng 1 ( đvdt). Hỏi đờng chéo hình thang có độ
dài nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Giải :
Giả sử hình thang ABCD có diện tích bằng 1 ( đvdt)
Đặt AC= d
1
;
BD= d
2.
.
Hạ AM,BN

CD, đặt MC = x, ND = y
thì x,y lần lợt là hình chiếu của d
1
d
2

xuống CD. Gải sử d
1
> d
2
=> x> y
Vậy ta có : 2x > x+y = NC + MD +2 MN
Dễ thấy tứ giác ABMN là hình chữ nhật
=> AB = MN
Do đó 2x > x+y = CD + AB

Trong tam giác AMC ta có : AC
2
= AM
2
+ MC
2

Hay d
2
1
= h
2
+ x
2
> 2 xh trong đó h = AM là độ dài đờng cao của hình thang
Mặt khác 2xh > ( DC + AB) h = 2S
ABCD
= 2
Suy ra d
2
1
> 2 hay d
1
>
2
Vậy đờng chéo của hình thang có độ dài nhỏ nhất là
2
Ví dụ 3 : Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB,Ax và By là các tiếp tuyến của nửa đờng
tòn lần lợt tại A và B . M là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến với
nửa đờng tròn cắt Ax, By tại C và D

Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD là nhỏ nhất.
Giải : x
Ta có tứ giác ABCD là hình thang vuông
=> S
ABCD
=
2
AB BD)( +AC

Khi M thay đổi thì AB không đổi
14
y
D
D
/
B
C
C
A
D M N C
A
B
B
H
A
=> S
ABCD
nhỏ nhất

AC + BD nhỏ nhất

Ta dễ dàng chứng minh đợc AC + BD = CD
( tính chất tiếp tuyến )
=> AC + BD nhỏ nhất

CD nhỏ nhất
tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và B
=> CD > AB
Vậy CD nhỏ nhất

CD = AB

tứ giác ABCD là hình chữ nhật


AB
MCD 0=>

AB hay M là điểm chính giữa cung AB
3/ Các bài tập:
Bài 1 : Cho

ABC ( góc A = 90
0
)AH

BC. Điểm M chuyển động trên BC . Vẽ MD


AB; ME

AC. Xác định M để DE nhỏ nhất.
Bài 2 : Cho

ABC. Tìm đờng thẳng đi qua đỉnh A sao cho tổng khoảng cách từ Bvà C
đến d là nhỏ nhất; lớn nhất.
II / Tìm cực trị dùng BĐT trong tam giác
1/ Kiến thức cơ sở :
+ Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có AC+ BC > AB.
Đẳng thức xảy ra

C

AB
+ Trong tam giác ABC ta có góc BAC > góc ABC

BC < AC
2/ Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Lấy điểm E thuộc AB điểm F
thuộc AC sao cho góc EHF bằng 90
0
. EF phải có vị trí nh thế nào thì độ dài EF nhỏ
nhất .
Giải :
Gọi I là trung điểm của EF
Xét trong

vuông EAF và EHF ta có :

=
=
FEIH
FEIA
2
1
2
1
E F
( Tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền)
=> IA = IH =
2
1
EF
Ta có EF = IE + IF = IA + IH > AH = const ( BĐT về cạnh trong tam giác)
15
C
=>EF nhỏ nhất EF

bằng AH khi đó A,I,H thẳng hàng,nghĩa là I là trung điểm của
AH;EI trở thành đờngtrung tuyến ứng với AH và EI =
2
1
AH => HE

AB => HF

AC
Vậy HE

AB, HF

AC thì EF nhỏ nhất .
Ví dụ 2 : cho đờng tròn tâm (O) và dây AB . Gọi C,D là hai điểm trên AB sao cho
AC = CD = DB . Các bán kính qua C và D cắt đờng tròn tại M và N
CMR /:Góc ở tâm AOB không bị chia thành ba góc bằng nhau và góc COD là góc
lớn nhất trong ba góc đó .
Giải :

AOB cân ở O vì OA = OB
nên góc OAB = góc OBA
=>

AOC =

BOD ( c.g.c)
Do đó góc AOC = góc BOD (1) A
Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CO = CE E N
=> Tứ giác AODE là hình bình hành vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đờng nên AD = OE.
Vì D là điểm nằm trong đờng tròn tâm (O) nên OD < OA => AE < OA
Do đó trong

AEO ta có góc AOC < góc AEO mà góc AEO = góc COD ( hai góc
so le trong) => góc AOC < góc COD (2)
Từ (1 ) và (2) => góc AOC= góc BOD < góc COD .

Ví dụ 3: Cho góc nhọn x0y. ĐIểm A nằm trong góc đó trên 0x; 0y lần lợt lấy hai điểm
B và C sao cho chu vi

ABC nhỏ nhất.
Giải :
Gọi A
/
là điểm đối xứng của A qua 0x,
Gọi A" là điểm đối xứng của A qua 0y
=> CA

là hình đối xứng của CA qua 0y
=> CA

= CA
Vì A cố định => A
/
, A
//
cố định
Và A
//
A
/
không đổi
Chu vi

ABC = AB + BC + CA
Ta có: A
/

B+BC > A
//
C ( BĐT trong tam giác)
=> A
/
B + BC + CA
/
> A
/
C+ CA
//
> A
/
A
//
không đổi.
Dấu đẳng thức xảy ra

A

B + BC + CA
/
= A
/
A
//
Khi đó B,C

[ ]
"'

AA
vậy B là giao điểm của A

A

16
B
C D
O
A
C
Y
x
O
B
A
A
Với Ox, C là giao điểm của A

A
//
với Oy
Thì chu vi

ABC là nhỏ nhất.
3/ Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho hai điểm A và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng d cho trớc.
A/ Tìm trên d một điểm sao cho chu vi tam giác ACB nhỏ nhất.
B/ Tìm trên d hai điểm M,N có khoảng cách MN = a sao cho độ dài đờng gấp khúc
AMNB nhỏ nhất.

III- Tìm cực trị dùng BĐT trong đờng tròn
1/ Kiến thức cơ sở:
a/ Cho đờng tròn tâm (0) đờng kính AB với dây CD bất kỳ thì ta có CD < AB
b/ Trong đờng tròn (0) AB, CD là hai dây cung I,K tơng ứng là hai trung điểm của hai
dây đó ta có:
AB > CD

OI < OK
2/ Các ví dụ:
Ví dụ1: A là điểm cố định trong đờng tròn (0,R) (A không trùng 0) và dây MN quay
quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất? Nhỏ nhất ?
Giải: Kẻ OI MN (I MN)
O cố định => OA không đổi
Vì A MN => OI < OA
MN nhỏ nhất <=> OI lớn nhất
<=> Đẳng thức trên xảy ra nghĩa là: OI = OA => I trùng A
Vậy MN nhỏ nhất <=> MN

OA
MN lớn nhất

0 trùng I
Khi đó MN là đờng kính đi qua A.
Ví dụ 2: Hai đờng tròn tâm (0
1
) và ( 0
2
)
Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt đờng tròn
(0

1
) ở C và cắt đờng tròn (0
2
) ở D sao cho A nằm trong đoạn CD. Tìm vị trí cắt tuyến CD
sao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất .
Giải : Ta có góc ACB =
2
1
Sđ cung AMB
( góc nội tiếp chắn cung AnB)
17
B
D
A
C
O
N
D
I
M
m
O
A
O
1
O
2
A
C
D

góc DB =
2
1
Sđ cungg AmB
( góc nội tiếp chắn cung AmB)

mà cung AmB và cung AnB
là hai cung không đổi.
=> góc ACB và góc ADB không đổi
Vậy

BCD khi chuyển động sẽ luôn đồng dạng với chính nó. Do đó để chu vi của
tam giác BCD lớn nhất chỉ còn một cạnh chẳng hạn BC lớn nhất , khi đó dây BC sẽ là đ-
ờng kính của đờng tròn (0
1
)
Ta có góc CAB = 90
0
nên BD cũng là đờng kính của đờng tròn (0
2
) và CD

AB
tại A.
Vậy cát tuyến CD qua A và vuông góc với AB thì chu vi tam giác BCD lớn nhất.
IV/ Tìm cực trị dùng BĐT Đại số
1/ Kiến thức cơ sở:
+ BĐT Cauchy : Cho n số không âm, a
1
,a

,
., a
n
ta có BĐT:
n
n
n
aaa
n
aaa


2.1
21

+++
Dấu đẳng thức thức xảy ra khi a
1
=a
2
= =a
n

+ BĐT Bunhiacôpxki
Cho n cặp số bất kỳ a
1
,a
2
,.a
n

; b
1
,b
2
,,b
n
ta có BĐT:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+.+a
n
b
n
)
2
< ( a
2
1
+ a
2
2
+ +a
2
n

) (b
2
1
+ b
2
2
+.+b
2
n
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
2/ Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đ-
ờng thẳng d đi qua M sao cho d tạo với hai cạnh của góc một tam giác có diện tích nhỏ
nhất. Giải:
Kẻ MH // với OA
MH // OB

=> S
OHMK
= S
3
không đổi
S
AKM
= S
1
; S
MHB
= S
2
; S
ABC
= S
Đặt MA = a; MB = b
Ta có : S
3
= S - ( S
1
+ S
2
)
=>
S
S
S
S
213

S
1
+
=
y
Ta thấy

A MK ;

MHB ;

AOB đồng dạng (g.g)
18
x
y
A
H
M
K
B
b
O
3
1
2
b
a
Nên ta có :
2
1

+
=
ba
a
S
S
;
2
2
)(
ba
b
S
S
+
=
(tính chất tam giác đồng dạng)
=>
( ) ( )
22
22
22
2
1

ba
ab
ba
ba
ba
b
ba
a
+
=






+
+
=

+
+






+
=>
( )
( )
ab
ba
S
S
ba
ab
S
S
2
2
2
3
2
3
+

=
+
=
áp dụng BĐT cauchy cho hai số dơng a, b ta có:
a+ b > 2
ab
( a+b)
2
> 4 ab
( )
ab
ba
2
2
+

2. Vậy ta có:
3
S
S
> 2 hay S > 2S
3
Suy ra diện tích

AOB nhỏ nhất S = 2 S
3
khi a =b khi đó M là trung điểm của AB
Vậy khi đó ta dựng đờng thẳng d sao cho MA = MB thì

AOB nhỏ nhất

Ví dụ: Cho tam giác ABC có: BC = a ; AC = b; AB = c. Tìm điểm M nằm bên
trong tam giác ABC sao cho
z
c
y
b
x
a
++
có giá trị nhỏ nhất
Trong đó x,y,z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M đến cạnh BC, AC , AB
Giải:
Gọi diện tích của tam giác ABC là S . Ta có ax + by + cz = 2S không đổi
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có.
( ax +by +cz)
2








++

++
z
c
cz
y
b
by
x
a
ax
z
c
y
b
x
a
=> (ax + by + cz ) (
z
c
y
b
x
a
++
) > (a+b+c)
2
=>

z
c
y
b
x
a
++

S
cba
2
)(
2
++
Vậy
z
c
y
b
x
a
++
đạt giá trị nhỏ nhất


z
c
y
b
x

a
++
=
S
cba
2
)(
2
++
Khi đó
z
c
cz
y
b
by
x
a
ax
==


x = y = z
=> M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Ví dụ 3: Đờng tròn tâm O bán kính r nội tiếp tam giác ABC. Đờng thẳng kẻ qua O cắt
hai cạnh CA và CB của tam giác lần lợt tại M và N. Đờng thẳng MN ở vị trí nào thì
diện tích tam giác CMN nhỏ nhất.
19
O
A

B
C N
M
M
Giải:
Gọi diện tích tam giác CMN là S :
Ta có: S =
2
1
( CM + CN ) r
Theo BĐT Cauchy ta có:
Theo BĐT Cauchy ta có:
2
1
( CM + CN ) >
CNCM .
>
S2
Do đó S >
S2
. r

S
2
> 2Sr
2

S > 2r
2

Vậy diện tích tam giác CMN nhỏ nhất bằng 2r
2

Khi đó CM = CN . Tam giác CMN cân tại C có CO là phân giác góc C nên CO

MN
Nghĩa là đờng thẳng MN vuông góc với OC tại O thì tam giác MCN có diện tích nhỏ
nhất.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Kẻ các tiếp tuyến
của đờng tròn tâm O song song với các cạnh của tam giác ,các tiếp tuyến này tạo với
cạnh của 3 tam giác nhỏ có diện tích là S
1,
S
2,
S
3
. Gọi S là diện tích tam giác ABC, tìm giá
trị nhỏ nhất của tỷ số:
S
SSS
321
++
Giải : ta thấy

AMN đồng dạng với

ABC
gọi h là chiều cao của

ABC

h
1
là chiều cao của

AMN thì
ta có : h
1
= h - 2R
giả sử S
1
= S

AMN
ta có:
=
S
S
1
22
2
1
2
1
2

=







=






h
R
h
Rh
h
h
Vì S =
2
1
ah = pR trong đó p là nửa chu
vi của

ABC
Nên 2R =
p

ah
Do đó
2
1
1








=
p
a
S
S


p
a
S
S
=1
1
Gọi S
2,
S
3

lần lợt là diện tích các tam giác CPQ và BRS
20
A
B
C
H
Chứng minh tơng tự ta có:
v
c
S
S
p
b
S
S
== 1;1
32
=>
S
S
1
+
S
S
2
+
S
S
3
=3-

++
p
cba
S
S
1
+
S
S
2
+
S
S
3
=1
Hay
S
SSS
321
++
=1
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
1=
S
SSS
321
++
S
S

S
S
S
S
3
21
++=
<






++
S
S
S
S
S
S
3
21
( 1+ 1+ 1)


1<
3.
2
S

SSS ++



S
SSS
32
++
>
3
1
Từ đó tỷ số
S
SSS
32
++
đạt giá trị nhỏ nhất là
3
1
khi đó tam giác ABC là tam giác đều.
3/ Các bài tập áp dụng:
Bài1: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia
Ax , By vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K.
Hãy xác định vị trí của C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất,
Biết AI.BK = AC.CB ; A,B,I cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm, tam giác DEF vuông
cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D AB, E BC,F AC). Xác định vị trí của điểm D để
diện tích của tam giác DEF nhỏ nhất.
Bài3: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Biết diện
tích của tam giác AOB và COD lần lợt bằng 4 và (đvdt). hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

diện tích tứ giác ABCD.
Chú ý khi giải bài toán cực trị.
1/ Khi giải các bài toán cực trị ta thờng phải biến đổi tơng đơng điều kiện của
đại lợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác.
2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm trong hợp
hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đổi của hình, các
điểm còn lại có thể chuyển động trên một đờng nhất định, theo dõi vị trí của chúng
ta tìm đợc cực trị của bài toán.
phần III: Kết quả
21
I. Bảng khảo sát học sinh tr ớc khi nghiên cứu đề tài
TT Lớp Sĩ số Mức độ hiểu bài của học sinh
Khá TB Yếu(kém)
SL % SL % SL %
1 9C 40 5 12,5 15 37,5 20 50
2 9D 40 2 5 6 15 32 80
Ii. Bảng khảo sát học sinh SAU khi nghiên cứu đề tài
TT Lớp Sĩ số Mức độ hiểu bài của học sinh
Khá TB Yếu(kém)
SL % SL % SL %
1 9C 40 10 25 20 50 10 25
2 9D 40 5 12,5 10 25 25 62,5
C / kếT LUậN
Đề tài Những bài toán cực trị tuy là một vấn đề khó và rộng (trong cả đại và
hình) nhng trong quá trình tìm hiểu, tham khảo tài liệu và nhờ thầy giáo hớng dẫn viết
đề tài tôi thấy đây là một vấn đề tài hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS.
Tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi có cơ sở lý luận trong việc giải
toán, nắm vững các dạng bài tập thông dụng với phơng pháp giải phù hợp, biết những
sai lầm mà học sinh có thể mắc phải.vv., điều này rất cần thiết cho bản thân trong quá
trình giảng dạy.

Sau khi áp dụng đề tài tại trờng THCS nơi công tác tôi thấy các em học sinh đã
hiểu tốt bản chát các loại toán tìm cực trị, vận dụng tốt phơng pháp hợp của từng dạng
vào giải toán. Biết cách suy luận từ bài toán dễ đến khó và có sự phát hiện các phơng
pháp giải hay hơn.
Tất nhiên một vấn đề mang tính chất khoa học nh đề tài này thì bài viết của tôi
không sao tránh đợc những thếu sót . Tôi rất mong nhận đợc hội đồng khoa học các cấp
xây dựng góp ý để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn .
Thanh Hoá, ngày 02 tháng 02 năm 2008
Ngời viết
22
Trịnh quốc Trung