Đề tài Phương pháp tứ giác nội tiếp ppsx

Luận Văn Tốt Nghiệp
Đề Tài: Phương pháp tứ giác nội tiếp
- 1 -

Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề 2
I. Lý do chọn đề tài 2
1. Cơ sở lý luận 2
2. Cơ sở thực tiễn 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ đề tài 3
IV. Giới hạn đề tài 3
B. Giải quyết vấn đề 4
I. Phương pháp nghiên cứu 4
II. Nội dung cụ thể 5
1. Kiến thức cơ bản 5
2. Bài tập minh hoạ 6
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6
Phương pháp 1 6
Phương pháp 2 7
Phương pháp 3 7
Phương pháp 4 8
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội
tiếp
10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một

điểm.
15
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16
III. Kết quả thu được 18
IV. Bài học kinh nghiệm 18
C. Kết luận 20
- 2 -

A - Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học
tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành
quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng
tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã
hội.
Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối
với môn Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị
kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy
có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến
thức.
2. Cơ sở thực tiễn
Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên
đề tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai
trò là đơn vị kiến thức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các
em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế
nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm gì ?
Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc
trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các

Định lý về mối liên hệ giữ các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp
góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải
một số bài toán hay và khó .
Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phương
- 3 -

pháp tứ giác nội tiếp”
II.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các
phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương
pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó như sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác
sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp
trong một đường tròn”.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh
họa.
+ Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp
hay và khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài
Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ
môn Hình Học lớp 9.
- 4 -

B – Giải quyết vấn đề
I – Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã
sử dụng các tài liệu như:
- Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II)
- Sách bài tập Toán 9 (tập II)
- Tóan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh
- Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 – NXB Giáo dục.
- Các bài tóan hay và khó về đường tròn – NXB Đà Nẵng.
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trường THCS Đại
Đồng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trường.
3. Phương pháp đánh giá.
Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh
giá mức độ nhận thức và suy luận của các em.
- 5 -

II – Nội dung cụ thể
1 – Kiến thức cơ bản
1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp
* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có
bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và
(O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
O
C
B
D

A
Hình 1
1.2.Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc
α
.
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
2 - Bài tập minh hoạ
- 6 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180

0
hoặc ∠B + ∠D = 180
0

2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC, 2 đường cao
BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’
nội tiếp.
O
C'
B'
B
C
A
Chứng minh:
Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 90
0
(GT)
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ OB’ = OB = OC = r
(1)
Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 90
0
(GT)
Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)

⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 90
0
.
CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 90
0
.
⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
- 7 -

Phương pháp 2: Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.
I
O
C'
B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)

b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180
0
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 180
0
⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa
góc
Bài toán 3:
- 8 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180
0

hoặc ∠B + ∠D = 180
0


Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên
tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia
đối của tia CA lấy điểm N sao cho
AM=CN.
Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp.
B
1
1
O
2
C
M

N
A
Chứng minh:
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
⇒ ∠ A
1
= ∠ A
2
∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
⇒ ∠A
2
= ∠C
1
nên ∠A
1
= ∠A
2
= ∠C
1

Mà ∠A
1
+ ∠OAM = 180
0
và ∠C
1
+ ∠OCN= 180
0
.
⇒ ∠AOM = ∠OCN

Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh
OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc
ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện.
Bài toán 4:
- 9 -

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB.
Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt
ở E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội
tiếp được đường tròn.
A
E
P
C
O
B
D
M
Chứng minh:
Ta có : ∠ MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
·
»
¼

®(AD )
MEP
2
s MB+
⇒ =
Mà
·
¼
=
®DM
2
s
DCP
(góc nội tiếp)
Hay
·
»
¼
+
=
®(AD )
2
s MA
DCP
Lại có :
¼
¼
=AM MB
Nên :
·

MEP
=
·
DCP
Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
Cho hình vẽ:
Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB
tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại
G; OH ⊥AD tại H.
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.
F
H
E
G
O
A
C
B
D
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của
đỉnh đối diện
- 10 -

AEFC; AHGC; BEHD; BFGD

Thật vậy: Xét tứ giác AEFC
Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO)
∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
⇒ ∠EAC = ∠ BFE.
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180
0
Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH)
∠OAH = ∠HOD (vì cùng phụ với ∠AOH)
∠HOD = ∠HGD ( vì cùng chắn cung HD)
⇒ ∠ OEH =∠HGD
Chứng minh tương tự ta được : ∠OEF = ∠FGC
Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC
⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGC
Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 180
0
⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 180
0
( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường
tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai
đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng
nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
- 11 -

Chứng minh rằng, trong
một tam giác bất kì, ba trung điểm
của các cạnh, ba chân của các
đường cao, ba trung điểm của các
đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh
đều ở trên một đường tròn.
l
O
N
P
M
H
L
K
I
D
F
E
B
C
A
Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC
ND là đường trung bình của ∆BHC
⇒ ME = ND = HC/2
⇒ tứ giác MNDE là hình bình hành (1)
Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB)
Mà CH ⊥ AB (GT)
⇒ ME ⊥ MN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
Vì ∠ MID = 90
0
⇒ I ∈ (O; OM)
Vì ∠ FLP = 90
0
; ∠ NKE = 90
0
⇒ L; K ∈ (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
1. Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn. Đường tròn tâm A bán kính
AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt
đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
- 12 -

2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,
B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.

a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi
chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1:
Cho đường tròn tâm O đường
kính AB, điểm C cố định trên
đường kính ấy (C khác O).
Điểm M chuyển động trên
đường tròn. Đường vuông góc
với AB tại C cắt MA, MB theo
thứ tự ở E và F. Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF luôn đi qua một điểm
cố định khác A.
2
1
K
F
E
A
O
B
C
M
Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB.
Nối K với F

Ta có ∠ F
1
= ∠ A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)
∠ F
2
= ∠ A ( cùng phụ với ∠ MBA)
- 13 -

⇒ ∠ F
1
= ∠ F
2

⇒ K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở ngoài
đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đường
tròn. Lấy điểm D nằm giữa
B và C. Qua D vẽ một
đường thẳng vuông góc với
OD cắt AB, AC lần lượt tại
E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đường
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
F

E
A
O
C
B
D
Chứng minh:
Ta có : ∠ EBO = 90
0
(AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
∠ EDO = 90
0
(GT)
⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn
⇒ ∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn
⇒ ∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠ OFC = ∠ BEO
⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng
góc ngoài tại đỉnh đối diện)
Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
c. Bài tập:
1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC
không chứa A. Vẽ (O
1
) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O
2
) đi qua I
và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn

(O
1
) và (O
2
).
- 14 -

a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao
cho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn
đi qua một điểm cố định khác A.
Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là
không đổi
* Định lý Ptô - lê – mê.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC =
∠ EAD
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
⇒
AD DE

AC BC
=
C
O
B
D
A
E
⇒ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)
⇒
BE AB
CD AC
=
⇒ BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)
c. Bài tập
- 15 -

1.Sử dụng Định lý Ptô - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô)
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp
một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của
đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó.
2. Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường
thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E.
a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh:
∠ BAE = ∠ OAC và BE = CD.
c. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng

minh G là trọng tâm của ∆ ABC.
Bài tóan 4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
a. Các bước giải bài toán quỹ tích:
Bước1: Chứng minh phần thuận
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình
H
+ Giới hạn quỹ tích
Bước 2: chứng minh phần đảo
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
Bước 3: Kết luận
b. Ví dụ 1 :
- 16 -

Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đường thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N. Trên CD lấy
điểm K sao cho DK = DM. Gọi
H là hình chiếu của K trên xy.
Tìm quỹ tích điểm H.
2
1
2
1
l
K
H
N
O
B

A
D
C
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
⇒ ∠ M
1
= ∠ H
1
= 45
0
và ∠ N
2
= ∠ H
2
= 45
0

⇒ ∠ DHC = 90
0
Vậy H nằm trên đường tròn đường kính DC
Giới hạn:
Vì đường thẳng xy quay quanh O nhưng phải cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính
CD nằm trong hình vuông.

Phần đảo:
Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD.
Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.
Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thật vậy,
Vì ∠ DHC =90
0
;
∠ DOC = 90
0
nên ◊ HOCD nội tiếp
⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 45
0
Mặt khác ∠ DKM = 45
0
nên ∠ DHM = ∠ DKM
⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 90
0

⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
- 17 -

Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
tròn này nằm trong hình vuông.
Bài tóan 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB <

AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
a
M
O
F
E
B
C
A
D
Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của AD
Tứ giác AEDF có : ∠ AED + ∠ AFD = 90
0
+ 90
0
= 180
0
⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA)
Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF
Đặt ∠ BAC = a
Ta có : ∠ EOM = ∠ EOF: 2 = ∠ BAC = a
Xét ∆ MOE có ∠ OME = 90
0
.
⇒ EM = OE. sin a

⇒ EF = 2 OE. sin a
⇒ EF = AD. sin a (*) ( vì AD = 2OE)
a/ Do a không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ AD ⊥
BC ⇔ D là hình chiếu của A trên BC.
b/ Vì D ∈ BC và AB < AC nên AD ≤ AC
Từ (*) ⇒ EF lớn nhất ⇔ AD lớn nhất
- 18 -

⇔ D trùng với C.
b. Bài tập:
1. Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD
⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn
nhất.
III – Kết quả thu được
Sau chuyên đề “Phương pháp tứ giác nội tiếp” tôi đã tiến hành dạy cho các
đối tượng học sinh, đã thu được kết quả như sau:
Đối với học sinh lớp 9A.
Sĩ số : 40 Số lượng bài làm : 40
Điểm 9 - 10 : 10 Điểm 7 - 8 : 20
Điểm 5 – 6 : 9 Điểm 1 – 4 : 1
IV – bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi
có lấy ý kiến của học sinh. Thấy được:
+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi
sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri
thức bằng cách tự học.

- 19 -

C. Kết luận
Trên đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
đường tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để
chứng minh một số bài toán hay và khó. Do kinh nghiệm của mình
qua thực tế giảng dạy còn ít nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi
chắc sẽ còn nhiều thiếu xót. Rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp của các đồng nghiệp giúp tôi sửa chữa và bổ sung được
đầy đủ và tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
ngày 11 tháng 04 năm 2010
Người viết

- 20 -