De thi chon hoc sinh gioi khoi 11 co dap an

Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Quảng Xơng 2

Đề chính thức
Đề THI CHN HC SINH GII KHI 11
Năm học 2009- 2010
Môn: Toán
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1.( 4 im )
Cho hm s (C).
1. Gii bt phng trỡnh:
2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi
ng thng .
Cõu 2. ( 4 im )
1. Gii phng trỡnh:

2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh sau cú nghim (x;y) sao cho x>0, y>0

Cõu 3. ( 6 im )
1. Gii phng trỡnh:
2. Trong mt bui liờn hoan cú 9 cp nam n, trong ú cú 4 cp l v chng, cn
chn 3 ngi ng ra t chc liờn hoan. Hi cú bao nhiờu cỏch chn sao cho
trong 3 ngi c chn khụng cú cp v chng no?
3. Tớnh gii hn:

Cõu 4. ( 4 im )
1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a v ng cao SO = a.
a. Tớnh gúc to bi hai mt phng (ABCD) v (SCD).
b. Gi I l trng tõm tam giỏc ABO, xỏc nh hỡnh chiu H ca I lờn mf(SCD) v
tớnh di IH theo a.
2. Trong h ta Oxy, cho ng trũn (C): v im M(0;

). Chng minh rng M nm trong ng trũn, hóy vit phng trỡnh ng
thng qua M ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao cho AB=3.MA.
Cõu 5. ( 2 im )
Cho 3 s x, y, z l cỏc s thc dng tha món: x+y+z=1.
Chứng minh rằng:

HÕt
Hä tªn thí sinh: , Sè b¸o danh:
Đáp án.
Câu ý Nội dung Điểm
1 1 Ta có : f’(x)=3x
2
-6x
Bpt đã cho x
3
-6x > 0

0.5
0.5
1.0
2 Theo giả thiết hệ số góc của tiếp tuyến là k=9
Giả sử tiếp điểm M(x;y) ta có f’(x)=9 suy ra x=-1; x=3
Với x=-1, phương trình tiếp tuyến là: y=9(x+1)-2
Với x=3, phương trình tiếp tuyến là: y=9(x-3)+2
0.5
0.5
0.5
0.5
2 1
Đặt t= ta được:

Giải được t= 2 suy ra x=1, x=5
0.5
0.5
1.0
2
Đặt hệ trở thành
Từ hệ suy ra uv= -m+11 khi đó u, v là nghiệm của phương trình:
X
2
- 5X – m+11 =0 (*)
Do x >0, y >0 nên u 2, v 2
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn
hoặc bằng 2.
Đặt t=X-2 phương trình (*) trở thành: t
2
- t - m +5= 0 (**)
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 pt (**) có hai
nghiệm không âm
0.5
0.5
0.5
0.5
Giải được: 19/4 m 5
3 1 Dùng công thức hạ bậc ta được:


Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2
Từ đó suy ra nghiệm của pt:
0.5

0.5
1.0
2 Có C
3
18
cách chọn 3 người trong 9 cặp nam nữ
Có 4.C
1
16
cách chọn 3 người trong đó có 1 cặp vợ chồng
Vậy có C
3
18
- 4.C
1
16
= 752 cách chọn 3 người thỏa mãn bài toán
0.5
0.5
1.0
3 Ta có
=8/3
0.5
0.5
1.0
4 1 a.Gọi M là trung điểm CD suy ra
góc giữa (ABCD) và (SCD) là
góc SMO,
Tam giác SMO vuông tại O,
SO=a, OM=a/2 suy ra

tanSMO=2 hay SMO=63,4
0
b.kẻ OK là đường cao tam giác
SOM suy ra OK vuông góc
mf(SCD), từ I kẻ đt song song
với OK trong mf(SOM) cắt SM
tại H thì H là điểm cần tìm.
Ta có IH=
0.5
0.5
0.5
0.5
2
A
I
B
M
H
Tâm I(1;0) bán kính R=2
Ta có IM
2
=4/3<R
2
=4 suy ra M
nằm trong đường tròn
Gọi H là trung điểm AB suy ra
2.HM=MA, ta tính được IH=1
Suy ra đường thẳng cần tìm d
qua M và khoảng cách từ I tới đt
cần tìm bằng 1.

0.5
0.5
0.5
0.5
Ph. Trình đt d có dạng: a(x-0)+ b(y- )=0
Ta có
Tìm được 2 đt d là: x=0 và x- .y+1= 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Tương tự :
Ta có:
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý: Thí sinh có cách giải khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.