luyện toán về phương trình mũ và logarit

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn




I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Khái niệm:
Là phương trình có dạng
(
)
log ( ) log ( ), 1 .
=
a a
f x g x
trong
đ
ó f(x) và g(x) là các hàm s
ố
ch
ứ
a
ẩ

n x c
ầ
n gi
ả
i.

Cách gi
ả
i:
-
Đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cho ph
ươ
ng trình có ngh
ĩ
a
0; 1
( ) 0
( ) 0
> ≠


>



>

a a
f x
g x

- Bi
ế
n
đổ
i (1) v
ề
các d
ạ
ng sau:
( )
( ) ( )
1
1
=
⇔
=
f x g x
a


Chú ý:
- V
ớ

i d
ạ
ng ph
ươ
ng trình log ( ) ( )
= ⇔ =
b
a
f x b f x a

-
Đẩ
y l
ũ
y th
ừ
a b
ậ
c ch
ẵ
n:
2
log 2 log=
n
a a
x n x
, n
ế
u x > 0 thì
log log=

n
a a
n x x

- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng
[ ]
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
≥


= ⇔

=


g x
f x g x
f x g x

- Các công th
ứ
c Logarith th
ườ
ng s
ử
d
ụ

ng:
( )
log
log ;
log log log ; log log log
1
log log ; log
log
= =
 
= + = −
 
 
= =
a
n
x
x
a
a a a a a a
m
a a
a
b
a x a x
x
xy x y x y
y
m
x x b

n a

Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
log
5
(x
2
– 11x + 43) = 2
b)
log
3
(2x + 1) + log
3
(x – 3) = 2
c)
(
)
2
log 2 3 4 2
− − =
x
x x
d)
(

)
2
1
log 3 1 1
+
− + =
x
x x
Ví dụ 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
(
)
(
)
4 4 4
log 3 log 1 2 log 8
+ − − = −x x
b)
(
)
lg 9 2lg 2 1 2
− + − =
x x
c)
2 2

1
log log ( 1)( 4) 2
4
−
+ − + =
+
x
x x
x
d)
2
8 8
4
2log (2 ) log ( 2 1)
3
+ − + =
x x x

Ví dụ 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )
+ + = − + +

x x x
b)
2 2
4 4 4
log ( 1) log ( 1) log 2
− − − = −
x x x

c)
(
)
2
9 3 3
2log log .log 2 1 1
= + −
x x x
d)
1
1
5
log (6 36 ) 2
+
− = −
x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình
Tài liệu bài giảng:

05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng







Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
a)
4 2 2 4
log (log ) log (log )
=
x x
b)
2 3 4 20
log log log log+ + =
x x x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
log ( 1) 1
x x

 
− =
 
b)
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =

c)
− − − =
2 1
8
log ( 2) 6.log 3 5 2
x x
d)
2 2
log ( 3) log ( 1) 3
x x
− + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
lg( 2) lg( 3) 1 lg5
x x
− + − = −
b)
8 8
2
2log ( 2) log ( 3)

3
x x
− − − =

c)
lg 5 4 lg 1 2 lg0,18
x x
− + + = + d)
2
3 3
log ( 6) log ( 2) 1
x x
− = − +

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) + + − =
2 2
5
1
log ( 3) log ( 1)
log 2
x x b)
4 4
log log (10 ) 2
x x
+ − =

c)
− − + =
5 1

5
log ( 1) log ( 2) 0
x x d)
2 2 2
log ( 1) log ( 3) log 10 1
x x
− + + = −

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
9 3
log ( 8) log ( 26) 2 0
x x
+ − + + =
b)
+ + =
3 1
3
3
log log log 6
x x x
c)
2 2
1 lg( 2 1) lg( 1) 2lg(1 )
x x x x
+ − + − + = −
d)
+ + =
4 1 8
16

log log log 5
x x x
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2 lg(4 4 1) lg( 19) 2lg(1 2 )
x x x x
+ − + − + = − b)
2 4 8
log log log 11
x x x
+ + =

c)
− + + = + −
1 1 1
2 2
2
log ( 1) log ( 1) 1 log (7 )
x x x
d)
1
1
6
log (5 25 ) 2
x x+
− = −

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)

2
log (2 7 12) 2
x
x x
− + =
b)
2
log (2 3 4) 2
x
x x
− − =

c)
2
2
log ( 5 6) 2
x
x x
− + =
d)
2
log ( 2) 1
x
x
− =

Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
2
3 5

log (9 8 2) 2
x
x x
+
+ + =
b)
2
2 4
log ( 1) 1
x
x
+
+ =

c)
15
log 2
1 2
x
x
= −
−
d)
2
log (3 2 ) 1
x
x
− =

e)

2
3
log ( 3) 1
x x
x
+
+ =
f)
2
log (2 5 4) 2
x
x x
− + =








Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn




I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (tiếp theo)
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)

13log2)5(log
3
1
82
=−+− xx
b)
2 2
log (4.3 6) log (9 6) 1
− − − =
x x

c) 1
3
)29(log
2
=
−
−
x
x
d)
1lg
2
lg
1lg
lg2
−
+−=
− x
x

x
x

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
4
2
1 2log (10 )
log
+ − =
x
x
x

b)






−=+
x
x
x
x
11
4
75
log

2
log
1
3
2
32

c)
2
3
lg( 2 3) lg 0
1
+
+ − + =
−
x
x x
x

d)
(
)
9 3
log log 4 5
+ =
x x


Ví dụ 3.
Gi

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
[
]
{
}
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1
x
+ + =

b)
4 8
2
log 4log log 13
x x x
+ + =

c)
3 9 81
7
log log log
2
x x x
+ + =

d) x

x
xx
2log
log
log.log
125
5
25
5
=

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a)
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2
−
− + = + −
x
x x x

b)
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log 4

2 4
+ + − =
x x x

c)
( )
4
1
lg 3 2 2 lg16 lg4
4 2
−
− = + −
x x
x

d)
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1)
+ + + − + = + + + − +
x x x x x x x x

e)
2
1 1
lg( 5) lg5 lg
2 5
+ − = +x x x
x

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM LOGARITH
Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau
a)
2
2 2
2log 14log 3 0
− + =
x x

b)

2 3
2 2
log log 4 0
+ − =
x x

c)

3 2
2 2
log (2 ) 2log 9
= −
x x

d)

3 3
1
log log 3 log log 3
2
+ = + +
x
x
x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Giải các phương trình sau:
a)
(
)
( )
2
1 1
3 3
log 3 4 log 2 2
x x x
+ − = +

b)
( )
1
lg lg 1
2

x x
= +

Tài liệu bài giảng:

05. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng







Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c)
2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
=

d)
(
)

2
5
log 2 65 2
x
x x
−
− + =

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
(
)
(
)
lg 3 2lg 2 lg0,4
x x+ − − =

b)
( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1
2 2
x x x
+ + − = +

c)
( )
2 1
2

1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
 
+ + − =
 
−
 

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
2
2
2 2
log 1 5 log 1
x x
− = + −

b)
(
)
(
)
2
2 1
4
log 2 8log 2 5

x x
− − − =

c)
1 1
3 3
log 3. log 2 0
x x
− + =

d)
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8
8
+ =
x
x

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
2 2
3 3
log log 1 5 0
x x
+ + − =
b)
+ + =

2
2 1
2
2
log 3log log 2
x x x

c)
5
1
log log 2
5
x
x
− =
d)
7
1
log log 2
7
x
x
− =

e)
− − − =
2
2 1
4
log (2 ) 8log (2 ) 5

x x
f)
2
5 25
log 4log 5 5 0
x x
+ − =

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
(
)
( )
2
1 1
3 3
log 3 4 log 2 2
x x x
+ − = +

b)
( )
1
lg lg 1
2
x x
= +

c)
2 1
2
8 1
log log
4 2
x
x
−
=

d)
(
)
2
5
log 2 65 2
x
x x
−
− + =

a)
( )
( )
2
2
1 1
3 3
2 2

1
4
1
3 4 0
log 3 4 log 2 2 2 2 0 1 2.
2
3
3 4 2 2 6 0
x
x
x
x x
x x x x x x
x
x
x x x x x
 >




< −
>
+ − >




 
+ − = + ⇔ + > ⇔ > − ⇔ → =

=

  

  
= −
+ − = + + − =







V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 2.
b)
( )
( )
( )
( )
2
2
0
0

1 5
0
0
1 1 5
lg lg 1 1 0
2
lg lg 1
2 2
1
2lg lg 1
1 5
2
x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
x
>



>

+
>



>

+

  
=

= + ⇔ + > ⇔ ⇔ ⇔ → =
   

= +
= +


  


= +
−


=





V

ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
1 5
.
2
x
+
=

c)
( )
2 1
2
8 1
log log , 3 .
4 2
x
x
−
=

Đ
i
ề

u ki
ệ
n:
8 0
0 8.
0
x
x
x
− >

⇔ < <

>









Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Khi đó
( ) ( )
1
2
2 2

8 1 8 8 1
3 log log 8 4
4 2 4 4
x x x
x x x x
x
−
− − −
⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

( )
2
2
8 16 4 0 4.
x x x x
⇔ − + = ⇔ − = → =

Nghi
ệ
m x = 4 th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 4.
d)
(
)
( )
2
5
log 2 65 2, 4
x
x x
−
− + =
Điều kiện:
( )
2 2
5 0 5
5
5 1 4
4
2 65 0
1 64 0,
x x
x
x x
x
x x
x x R



− > <

<



− ≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠

 
− + >
− + > ∀ ∈




Khi
đ
ó

( ) ( )
2
2
4 2 65 5 8 40 0 5.
x x x x x
⇔ − + = − ⇔ + = → = −

Nghi
ệ
m x = –5 th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = –5.
Bình lu
ậ
n:
Trong các ví d
ụ
3 và 4 chúng ta c
ầ
n ph
ả
i tách riêng
đ
i
ề

u ki
ệ
n ra gi
ả
i tr
ướ
c r
ồ
i sau
đ
ó m
ớ
i gi
ả
i ph
ươ
ng trình.
Ở
ví d
ụ

1 và 2 do các ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đố
i
đơ
n gi

ả
n nên ta m
ớ
i g
ộ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n vào vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình ngay.
Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:

a)
(
)
(
)

lg 3 2lg 2 lg0,4
x x+ − − =

b)
( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1
2 2
x x x
+ + − = +

c)
( )
2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
 
+ + − =
 
−
 

a)
(
)

(
)
(
)
lg 3 2lg 2 lg0,4, 1 .
x x+ − − =

Điều kiện:
3 0 3
2.
2 0 2
x x
x
x x
+ > > −
 
⇔ ⇔ >
 
− > >
 

Khi đó,
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )

2 2
2 2
3 3
2
1 lg 3 lg 2 lg0,4 lg lg0,4 0,4 2 2 5 3 0
5
2 2
x x
x x x x
x x
+ +
⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = = ⇔ − − + =
− −

2
7
2 13 7 0
1
2
x
x x
x
=


⇔ − − = →

= −


Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = 7.
b)
( ) ( ) ( )
5 5 5
1 1
log 5 log 3 log 2 1 , 2 .
2 2
x x x+ + − = +

Đ
i

ề
u ki
ệ
n:
5 0 5
3 0 3 3.
2 1 0 1
2
x x
x x x
x
x


+ > > −



− > ⇔ > ⇔ >
 
 
+ >


> −


Khi
đ
ó,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
5 5 5 5 5
1 1 1
2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1
2 2 2
x x x x x x
⇔ + + − = + ⇔

+ −

= +
 

(
)
(
)
2 2
5 3 2 1 2 15 2 1 16 4.
x x x x x x x x
⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ = → = ±

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i

ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = 4.
c)
( )
( )
2 1
2
1
log 4 15.2 27 2log 0, 3 .
4.2 3
x x
x
 
+ + − =
 
−
 

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Điều kiện:
4 15.2 27 0,
4.2 3 0
x x
x
x R

+ + > ∀ ∈


− >



Khi
đ
ó
( )
( ) ( )
2
2 2 2
1 1
3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0

4.2 3 4.2 3
x x x x
x x
 
   
⇔ + + + = ⇔ + + =
 
   
− −
   
 
 

( )
2
2
2
2
2 3
1 2 15.2 27
4 15.2 27 1 1 15.2 39.2 18 0
2
4.2 3 16.2 24.2 9
2 0
5
x
x x
x x x x
x x x
x


=
+ +
 

⇔ + + = ⇔ = ⇔ − − = →
 

− − +
= − <
 



Giá tr
ị

2 3
x
=
thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được
2
2 3 log 3
x
x= ⇔ =
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình.
Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( ) ( )
2
2
2 2
log 1 5 log 1
x x
− = + −

b)
(
)
(
)
2
2 1
4
log 2 8log 2 5
x x
− − − =

c)

1 1
3 3
log 3. log 2 0
x x
− + =

d)
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8
8
+ =
x
x

a)
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
log 1 5 log 1 , 1 .
x x− = + −
Điều kiện: x > 1.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2

2 2
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 2log 1 4
t x x x x t
 
= − → − = − =  −  =
 
 

Khi đó
( )
( )
( )
2
2
5 5
2
4 4
1 3
log 1 1
1
1
2 2
1 4 5 0
5
5
log 1
4
4
1 2 1 2

x
t
x x
t t
t
x
x x
 
 − = −
= −

− = =
 


⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔
 


=
− =
 



− = = +
 

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
5

4
3
; 1 2 .
2
x x= = +

b)
(
)
(
)
(
)
2
2 1
4
log 2 8log 2 5, 2 .
x x− − − =
Điều kiện: x < 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
2 2 2 2
2
log 2 1
8
2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0

log 2 5
2
x
x x x x
x
 − =
⇔ − − − = ⇔ − + − − = ⇔

− = −
−



V
ớ
i
(
)
2
log 2 1 2 2 0.
x x x
− = ⇔ − = ⇔ =


V
ớ
i
( )
2
1 63

log 2 5 2 .
32 32
x x x− = − ⇔ − = ⇔ =

C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
63
0; .
32

x x= =

c)
(
)
1 1
3 3
log 3. log 2 0, 3 .
x x− + =
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1
3
0
0 1.
log 0
x
x
x
>


⇔ < ≤

≥




( )
2
1
1
3
3
1 1
1
3 3
1
3
3
1
log 1
log 1
3
3 log 3. log 2 0
log 4 1
log 2
81
x
x
x
x x
x
x
x



=
=

=

 


 
⇔ − + = ⇔ ⇔ →



 
=

=

  
=

 



C
ả
hai nghi
ệ

m
đề
u th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m là
1 1
; .
3 81
x x= =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
d)
( )
2
2
1 2
2
log (4 ) log 8, 4 .
8
+ =
x
x

Điều kiện: x > 0.
Ta có
[ ]
( ) ( )
2
2
2
2
2
1 1 2 2 2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
log (4 ) log (4 ) log (4 ) log 4 log log 2

log log log 8 2log 3
8
 
= = − = − +  = +
 
 
 
 
= − = −
x x x x x
x
x x

Khi
đ
ó
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
7
2
2
log 1
4 log 2 2log 3 8 log 6log 7 0
1
log 7
2
128
x

x
x x x x
x
x
−
=

=


⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔


= −
= =




V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m
1
2; .

128
x x= =