DE CUONG ON THI VAO 10 CHUAN.doc

Ti liu ụn thi vo THPT
Chuyên đề thực hiện phép tính, rút gọn
biểu thức
I. Lý THUYếT
1.Định nghĩa.
* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
* Với a > 0, có hai căn bậc hai của a là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là,
a
số âm kí hiệu là
a
.
* Với a

0,
a
đợc gọi là CBHSH của a.



=

=
ax
x
ax
2
0
2. So sánh CBHSH.
* a, b là các số không âm: a < b

a
<
b
3. Căn thức bậc hai.
* Với A là một biẻu thức đại số: ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, A gọi là biểu thức lấy căn
hay biểu thức dới dấu căn.
*
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0.
4.Các công thức biến đổi căn thức:
1.
2
A A=
6.
A
B
=-
2
A B
(A

0, B

0 )
2.
AB A B
=
(A, B

0 )
7.
1A
AB
B B
=
(A B

0, B

0
3.
A A
B
B
=
(A

0, B > 0 )
8.
A A B
B
B

=
(A

0, B>0 )
4.
2
A B A B
=
( B

0 )
9.
( )
T A B
T
A B
A B
=


m
(A, B

0 )
5.
A
B
=
2
A B

(A, B

0 )
10
.
( )
2 2
T a A b B
T
a A b B
a A b B
=


m

A
xỏc nh khi A

0
-iu kin phõn thc xỏc nh l mu khỏc 0
- Kh mu ca biu thc ly cn v trc cn thc mu
- By hng ng thc ỏng nh
- Quy tc rỳt gn v i du phõn thc,quy tc du ngoc
- Cỏc phộp toỏn cng , tr, nhõn, chia phõn thc
VD : Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :
a;
12 +x
b;
x2

1
c;
1
3
2
x
d;
32
2
+x
e;
2
5
2
x
MT S CH í KHI GII TON V BIU THC
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
1
Ti liu ụn thi vo THPT
1) Tỡm KX chỳ ý : Trong cn

0 ,Mu

0 , biu thc chia

0
2)Rỳt gn biu thc
-i vi cỏc biu thc ch l mt cn thc thng tỡm cỏch a tha s ra ngoi du cn .C th l :
+ S thỡ phõn tớch thnh tớch cỏc s chớnh phng

+Phn bin thỡ phõn tớch thnh tớch ca cỏc lu tha vi s m chn
-Nu biu thc ch cha phộp cng v tr cỏc cn thc ta tỡm cỏch bin i v cỏc cn ng dng
- Nu biu thc l tng , hiu cỏc phõn thc m mu cha cn thỡ ta nờn trc cn thc mu trc,cú
th khụng phi quy ng mu na.
-Nu biu thc cha cỏc phõn thc cha rỳt gn thỡ ta nờn rỳt gn phõn thc trc
-Nu biu thc cú mu i nhau ta nờn i du trc khi
-Ngoi ra cn thc hin ỳng th t cỏc phộp tớnh ,chỳ ý dựng ngoc ,du - , cỏch vit cn
Chỳ ý : Mt s bi toỏn nh : Chng minh ng thc , chng minh biu thc khụng ph thuc vo
bin cng quy v Rỳt gn biu thc
3) Tớnh giỏ tr ca biu thc
-Cn rỳt gn biu thc trc.Nu biu thc cú cha du giỏ tr tuyt i thỡ nờn thay giỏ tr ca bin vo
ri mi rỳt gn tip
-Nu giỏ tr ca bin cũn phc tp thỡ ngh n vic rỳt gn trc khi thay vo tớnh
4) Tỡm bin biu thc tho món 1 iu kin no ú
-Cn rỳt gn biu thc trc
-Sau khi tỡm c giỏ tr ca bin phi i chiu vi KX
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,

n Z y M
Do đó y
max
= M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]

2k
kZ y m
Do đó y
min
= m khi h(x) = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức.
II-CC DNG BI TP
DNG 1: BI TP RT GN BIU THC CHA CN N GIN
1)
2 2
2 2
149 76
457 384


6)
9 4 5 9 80 +

7)
243754832 +

8)
246223 +

GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
2
Tài liệu ôn thi vào THPT
2)

34
1
23
1
12
1
+
+
+
+
+
3)
1 33 1
48 2 75 5 1
2 3
11
− − +
4)
0a Víi ≥+− a49a16a9
5)
a a b
ab
b b a
+ +
9)
222.222.84 +−+++

8 2 2 2 3 2 2
10)
3 2 2 1 2

+ +
− +
− −
11)
6 11 6 11− − +
DẠNG 2 : THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH
( ) ( )
22
3113 −++
( ) ( )
22
2112 −−+
7474 +−−
324324 +−+
347347 −++
324625 ++−
1
12
2
−
+−
x
xx

12 −+ xx
549549 +−−
526526 −++
324324
−−+
52353 −++

2
)21( −

22
)32()23( −+−

72328 +−
12527220126 +−−
963252254421671123 −−+−
8012552 −−
32450823 −+−
98324551475803182 −+−−
7534823227 −+−
503218423 −+−
1471227532 −+−
12580345220 +−−
12527220126 +−−
15063542244 −+−
DẠNG 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho biểu thức A =
2 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
+
+ +
 ÷
 ÷
− + + −

 
:
2
1−x
a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =
1
2
++ xx
c. Tính giá trị của A tại x = 8 -
28
d. Tìm max A.
Bài 2 : Cho biểu thức P =
n4
4n4
2n
1n
2n
3n
−
−
+
+
−
−
−
+
( với n
≥
0 ; n

4≠
)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
3
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bài 3 : Cho biểu thức M =
2
( ) 4a b ab a b b a
a b ab
− + −
−
+
( a , b > 0)
a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M = 2
2006
Bài 4: Cho biểu thức : M =








−
−

+
−
−
+








−
− xx
x
xx
x
x
x
x 2
1
11
:
1
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
3
c) Tìm x sao cho M =1/2
Bài 5: Cho biểu thức : P =









−
−
+








−
−
−
−
2
2
:
2
3
2
4
x

x
x
x
xxx
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8
+
Bài 6: Cho biểu thức : B =








++
−
−









−
+
−
+
1
2
1:
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B.
x
= 4/5
Bài 7: Cho biểu thức : M =








−

−
+








−
−
+
−
−+
1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.

c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 8: Cho biểu thức : A = 1 :








+
+
+−
−
−
+
−+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 9: Cho biểu thức : P =








−
+
−
−
+








+
−
−
−
+
1
2

11
1
:
1
1
1
1
x
x
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347 −
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
4
Tài liệu ôn thi vào THPT
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 10: Cho biểu thức : A =
3
2 1 1
.
1 1
1
x x x x

x
x x x
x
   
+ +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + +
−
   
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2
32 −
Bài 11: Cho biểu thức : A =








+
+









−
−
−+−
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 12: Cho biểu thức : B =








+
−

−








+++
−
+
1
2
2:
1
2
1
1
x
xx
xxxxx
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 13: Cho biểu thức : A =









−
+
−+
−
+
+
xxxx
x
2
1
6
5
3
2
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
32
2
+
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 14: Cho biểu thức : M =









−
+
−
−
+
−
+−
−
x
x
x
x
xx
x
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức : A =









−
−
−








−
−
+
−−
−+
2
3
1:
3
1
32
4
x

x
x
x
xx
xx
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
Bài 16: Cho biểu thức : P =
3
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
−
−









+
−
−
−
−
−
+
a) Rút gọn P.
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
5
Tài liệu ôn thi vào THPT
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
Bài 17: Cho biểu thức : M =








+
+

−
+








−
−
+
− xx
x
x
x
x
x
x
x 141
:
1
13
1
a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 18: Cho biểu thức : P =









−
+
+
−








++
−
−
+
x
x
xxx
x
x
x
1

52
1
3
:
1
1
12
3
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8
−
c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1
Bài 19: Cho biểu thức : B =








−
+
−
+









−
−
+
−
−
+ xx
x
x
x
x
x
xx
x
2
2
2
3
:
4
23
2
3
2
a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4
5
c) Tìm x sao cho B.( x – 1 ) = 3
x
Bài 20: Cho biểu thức : M =








+
−
+
−
+
+








−
−
+

+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy
xxy
xy
x
xy
xxy
xy
x
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 -
3
và y =
31
13
+
−
Bài 21: Cho biểu thức : B =









+++
−
−
−−+
+
632
6
632
32
yxxy
xy
yxxy
yx
a) Rút gọn B.
b) Cho B=
).10(
10
10
≠
−
+
y
y
y
Chứng minh :
10

9
=
y
x
Bài 22 : Cho biểu thức :








+
−








−
+
+
−
+
−
+−

+
=
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
51
−≤
P
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
6
Ti liu ụn thi vo THPT
Bi 23 : Cho biu thc :

( )
1
122
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca P.
c) Tỡm x biu thc
P
x
Q
2
=
nhn giỏ tr l s nguyờn
Bi 24: Cho biu thc :

2
2
2
1
1
1
1
1


















+

+

=
x
xx
x
x
x
P
a) Rỳt gn P
b) Tỡm x
2>
x
P
Bi 25: Cho biu thc :










+

+

=
2
2
:
2
45
2
1
x
x
x
x
xx
x
x
P
a) Rỳt gn P
b)*Tỡm m cú x tho món :
12 += mxxmxP
Bi 26: Cho biu thc A =
2
2
2
x1

2
1x
x1
1
x1
1








+
+

1. Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha.
2. Rỳt gn biu thc A.
3. Gii phng trỡnh theo x khi A = - 2.
Bi 27: Cho biu thc A
11
=
( )

+









+


2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x

a> Rút gọn A
11
b> Tính A
11
với x=6 - 2
5
Bài 28: Cho biểu thức: M = (
aa +

1
1
1
1
)(1-
a
1
), ĐK: x > 0, x

1.
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ Tính giá trị của M khi a =
9
1
.
Bài 29: Cho biểu thức:
P =

1
1
x
xx








+
+
+
1
1
x
xx
, ĐK: x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P < - 2
Bài 30: Cho biểu thức:

M =
11
21
+
+
+

+
x
xx
x
xx
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định và rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để M < 1.
Bài 31: Cho biểu thức:
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
7
Ti liu ụn thi vo THPT
P =

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
; x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P > 0 (P <0)
c/ Tính giá trị của P khi x = 3 + 2
x
Bài 32: Cho biểu thức:
A =

x
x
1
:








+

+

xx
x
x
x 11
; x > 0;

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị A biết x =
32
2
+
.
c/ Tìm x thoả mãn: A
436 = xxx
Bài 33: Cho biểu thức:
P =








++
+

+
1
4
1
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
; x

0, x 1
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 34: Cho biểu thức:
M =
( )
1
122
:
11

+

+
+



x
xx
xx
xx
xx
xx
; x > 0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.
Bài 35: Cho biểu thức:
Q =
1
2
:
1
1
1
4
1

+
+

x
xx
x
x
; x

0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức Q
b/ Tìm GTNN của Q và giá trị tơng ứng của x.
Bài 36: Cho biểu thức:
M =

+








+
+

x
x
x
x
x
x
x
1
4
1
:
1

2
; x> 0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để P =
2
1
c/ / Tìm GTNN của P và giá trị tơng ứng của x.
Bài 37: Cho biểu thức:
C =
( )
;
1
2
:
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x

++
+



x

0 , x 1.
a/ Rút gọn biểu thức C
b/ Tìm GTNN của C và giá trị tơng ứng của x.
Bài 38 : Cho biểu thức:










+
+
+

+

=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
8
x
x
x
x
xx
x
x
xx

A

a) Rút gọn
b) Tìm x Z để A
8
Z
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
8
Ti liu ụn thi vo THPT
Bài 39: Cho biểu thức:
21
3
5


=
x
x
A

a)
Rút gọn
b)
Tìm Min A
5
Bài 40 : Cho biểu thức:
B =
2
2

:
11

+






+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a)Rút gọn B;
b)Với giá trị nguyên nào của a thì B

Z.
CHUYÊN Đề Về HàM Số
I . Lí THUYT
a) Hm s bc nht : y = ax + b (a

0)

- Hm s bc nht : y = ax + b ng bin khi a > 0 , khi ú ths to vi rrc honh ox mt gúc nhn .Nghch
bin khi a < 0 , khi ú ths to vi rrc honh ox mt gúc tự
- K hai ng thng song song l :
'
'
a a
b b
=




- K hai ng thng ct nhau l : a

a
- K hai ng thng trựng nhau : a = a

, b = b

- K hai ng thng vuụng gúc l tớch a.a = -1
- t hs y = ax ( a

0) i qua gc to
- ths y = ax + b (a

0, b

0) khụng i qua gc to .Nú to vi Ox, Oy thnh mt tam giỏc
Cỏch v th hm s bc nht : y = ax + b (d) , ch cn xỏc nh hai im :
ths (d) i qua A(0; b) v B(-

a
b
; 0)
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
9
Tài liệu ôn thi vào THPT
Nối A,B trên hai trục tọa độ ta được đồ thị hàm số (d)
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua A(x
A
; y
A
) và song song với đường thẳng cho trước :
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d)
Do (d) đi qua A(x
A
; y
A
) và ssong song với đt … nên y
A
= ax
A
+ b và a = a
’
từ đó thay vào tìm b
Thay a, b tìm được vào phương trình ban đầu ta được phương trình cần tìm
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua A(x
A
; y
A

) và B(x
B
; y
B
)
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d)
Do (d) đi qua A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) nên y
A
= ax
A
+ b
Y
B
= ax
B
+ b
Giải hệ tìm a, b thay thế vào phương trình ban đầu ta được phương trình cần tìm
………….
b) Hàm số bậc nhất : y = ax
2
(a
≠

0)
Hàm số bậc nhất : y = ax
2
(a
≠
0). Nếu a > 0 hs đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0 đồ thị nằm trên trục
hoành . Nếu a < 0 hs đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 đồ thị nằm dưới trục hoành .
Cách vẽ đồ thị : lập bảng giá trị …
B. BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất.
Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để:
a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5
c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5.
a)
Vẽ đồ thị với m=6.

GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
10
Tài liệu ôn thi vào THPT
b)
Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi.
c)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân.
d)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45
o.
e)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135
o
f)
Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30
o
, 60
o
g)
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y.
h)
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x .
Bài 4 : (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3.
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 5 : (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2004).
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
a)A(-1 ; 3) ; b) B(
2
; -5
2
) ; c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần tư thứ IV
Bài 6: Cho (d
1
) y = 4mx - ( m+5) ; (d
2
) y = ( 3m
2
+1).x + m
2
-4
a) Tìm m để đồ thị (d
1
)đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi thì (d
1
)luôn đi qua một điểm A cố định, (d
2
) đi qua B cố định.
c) Tính khoảng cách AB
d)Tìm m để d
1
song song với d
2
e)Tìm m để d

1
cắt d
2
. Tìm giao điểm khi m=2
Bài 7 : Cho hàm số y =f(x) =3x – 4
a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(-1/2); f(
7 24−
)
c) Các điểm sau có thuộc đths không? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m
2
-4)
e)Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3
g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ.
h)Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4
l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau.
m) Tìm điểm thuộc đths cách đều hai trục toạ độ.
Bài 8 : Cho hàm số y =
2
1
x
2
a. Vẽ đồ thị hàm số.
b. Tính giá trị của hàm số tại x =
2
+
3
c. Các điểm A(- 1; -

2
1
), B(4;8) , C(
2
;1) có thuộc đồ thị hàm số không?
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
11
Tài liệu ôn thi vào THPT
d. M, N là các điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ là 2, - 4.
Viết phương trình đường thẳng MN.
e. Tìm giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với đồ thị hàm số trên.
g. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 4) và tiếp xúc với đồ thị hàm
số trên.
h. Chứng minh đường thẳng y = mx + m + 3 luôn cắt đồ thị hàm số trên với
∀m. Gọi 2 giao điểm là A, B. Tìm m để:
x
2
A
+ x
2
B
- x
A
x
B
= - 3 ; x
A
+ x
B

= 0
k. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ gấp đôi hoành độ.
Bài 9 : Vẽ parabol y = - x
2
/2 (P) : và đường thẳng (D) : y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các
giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 10: Cho
( )
2
.25 xmy
−−=

a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6
b) Tìm m để hàm số đồng biến với x<0
c) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua A( -2:12)
Bài 11: Cho ( P): y=-x
2
. Đường thẳng y =m cắt ( P) tại A; B. Tìm m để tam giác AOB đều và tính diện tích
tam giác ABO.
Bài 12: Cho Parabol ( P) :
2
4
1
xy
=
và đường thẳng (d):
2
2
1
+−= xy

a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Gọi A, B là các giao điểm của ( P) và ( d). Tìm M trên cung AB của ( P) sao cho S
MAB
lớn nhất
c) Tìm N trên trục hoành sao cho NA+NB nhỏ nhất
Bài 12: Cho Parabol ( P): y = 3x
2
trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt ( P
’
) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB
Bài 13: Cho Parabol y =
2
2
1
x−
và điểm M(1, -2).
1. Chứng minh rằng: Phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân
biệt A, B với
∀
k.
b. Gọi x
A
, x
B
lần lượt là hoành độ của A và B, xác định k để
)(2
22
BABABA
xxxxxx +−+

đạt giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị ấy.
Bài 14: Cho hai hàm số
2
1
y x vµ y 2x 2
2
= = −
.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 15: Cho đường thẳng (d): y = k(x - 1) và parabol (P): y =
2
1
x
2
. Với giá trị nào của k thì (d):
a) Tiếp xúc với (P).
b) Cắt (P) tại một điểm có tung độ là 2 và hoành độ dương. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Sù T¬ng giao gi÷a hai ®å thÞ parapol vµ ®êng th¼ng
Bài 1:
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
12
Ti liu ụn thi vo THPT
cho parabol y= 2x
2
. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.

c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị
và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
Bi 2: cho hàm số (p): y=x
2
và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d
1
vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân
biệt C,D sao cho CD=2.
Bi 3: Cho (P): y=x
2
và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao
điểm của (a) và (d).

Bi 4: cho hàm số
2
1
y x
2

=
(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt
A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bi 5: cho hàm số y=2x
2
(P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bi 6: cho hàm số y=-x
2
(P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai
điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. gọi (x
1
;y
1
); (x
2
;y

2
) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x
1
+y
1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bi 7: cho hàm số y=
x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1-
2
)
2
+ x=m
2
-m+1
+ x=(m-n)
2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc
đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm
số y= x-6
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:

13
Ti liu ụn thi vo THPT
Bi 8: cho hàm số y=x
2
(P) và y=2mx-m
2
+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1-
2
)
2
.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm
của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bi 9: cho hàm số y = mx - m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố
định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y = x
2
tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB =
3
.
Bi 10: trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d)y = ax+b.
a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bi 11: cho hàm số y = x
2
(P) và y = 3x + m
2
(d).

a.
chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt.
b.
gọi y
1
, y
2
kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y
1
+y
2
= 11y
1
.y
2
Bi 12: cho hàm số y = x
2
(P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng
AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bi 13: a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y = 2x
2
tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y = x
2

(P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P)
và đi qua B.
c. cho (P) y = x
2
. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y = x
2
. lập phơng trình d song song với đờng thẳng y = 2x và tiếp xúc với
(P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = -x+2 và cắt (P) y = x
2
tại
điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y = x+1 và cắt (P) y=x
2
tại điểm có
tung độ bằng 9.
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
14
Tài liệu ôn thi vào THPT
CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.KIẾNTHỨC CẦN NHỚ
1)Các phương pháp giải HPT
a) Phương pháp thế : Thường dùng giải HPT đã có 1 phương trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ
chứa tham số
b) Phương pháp cộng : Phải biến đổi tương đương HPT về đúng dạng sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn
trong 2 phương trình :- Nếu đối nhau thì cộng .Nếu bằng nhau thì trừ .Nếu khác thì nhân .
Nếu kết quả phức tạp thì “đi vòng”.
c) Phương pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đưa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn

2)Một số dạng toán quy về giải HPT:
- Viết phương trình đường thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng
- Giao điểm của hai đường thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đường thẳng đồng quy
- Xác định hệ số của đa thức , phương trình…
3)Giải phương trình bậc nhất 1 ẩn
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phương pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất
nhiều trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra
II. Dạng 2 : Hệ phương trình chứa tham số
1)Cho HPT :
9 3
x my o
mx y m
− =


− = −

a) Giải HPT với m = -2
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
15
Tài liệu ôn thi vào THPT
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên
f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng .Nó giúp ta tìm được điều kiện của tham số đề
HPT có 1 nghiệm ,VN,VSN .
2) Cho hệ phương trình: mx + y = 3
9x + my = 2m + 3
a. Giải phương trình với m = 2, m = -1, m =
5
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
c. Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2
d. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
e. Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên âm.
3)Cho hệ phương trình



=−+
=+−
2y)1m(x
myx)1m(
; có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x
2

- 7y = 1
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =
yx
y3x2
+
−
nhận giá trị nguyên.

4)Cho hệ phương trình



=+
=−
2myx
1ymx
a.Giải hệ phương trình theo tham số m.
b.Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để x +y = 1
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
5)Cho hệ phương trình :
( 1) 3
.
a x y
a x y a
+ − =


+ =

a) Giải hệ với
2a = −
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6)Cho hệ phương trình
2
3 5
mx y
x my
− =



+ =

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y =
3 1−
b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
7)Cho hệ phương trình :



=+
+=+
ayx
ayx
2
332
a)Tìm a biết y =1
b)Tìm a để : x
2
+y
2
=17
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
16
Ti liu ụn thi vo THPT
8)Cho h phng trỡnh
( 1) 3 1
2 5

m x my m
x y m
=


= +

a) Gii h phng trỡnh vi m = 2
b) Tỡm m h cú nghim duy nht (x;y) m S = x
2
+y
2
t giỏ tr nh nht
9) Bằng đồ thị, chứng tỏ rằng hệ phơng trình:



=+
=
32
13
yax
yx
a) Có nghiệm duy nhất với a = 2;
b)Vô nghiệm với a = -6.
10) Bằng đồ thị, chứng tỏ rằng hệ phơng trình:



=+

=+
1263
2
yx
ayx
a) Có vô số nghiệm khi a = 4;
b)Vô nghiệm với a

4.
11) Bằng đồ thị, chứng tỏ rằng hệ phơng trình:



=+
=
2
02
ymx
yx
a) Có nghiệm duy nhất nếu m # - 2;
b)Vô nghiệm với m = -2
Dng 3 : Mt s bi toỏn quy v HPT
1) Vit phng trỡnh ng thng i qua 2 im A(2;5) v B(-5;7)
2) Cho hm s y = (3m-1)x + 4n -2
Tỡm m,n bit th hm s i qua im (5 ;-3) v ct trc honh ti 1 im cú hong l -2
3)Tỡm giao im ca hai ng thng 4x - 7y =19 v 6x + 5y = 7
4) Cho 2 ng thng: d
1
: y = mx + n
d

2
: (m - 1)x + 2ny = 5
a. Xỏc nh m,n bit d
1
ct d
2
ti im (2;- 4)
b. Xỏc nh phng trỡnh ng thng d
1
bit d
1
i qua im (-1; 3) v ct ox
ti mt im cú honh l - 4.
c. Xỏc nh phng trỡnh ng thng d
2
bit d
2
i qua im 7 trờn oy v song
song vi ng thng y - 3x = 1
5) Gi s ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax+ b.
Xỏc nh a, b (d) i qua hai im A (1;3) v B (-3; 1)
6) Tỡm giỏ tr ca m cỏc ng thng sau ct nhau ti mt im:
y = 6 - 4x ; y =
4
53 +x
; v y = (m 1)x + 2m.
7)Trong h trc to Oxy, cho hm s y = 2x + m (*)
a)Tỡm m th hm s (*) i qua im
A(-1 ; 3) ; B(
2

; -5
2
) ; C(2 ; -1)
b) Xỏc nh m th hm s (*) ct th hm s y = 3x 2 trong gúc phn t th IV
8)Cho hm s: y = (2m-3)x +n-4 (d) (
3
2
m
)
1. Tỡm cỏc giỏ tr ca m v n ng thng (d) :
a) i qua A(1;2) ; B(3;4)
b) Ct oyti im cú tung
3 2 1y =
v ct ox ti im cú honh
1 2x
= +
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
17
Tài liệu ôn thi vào THPT
2. Cho n = 0, tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng (d
/
) có phương trình x-y+2 = 0
tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y
2
-2x
2
đạt giá trị lớn nhất.
9)Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m
2
) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
12)Chứng minh 3 đường thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.
Dạng 4 : Một số bài toán giải hpt bằng cách đặt ẩn phụ :
1







=+
=−
5
42
1
11
yx
yx
5








=
−
−
+
=
−
+
+
1
32
3
11
yxyx
yxyx
9







=
−
+
=
−
−

1
2
13
2
2
21
yx
yx
2







=+
+
=+
+
1
5
1
2
1
3
1
2
yx
yx

6







=
+
−
−
=
+
+
−
1,0
94
1,1
62
yxyx
yxyx
1
0








=
+
−
+
=
+
+
+
3
12
5
3
yxyx
x
yxyx
x
3







=
−
−
−
=

−
+
−
1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx
7







−=
+
+
+
=
+
+

+
1
1
3
1
3
11
2
y
y
x
x
y
y
x
x
11







=
+
−
−
−=
+

+
−
−
2
2
104
2
2
23
yxyx
yxyx
4







=
−
−
−
=
−
+
−
1
1
3

2
2
2
1
2
2
2
yx
yx
8







=+
=+
15
2
5
1
6
1
4
311
yx
yx
12








=−
−
=
+
−
2
12
1
12
y
x
x
x
y
x
y
x
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
18
Tài liệu ôn thi vào THPT
CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ
CÁCH GIẢI

A. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX = C
Phương pháp giải : Biến đổi tương đương phương trình về dạng : ax = c
-Nếu a khác 0 thì phương trình có 1 nghiệm : x = c/a
-Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0
-Nếu a chưa rõ ta phải xét tất cả các trường hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thường phá ngoặc . –Nếu có mẫu thường quy đồng rồi khử
mẫu
-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .– Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu Chỉ được cùng nhân ,chia 1số
khác 0
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
Phương pháp giải : Biến đổi tương đương Pt về đúng dạng ax
2
+ bx + c = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ bx = 0 thì đưa về dạng phương trình tích x(ax + b) = 0
- Dạng khuyết ax
2
+ c = 0 thì đưa về dạng x
2
= m
- Nếu b = 2b’ mà b’ đơn giản hơn b thì dùng CTNTG
- Còn lại thì dùng CTN
1. C«ng thøc nghiÖm:
∆
= b
2
– 4ac
∆

< 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆
= 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x
1
= x
2
= -
a
b
2

∆
> 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x
1

a
b
2
∆+−
=
; x
2

a
b
2
∆−−
=
.

∆
’ = b’
2
– ac. (
2bb =
′
)
∆
’ < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
∆
’ = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x
1
= x
2
= -
a
b'
∆
’ > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a
b
x
∆
′
+
′
−
=
1

; x
2

a
b '' ∆−−
=
.
2. HÖ thøc Vi-Ðt:
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
19
Ti liu ụn thi vo THPT
* Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì







=
=+

a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S
2
4P

0 thì hai số
đó là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX + P = 0 .
3. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1) Phơng trình có nghiệm:
0

,
; 2) Phơng trình có nghiệm:
0>

,
;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu





=



0

0
21
a
c
xx .
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:





=



0
0
21
a
c
xx .
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng

=
=+



0
0
0
21
21
a
c
xx
a
b
xx
.
,
; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm

==
=+=



0
0
0
21
21
a
c
xxP
a
b
xxS
.
,
;
4.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)
P
S
xx
xx
xx
=
+

=+
21
21
21
11
.
;
2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21
2
2121
2
221
2
1
2
2
2
1
=+=++=+
;
3)
2
2
2
21
2

2
2
1
2
2
2
1
211
P
PS
xx
xx
xx

=
+
=+
).(
;
4)
( )
( )
PSSPSSxxxxxxxxxxxxxxxx 3332
32
21
2
221
2
1212
2

221
2
121
3
2
3
1
==+++=++=+ )(.).().)((
;
III: PHNG TRèNH CHA N TRONG DU GI TR TUYT I
Dng 1: PT Cha 1 du giỏ tr tuyt i
Phng phỏp gii : 1)Xột du ca biu thc trong giỏ tr tuyt i nu ngoi cha n
2)Nu ngoi khụng cha n thỡ a PT v dng /f(x)/ = m
Chỳ ý : -i chiu K . 2 dng c bit /f(x)/ = f(x) v /f(x)/ =- f(x)
Dng 2: PT cha 2 du giỏ tr tuyt i
Phng phỏp gii: 1) Xột du ca biu thc trong giỏ tr tuyt i
2) Lp bng xột du ri xột tng khong giỏ tr ca n
Chỳ ý : -i chiu K . Dng c bit /f(x)/ = /g(x)/ v f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0
Dng 3: PT cha 3 du giỏ tr tuyt i tr lờn : thỡ lp bng xột du hoc a v HPT
IV : PHNG TRèNH CHA N TRONG DU CN (PT Vễ T)
GV thc hin : Lờ nh Dng Trng THCS Hi Vnh
Mail:
20
Tài liệu ôn thi vào THPT
Giải PT vô tỉ trước hết phải tìm ĐKXĐ
Dạng 1: = g (x) (1). Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ.
Sơ đồ cách giải:
= g (x) ⇔ g(x) ≥ 0 (2).
f(x) = [g(x)]
2

(3).
Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương
trình (1).
Dạng 2: Đưa về PT chứa dấu :
-Nếu trong căn viết được dứa dạng bình phương thì đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngoài biến đổi được giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là không
âm)
Dạng 4 : Dùng phương pháp bình phương 2 vế :
Chú ý : Khi bình phương 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm
-Dạng
A B A B m+ + − =
thường bình phương 2vế
V: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trước hết phải tìm ĐKXĐ
Phương pháp giải : 1) Thông thường - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
VI : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO -Đưa về Pt tích -Đặt ẩn phụ
B.BÀI TẬP
a. 3x+5 = x-1 h. (2x+3)
2
-(4x-7)(x+5)=0
b.
5 3 2
3
4 6
x x
− +
− =
i. 7(x+4)-3(6-x)=0

c. (2x - 3)
2
- (x + 2)(4x - 1) = 0 k.
12 −+ xx
+
12 −− xx
= 2
d. x
2
- (
3
+ 1)x = -
3
l. (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 12) = 12
e.
4
222
2
3
2
2
2
−
−
=
−

+
+
−
x
x
xx
x
m.
23
55
23
1
2
2
2
+
−
−








+
−
x
x

x
x
= 6
g. x +
27 +x
= 4 n. x
2
- 3x +
13
2
+− xx
= 1
p.
4)2(
22
=++ xx
q. 4x
2
– 1 = 0
r.
4x
24x4x
2x
1x
2x
3x
2
2
−
+−

=
+
+
−
−
+
t.
1x4x4
2
+−
= 20085 u) =
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm
Có thể xảy ra 6 trường hợp
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
21
Tài liệu ôn thi vào THPT
-Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh
Luôn không âm ,luôn dương , luôn âm.
-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô nghiệm ta giải bất phương trình …
Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo Vi-et
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm
Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra
-Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng
2
1 1
0ax bx c+ + =
;

2
2 2
0ax bx c+ + =
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm
Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại
Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao trước bẳng cách như phương
pháp cộng trong giải HPT
Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm .Nếu không được thì giải hệ ( Hệ
thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể bình phương ,chứa dấu
giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
Dạng 5 : Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm
1 2
,x x
ta làm như sau :
Tính
1 2 1 2
, .x x S x x P+ = =
Vậy PTB2 cần lập là : x
2
- Sx+ P =0
Dạng 6 :Tìm 2 số biết tổng và tích : Dùng phương pháp thế đưa về PTB2
Dạng 7 : Xét dấu các nghiệm của PT

Xét phương trình bậc hai:
0
2
=++ cbxax
(a
)0≠
Có
acb 4
2
−=∆
P =
a
c
xx =
21
S =
a
b
xx −=+
21
Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét
dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét .
1. Phương trình có 2 nghiệm dương
⇔





〉

〉
≥∆
0
0
0
S
P
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
22
Tài liệu ôn thi vào THPT
2. Phương trình có 2 nghiệm âm
⇔






〈
〉
≥∆
0
0
0
S
P
3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P < 0
Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm. Thường có 2 cách
giải:

Cách 1: Có P
〈
0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:





〉
≥∆
〉
0
0
0
S
P
Thì hai nghiệm đều dương.
Cách 2:
Trước hết phải có
0≥∆
khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
S > 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)
Hoặc S = 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc
0,0
≤〈
PS
( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
Dạng 8: Nghiệm chung của 2 phương trình
Dạng 9: Hai phương trình tương đương
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô nghiệm thường vội kết luận ngay là hai
phương trình đó không tương đương với nhau:
VD3: Tìm m để hai phương trình x
2
– mx + 2m -3 = 0 (1); x
2
– (m
2
+ m - 4)x + 1= 0 (2) tương
đương.
Hướng dẫn: Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp
* Trường hợp 1: PT(1) và PT(2) vô nghiệm



<∆
<∆
⇔
0
0
2
1

( )






<−−+
<+−
⇔
044
0128
2
2
2
mm
mm





<<
−<<
<<
⇔
21
23
62
m
m
m
(không
xảy ra)
* Trường hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x

1
; x
2
thì

theo định lý Vi-ét ta có:
2
042
04
132.
4
2
21
2
21
=⇔



=−
=−
⇔



=−=
++==+
m
m
m

mxx
mmmxx
.
Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2
Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai phương trình đó cũng
là hai phương trình tương đương. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai
phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm.
VD4: Tìm m, n để phương trình x
2
– (m + n)x -3 = 0 (1)
và phương trình x
2
– 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tương đương.
Hướng dẫn:
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
23
Tài liệu ôn thi vào THPT
PT(1) có
( )
nmnm ,012
2
∀>++=∆
nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
Do đó PT(1) và PT(2) tương đương khi hai phương trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:




=
=
⇔



=−
=+
⇔



−−=−=
=+=+
1
1
23
2
533.
2
21
21
n
m
nm
nm
nmxx
nmxx
. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm

Với bài toán này ta đã chỉ ra được một phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho hai phương
trình tương đương thì phương trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm của phương trình trên.
Áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm được m, n
B. BÀI TẬP
Bài 1: Cho phương trình mx
2
+(2m-1)x+(m-2)=0
1. Giải phương trình với m = 3
2. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+x
2
2
=2006
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 2: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2mx + m – 2 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 3 : Cho phương trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phương trình với m = 3

a) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 17
b) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Giải phương trình trong trường hợp tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho phương trình: x
2
- 2mx + 2m – 1 = 0
a) Giải phương trình với m= 4
a) Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 10.
b) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m sao cho : 2(x
1
2
+x
2
2
)- 8x
1
x
2
= 65
Bài 5: Cho phương trình : x
2
-(2k+1)x +k
2
+2 = 0
a) Tìm k để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
a) Tìm k để phương trình có x
1
2
+x

2
2
nhỏ nhất .
Bài6: Cho phương trình x
2
+mx+m-1=0
a) Giải phương trình với m=3
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phương trình
Bài 7: Cho phương trình: x
2
+( 2m+1 ).x+m
2
+m-2=0
a) Giải phương trình với m= 4
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phương trình. Tính theo m: ( x
1
+1) ( x
2
+1)+ 7x
1
x
2
.
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh

Mail:
24
Tài liệu ôn thi vào THPT
Bài 8: Cho x
2
-4x-( m
2
+2m)=0
a) Giải phương trình với m=5.
b) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính x
2
1
+x
2
2
+8( x
1
x
2
+1) theo m
d) Tìm m để x
2
1
+x
2
2
=5( x
1
+x

2
)
Bài 9: Cho phương trình 2x
2
+6x+m=0
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phương trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn
5
1
2
2
1
≥+
x
x
x
x
Bài 10: Cho x
2
-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để x
1
-3x
2
=5
Bài 11: Cho phương trình : x
2
– (m + 5)x – m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai nghiệm x

1
, x
2
thoả mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 13
Bài 12: Cho phương trình: x
2
- 2mx + m = 7
a. Giải phương trình với m = 7, m = - 4, m =
3
b. Cm phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m
c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x
1
theo x
2
.
d. Tính theo m:
3
1
1
x
+
3
2
1
x
, 3x

2
1
- 2mx
1
+ 2x
2
2
+ m
e. Tính m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm dương.
g. Với điều kiện nào của m thì
21
xx −
= 4 ; 2x
1
+ x
2
= 0 ;
(x
1
+ 3x
2
)(x
2
+ 3x
1
) = 8 ; x
2
2
- (2m + 1)x
2

- x
1
+ m > 0
h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x
,1
(x
2
– x
1
) - x
2
2
.
Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm phương trình trên.
Bài 13: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
– 2(m- 1)x – 4

=0
( m là tham số )
Tìm m để
1
x
+
2
x

= 5
Bài 14: Cho phương trình:
x
2
– 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Tính:
a. x
2
1
+ x
2
2
d. x
5
1
+ x
5
2
h.
2
1
1
x
x +
+
1
2

1
x
x +

b. x
3
1
+ x
3
2
e.
21
xx −
i) x
1
2
x

+ x
2
1
x
GV thực hiện : Lê Ánh Dương Trường THCS Hải Vĩnh
Mail:
25