Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu

HÌNH THÀNH NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO HỌC SINH
QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN
TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU
I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nâng cao chấc lượng giáo dục trong trường THCS và nhiệm vụ số một và

cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Ngày nay sự phát triễn của tất cả các
nghành khoa học, các nghành công nghệ then chốt như viễn thông, hàng không…
đều không thể thiếu tốn học. hơn nữa việc bùn nổ cơng nghệ thơng tin như hiện
nay thì việc ứng dụng tốn học đem lại kết quả to lớn trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội.
Ngày nay sự phát triển của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên
thiên nhiên mà phụ thuộc và trình độ dân trí. Tốn học có vị trí đặc biệt trong việc
nâng cao và phát triễn dân trí. Góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài ngun
q nhất cuả đất nước. tốn học khơng những cho con người kĩ năng tính tóan cần
thiết, mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logíc…
Đối với học sinh cấp II, tốn là mơn học khó, trước một khối lượng kiến thức
các em thường có cảm giác “bị gợp”, chỉ có một bộ phận học sinh khá giỏi, những
em có óc tưởng tượng phong phú, tư duy nhạy bén là tỏ ra thích thú khi học tốn.
Số học sinh cịn lại thường rơi vào tình trạng “né tránh” nếu có thể.
Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học tốn và giải
tốn, thì việc tìm ra kết quả một bài toán chưa thể coi là kết thúc được, mà phải tiến
hành khai thác, “mổ sẽ” và phân tích bài tốn.
Trong q trình dạy học tốn nói chung cũng như q trình dạy học giải tốn
nói riêng người thầy cần phải tạo ra cho học sinh một thói quen là: sau khi tìm ra
lời giải của bài tốn dù đơn giản hay phức tạp, cần phải tiếp tục suy nghỉ, lật lại vấn

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 1


đề tìm điểm đặc trưng của từng bài để khai thác bài tốn tìm ra bài tốn mới dựa
trên cơ sở bài tốn đã có.
Hơn nữa hệ thống các câu hỏi bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập tuy đã
được biên soạn rất công phu, phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học
sinh. Tuy nhiên sách giáo khoa và sách giáo viên là tài liệu dùng chung cho cả
nước. Vì vậy để có bài tập phù hợp với đối tượng học sinh của mình, phù hợp với
hoàn cảnh thực tế địa phương. Đăc biệt trong các đề kiểm tra thường xuyên, kiểm
tra học kỳ…thì đề toán phải vừa đáp ứng yêu cầu kiểm tra vừa đảm bảo tính khách
quan, cơng bằng bí mật. thì đề kiểm tra này không nằm trong bấtkỳ tài liệu nào đã
có. Do đó khi dạy học giải tốn ngồi việc khai thác bài toán một cách triệt để mỗi
giáo viên cần phải tự mình biên soạn thêm câu hỏi và bài tập mới. sau khi giải
quyết được bài toán mới học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu, và vận tốt nội dung bài toán
để giải các bài toán tiếp theo. bênh cạnh đó gúp các em được sự tự tin khi gặp một
dạng toán mới.
Nhằm giúp cho học sinh rèn luyện phương pháp suy luận, biết phân tích, khái
quát tổng hợp, lật ngược vấn đề quy lạ về quen, có thói quen dự đốn, tìm tịi, có
năng lực phát hiện vấn đề. Giúp học sinh hiểu sâu kiến thức cơ bản vận dung kiến
thức để giải quyết các bài toán mới vấn đề mới và những vấn đề thực tiễn. Cung
cấp cho học sinh phương pháp tự học, tự đưa ra vấn đề và giải quyết vấn đề. Từ đó
giúp các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học tốn.
Chính vì lí do trên tơi chọn đề tài: “ Hình thành năng lực giải tốn cho học
sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu”.
II THỰC TRANG VẤN ĐỀ
1. Thực trạng:
Thực tế phần lớn một số giáo viên chưa nhật thức đầy đủ ý nghĩa của việc dạy
giải toán. Hầu hết trong một tiết học thời gian quá ngắn nên giáo viên chỉ chú ý đến
việc giải toán mà chưa cho học sinh làm tốn. Trong q trình giải tốn ít quan tâm

đến việc rèn luyện các thao tác tư duy , suy luận. thông thường giáo viên giải đến
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 2


đâu vấn đáp đến đó và coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động. chưa
gúp cho học sinh phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm để thực hiện tiếp các bài toán
mới.
Mặt khác cho thấy hiện nay năng lực giải toán của học sinh ở địa phương cịn
rất yếu. đặt biệt là q trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập, thực tiễn,
vào bài tập mới. Tỉ lệ học sinh yếu kém còn quá cao, đặc biệt là các em đầu cấp.
các em luôn cho ràng học tốn khó hơn các mơn học khác và chỉ có những bạn khá
giỏi mới học được. tình trạng phổ biến là học sinh làm tốn khơng chiệu nghiên
cứu kĩ bài tốn. Khơng chiệu khai thác huy động kiến thức để làm bài. Chỉ làm
được khi có sự hướng dẫn của giáo viên, nhưng khi đưa ra một bài toán mới mặt dù
chỉ tương tự bài toán ban đầu thì học sinh khơng thể làm được và cho rằng bài tốn
này khó hơn bài trước. mặt dù đó là bài toán đơn giản.
Để thống kê năng lực giải tốn của học sinh tơi áp dụng nhiều hình thức trắc
nghiệm rút ra một hiện tương nổi bật. học sinh trả lời mang tính học vẹt chấp hành
đúng nguyên bản, nhưng khi đưa ra bài tập tương tự học sinh lúng túng không làm
được.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy.
Giỏi
Lớp

Sỉ số

Số
lượng

7/1+7/2 60

1

%
1,7

Khá
Số
lượng
10

%
16.7

Trung bình
Số
%
lượng

Yếu - kém
Số
%
lượng

27

22

45

36.6

Sau khi kiểm tra cho thấy học sinh làm bài hiểu bài và làm bài rất mơ hồ, số
học sinh làm được chỉ nằm trong một số học sinh khá - giỏi. số học sinh cịn lại
khơng thể giải được. bài toán.
2. Một số nguyên nhân tác động:
+ Mất kiến thức căn bản: (một trong những yếu tố quan trọng để học sinh học
tốt mơn tốn) Ta đã biết hệ thống các kiến thức cũng như chương trình học của bộ
mơn tốn đã được biên soạn sắp xếp một cách cơng phu theo một trình tự mắt xích
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 3


nhất định. Để hiểu rõ một nội dung kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải nắng vững
những kiến thức cũ đã học một cách rõ ràng. Vận dụng rất nhiều kiến thức đã học
để đi đến kiến thức mới. Chi cần thiếu sót một kiến thức nhỏ thì hệ thống các kiến
thức tiếp theo sẽ không tiếp thu được. Do ở các lớp tiểu học phần đông các em học
yếu mơn tốn. Giáo viên cịn ít quan tâm đến việc thực hành giải toán cho các em.
Nên khi lên bậc trung học cơ sở học sinh không khỏi bở ngỡ bởi một khối lượng
kiến thức quá lớn, quá mới mẽ đối với các em. Một số em không thể nắm vững
những nội dung kiến thức lâu dần tạo thành những lổ hổng kiến thức làm cho các
em sợ toán. Đặc biệt trong việc giải tốn học sinh khơng nắm rõ nội dung lí thuyết
hoặc nắm lí thuyết theo lối học vẹt. khơng thể áp dụng lí thuyết vào làm bài tập.
trong giờ giải bài tập chỉ trông chờ giáo viên giải để chép vào vở mà ít chịu suy
nghĩ tìm tịi lời giải.
+ Đối với giáo viên thì lại gặp khó khăn vì bài tập đa dạng phong phú. Khơng
có thời gian và phương pháp lựa chọn thích hợp làm cho học sinh hiểu nhầm nhìn

phiến diện. Cho rằng bài tập quá dễ rồi xem thường. hay khó quá làm cho học sinh
mất lịng tin chán nản từ đó chỉ chú ý vào thủ thuật mà không chú ý tới việc rèn
luyện tư duy. Hơn nữa đôi khi giáo viên áp đặt gị bó các em phải làm thế này phải
thế kia. Mà chưa đưa ra được các phương pháp tư duy tìm ra điểm giống cũng như
khác nhau của từng bài toán. Dẫn đến nhiều học sinh tự đặt câu hỏi tại sao phải làm
như vậy? tại sao phải tìm cái này trước mà khơng phải là cái kia trước?... dẫn đến
không hiểu vấn đề hay hiểu mơ hồ, khi gặp bài toán mới học sinh hiểu nhầm nội
dung rồi làm theo rập khn, máy móc.
+ Thái độ học tập khơng đúng: Do gia đình ít quan tâm đến việc học tập của
các em, phó mặt việc giáo dục con em mình cho nhà trường. học sinh thiếu sự đơn
đốc từ gia đình mà thời gian tự học đối với mơn tốn là rất quan trọng. Khi giáo
viên yêu cầu học bài hay làm bài ở nhà thì bản thân các em lại lười biến không học
hoặc học the lối đối phó, làm bài tập thì sơ sài cẩu thả, ít chiệu đầu tư suy nghĩ tìm
tịi. Mà đây là yếu tố quyết định năng lực giải toán cũng như các bộ môn khác. Dù
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 4


cho giáo viên có cố gắng tới đâu thì cũng bằng thừa. Ở đây ta thấy rõ yếu tố bản
thân học sinh là qua trọng nhất.
+ Thiếu phương pháp: (Đối với một số học sinh khá giỏi cũng lâm vào tình
trạng này) Học sinh có khả năng tiếp thu bài tốt nhưng vẫn không làm được bài tập
mới hoặc làm khơng chính xát lời giải khơng rõ ràng, thiếu thuyết phục. Vì lí do
khơng có phương pháp phân tích, khái qt hố khơng thể so sánh được sự tương
quan giữa bài đã làm và bài tập mới. Khơng tìm ra được điểm chung và riêng của
mỗi bài. Khi làm bài thì hiểu nhầm giữa các kiến thức hay hiểu một cách mơ hồ.
không biết bắt đầu từ đâu kết quả là gì.
II. GIẢ PHÁP VÀ KẾT QUẢ
1. Các biện pháp thực hiện:

- Về lí thuyết: cần cho học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần những nội dung lí
thuyết cần thiết để vận dụng giả một bài tập cơ bản, cũng như lặp đi lặp lại nhiều
lần những bước tiến hành giải tốn. Nhằm để hình thành cũng cố kĩ năng, kĩ xảo.
sau đưa ra những phân tích cụ thể các yếu tố để tạo ra bài toán mới cho học sinh
thấy rõ vấn đề. Chỉ ra sự tương quan giữa bài cũ và bài mới. định hướng cách giải
bài mới, đem so sánh các bước thực hiện giữa hai bài.
- Muốn thực hiện được vấn đề đặt ra thì người giáo viên phải có khả năng tự
đặt ra các đề toán mới, biết nội dung kiến thức mới nào cần được bổ sung, kỷ năng
nào cần rèn luyện, bài tập nào khó, bài tập nào dễ, bài tập nào trọng tâm có thể phát
triển trí lực cho từng học sinh của mình. Phải biết kiến thức, kĩ năng cụ thể của học
sinh mình ở mức độ nào. Từ đó biên soạn bài toán mở rộng ra sao cho phù hợp với
mực độ nhận thức đó. Hệ thống câu hỏi và yêu cầu phải hợp lí sao cho cả ba đối
tượng học sinh đều phải tích cực suy nghĩ, tích cực tham gia giải tốn. Thơng
thường nên tinh giản những bài toán SGK kết hợp với phương pháp sáng tạo sao
cho học sinh không thấy nặng nề khi làm bài. Từ đó nâng dần lên với mức độ vừa
phải ( nếu khơng khéo việc mở rộng bài tốn lại làm cho học sinh cảm thấy bị đè
năng, hay nhàm chán thì đi ngược lại mục đích ban đầu của mình), tiếp tục hướng
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 5


dẫn học sinh tự đặt ra các đề toán cho mình. Chú ý khơng phải giải nhiều dạng bài
tập là hoàn toàn tốt, mà quan trọng là phải làm cho học sinh nắng vững nội dung
thật trọng tâm trước đã rồi mới nghĩ tới các vấn đề khác. Đặc biệt là đối với những
lớp có số lượng học sinh trung bình trở xuống nhiều, tránh tình trạng một dạng yêu
cầu học sinh về nhà làm các bài tương tự. việc này dễ làm cho học sinh học vẹt,
làm bài máy móc khơng có tư duy sáng tạo.
Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng tự đặt ra các đề mới theo những yêu
cầu nào đó, bản thân giáo viên phải có ý thức rèn luyện cho mình khả năng này.

Cơ sở khoa học:

Khi tạo ra bài toán mới

từ bài tốn ban đầu.

- Bài tốn mới ở đây có thể là bài tốn hồn tốn mới, cung có thể là sự mở
rộng, đào sâu những bài toán đã biết. Thức chất khó có thể tạo một bài tốn hồn
tồn khơng có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với bài tốn đã có.
Vì vậy để tạo ra một bài tốn từ bài tốn ban đầu thì phải tuân theo các con
đường sau:
1.

Lập bài toán tương tự

2.

Lập bài toán đảo

3.

Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hoá

4.

Bớt một số yếu tố rồi khái quát hoá.

5.

Thay đổi một số yếu tố.

- Những giải pháp tiến hành: xuất phát từ một bài toán khai thác thành bài
toán khác.
Sau đây xin trình bày một số ví dụ minh hoạ:
Bài tốn 1: Tính x, biết rằng.
x − 1,7 = 2,3

Bài tốn này chúng ta đã có lời giải.
Ta có hai trường hợp:
* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
* x – 1,7 = - 2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 6


Ở bài này đối với học sinh trung bình, yếu khơng thể làm được. Ta có thể tinh
giản đưa về dạng đơn giản hơn mà ở đó học sinh chỉ cân đọc SGK là làm được bài.
Ta có bài tốn mới.
Bài tốn 1.1 : tính x, biết rằng:

x = 2,3

+Phân tích: ta thấy 2,3 = 2,3 và - 2,3 = 2,3 nên khi x = 2,3
thì x = 2,3 hoặc x = -2,3
Từ bài toán 1.1 ta thêm yếu tố (-1,7) vào giá trị tuyêt đối cho học sinh nhìn
thấy sự giống nhau hai bài toán.
2,3 = 2,3 và - 2,3 = 2,3 nên khi x − 1,7 = 2,3 thì …

+Phân tích: Từ bài tốn trên ta thấy trong dạng tốn này yếu tố quan trọng của

bài tốn khơng phụ thuộc nhiều vào biểu thức trong ngoặc. ta chỉ cần thay vế phải
bằng hai giá trị đối nhau. từ đó cho ta đề suất bài tốn tương tự
Bài 1.2: Tìm x, biết rằng:
x − 2009 = 2000

Bài tốn này chắc rằng học sinh sẽ giải được dựa vào bài tốn 1. ta cũng có thể
thay 2009, 2000 bằng những phân số…
Ta có hai trường hợp:
• x – 2009 = 2000 => x = 2000 + 2009 = 4009
• x – 2009 = -2000 => x = -2000 + 2009 = 9
thêm một vài yếu tố cho bài toán 1 ta được
bài tốn 1.3: tìm x, biết rằng:
x − 1,7 − 3,2 = 2,3

+Phân tích: ở dạng bài này cần áp dụng quy tắc chuyển vế thự hiện cộng, trừ
thì bài toán trở về dạng Bài toán 1.
x − 1,7 − 3,2 = 2,3

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 7


x − 1,7 = 2,3 + 3,2
x − 1,7 = 5,5

Kết quả: x = 7,2 hoặc x = -3,8
Ở bài 1.3 nội dung gần giống như bài toán 1 nhưng đã được nâng lên với mức độ
khó hơn mà học sinh vẫn giải được.
Khai thác: Trong bài toán 1

 x − 1,7 nêu x - 1,7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1,7
x − 1,7 = 2,3 theo định nghĩa ta có x − 1,7 = 
- ( x - 1,7) nêu x - 1,7 ≤ 0 ⇒ x ≤ 1,7

* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4
* -(x – 1,7) = 2,3 => x-1,7 = -2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6
Tới đây ta có thể đề xuất bài tốn đặc biệt hơn. Địi hỏi học sinh phải hiểu rõ nội
dung định nghĩa giá trị tuyệt đối. có phương pháp suy luận tốt. ta có bài tốn mở
rộng.
Bài tốn 1.4: tìm x, biết: x + x =

1
2

Phân tích: trong trường hợp này ta phải xét từng trường hợp dấu của biểu thức
trong dấu giá trị tuyệt đối.
Giải
1
2

• Nếu x ≥ 0 thì x = x và x + x = x + x = 2 x = ⇒ x =
• Nếu x ≤ 0 thì x = − x và x + x = − x + x = 0 x =
Vậy x =

1
4

1
không thoả mãn
2

1
4

Lưu ý: dễ thấy x > 0 vì nếu x < 0 thì x +x = 0
Từ việc cần phải xét dấu biểu thức trong giá trị tuyệt đối. ta đề xuất thêm bài tốn
tương tự.
Bài tốn 1.5 tính giá trị của biểu thức:
2
3

A = x + − x − 3 khi x ≥ 3
Giải
Vì x ≥ 3 nên x +

2
> 0 và x − 3 ≥ 0; do đó
3

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 8


x+

2
2
2
2

2
= x + và x − 3 = x − 3 => x + − x − 3 = x + - ( x – 3) = ( x- x ) + ( - 3 ) =
3
3
3
3
3

−7
3

Khai thác trong bài toán trên ta phải xét dấu trong giá trị tuyệt đối với một giá
trị của x. vậy với những bài có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì ta cũng xét tương tự.
đối với bài toán chưa cho giá trị của x trước ta sẻ xét từng trường hợp một của x. ta
có đề xuất bài tốn mới như sau:
Bài tốn 1.6 tìm x , biết: 2. x − 17 + x = 36
 x khi x ≥ 0
 x − 17khi ( x − 17) ≥ 0
; x − 17 = 
− x khi x < 0
− ( x − 17)khi ( x − 17) < 0

Phân tích: x = 

Do đó ta cần phải xét dấu đầy đủ hai giá trị tuyệt đối trong từng trường hợp cụ thể.
Vì khi x ≥ 0 trong đó cịn trường hợp x < 17.
Bài toán được giải như sau:
* Khi x < 0 thì |x| = - x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) – x = 36

-2x + 34 – x = 36
-3x

=2

x

=−

2
3

* Khi 0 < x < 17 thì |x| = x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2(-x +17) + x = 36
-2x + 34 + x = 36
-x
x

=2
= -2 ( không thoả mãn)

{0 < x < 17}

* Khi x ≥ 17 thì |x| = x và |x – 17| = x – 17 suy ra
2.|x – 17| + |x| = 36
2( x – 17) + x = 36
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 9

2x – 34 + x

= 36

3x

= 70

x

=

Vậy x = −

70
3

2
70
hoặc x =
3
3

Ví dụ 2
Xét Bài tốn 2: Viết các phân số

1 1
,

dưới dạng số thập phân.
99 999

Phân tích: Trong bài tốn trên để tính được chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu.
Giải
1
100

1
1000

99
0,0101…

999
0,001001…

1000

100

1000

100

…

…
Vậy

1
1
= 0, (01);
=0,(001)
99
999

Khai thác bài toán: ta thấy phép chia là một số thập phân vô hạn tuần hồn. Chu kỳ
gồm có số các số đúng bằng số các chữ số 9 ở mẫu, trong đó số cuối cùng là tử số
(1) các số còn lại là chữ số 0. ví dụ

1
= 0, (0001) .
9999

Từ đây cho phép ta lập bài toán tương tự.
Bài toán 2.1 Viết các số sau dưới dạng số thập phân:

2 3
4
;
;
99 999 9999

Tương tự cách giải trên ta có:
2
= 0, (02);
99

3

= 0, (003);
999

4
= 0, (0004)
9999

Theo quy tắc trên cho ta bài toán đảo:
Bài toán 2.2: Viết các số sau dưới dạng số thập phân tối giản: 0,(4); 0,(05); 0,(006);
0,(33).
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 10


Ta cung có thể áp dụng quy tắc trên để dự đốn kết quả.
Giải
• 0,(4) = 4.0,(1)= 4. =

1
9

4
9

• 0,(05) =5. 0,(01) = 5.

1
5
=

99 99

• 0,(006) = 6. 0,(001) = 6.
• 0,(33) = 33.0,(01) = 33.

1
6
2
=
=
999 999 333

1 33 1
=
=
99 99 3

* Phân tích: ta thấy chu kỳ của một số bắc đầu ngay dấu phẩy, khi đổi số thập phân
vơ hạn tuần hồn này ra phân số ta được phân số có:
+ tử là chu kỳ
+ mẫu là lột số gồm các chữ số 9. số chữ số 9 bằng số các số có trong chu kỳ.
Khai thác: trong trường hợp số thập phân vơ hạn tuần hồn mà chu kỳ không bắc
đầu ngay dấu phẩy ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau:
Bài tốn 2.3: viết phân số 0,1(25) dưới dạng số thập phân tối giản.
Phân tích: ta thấy 0.1(25) = 0,1 + 0,0(25). Số 1 trong số thập phân được gọi là phần
bất thường một số thập phân như vậy gọi là số thập phân vơ hạn tuần hồn tạp. Dựa
vào đây
Giải
0,1(25) =
=

1
1 1
1 1 25 1 25
+ 0,0(25) = + .0, (25) = + . = +
10
10 10
10 10 99 10 990

1.99 + 25 1(100 −1) + 25 100 −1 + 25 125 −1 124
=
=
=
=
990
990
990
990
990

Vậy 0,1(25) =

124
.
990

* Khai thác: Khi đổi số thập phân vơi hạn tuần hồn tạp sang phân số, ta được một
phân số là:

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 11


+ Tử là một số gồm phần bất thường kèm theo một chu kì ( ở vd trên là 125)
trừ bớt đi phần bất thường ( 125 – 1).
+ Mẫu là một số gồm các chữ số 9 và chữ số 0. số chữ số 9 bằng số chữ số
trong chu kì, cịn số chữ số khơng bằng số chữ số trong phần bất thường.
Bài toán 2.4: viết số sau dưới dạng phân số tối giản. 0,2(16);

0,63(84)

Giải
0.2(16)=

216 − 2 214 107
=
=
;
990
990 495

0,63(84)=

6384 − 63 6321 2107
=
=
9900
9900 3300

Từ bài toá trên có thể đề xuất bài tốn sau.
Bài tốn 2.5 tìm x, biết.
0,1(6) + 0.(3)
.x = 0.(2)
0, (3) + 1,1(6)

Giải
Ta có:
0,1(6) =

16 − 1 15 1
=
= ;
90
90 6

0, (3) =

3 1
= ;
9 3

1,1(6) =

116 − 11 105 7
=
= ;
90
90 6

0, (2) =

2
.
9

0,1(6) + 0.(3)

Do đó: 0, (3) + 1,1(6) .x = 0, (2)
1 1
+
6 3 .x = 2
1 7
9
+
3 6

3
2
6
=> 9 .x =
9
6

=>

x=

2
3

Ví dụ 3: chúng ta bắt đầu từ bài toán sau:
Bài toán 3: Cho a,b ∈ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ

a
a + 2001
và
b
b + 2001

(bài 9, trang 4 SGK tóan 7)
Bài tốn này chúng ta đã có lời giải sau
Xét tích a( b + 2001) = ab + 2001a,

b(a + 2001) = ab + 2001b

Vì b>0 nên b + 2001 > 0

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 12


- Nếu a > b thì ab + 2001a > ab + 2001b
a(b + 2001) > b>(a + 2001)
a a + 2001
>
b b + 2001

=>

- Tương tự, nếu a< b thì
- Nếu a = b thì rõ ràng

a a + 2001
<
b b + 2001

a a + 2001
=
b b + 2001

Điều này cho ta bài toán tương tự bài toán trên
Bài 3. 1Cho a,b ∈ Z, b > 0. So sánh hai số hữu tỉ

a
a + 2009
và
b
b + 2009

Đến đây chúng ta cũng lập bài toán tương tự.
Bài 3.2 Cho a,b ∈ Z, b> 0, n ∈ N*. So sánh hai số hữu tỉ

a
a+n
và
b
b+n

Giải
Xét tích a( b + n) = ab + an,

b(a + n) = ab + bn

Vì b > 0 và n ∈ N* nên b + n > 0
- Nếu a > b thì ab + an > ab + bn
a(b + n) > b(a + n)
=>

a a+n
>
b b+n

- Tương tự, nếu a < b thì =>
- Nến a= b, thì rõ ràng

a a+n
<
b b+n

a a+n
=
b b+n

Từ lời giải này chúng ta lại có bài tốn mới
Bài 3.3: Cho a,b ∈ Z, b > 0 và n ∈ N*. chứng minh rằng:
a) Nếu

a

a a+n
> 1 thì >
b
b b+n

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 13


b) Nếu

a
a a+n
< 1 thì <
b
b b+n

Giải
Ta có

a
>1  a> b
b

( Vì n ∈ N*)

 an > bn

 ab + an > ab +bn



a a+n
>
b b+n

b) chứng minh tương tự câu a).
Áp dụng điều này cho ta đề xuất tiếp bài toá thực tế.
Bài 3.4: So sánh hai phân số:
a)

1983 2009
và
1973 1999

b)

2000 1000
và
2009 1009
Giải
a) Ta có:
b) ta có

1983
1983 1983 + 26 2009
=
>1 nên theo bài 3.3 a) suy ra
>
1973

1973 1973 + 26 1999

1000
1000 1000 + 1000 2000
=
<1 nê theo bài 3.3 b) say ra
<
1009 1009 + 1000 2009
1009

bài toán này vẩn cị có thể khái thác thành bài tốn mới ví dụ:
Bài tốn 3.5: So sánh hai số hữu tỉ sau
a) x =
b) a =

19832009 + 1
và
19832008 + 1

y=

19832008 + 1
19832007 + 1

20082007 + 1
20082008 + 1
và b=
20082009 + 1
20082008 + 1

…

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 14


Ở hình học việc lập ra các bài tốn mới có phần khó khăn hơn. Tuy nhiên giúp học
sinh đưa ra các bài tốn mới cũng rất cần thiết.
Ta có ví dụ sau:
Bài tốn 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, Điểm E
thuộc cạnh AB, Sao cho AD = AE.

ˆ
ˆ
a) So sánh ABD và ACE
b) ∆IBC là tam giác gì? Vì sao?
GT

A

∆ABC (AB= AC)
E

D∈AC, E∈AB,AD = AE
a)
so sánh

I

ˆ
ˆ
ABD và ACE

KL
b)

D

B

C

∆IBC là tam giác gì?

ˆ
ˆ
* phân tích: Ta thấy ABD và ACE là các góc của tam hai tam giác ABD và tam giác

ACE. Hai tam giác này có đủ các yếu tố để bằng nhau. Ta chứng minh cho
ˆ
ˆ
ABD = ACE

Chứng Minh
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có
AB = AC ( GT)
AD = AE (GT)
ˆ
A : góc chung

=> ∆ABD = ∆ACE ( C – G – C)

ˆ
ˆ
=> ABD = ACE ( hai góc tương ứng)
ˆ
ˆ
ˆ
b) Ta có CBD = ABC − ABD;

ˆ
ˆ
ˆ
BCE = ACB − ACE

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
mà ABC = ACB( hai góc đáy tam giác cân); ABD = ACE ( Câu a)
ˆ
ˆ
=> CBD = BCE

=> ∆IBC là tam giác cân

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 15

* Khai thác: rõ ràng nếu AD + AE thì BE = CD . và IB = IC (∆IBC là tam). Từ
đó giúp đề xuất bài tốn tương tự.
Bài 4.1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh AB lấy điểm E. Trên
cạnh AC lấy điểm D. sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:
a) ∆BCE = ∆CBD
b) IB= IC, ID=IE
GT
KL

A

∆ABC (AB= AC)

E

D∈AC, E∈AB, AD = AE
a) ∆BCE = ∆CBD

I

B

b) IB= IC, ID=IE

D

C

* Phân tích: Tương tự bài trước chứng minh ∆BCE = ∆CBD theo trường hợp
ˆ
ˆ
Cạnh – Góc – Cạnh. Câu b) ∆IBE và ∆ICD đã có EB = DC và BEI = CDI ( từ kết
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
quả câu a) còn thiếu điều kiện IBE = ICD . Vì vậy ta chứng minh cho IBE = ICD .

Chứng minh
a) Xét ∆BCE và ∆CBD có
BE = AB – AE;
CD = AC – AD
Mà AB = AC, AE = AD (GT)
=> BE = CD
BE cạnh chung
ˆ
ˆ
EBC = DCB

( Hai góc ở đáy tam giác cân)
=> ∆BCE = ∆CBD ( C- G–C)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b) Ta có: EBI = EBC - IBC ; DCI = DCB - ICB

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
mà EBC = DCB; IBC = ICB (hai góc tương ứng)

ˆ
ˆ
=> EBI = DCI

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 16


Xét có: ∆IBE và ∆ICD
BE = BD ( câu a)
ˆ
ˆ
IEB = IDC ( Câu a)
ˆ
ˆ
EBI = DCI ( chứng minh trên)

=> ∆IBE = ∆ICD (G – C – G)
=> IB = IC, ID = IE ( hai canh tương ứng)
Khai thác: bài toán 4.1 a) trường hợp ∆BCE = ∆CBD theo trường hợp góc - cạnh
– góc. Trong đó hai góc là do yếu tố tam giác cân. Và hai cạnh bằng nhau BC =
CB.
Dựa vào đó ta phát triển bài toán mới như sau:

Bài 4.2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho BD =
CE. Từ D kẽ DH ⊥ AB (H ∈ AB). Từ E kẽ EK ⊥ AC (K ∈AC). Chứng minh rằng:
a) DH = EK
b) Gọi I là giao điểm của DH và EK . ∆IDE là ta giác gì? Vì sao?

∆ABC (AB = AC)
GT

D,E ∈ BC, BD = CE
DH ⊥ AB. EK ⊥ AC
a)
DH = EK

KL

b) ∆IDE là ta giác gì? Vì sao?

* Phân tích: a) ta thấy DH và CK là hai cạnh của hai tam giác BDH và tam giác
CEK. chứng minh dựa vào trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
b) từ câu a có thể suy ra hai góc IDE bằng góc IED. Dựa vào hai góc đối
đỉnh.
Chứng minh
a) Xét ∆BDH và ∆CEK có
BD = CE ( GT);

ˆ ˆ
H = K = 90 0 ;

ˆ ˆ
B = C (hai góc đáy tam giác cân)

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 17


=> ∆BDH = ∆CEK (G – C – G )
=> DH = CK ( hai cạnh tương ứng)
b) Từ câu a) suy ra
ˆ
ˆ
=> D1 = E1 ( hai góc tương ứng)
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Mà D 2 = D1 , E 2 = E1 ( Hai góc đối đỉnh)
ˆ
ˆ
=> D 2 = E 2

=> ∆IDE cân tại I.
* Khai thác: theo tính chất của tam giác cân, và điều kiện BD = CE, ta vẽ thêm
AD và AE để có thêm hai tam giác bàng nhau mới.
Bài toán 4.3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho
BD = CE. Chứng minh rằng:
a) AD = AE
b) Từ D kẽ DH ⊥ AB (H ∈ AB). Từ E kẽ EK ⊥ AC (K ∈AC).Gọi I là giao điểm
của DH và EK . chứng minh ID = IE.
∆ABC (AB = AC)
GT

D,E ∈ BC, BD = CE
DH ⊥ AB. EK ⊥ AC
a)AD = AE

KL

* Phân

b) ID = IE

thực

tích: a)
hiện

chúng minh tam giác ABD bằng Tam giác ACE theo trường hợp (c – g – c).
b) chứng minh giống như bài 4.2 => ID = IE hai cạnh bên.
Chứng minh
a) Xét ∆ABD và ∆ACE có
AB = AC ( GT)
BD = CE (GT)

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 18


ˆ
ˆ

ABD = ACE ( Hai góc đáy tam giác cân)

=> ∆ABD = ∆ACE ( C – G – C)
=> AD = AE ( hai cạnh tương ứng)
b) Chứng minh ∆IDE cân tại I như bài 4.2 => ID = IE (hai cạnh bên)
Khai thác: với việc tạo them hai cạnh bằng nhau ta cũng có bài tốn tương tự.
Bài tốn 4.4: cho tam giác ABC. Từ A kẽ AM vuông góc BC (M∈ BC). Trên tia
đối của BM lấy điểm D, trên tia đối của CM lấy điểm E, sao cho BD = MC, CE =
MB. Từ B kẽ BH ⊥ AD(H∈AD), từ C kẽ CK ⊥ AE ( K∈ AE).
a) chứng minh rằng: AD = AE
b) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Xác định dạng của tam giác OBC.
∆ABC
GT

KL

A

AM ⊥ BC,

* Phân tích: a) để chứng

BD = MC, CE = MB

minh H AD = AE, ta chứng
cho

BH ⊥ AD(H∈AD), CK ⊥ AE ( K∈ AE)
a) AD = AE
b) Xác định dạng của tam giác OBC

D

1

21
21
minh cho B∆AMD = ∆AME
M

1
C

hai tam giác này có đã có đủ
những yewu61 tố để bằng
O

nhau.
b) tương tự bài 4.3 ta chứng minh cho gócOBC bằng gócOCB.
Chứng minh
a) Xét ∆AMD và ∆AME có
MD = MB+ BD; ME = MC + CE
Mà MB = CE; MC = BD
=> MD = ME
AM cạnh chung
ˆ
ˆ
AMD = AME = 90 0

=> ∆AMD = ∆AME ( C – G – C)

=> AD = AE (hai cạnh tương ứng)

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 19

K
E


b) từ AD = AE ( ở trên)
=> ∆ADE cân tại A.
ˆ ˆ
=> D = E ( hai góc đáy tam giác cân)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mà B1 + D = 180 0 , C1 + E = 180 0 ( hai góc nhọn tam giác vuông)
ˆ
ˆ
=> B1 = C1
ˆ
ˆ
=> B2 = C 2 ( đối đỉnh với hai góc bằng nhau)

=> ∆ OBC là tam giác cân.
Bài tốn này có thể khai thác nhiều khía cạnh khác...
2. Kết quả đạt được:
Qua việc rèn luyện năng lực giải toán bằng cách tại ra bài toán mới thực tế

đã làm cho học sinh say mê học toán hơn. Giờ học thu hút được nhiều học sinh
giải tốn hơn, bản thân các em có lịng tin vào khả năng của mình, nhiệt tình
học và chất lượng tiến bộ rõ rệt.
Khi đem so sánh đối chứng với khảo sát ban đầu:
Sỉ

Thời gian

số

Trước khi thực hiện
đề tài
Sau khi thực hiện
đề tài
II.
1.

Giỏi
Số
lượng

Khá
%

Số
lượng

60

1

1,6 10

60

2

3.3 26

%
16.
7
43.
3

Trung bình Yếu - kém
Số
Số
%
%
lượng
lượng
36.
27
45
22
7
36.
16.
22

10
7
7

KẾT LUẬN
Ý tưởng “Dạy học phát huy tích cực, sáng tạo của học sinh” đã có từ

lâu, cái mới là:
Để biến ý tưởng thành hiện thực mục tiêu mà tôi nghĩ là phát huy tối đa sự
vận động, tính tích cực sáng tạo của học sinh. Nhưng cách tiến hành nhẹ nhàng,
không gị bó, dễ hiểu, khơng là phức tạp hố bài giảng. mục đích cuối cùng là

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 20


thơng qua bài giảng, một bài tốn ta tìm cách hình thành được và phát huy được
năng lực tư duy sáng tạo của học sinh.
Từ một bài toán ban đầu, qua việc giải toán giáo viên dần gợi mở từng yếu tố
để có thể đi đến bài mới, hướng dẫn học sinh tìm ra sự tương quan giữa hai bài, tìm
cách giải cho bài mới. từ đó cho học sinh tự đặc ra những bài toán tương tự để giải.
từ đó hình thành khả năng tư duy sáng tạo.
2. Kinh nghiệm này có thể áp dụng cho tất cả các khối lớp ở trường trung học
cơ sở trong toàn huyện.
3. Chúng ta là những thầy trực tiếp giảng dạy, là phải tìm ra “phương pháp”
giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh.
Muốn vậy đạt được mục đích trong giảng dạy, bản thân tơi phải tự học, tự
ngiên cứu để vốn kiến thức của mình ngày càng nhiều và càng có bề dày kinh
nghiệm.

Là người thầy chúng ta phải ln trau dồi kiến thức, tìm ra phương pháp
giảng dạy, cho phù hợp với các đối tượng học sinh, để thực hiện tốt mục tiêu giáo
dục của Đảng. Cùng với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận
dụng đổi mới PPDH trong quá trình dạy học hiện nay. Dạy học theo hướng trên rèn
luyện cho học sinh kỹ năng thực hành giải toán cũng như kỹ năng vận dụng các
kiến thức đã học vào thực tế đời sống. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất
trí tuệ cần thiết của người học tốn. Đặc biệt là tính tích cực, chủ động, linh hoạt,
sáng tạo. Khơng những vậy nó cịn thể hiện một mục tiêu cũng không kém phần
quan trọng là dạy người thông qua dạy chữ.
Đông Hưng A, ngày .... tháng .... năm ....
Người viết SKKN
…………………………
HỘI ĐỒNG THI ĐUA KHEN THƯỞNG NHÀ TRƯỜNG
Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 21


...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
HỘI ĐỒNG THI ĐUA PGD THỐNG NHẤT XẾP LOẠI
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

Sáng kiến kinh nghiệm “ Hình thành năng lực giải tốn cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu"

Trang 22