DE CUONG ON TAP CUOI NAM TOAN 9

PHẦN ĐẠI SỐ 9
A/. HỆ PHƯƠNG TRÌNH :
I/. Kiến thức cơ bản :
* Với hệ phương trình :
1
2
( )
' ' '( )
ax by c D
a x b y c D
+ =


+ =

ta có số
nghiệm là :
Số nghiệm Vị trí 2 đồ thị ĐK của hệ số
Nghiệm duy
nhất
D
1
cắt D
2
' '
a b
a b
≠
Vô nghiệm D
1
// D

2
' ' '
a b c
a b c
= ≠
Vô số nghiệm D
1

≡
D
2
' ' '
a b c
a b c
= =
II/. Các dạng bài tập cơ bản :
Dạng 1 : Giải hệ phương trình (PP cộng hoặc thế )
1).
2 3 6(1) 4 6 12(3)
2 3(2) 3 6 9(4)
x y x y
x y x y
+ = + =
 
⇔
 
− = − =
 
Cộng từng vế của (3) và (4) ta được :
7x = 21 => x = 3

Thay x = 3 vào (1) => 6 + 3y = 6 => y = 0
Vậy ( x = 3; y = 0) là nghiệm của hệ PT
2).
7 2 1(1)
3 6(2)
x y
x y
− =


+ =

Từ (2) => y = 6 – 3x (3)
Thế y = 6 – 3x vào phương trình (1) ta được :
7x – 2.(6 – 3x) = 1 => 13x = 13 => x = 1
Thay x = 1 vào (3) => y = 6 – 3 = 3
Vậy ( x = 1; y = 3) là nghiệm của hệ phương trình.
Dạng 2 : Tìm tham số để hệ PT thoả đk của đề bài
1). Cho hệ phương trình:
5
4 10
x my
mx y
+ =


+ = −

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình :
- Vô nghiệm - Vô số nghiệm .

Giải :
♣ Với m = 0 hệ (*) có 1 nghiệm là (x =5; y=
5
2
−
)
♣ Với m
0≠
khi đó ta có :
- Để hệ phương trình (*) vô nghiệm thì :

1 5
4 10
m
m
= ≠
−
<=>
2
2
4
2
2
10 20
m
m
m
m
m
= ±


=

⇔ ⇔ =
 
≠ −
− ≠


(thoả)
Vậy m = 2 thì hệ phương trình trên vô nghiệm
- Để hệ phương trình (*) có vô số nghiệm thì :

1 5
4 10
m
m
= =
−
<=>
2
2
4
2
2
10 20
m
m
m
m

m
= ±

=

⇔ ⇔ = −
 
= −
− =


(thoả)
Vậy m = - 2 thì hệ phương trình trên có vô số nghiệm
2) Xác định hệ số a; b để hệ phương trình :
2 4
5
x by
bx ay
+ = −


− = −

(I) có nghiệm (x = 1; y = -2)
Giải :
Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta được :
2 2 4 2 6 3
2 5 2 5 2 3 5
b b b
b a a b a

− = − − = − =
  
⇔ ⇔
  
+ = − + = − + = −
  
3
4
b
a
=

⇔

= −

Vậy a = -4 ; b = 3 thì hệ có nghiệm (1;-2)
III/. Bài tập tự giải :
1). Giải các hệ phương trình :
a).
7 4 10
3 7
x y
x y
− =


+ =

b).

10 9 3
5 6 9
x y
x y
− =


+ =

c).
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y

+ =




+ =


2). Cho hệ PT :
1
2
x y
mx y m

+ =


+ =

a). Với m = 3 giải hệ PT trên.
b). Tìm m để hệ PT có một nghiệm duy nhất, có VSN
B/. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
I/. Kiến thức cơ bản :
1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu gọn
Với phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (
0a
≠
) ta có :
2).
2
2 1
2
1 1
x
x x
− =
− +
(*) - TXĐ :
1x ≠ ±
* Phương pháp cộng :
- Biến đổi hệ pt về dạng có hệ số của 1 ẩn
bằng nhau hoặc đối nhau .

- Cộng (trừ) từng vế của 2 pt => PT bậc I một
ẩn
- Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại.
* Phương pháp thế :
- Từ 1 PT của hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo
x).
- Thay x (hoặc y) vào PT còn lại => PT bậc
nhất 1 ẩn số .
- Giải PT 1 ẩn vừa tìm rồi tìm giá trị ẩn còn lại.
Công thức nghiệm
Công thức nghiện thu
gọn (b chẳn; b’=
2
b
)
2
4b ac∆ = −
-
0∆ <
: PTVN
-
0
∆ =
: PT có n
0
kép
1 2
2
b
x x

a
−
= =
-
0∆ >
: PT có 2 n
0
1 2
;
2
b
x x
a
− ± ∆
=
2
' 'b ac∆ = −
-
' 0∆ <
: PTvô nghiệm
-
' 0∆ =
: PT có n
0
kép
1 2
'b
x x
a
−

= =
-
' 0∆ >
: PT có 2 n
0
1 2
' '
;
b
x x
a
− ± ∆
=
* Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt
☺Nếu a + b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
1 2
1;
c
x x
a
= =
☺Nếu a – b + c = 0 => PT có hai nghiệm là :
1 2
1;
c
x x
a
−
= − =
2). Hệ thức Viét :

* Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (
0a
≠
) thì tổng và tích của hai
nghiệm là :
1 2 1 2
; .
b c
x x x x
a a
−
+ = =
II/. Các dạng bài tập cơ bản :
♣ Dạng 1 : Giải phương trình
1). 4x
2
– 11x + 7 = 0 (a = 4; b = – 11; c = 7)
* Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm
2 2
4 ( 11) 4.4.7 9 0 3b ac∆ = − = − − = > ⇒ ∆ =
Vì
0∆ >
nên phương trình có 2 nghiệm là :

1
11 3 7
2 8 4
b
x
a
− + ∆ +
= = =
;
2
11 3
1
2 8
b
x
a
− − ∆ −
= = =
* Cách 2 : Trường hợp đặc biệt
Vì a + b + c = 4 + (-11) + 7 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm là :
1 2
7
1;
4
c
x x
a
= = =
(*)

2
2 1.( 1) 2.( 1).( 1)
1 ( 1).( 1) 1.( 1).( 1)
x x x x
x x x x x
− + −
⇔ − =
− + − + −
2
2
2 1 2 2
2 3 0
x x x
x x
⇔ − + = −
⇔ − − =
Vì a – b + c = 2 – (– 1) – 3 = 0
Nên phương trình có 2 nghiệm là :
1 2
3
1;
2
c
x x
a
−
= − = =
3). 3x
4
– 5x

2
– 2 = 0 (**)
Đặt X = x
2
( X
≥
0)
(**)
2
3 5 2 0X X⇔ − − =

⇔
X
1
= 2 (nhận) và X
2
=
1
3
−
(loại)
Với X = 2 => x
2
= 2 <=> x =
2±
♣ Dạng 2 : Phương trình có chứa tham số
VD : Cho PT : x
2
– 4x + 2m – 1 = 0
Tìm m để phương trình : - Vô nghiệm

- Có nghiệm kép
- Có 2 nghiệm phân biệt
Giải :
Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m – 1
⇒
2
' ( 2) 1.(2 1) 3 2m m∆ = − − + = −
* Để phương trình trên vô nghiệm thì
0∆ <
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − < ⇔ − < − ⇔ >
* Để phương trình trên có nghiệm kép thì
0
∆ =
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − = ⇔ − = − ⇔ =
* Để PT trên có 2 nghiệm phân biệt thì
0∆ >
3
3 2 0 2 3
2
m m m⇒ − > ⇔ − > − ⇔ <
(Lưu ý : Để PT có nghiệm thì
0
∆ ≥
)

VD : Cho PT (m – 1)x
2
– 2m
2
x – 3(1 + m) = 0
a). Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm x = - 1 ?
b). Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của PT.
b). Khi
1 2
10x x− =
2
1 2
( ) 100x x⇔ − =

2
1 2 1 2
2 2
2
2
( ) 4 100
2 4( 4) 100
4 4 16 100
20 2 5
x x x x
m
m
m m
⇔ + − =
⇔ − − − =
⇔ + + =

⇔ = ⇔ = ±
Vậy khi m =
2 5±
thì PT có 2 nghiệm
1 2
10x x− =
☺ Loại 1 : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước
- Tính
∆
theo tham số m
- Biện luận
∆
theo ĐK của đề bài ;
- Tìm ĐKXĐ của phương trình (nếu có)
- Biến đổi về dạng PT bậc 2 một ẩn số.
- Giải PT bằng công thức nghiệm
- Nhận nghiệm và trả lời
☺Loại 2 : Tìm tham số m để phương trình có
nghiệm x = a cho trước :
- Thay x = a vào PT đã cho => PT ẩn m
- Giải PT ẩn m vừa tìm được
Giải :
a). Vì x = -1 là nghiệm của phương trình, khi đó :
2 2
2
2
1 2
( 1).( 1) 2 .( 1) 3.(1 ) 0
1 2 3 3 0
2 0 1; 2

m m m
m m m
m m m m
⇒ − − − − − + =
⇔ − + − − =
⇔ − − = ⇔ = − =
Vậy m
1
= - 1; m
2
= 2 thì phương trình có nghiệm
x = -1
b). Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình
Vì PT có nghiệm x
1
= - 1 => x
2
=
3(1 )
1
c m
a m
− +
=
−
+ Với m = 2 => x

2
= 9
+ Với m = -1 => x
2
= 0
Vậy : Khi m = 2 thì nghiệm còn lại của PT là x
2
= 9
Và khi m = -1 thì nghiệm còn lại của PT là x
2
= 0
VD : Cho PT : x
2
– 2x – m
2
– 4 = 0
Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả :
a).
2 2
1 2
20x x+ =
b).
1 2
10x x− =
Giải :
Vì a.c < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm với

mọi m.
Theo hệ thức Viét ta có :

1 2
2
1 2
2
. 4
S x x
P x x m
= + =
= = − −
a). Khi
2 2
1 2
20x x+ =
2
1 2 1 2
2 2
2
( ) 2 20
2 2( 4) 20
4 2
x x x x
m
m m
⇔ + − =
⇔ − − − =
⇔ = ⇔ = ±
Vậy m =

2±
thì PT có 2 nghiệm thoả
2 2
1 2
20x x+ =
III/. Bài tập tự giải :
Dạng 1 : Giải các phương trình sau :
1).
2
10 21 0x x− + =
2).
2
3 19 22 0x x− − =
3).
2
(2 3) 11 19x x− = −
4).
8
1 1 3
x x
x x
+ =
+ −
5).
5 7 2 21 26
2 2 3
x x
x x
+ +
− =

− +
6).
4 2
13 36 0x x− + =
7).
2
1 1
4,5 5 0x x
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
Dạng 2 : Tìm tham số m thoả ĐK đề bài
1). Cho phương trình : mx
2
+ 2x + 1 = 0
a). Với m = -3 giải phương trình trên.
b). Tìm m để phương trình trên có :
- Nghiệm kép
- Vô nghiệm
- Hai nghiệm phân biệt
2). Cho phương trình : 2x
2
– (m + 4)x + m = 0
a). Tìm m để phương trình có nghiệm là 3.
b). Khi đó tìm nghiệm còn lại của phương trình.
3). Cho phương trình : x
2
+ 3x + m = 0

a). Với m = -4 giải phương trình trên
b). Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả điều kiện
2 2
1 2
34x x+ =
C/. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ :
I/. Kiến thức cơ bản :
1). Điểm A(x
A
; y
A
) & đồ thị (C) của hàm số y =
(x):
- Nếu f(x
A
) = y
A
thì điểm A thuộc đồ thị (C)
- Nếu f(x
A
)
≠
y
A
thì điểm A không thuộc đồ thị

(C)
2). Sự tương giao của hai đồ thị :
Với (C) & (L) theo thứ tự là đồ thị của hai hàm
số :
y = f(x) và y = g(x) . Khi đó ta có :
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) &
Dạng 2 : Xác định hàm số
VD
1
: Cho hàm số : y = ax
2
. Xác định hàm số trên
biết đồ thị (C) của nó qua điểm A( -1;2)
Giải
Thay toạ độ của A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm
số
Ta được : 2 = a.( -1) => a = - 2
Vậy y = -2x
2
là hàm số cần tìm.
VD
2
: Cho Parabol (P) : y =
1
2
x
2

a). Vẽ đồ thị hàm số trên.
☺Loại 3 : Tìm tham số m để phương trình có

2 n
0
thoả ĐK cho trước là
1 2
n m
x x
α β δ
+ =
…. :
- Tìm ĐK của m để PT có 2 nghiệm
- Sử dụng Viét để tính S và P của 2 n
0
theo m.
- Biến đổi biểu thức
1 2
n m
x x
α β δ
+ =
về dạng S; P
=> PT hoặc hệ PT ẩn là tham số m
* Ghi nhớ : Một số hệ thức về x
1
; x
2
thường gặp
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )

2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
* 2
* 4
*
* 3 ( )
1 1
*
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
+ = + −
− = + −
− = + −
+ = + − +
+
+ =

(L) :
f(x) = g(x) (1)
- Nu (1) vụ nghim => (C) & (L) k./cú im
chung
- Nu (1) cú n
0
kộp => (C) & (L) tip xỳc nhau
- Nu (1) cú 1n
0
hoc 2 n
0
=> (C) & (L) cú 1 hoc
2 im chung.
II/. Cỏc dng bi tp c bn :
Dng 1 : V th
VD : Cho 2 hm s y = - x + 1 v y = 2x
2
.
a). Hóy V th 2 h/s lờn cựng mt phng
Oxy.
b). Da vo th tỡm honh giao im v
kim tra li bng PP i s.
Gii :
- Xỏc nh to cỏc im thuc th :
x 0 1
y = - x + 1 1 0
x -1 -ẵ 0 ẵ 1
y = 2x
2
2 ẵ 0 ẵ 2

- V th :
b). Hai th trờn cú honh giao im l x
1
=
-1 v x
2
= ẵ
Tht vy :
Ta cú PT honh giao im ca 2 h/s l:
2 2
1 2
2 1 2 1 0
1
1;
2
x x x x
x x
= + + =
= =
b). Tỡm m ng thng (D) : y = 2x + m tip xỳc
vi (P)
Gii :
a).
- Xỏc nh to cỏc im thuc th :
x -2 -1 0 1 2
y = ẵx
2
2 ẵ 0 ẵ 2
- V th :
b). Tacú PT honh giao im ca (P) & (D) l :

2 2
1
2 4 2 0
2
x x m x x m= + =
(1)
(P) v (D) tip xỳc nhau khi (1) cú nghim kộp
2
' ( 2) 1.( 2 ) 0
4 2 0 2
m
m m
= =
+ = =
Vy m = -2 thỡ th (P) v (D) tip xỳc nhau.
III/. Bi tp t gii :
1). Cho hai hm s :
- (D) : y = 4x + 3
- (P) : y = x
2

a). V th (D) v (P) lờn cựng mp to
b). Da vo th xỏc nh to giao im ca
(D) v (P), kim tra li bng phng phỏp i s.
2). Cho hm s (P) : y = ax
2
(
0a

)

a). Xỏc nh hm s (P). Bit rng th ca nú qua
im A(2; - 2).
b). Lp phng trỡnh ng thng (D). Bit rng
th ca nú song song vi ng thng y = 2x v tip
xỳc vi (P).
Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
Dạng toán chuyển động
- th ca h/s y = ax + b cú dng ng thng,
nờn khi v ta cn tỡm 2 im thuc th
- th ca h/s y = ax
2
cú dng ng cong
parabol i xng nhau qua Oy, nờn khi v ta cõn
tỡm khong 5 im thuc th.
y = 2x
2
x
y =
2
1
2
x
x
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và
một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn
từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai
xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất
tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km
và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B
trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai
bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và
một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40
km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời
gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã
đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30
km/h , xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi đợc
4
3
quãng đờng AB , xe con tăng vận
tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B
sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi
từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận
tốc lúc đi 3 km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1
giờ 30 phút.

Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km đi ngợc chiều nhau .
Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi
xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 km/h.

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với
vận tốc 10 km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h . Hỏi đến
mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h . Sau đó một thời gian, một
ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ

đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp
giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 km . Tính quãng đờng AB

Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h . Khi đến B ngời
đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 km/h . Tính quãng đờng AB
biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h , sau đó ngợc
từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa
hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô là không
đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h .
Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời
lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn
1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy
với vận tốc 20 km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40
phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B
cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một
ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng
vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km.
Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km .
Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km , cả đi và về mất 8 giờ 20
phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca
nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi
vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h.

Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120
km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến
nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời
gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định
. Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe
phải tăng vận tốc thêm 6 km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30
km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng
nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp
tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
Dạng Toán Năng suất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi
đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với
đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nh-
ng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn
thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy
phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng
đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà
còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ
xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao
nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4
giờ thì hoàn thành đợc
3
2
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong

mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã
định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ
hai lµm nèt c«ng viƯc cßn l¹i trong 10 giê . Hái tỉ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ
hoµn thµnh c«ng viƯc.
Bµi 114: Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø
nhÊt lµm 3 giê vµ ngêi thø hai lµm 6 giê th× hä lµm ®ỵc 25% c«ngviƯc . Hái mçi ngêi lµm
c«ng viƯc ®ã trong mÊy giê th× xong .
D¹ng To¸n ThĨ tÝch
Bµi 115: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ kh«ng chøa níc ®· lµm ®Çy bĨ trong 5
giê 50 phót . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê .
Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bĨ ?
Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bĨ mÊt 1 giê
48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30
phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bĨ trong bao l©u ?
Bµi 117: Mét m¸y b¬m mn b¬m ®Çy níc vµo mét bĨ chøa trong mét thêi gian quy
®Þnh th× mçi giê ph¶i b¬m ®ỵc 10 m
3
. Sau khi b¬m ®ỵc
3
1
thĨ tÝch bĨ chøa , m¸y b¬m
ho¹t ®éng víi c«ng st lín h¬n , mçi giê b¬m ®ỵc 15 m
3

. Do vËy so víi quy ®Þnh , bĨ
chøa ®ỵc b¬m ®Çy tríc 48 phót. TÝnh thĨ tÝch bĨ chøa.
Bµi 118: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ chøa kh«ng cã níc th× sau 1 giê 30
phót sÏ ®Çy bĨ . NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y
tiÕp trong 20 phót th× sÏ ®ỵc

5
1
bĨ . Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bĨ ?

Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bĨ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót
sÏ ®Çy bĨ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái
nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bĨ trong bao l©u ?


PHẦN HÌNH HỌC 9
A/. KIẾN THỨC :
I). HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG :
1. Hoàn thành các hệ thức lượng trong tam
giác vuông sau :
1). AB
2
= BH.BC ; AC
2
= HC.BC
2). AH
2
= BH.HC
3). AB. AC = BC.AH
4).
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2. Hoàn thành các đònh nghóa tỉ số lương giác
của góc nhọn sau :

1.
sin
α
=

D
H
2.
cos
α
=
K
H
3.
tg
α
=

D
K
4.
cot g
α
=
K
D
3. Một số tính chất của tỉ số lượng giác :
* Nếu
α
và

β
là hai góc phụ nhau :
1.
sin
α
=
cos
β
2.
cos
α
=
sin
β
3.
tg
α
=
cotg
β
4.
cot g
α
=
tg
β

4. Các hệ thức về cạnh và góc
*
.sin .cosb a B a C= =

. .cotb c tgB c gC= =
* c = a.SinC = a. CosB
c = b . tgC = b. cotgB
II). ĐƯỜNG TRÒN :
1). Quan hệ đường kính và dây : 2). Quan hệ giữa dây và k/cách từ tâm đến dây :
3). Tiếp tuyến : 4). Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
5. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d & R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
(OH = d)
2
d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
(OH = d)
1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
0 d > R
AB
⊥
CD tại I
IC ID
⇔ =
( CD < AB = 2R )
- AB = CD  OH = OK
- AB > CD  OH < OK
a là ttuyến  a
⊥
OA tại A
MA; MB là T.tuyến
=>

¶
¶
µ
¶
1 2
1 2
MA MB
M M
O O
=


=


=

Cạnh kề
Cạnh đối
α
Huyền
(OH = d)
6.Vò trí tương đối của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa OO’ với R & r
1). Hai đường tròn cắt nhau :

2 R – r < OO’ < R + r
2). Hai đường tròn tiếp xúc nhau :

1

OO’ = R + r
OO’ = R – r > 0
3). Hai đường tròn không giao nhau :

Ngoài nhau Đựng nhau Đồng tâm
0
OO’ > R + r
OO’ < R – r
OO’ = 0
III/. GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN :
1. Góc ở tâm :

2. Góc nội tiếp

3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

4. Góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn :

5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn : 6. Một số tính chất về góc với đường tròn :
OO’ là trung trực của AB
Ba điểm O; A; O’ thẳng hàng
·
»
AOB sd AB=
·
»
1
2
AMB sd AB=
·

»
1
2
BAx sd AB=
·
»
»
1
( )
2
BMD sd BD sd AC= −
ABCD nội tiếp <=>
µ
µ
µ
µ
0
0
180
180
A C
B D
+ =
+ =

7. Tứ giác nội tiếp :
* ĐN :
* Tính chất :

8. Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp :


9. Một số hệ thức thường gặp :
(do
∆
ABI
∆
DCI)
(do
∆
MAD
∆
MCB)
10. Một số hệ thức thường gặp :
(do
∆
MBA
∆
MAC)
11. Độ dài đường tròn & cung tròn :
* Chu vi đường tròn :
* Độ dài cung AB có số đo n
0
:
12. Diện tích hình tròn & hình quạt tròn :
* Diện tích hình tròn :
* Diện tích hình quạt cung AB có số đo n
0
là :

B/. BÀI TẬP :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính
AOB, COD vuông góc nhau . Trên cung nhỏ BD
lấy điểm M (M khác B và D ), dây CM cắt AB tại
Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính
BC , điểm A thuộc nửa đường tròn, H là hình
chiếu của A trên BC. Vẽ về cùng phía với A đối
ABCD là tứ giác nội tiếp
; ; ; ( )A B C D O⇔ ∈
hoặc
µ
µ
0
180A C+ =
=> ABCD nội tiếp
·
·
0 0
90 ; 90ADB ACB= =
=> A;B;C;D thuộc đ.tròn đ.kính AB
=> ABCD nội tiếp đ.tròn đ.kính AB
·
µ
·
·
·
µ
0
0
; 180

180
xAD C xAD DAB
DAB C
= + =
⇒ + =
=> ABCD nội tiếp
IA.IC = IB.ID
MA.MB = MD.MC
MA
2
= MB.MC
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= 8R
2
·
»
»
( )
1
2
AID sd AD sd BC= +
»
0

. .
180
AB
R n
l
π
=
2 .C R d R= Π =
2
.S R
π
=
S
quạt
=
2 0
0
. . .
360 2
R n l R
π
=
N, tip tuyn ca ng trũn ti M ct AB ti K,
ct CD ti F.
a). CMR : T giỏc ONMD ni tip.
b). CM : MK
2
= KA.KB
c). So sỏnh :
ã

ã
&DNM DMF
Bi 2 : Cho hỡnh vuụng ABCD, im E thuc BC.
Qua B k ng thng vuụng gúc vi DE, ct DE
ti H v ct DC ti K.
a). CMR : T giỏc BHCD ni tip.
b). Tớnh gúc CHK.
c). CM : KH.KB = KC.KD
vi BC cỏc na ng trũn cú ng kớnh theo
th t l HB; HC chỳng ct AB, AC theo th t
D, E.
a). T giỏc ADHE l hỡnh gỡ ?
b) CMR : T giỏc BDEC ni tip.
c). Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi ba na
ng trũn bit HB = 10cm; HC = 40cm.
Bi 4 : Cho

ABC cõn ti A cú cnh ỏy nh
hn cnh bờn, ni tip ng trũn (O). Tip
tuyn ti B v C ca ng trũn ln lt ct tia
AC v tia AB D v E. Chng minh :
a). BD
2
= AD.CD
b). T giỏc BCDE ni tip
c). BC // DE
Cho (O;R) đờng kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax của (O). Lấy N bất kỳ thuộc (O). BN cắt
Ax tại C. Gọi P là điểm chính giữa cung AN nhỏ. BP cắt AN và AC lần lợt tại E và D. AP
cắt BC tại Q.
a)Chứng minh tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp. (3điểm)

b) Chứng minh CAQ đồng dạng với CBD (2điểm)
c) Tứ giác ACQE là hình gì? Vì sao? (1,5 điểm)
d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông. (0,5điểm)
H
E
Q
D
P
C
B
O
A
N
a)Chứng minh tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp. (3điểm)
Xét (O):
ã
o
APB 90
=
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
ã
o
QPE 90 =
(kề bù với
ã
o
APB 90
=
)
CMTT:

ã
o
QNE 90
=
ã
ã
o
QPE QNE 180 + =
Xét tứ giác PENQ:
ã
ã
o
QPE QNE 180 + =
(cmt)
Mà P và N là hai đỉnh đối nhau
Tứ giác PENQ là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nt)
b) Chứng minh CAQ đồng dạng với CBD (2điểm)
Xét (O):
ã
ằ
1
CAQ sd AP
2
=
(góc tạo bởi tia tt và dc chắn
ằ
AP
)
ã
ằ

1
NBP sd NP
2
=
(gnt chắn
ằ
NP
)
Mà
ằ
AP
=
ằ
NP
(P là điểm chính giữa
ằ
AN
)

ã
CAQ
=
ã
NBP
Xét CAQ và CBD:
à
C
chung
ã
CAQ

=
ã
NBP
(cmt)
CAQ đồng dạng với CBD (g-g)
c) Tứ giác ACQE là hình gì? Vì sao? (1,5 điểm)
Học sinh có thể dùng nhiều cách để chứng minh QE//AC. Tuỳ từng trờng hợp mà ngời
chấm cho biểu điểm phù hợp.
Chẳng hạn:
Xét AQB:
ANQB (
ã
o
ANB 90=
)
BPAQ (
ã
o
APB 90
=
)
Mà AN BP ={E}
E là trực tâm AQB (t/c ba đờng cao trong )
QE là đờng cao thứ ba của AQB
QE AB
Mà AC AB (AC là tiếp tuyến của (O))
QE //AC (Từ vuông góc đến song song)
ACQE là hình thang (định nghĩa hình thang)
d) Xác định vị trí của N để góc ADN vuông. (0,5điểm)
ã

o
AND 90
=
DN//AB
Kẻ NHAB Tứ giác ADNH là HCN DN = AH (1)
CM đợc DNB cân tại NDN= NB (2)
Từ (1) và (2): NB=AH.Đặt NB = x
Xét ANB:
à
o
N 90=
; NHABNB
2
= BH.BA (Hệ thức lợng tgiác vuông)
( )
( )
2
2 2
x 2R x 2R
x 2Rx 4R 0
x R R 5
x R R 5 loai
=
+ =

= +


=

( )
x R R 5 R 5 1= + =
Vậy N=(O;R)(B;
( )
R 5 1
)
PHN BA : THAM KHO (PHN BI TP)
1
Bi 1: (2,5 im)
Cho biu thc P=
1. Rỳt gn biu thc P
2. Tỡm x P <
Bài 2: (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy
thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: (1 điểm)
Cho phương trình
1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2
2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ
đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác
nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .
Bài 5: (0,5 điểm)

Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
Gợi ý một phương án bài giải
Bài 1:
P=
1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
2. Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định
của P có kết quả cần tìm là
Bài 2:
Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình . Giải ra ta có
nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x
2
-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2
2. Điều kiện cần tìm là
Bài 4:
1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.
2. nên hay .
Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE.
3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có
đều
cạnh R. Vậy AH= OM=
Bài 5:
Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc
tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.
Đề 2
Câu 1: (1, 5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) x

2
– 2 x + 4 = 0
b) x
4
– 29x
2
+ 100 = 0
c)
Câu 2: (1, 5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Câu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m
2
và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của
khu vườn.
Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
.
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x

1
x
2
- x
1
- x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết
BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.
Gợi ý một phương án bài giải
Câu 1:
a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x
1
= 5 – 1 và x
2
= 5 + 1.
b) Đặt t = x
2
≥ 0, ta được phương trình trở thành t
2
– 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2.
* t = 25 x
2

= 25 x = ± 5.
* t = 4 x
2
= 4 x = ± 2.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.
c)
Câu 2:
a)
b)
Câu 3:
Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).
Theo đề bài ta có:
Ta có: (*) x
2
– 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 thì y = 15 (nhận)
Khi x = 15 thì y = 45 (loại)
Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m)
Câu 4:
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thì (1) trở thành:
x
2
– 2x + 1 = 0 (x – 1)
2
= 0 x = 1.

b) (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Δ’ = m – 1 > 0 m > 1.
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
m > 1.
c) Khi m > 1 ta có:
S = x
1
+ x
2
= 2m và P = x
1
x
2
= m
2
– m + 1
Do đó: A = P – S = m
2
– m + 1 – 2m = m
2
– 3m + 1 = − ≥ – .
Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – .
Câu 5:

a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.
Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BF, CE là hai đường cao của ΔABC.
H là trực tâm của Δ ABC.
AH vuông góc với BC.
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà và (do AEHF nội tiếp)
Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:
(đối đỉnh)
Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC
2
– 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.
* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE)
* Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE)
Vậy HC = 6 (cm).
()