Đề thi chuyên toán tỉnh Hòa Bình năm học 09-10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH HÒA BÌNH
TRƯƠNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
Môn: TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 26/6/09
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: ( 2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
b) Cho x, y, z thỏa mãn:
2
5
5
x y z
xy yz xz
xyz
+ + =


+ + = −


= −

. Tính x
3
+ y

3
+ z
3
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
2
+ 2y
2
– 2xy + 3x – 3y + 2 = 0
b) Cho tam giác vuông có chu vi bằng 84cm, một cạnh góc vuông dài 35cm. Tính
diện tích của tam giác vuông đó.
Bài 3: ( 2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
1
13
xy x y
x y
− − =


+ =

b) Giải phương trình: x
2
– 3x – 2
1x −
+4 = 0
Bài 4; ( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD có tâm O, trên cạnh AB và BC lần lượt lấy 2
điểm I và M sao cho BI = CM.

a) Chứng minh rằng tam giác OIM là tam giác vuông cân.
b) Kéo dài AM cắt CD tại N. Chứng minh rằng: IM song song với BN
c) Gọi K là giao điểm của OM và BN. Chứng minh rằng: CK vuông góc với BN.
Bài 5: ( 1 điểm) cho tam giác ABC lấy điểm M thuộc BC. Gọi O là trung điểm của
AM. Nối B với O cắt AC tại N, nối C với O cắt AB tại P.
Người ta đã chứng minh được rằng:
PA NA
a
PB NC
+ =
là một số không đổi.
a) Hãy dự đoán kết quả của a ( yêu cầu giải thích cách dự đoán).
b) Hãy chứng minh dự đoán trên.
GIẢI
Bài 1: a) x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = ( x + y)
3
– 3x
2
y – 3xy
2
+ z
3
– 3xyz
= [ ( x + y)

3
+ z
3
] – 3xy( x + y + z) = ( x + y + z) [ ( x + y )
2
– ( x+ y)z + z
2
]
– 3xy ( x + y + z) = ( x + y + z)( x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx)
b)Từ a) => x
3
+ y
3
+ z
3
= ( x + y + z)( x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx) + 3xyz
Từ gt => x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2( xy + yz + zx) = 4
 x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 - 2( xy + yz + zx) = 4 – 2 ( -5) = 14
 x
3
+ y
3
+ z
3
= 2 ( 14 + 5 ) – 15 = 23
Vậy x
3
+ y
3
+ z
3
= 23
Bài 2:
a) Pt đã cho tương đương với PT: x
2
– ( 2y – 3)x + 2y

2
– 3y + 2 = 0 ( 1)
Ta có tồn tại y  PT ẩn x (1) có nghiệm 
∆

≥
0  4y
2
– 1
≤
0 
1 1
2 2
y− ≤ ≤
Do y nguyên nên y = 0 => x
2
+ 3x + 2 = 0  x
1
= -1 ; x
2
= -2 thỏa x nguyên
Vậy PT có nghiệm: (x,y) = ( -1; 0) ; ( -2; 0)
b)
giả sử tam giác ABC vuông tại A
có các cạnh góc vuông là b, c, cạnh
huyền là a và cạnh
b = 35cm. ( c > 0 ; a > 35 )
theo gt: a + b + c = 84 => a + c =
84- 35 = 49. (1)
Áp dụng định lí PiTa Go ta có

a
2
– c
2
= b
2

 ( a+ c)( a – c) = 1225
 a – c = 1225 : 49 = 25 (2)
từ (1) và (2) ta có 2a = 74  a = 37 => c = 12
a và c thỏa ĐK
Vậy cạnh góc vuông còn lại là 12cm .
Diện tích tam giác là: 35. 12 = 420 ( m
2
)
Bài 3: a)
Đặt S = x + y ; P = xy thì hệ Pt có dạng
2
1
2 13
P S
S P
− =


− =

 (S,P) = ( 5; 6) ; ( -3; - 2)
 x và y là nghiệm của các PT: x
2

– 5x + 6 = 0 và x
2
+ 3x – 2 = 0
Giải các PT có nghiệm của hệ PT là:
(x,y)= ( 2; 3) ; ( 3; 2) ;
3 17 3 17 3 17 3 17
; ; ;
2 2 2 2
   
− − − + − + − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
b) ĐK: x
≥
1.
PT đã cho tương đương với PT: ( x
2
– 4x + 4) + ( x – 1 + 2
1x −
+ 1) = 0
 ( x – 2)
2
+ (
1x −
- 1)
2
= 0 
2 0

1 1 0
x
x
− =



− − =


 x = 2 . Thỏa ĐK
Vậy PT có nghiệm x = 2.
Bài 4: a)
∆
BIO =
∆
CMO ( c.g.c)
OI = OM =>
∆
OIM cân tại O


c
b
a
C
B
A
∆
BIO =

∆
CMO =>
·
·
BOI COM=
.
Chứng minh tương tự có
∆
IAO =
∆
MBO =>
·
·
IOA MOB=

=>
·
· ·
·
BOI BOM COM IOA+ = +
Mà
·
· ·
·
BOI BOM COM IOA+ + +
= 180
0

2(
·

·
BOI BOM+
) = 180
0
=>
·
·
BOI BOM+
= 90
0
Hay
·
IOM
= 90
0

Vậy
∆
IOM vuông cân tại O.
b)Do AB // DN =>
BM MA
MC MN
=
Mà
BM AI
MC IB
=
=>
AI MA
IB MN

=
= > IM//BN ( định lí đảo của định lí Ta- Lét)
c) Có
·
·
BKM IMO=
= 45
0
( so le trong)
Mà
·
BCO
= 45
0
=>
· ·
BKO BCO=
=> BKCO nội tiếp =>
·
·
BOC BKC+
= 180
0
. Do
·
BOC
= 90
0

=>

·
BKC
= 90
0
=> CK
⊥
BN ( đpcm)
Bài 5:
a) Dự đoán: a = 1
*) giải thích: Khi M trùng B thì
a = 1; Khi M trùng C thi a = 1
b)Áp dụng định lí Mê-nê-lauýt
Vào
∆
ABM với 3 điểm P, O, C thẳng
hàng có
. .
PA CB OM
PB CM OA
= 1
=>
.
PA CB
PB CM
= 1 ( do OM= OA)
=>
PA
PB
=
CM

CB
(1)
Tương tự áp dụng định lí Me-nê-lauýt vào
∆
AMC với 3 điểm B, O, N thẳng hàng có
. .
NA BC OM
NC BM OA
= 1 =>
.
NA BC
NC BM
= 1 =>
NA
NC
=
BM
BC
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
PA NA CM BM CM BM
PB NC CB CB CB
+
+ = + =
=1


N
K
I

M
O
D
C
B
A
/
/
O
P
N
M
C
B
A