Tuyển tập đề thi vào THPT

Ôn thi THPT năm 2009
Phần 6 : Hình học

Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O

có R > R

tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính
COA và CO

B. Qua trung điểm M của AB , dựng DE AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O

tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O

tại G . CMR EC đi qua G
d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O

, vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác MCFE


Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ
điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED


b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC=

2
R

. CMR
16
25
=


CED
POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi
chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với
đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax .
Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích
của điểm H
Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt
nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI =

2
BH
và H ; F đối xứng nhau qua AC
Page 1 of 7
Ôn thi THPT năm 2009
Bài 125: Cho (O,R) và (O

,R

) (với R>R

) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng
tròn O

và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC
. Nối A với M cắt đờng tròn O

tại E .
a) So sánh AMO với NMC ( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O

P = R ; OP = R


c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O

Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB .
Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định
A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp
tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của
MPQ
biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45
0
.
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d
Bài 128: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh
BC tại E và cắt đờng tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 90
0
), một cung tròn BC nằm trong ABC và
tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI ,
MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là
giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC
Bài 130: Cho ABC ( AC > AB ;
CAB

> 90

0
) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của
AB , AC . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng
tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
Page 2 of 7
Ôn thi THPT năm 2009
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF . Hãy so sánh độ
dài các đoạn thẳng DH , DE .
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =
2R
, một đờng thẳng (d) quay quanh
A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .
a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn
B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của
(O)

Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung
AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) AFC và BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn . CMR
tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một
điểm bất kì trên cung nhỏ BD (
DEBE ;

) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R
2

c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số
ND
CN
Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là hai
điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của
AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn
(O) đờng kính AB
Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =60
0
sao cho tia Ox,
Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC
2
= 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung
quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Page 3 of 7
Ôn thi THPT năm 2009
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (
BAM ,
).

Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và
P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R
2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B (
CB

) và vẽ
đờng tròn tâm (O

) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung
DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O

) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O

) và MI
2
= MB.MC
(Lớp10- bộ đề toán)
Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa

đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với
đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm
K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C ,
D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính
giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lợt là H , I ;
giao điểm của MD với CN là K
a) CMR:
MAKNKD ;
cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM
cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn tại
điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
Page 4 of 7
Ôn thi THPT năm 2009
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di
động.
Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi
H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A
của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố

định .
b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng MN
luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho
0
90

=AKM
.
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của
cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD
và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 144: Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến
chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O
1
) , (O
2
) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại
điểm M . Kẻ các đờng kính BO
1
D và CO

2
E.
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR:

O
1
MO
2
vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc với
đờng thẳng d
Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R
2
cố định và một điểm M di động trên
cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ;
P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là
giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng
tròn cố định.
Page 5 of 7
Ôn thi THPT năm 2009

Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại
sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm
của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn
thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N .
Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P .
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO ,
AO cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các
điểm thứ hai E , F .
a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O)
Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn
( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của
đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc
BOM ).
a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b) CMR : CA và DB vuông góc với AB
c) CMR :
AMB

đồng dạng
COD

d) CMR : AC.BD = R
2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn . Gọi
các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại
K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ

. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc
đờng tròn (O;R)
Page 6 of 7
Ôn thi THPT năm 2009
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố
định.
Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao
cho cung AC < 90
0
và
0
90

=DOC
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm
chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại
I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B ,
K , S cùng thuộc một đờng tròn
Bài 152: Cho
ABC

(AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp
xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên
cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng
BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI
2
= MH . MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ

MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

Page 7 of 7