Luận văn phép Biến đổi Fuorier

Chơng I
Tổng quan về các phép biến đổi
1 Khái niệm về các phép biến đổi tín hiệu
1.1 Khái niệm.
Phép biến đổi của một hàm hoặc của một tín hiệu s (t) là thuật toán mà
kết quả của nó là một cách biểu diễn khác của s (t).
1.2 ý nghĩa.
Sự vận dụng biến đổi tín hiệu giúp cho việc biểu diễn phổ của tín hiệu
khi mà sự biển đổi hai chiều của hình ảnh có thể đạt đợc mục tiêu là tập chung
năng lợng hình ảnh trong một vùng nhỏ để phục vụ cho mục đích nén tín hiệu.
Ta có thể so sánh một lăng kính giống nh một phép biến đổi Fourier mà việc
phân tích ánh sáng mặt trời trong nó có phổ mà ta nhìn thấy nó có mầu khác
nhau (tức là có tần số là khác nhau). Sau đây phép biến đổi cũng cho biết sự
hợp thành của một tín hiệu trong việc xây dựng các khối hoặc có hàm cơ bản
của miền biến đổi. Trong miền Fourier, các khối xây dựng là hình sin. Tín
hiệu có biểu diễn duy nhất trong miền Furier giống nh tổng liên tiếp của các
hình sin của các biên độ khác nhau, các tần số và pha. Trong một sự tham gia
nửa biến đổi Walsh đơn giản có hàm cơ bản là sự biến đổi có độ rộng xung
trình tự của biên độ là 1 nh trong hình 1 - 1. ở đây nó đợc thừa nhận ngoại
trừ sự tiêu hao tổng hợp mà S(t) là của khoảng thời gian tồn tại từ t = 0 tới t =
1
Hình 1.1 Một số hàm Walsh điển hình.
Biển đổi Fourier nhận đợc là:
S(t) =

+


dtetS
tj
.).(

(1.1.1) (Thuận)
-1-
t = 0 t = 1
s(t) =

+

dtetS
tj
.).(
2
1


(1.1.2) (Ngợc)
Sự phân tích hàm S(t) là theo công thc (1.1) nghĩa là biến đổi Fourier
thuận. Nó phân tích S(t) trong các đờng hình sin có tần số

, biên độ /S(

)/và
pha < S(

). Ngợc lại với phép biến đổi Fourier thuận là phép biến đổi Furier
ngợc đợc định nghĩa theo công thức (1.2). Tổng hợp S(t) từ các hàm cơ bản
của e
tj

của biện độ phức S(

). Một cách nhìn khác của công thức (1.1) là độ
lớn của S(

) là tổng số của e
tj

mà S(t) chứa đựng. Vì vậy mà sự tơng quan
chéo của S(t) với e
tj


ta đợc kết quả là S(

). Một sự đơn giản tơng của (1.1)
là việc xác định các hệ số và của véc tơ cơ bản
e
1
= [1 0 ]
t
, e
2
= [ 0 1 ]
t
nó cần thiết chi việc tổng hợp véc tơ .
=

+






=






1
0
0
1

b
a
(1.1.3)
Để tìm hệ số ta cần lấy tích vô hớng của và e
1
= <,e
1
> = a (1.1.4)
và hệ số ta cần lấy tích vô hớng của và e

2
= <,e
2
> = b (1.1.5)
Hoặc là phép chiếu của lên e
1
và e
2
cho thứ tự và . Việc sử duụng
các hàm cơ bản đơn giản nh hàm Walsh sẽ rất đơn giản về biên độ hoặc trong
kết quả tính toán. Tuy nhiên số lợng phép toán thờng là chỉ một trong vài thừa
số trọn nh biển đổi riêng biệt. Một vấn đề nữa tính chất biển đổi của hàm
Walsh và sự thích hợp trong việc ứng dụng nó. Những nguyên nhân để ta da
đến các biến đổi khác nhau của tín hiệu là có nhiều nguyên nhân. Do đó cần
có các phép biến đổi tín hiệu khác nhau. Mỗi phếp biến đổi sẽ cho ra những u
nhợc điểm riêng và thích hợp cho từng loại tín hiệu mà ta áp dụng. Các phép
biến đổi khác nhau nh phép biến đổi Fourier (nh đã nói ở trên), phép biến đổi
Laplace, phép biến đổi Z.
Biến đổi Laplace là sự tổng hợp của phép biến đổi Fourier và nó diễn tả
hàm X(t) nh trọng lợng tổng liên tiếp của các hàm cơ bản e
st
. Nh vậy công
htức của biến đổi Laplace là:
X(t) =

+

dsesX
st
.).(

(1.1.6)
ở đây hàm tỷ trọng X(s) là biến đổi Laplace của X(t) và s là đại lợng
phức hay còn gọi là tần số phức.
-2-
Nh đơn giản nhìn từ (1.6), phép tính tơng đơng trong miền Laplace, sự
vi phân hoặc tích phân của X(t) trong miền thời gian đợc nhận bởi s hoặc 1/s.
Nh vậy biến đổi của Laplace trong miền vi- tích phân tuyến tính sẽ thay đổi nó
trong phơng trình đại số. Nghĩa là từ một phơng trình vi- tích phân phức tạp
bằng việc biến đổi Laplace đã biến đổi đợc về phơng trình đại số đơn giản để
tính toán. Kết quả quan trọng này là cơ sở của việc phân tích hệ thống tuyến
tính bằng biến đổi Laplace.
Mới hơn nữa là với sự áp dụng của phép biến đổi Fourier nhanh (Fast
Furier Transzitor) ký hiệu là FFT. Sự áp dụng phép biến đổi này đã làm cho
tốc độ tính toán tăng lên trong miền tần số, cho hoạt động của miền thời gian
via dụ nh tổng chập và sự tơng quan modem ra đa và thiết bị thu định vị âm
thanh. Việc da vào sử dụng phép biến đổi FFT là rất cần thiết để sử lý tín hiệu
và các hàm nh bộ lọc phù hợp và búp hớng đợc trình bày trong miền tần số.
Các phép biến đổi tín hiệu bởi công dụng của việc mang lại sự xen kẽ đại
diện. Thờng thì việc tìm là phơng pháp đặc biệt của tín hiệu thì khó khăn hoặc
không tìm đợc trong miền gốc. Sự tồn tại và xác định vị trí của chu kỳ phức,
phổ và mẫu pha cho ví dụ đặc trng có lợi trong miền tần số cho sự tách sóng
và phân loại tín hiêụ. Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi là việc nén
tín hiệu. Cùng với là ma trận Nx W mà các thành phần của nó là ví dụ điển
hình của hình ảnh. Sự biến đổi đợc cho từ công thức.
= W
T
. W
Lựa chọn cẩn thận trong ma trận biến đổi W có thể tạo ra sự biến đổi
hình ảnh ma trận là tha thớt và đạt độ lớn thành phần là lớn nhất của nó dày
đặc trong một vùng của . Đây là một dự tính tơng quan và năng lợng nén

bằng phép biến đổi. ở đây việc nén dữ liệu là bởi việc phát các thành phần vào
một vùng nhỏ đầu cuối có nhiệm vụ thu tín hiệu sau đó phục hồi hình ảnh nén
bằng bộ biến đổi ngợc. Đặc biệt là chỉ có 15% các thành phần cảu cần đợc
giữ lại không có kết quả có hại trong chất lợng hình ảnh.
1.3 ứng dụng của phép biến đổi tín hiệu
Các tín hiệu của quá trình đo lờng điều khiển. Ví dụ dòng điện, điện
áp nói chung là các đại lợng có độ lớn biến đổi theo thời gian và đợc ký
hiệu là X(t). Ta gọi chúng là tín hiệu trong miền thời gian cho chúng ta hình
ảnh của tiến trình tín hiệu. Để giúp quá trình sử lý tín hiệu, chúng ta thờng
quen dùng các phép biến đổi nhằm cung cấp thêm những thông tin cần thiết
cho quá trình sử lý và làm tăng hiệu quả xử lý của chúng. Các phép biến đổi
làm nhiệm vụ này, chúng chuyển đổi tín hiệu trong miền thời gian sang các
miền toạ độ khác nhau miền tần số, miền toán tử P, miền rời rạc Z và ngợc
lại. Tơng ứng với các toạ độ này, ta có biến đổi Fourier, biến đổi Laplace rời
rạc các kỹ s điện đã rất quen thuộc với biến đổi Laplace, nó giúp chúng ta
chuyển chơng trình tích phân của tín hiệu theo thời gian thành phơng trình đại
số với toán tử P. Cũng vậy biến đổi Fourier là công cụ hiệu quả cho phép
chuyển phơng trình vi tích phân của hàm tín hiệu theo thời gian thành các ph-
ơng trình đại số với số phức j.
Một câu hỏi đặt ra là tại sao chúng ta lại cần quan tâm đến các thông tin
trong miền tần số f ? Để trả lời câu hỏi này chúng ta hãy lấy ví dụ cho các tín
-3-
hiệu trong điện tử y học. Điện tâm đồ và đồ thị ghi nhịp đập của tim theo thời
gian. Đồ thị biểu diễn điển hình của chúng cho ta thông tin về tình trạng sức
khoẻ và sai khác của điện tâm đồ của ngời bệnh so với dạng chuẩn của nó, qua
đó cho ta biết tình trạng sức khoẻ của ngời bệnh. Các máy điện tâm đồ đi kèm
theo máy tính còn có bộ phân tích nhịp tim theo tần số. Ngời ta có thể dự báo
chính xác hơn về một số bệnh căn cứ vào các tần số chứa trong điện tâm đồ.
Biến đổi Fuorier đợc sử dụng rông rãi trong kỹ thuật cũng nh mọi kỹ
thuật biển đổi khác. Chúng có những u điểm và phạm vi ứng dụng nhất định

và biến đổi sóng WT cũng không phải trờng hợp ngoại lệ.
2 Đặc điểm và ý nghĩa của các phép biến đổi cơ
bản
2.1 Biến đổi Laplace
Nh ta đã đề cập trong mục (1.2) tức là để xây dựng các phép biến đổi
thuận nghịch Laplace chỉ việc thay cặp biến đổi Fourier đối số j

bằng một
biến số phức s (có thể đặt s = + j

). Nh vậy ta có công thức biến đổi
Laplace thuận nghịch nh sau:
F(s) =

+


dtetf
st
.).(
(1.2.1)
f(t) =

+

jc
jc
st
dsesF
j

.).(.
2
1

trong đó hàm số F(t) đợc gọi là ảnh Laplce của f(t) sao cho f(t) có tên là hàm
gốc.
Với cách thay biến số nh vậy, các phơng trình của mạch viết theo tần số
đã trở thành dạng toán tử trong đó các phổ tần đợc thay bằng các ảnh
Laplace. Vì vậy việc giải các bài toán trở nên đơn giản hơn. Về mặt kỹ thuật
việc chuyển các hàm số từ gốc sang ảnh và ngợc lại có thể đợc tiến hành nhờ
các bảnh đối chiếu gặp trong các cuốn sách tra khảo kỹ thuật. Dới đây là một
số ví dụ diển hình.
Hàm gốc f(t)
ảnh Laplace F(s)
*
dt
tdf )(
SF(s) - f(0)
*

dttf )(






+

0
)()(
1
dttfsF
s
* -tf(t)
ds
tdF )(
*
)(
1
tf
t
dssF
s

0
)(
* e
-at
f(t) F (s + a)
* f(t-a) . 1(t-a) e
-as
F(s)
-4-
* f(
a
t
)
a F (as)

* 1 (t)
s
1
* t
n
1
!
+n
s
n
* e
-at
as +
1
* sin

t
22


+s
* cos

t
22


+s
* (t)
1

Trong thực tế khi phân tích các bài toán về biến đổi tín hiệu. Biến đổi
Laplace ngợc chỉ mang ý nghĩa về mặt lí thuyết còn thực tế khi tìm gốc của
ảnh, tra bảng gốc Laplace.
ý nghĩa của phép biến đổi Laplace là dùng để giải các bài toán vi tích
phân bậc cao trong việc biến đổi tín hiệu mà các phép biến đổi kinh điển
không thể thực hiện đợc. Bởi vì phơng pháp biến đổi Laplace đã đa các bài
toán vi tích phân về dạng phơng trình đại số, làm cho quá trình tính toán trở
lên đơn giản.
2.2 Biến đổi Fourier (FT)
a. Khái niệm.
Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) đợc định nghĩa nh sau:
X(e

j
) =


=

n
tj
enx

)(
(1.2.2)
Nh vậy là Biến đổi Furier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong
miền biến số (n) thành việc biểu diễn tín hiệu X(e

j
) trong miền biến số

.
(hoặc tần số f =


2
) tức là liên tục ảo j

là biến số ảo. Nh vậy ta thấy rằng
X(e

j
) sẽ là một hàm phức của biến số

. Theo quan điểm toán tử, chúng ta
dùng tín hiệu toán tử (FT) nh sau:
FT [x(n)] = X(e

j
)
x(n)

FT
X(e

j
)
tức là toán tử FT tác động vào x(n)sẽ cho X(e

j

)
b. Điều kiện tồn tại của biến đổi Furier.
Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (1.8) hội tụ. Ta có thể phát
biểu điều kiện hội tụ của chuỗi này nh sau:
Chuỗi trong (1.8) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau:


=n
nx )(
<

(1.9)
Nếu điều kiện này đợc thoả mãn thì chuỗi (1.8) hội tụ tuyệt đối về một
hàm liên tục của

.
- Nhận xét: Xét về mặt toán học chúng ta có quan hệ:
-5-
E
x
=
2
2
)()(


=

=

n n
nxnx
(1.2.3)
Nếu:


=n
nx )(
<

(1.2.4)
Thì:
2
)(








=n

nx
<

và ta cũng có: E
x
=
<


=
2
)(
n
nx
Vậy nếu năng lợng E
x
của tín hiệu x(n) là hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn
điều kiện (1.9) tức là ta có thể nói rằng.
Biến đổi Fourier của tín hiệu số có năng lợng hữu hạn là luôn luôn tồn
tại.
c. Biến đổi Fourier ngợc (IFT)
Chúng ta biết rằng X(e

j
) là một hàm tuần hoàn của biến tần số

có
chu kỳ 2 và X(e
jw
) tồn tại nếu điều kiện (1.9) đợc thoả mãn. Vậy chúng ta có

thể khia triển hàm X(e

j
) thành chuỗi Fourier trong khoảng (-,) vì thế
chúng ta có thể tím thấy các giá trị của x(n) từ X(e

j
)
Từ công thức (1.8) ta có:
X(e

j
) =


=

n
nj
enx

).(
Nhân cả hai vế với e
nj

rồi lấy tích phân trong khoảng (-,) qua một số bớc
tính toán ta đợc.
x(n) =

)()(
2
1
wdeeX
njj

(1.2.5)
Đây là công thức phép biến đổi IFT.
Dùng ký hiệu toán tử ta có thể biểu diễn nh sau:
IFT[X(e

j
)] = x(n) hoặc X(e

j
)
)(nx
IFT

Nh vậy ta có cặp biến đổi thuận ngợc là
FT[X(e

j
)] = X(e

j
)]
IFT[X(e

j
)] = x(n)
2.3. Biến đổi Z
a. Khái niệm:
Biến đổi ZT của một tín hiệu rời rạc s(n) là một biểu thức S(z) đợc xác
định bởi công thức sau:
ZT[x(n)] = X(z) =

+
=

n
n
Znx ).(
(1.2.6)
Biến đổi ZT nh trên cón đợc gọi là biến đổi Z thuận. ở đây Z là một số
phức.
Nh vậy biến đổi Z đã biến đổi việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền
biến số độc lập tự nhiên n thành việc biểu diễn tín hiệu X(Z) trong miền Z (tức
là trong mặt phẳng phức Z, vì Z là biến số phức) và X(Z) là một hàm phức của
biến số Z.
-6-
Theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử ZT nh sau:
ZT[x(n)] = X(Z)
x(n)
)(ZX
ZT

.

tức là toán tử ZT tác động vào x(n) sẽ cho ra X(Z).
Từ định nghĩa ta thấy rằng biển đổi Z là một chuỗi luỹ thừa vô hạn, nó
tồn tại chỉ với các giá tri Z mà tại đó chuỗi này hội tụ
b) Biến đổi Z một phía.
Biến đổi Z một phía đợc định nghĩa nh sau
n
n
ZnxZX


=

0
1
)()(
(1.2.7)
theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử ZT
1
nh biến đổi Z
hai phía nh sau.
ZT
1
[x(n)] = X
1
(Z)
Sự khác nhau giữa biến đổi Z một phía và hai phía là:
- Tổng theo n chạy từ 0

.
- Không biểu diễn đợc tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm

(n<0).
- Biến đổi Z một phía và hai phía là có tính nhân quả nh sau.
+ Đối với tín hiệu nhân quả thì biến đổi Z một phía là duy nhất vì
tín hiệu nhân quả bằng 0 với n < 0.
+ Về mặt ký hiệu, để phân biệt với b đổi Z hai phía ta ghi số 1 ở
phía bên trái X
1
(Z), ZT
1
số 1 có nghĩa là một phía.
c. Mặt phẳng Z.
ở trên ta đã nói mặt phẳng Z, bây giờ ta xét chi tiết hơn .
Bởi vì Z là biến số phức vì vậy ta có thể viết dới dạng phần thực và phần
ảo.
Z = Re[Z] + jIm[Z].
mặt phẳng Z đợc tạo bởi trục tung Im[Z] và trục hoành Re[Z]
Ngoài ra có thể biểu diễn Z trong toạ dộ cực và Z đợc viết dới dạng sau:
Z = r.e

j
Toạ độ cực trong mặt phẵm Z đợc minh hoạ trên hính sau:
-7-
0
Im[Z]
Re[Z]
r

Ta cũng có liên hệ giữa Re[Z], Im và r, nh sau:
Re[Z] = r cos
jIm[Z] = r sin.

Ngoài ra trong mặt phẳng Z còn có một vòng tròn đơi vị Z đợc đánh giá
nh sau:
Z = e

j
Vòng tròn đơn vị đặc biệt quan trọng trong việc đánh giá các đặc tính
của hệ thống số dựa vào các vị trí, các điểm cực, điểm 0, chúng nằm ở trong
hay ngoài vòng tròn đơn vị.
d. Sự tồn tại của biến đổi Z.
- Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi
X(z) =


=

=
n
n
nxZTZnx )]([)(
hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z.
- Tập hợp tất cả các giá trị của Z mà tại đó chuỗi
X
1
(z) =


=

=
0

1
)]([)(
n
n
nxZTZnx
hội tụ đợc gọi là miền hội tụ của biến đổi Z một phía.
e. Cực và không
- Trong thực tế chúng ta thờng gặp các biến đổi Z cho dới dạng một ht-
ơng số của hai đa thức cuả Z (Z
-1
) và nh vậy X(Z) là hàm hữu tỉ của Z.
X(z) =
)(
)(
zD
zM
- Tại các điểm Z
or
ta có X(Z
or
) = 0 thì các diểm đó gọi là các không của
X(Z). Vậy nghiệm của tử số M(z) chính là 0 của X(Z).
Nếu N(Z) là đa thức của Z bậc M thì X(Z) có N cực.
-8-
0
Im[Z]
Re[Z]
r

- Tại các điểm Z = Z

pk
ta có X(Z) =

thì các điểm đó gọi là các cực
của X(Z). Vậy nghiệm của mẫu số D(Z) chính là cực của X(Z).
Nếu D(Z) là đa thức của Z bậc N thì X(Z) có N cực.
f. Biến đổi Z ngợc (TFT)
Thông thờng khi chúng ta có biến đổi Z, X(Z) của mọi dãy nào đó, tức
là chúng ta có biểu diễn của cặp x(n) trong miền Z, sau khi khảo sát gián tiếp
dãy trong miền Z thi chúng ta cần phải đa nó về miền biến số độc lập tự nhiên,
tức là chúng ta tìm x(n) từ biến đổi Z X(Z) của nó. Biến đổi Z ngợc giúp
chúng ta thực hiện công việc này.
Biểu thức của biến đổi Z ngợc là:
x(n) =
dzZZX
j
n
c
1
)(
2
1



Trong đờng cong C phải khép kín bao quanh gốc tạo độ của mặt phẳng
phức Z theo chiều dơng và phải nằm trong miền hội tụ của X(Z).
- Theo quan điểm toán tử ta cũng có kí hiệu IZT
IZT[X(Z)] = x(n)
Cuối cùng ta có cặp biến đổi Z nh sau:

ZT[X(n)] = X(Z) =


=

n
n
Znx )(
IZT[X(Z)] = x(n) =


c
n
dzZZX
j
1
)(
2
1

3. Các phép biến đổi xử lí tín hiệu
3.1 u nhợc điểm của biến đổi Fourier
Biến đổi Fuorier (Fourier Transform) viết tắt là FT do nhà toán học
Pháp Joseph Fourier(1768 - 1830) đề ra từ năm 1812 và trở nên rất quen thuộc
đối với các kỹ s.
Mọi hàm chu kỳ liên tục hoặc có một số giới hạn các điểm gian đoạn
loại 1 bất kỳ trong miền thời gian t đợc khai triển thành một tổng vô hạn các
hàm mũ phức chu kỳ.
Tinh thần cơ bản của biến đổi Fuorier thuận là chuyển hàm gốc x(t)
trong miền thời gian thành ảnh X(

) trong miền tần số = 2f theo biểu thức
sau đây .

+


=
f
f
tj
dtetxX


)()(
(1.3.1)
Nhờ FT thuận ta tìm đợc phân bố biên độ của tín hiệu thời gian, đờng
biểu diễn biên độ tín hiệu theo tần số gọi là đặc tính biên tần.
Ngợc lại có thể tìm hàm gốc x(t) theo ảnh X(

) theo biểu thức biến đổi
Fuorier ngợc:

+

=
f
f
tj
deXtx

)()(
(1.3.2)
Tín hiệu x(t ) nhân với hàm mũ phức ở tần số f nào đó rồi đợc tích
phân từ trừ vô cùng thành cộng vô cùng nghĩa là trong suốt thời gian t. Theo
công thức Euler:
-9-
tjte
tj
.sin.cos


+=
(1.3.3)
Ta nhận thấy phần thực của (3) là phần cos còn phần ảo là sin theo tần
số f. Ví dụ dòng điện tần số công nghiệp f = 50 Hz đợc biểu diễn theo thời
gian nh hình 1 và phổ biên tần của nó theo biến đổi FT thuận đợc biểu diễn
bằng một vạch theo trục tần số nh hình 1.2.
Đặc tính biên tần hình.1.2 cho ta thông tin là chỉ có một tín hiệu có
biên độ ở tần số 50 Hz. Do tính đối xứng theo trục tần số ta chỉ cần vẽ theo
trục dơng của biên độ. Ngoài đặc tính biên tần ngời ta còn sử dụng đặc tính
pha tần nghĩa là biểu diễn góc pha của tín hiệu theo tần số.
Hình 1.2 Tín hiệu trong miền thời gian
Hình 1.3 Đặc tính biên tần của tín hiệu
Nhờ FT, tín hiệu trong miền thời gian đợc biến đổi thành tín hiệu trong
miền tần số, nhờ đó ta có thể thực hiện các bộ lọc tần số nhằm thu đợc tín
hiệu mong muốn. FT trở thành công cụ rất hiệu quả trong việc xử lý tín hiệu
chu kỳ. Ta cũng nhận thấy các phép đạo hàm và tích phân trong miền thời
gian đối với x(t) trở thành các phép đại số với ảnh X(

). Bây giờ ta xét tín
hiệu phức tạp hơn là tổng của 4 điều hoà tần số 10, 25, 50 và 100 Hz cho theo
biểu thức:
x(t ) = cos10t + cos25t + cos50t + cos100t (1.3.4)
Có đồ thị thời gian cho trên hình.1.3 và phổ biên độ tần số của chúng
cho trên hình1.4.
-10-
Biến đổi FT của nó gồm 4 vạch cho ta thông tin rằng tín hiệu có chứa 4
tần số với biên độ cho trớc nhng không nêu rõ khi nào các thành phần tần số
đó tồn tại. Tín hiệu này là tín hiệu dừng hay xác lập, nghĩa là không phụ thuộc
vào thời gian.
Hình 1.5 Phổ biên tần của tín hiệu
Tín hiệu dừng là tín hiệu không phụ thuộc vào thời gian và phổ biên tần
của nó chỉ cho biết có tần số f là bao nhiêu mà không quan tâm đến thời điểm
xuất hiện của chúng. Bây giờ chúng ta hãy xét tín hiệu hình1.5. có tần số thay
đổi theo thời gian, đó là tín hiệu không dừng
Độ lớn của mỗi vạch có khi khác nhau và có thêm một số gợn sóng ở
lân cận mỗi vạch. So sánh phổ tần hình.1.6 và hình1.4. ta nhận thấy về cơ bản
chúng giống nhau nghĩa là gồm 4 vạch. Điều đó có nghĩa là biến đổi Fourier
FT không thích hợp với các quá trình không dừng có tần số thay đổi theo thời
gian. 2 có tần số thay đổi theo thời gian. Biến đổi Fourier chỉ cho ta biết trong
tín hiệu đã cho có tồn tại bao nhiêu tần số mà không cho biết khi nào thì tần
số đó xuất hiện. Tín hiệu hình1.5 . gồm có 4 tần số nhng xuất hiện ở 4 khoảng
thời gian khác nhau. Trong khoảng từ 0 ữ 300 ms có tần số 100 Hz, trong
khoảng từ 300 ữ 600 ms có tần số 50 Hz, trong khoảng từ 600 ữ 800 ms có tần
-11-
-3
-2
-1

0
1
2
3
4
Hình 1.4: Biểu diễn thời gian của tín
hiệu
số 25 Hz, trong khoảng từ 800 ữ 1000 ms có tần số 10 Hz. Biến đổi FT của
chúng có dạng hình 6 với các gợn sóng ở lân cận các phổ vạch 10, 25, 50 và
100 Hz.
Hình 1.6 Tín hiệu không dừng
Hình 1.7 Phổ biên - Tần số tín hiệu không dừng
3.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transform)
STFT
Trong biến đổi Fuorier ngắn STFT ( Short time Fourier Transform), tín
hiệu đợc chia thành các đoạn đủ nhỏ, khi đó tín hiệu đợc coi là dừng. Nhằm
mục đích này ta chọn hàm cửa sổ

. Chiều rộng cửa sổ phải đảm bảo tín hiệu
ở trạng thái dừng.
Đầu tiên hàm cửa sổ đặt tại điểm tín hiệu khởi đầu t = 0. Giả thiết chiều
rộng của cửa sổ là T, tại thời điểm này hàm cửa sổ sẽ kéo dài với T/2 giây và
nhận tín hiệu với hàm này. Nh vậy chỉ chọn T/2 giây của tín hiệu rồi lấy FT
của tích này nh lấy FT của tín hiệu bất kỳ. Kết quả của biến đổi này là FT
trong T/2 giây của tín hiệu. Nếu giả thiết trong đoạn này tín hiệu là dừng thì
kết quả thu đợc sẽ là biểu diễn tần số của T/2 giây tín hiệu. Tiếp theo sẽ nhảy
-12-
qua cửa sổ này tới vị trí mới bằng cách nhận tín hiệu và lấy FT của tích. Quá
trình tiếp tục cho đến khi tín hiệu kết thúc.
Biến đổi Fuorier ngắn STFT đợc định nghĩa bằng biểu thức:

STFT
x

dttjttwtX
t
).exp()].().([
'*

=
(1.3.5)
trong đó X(t) là tín hiệu. W(t) là hàm cửa sổ và * là liên hiệp phức. Ta dễ dàng
nhận thấy STFT của tín hiệu là FT của tín hiệu nhận với hàm cửa sổ.
Để dễ hình dung, chúng ta lấy ví dụ tín hiệu không dừng có đồ thị hình
7 gồm 4 tần số ở các thời điểm khác nhau. Trong khoảng từ 0 ữ 250ms là hình
sin 300 Hz, và các khoảng ngoài 250ms là các hình sin thứ tự 200Hz, 100Hz
và 50Hz. Đó là tín hiệu không dừng và lấy STFT. Trục x và y là thời gian và
tần số và xét đờng biểu diễn theo thời gian và tần số.
Đầu tiên ta nhân thấy đồ thị hình 10 là đối xứng theo giữa trục tần số vì
FT của tín hiệu luôn đối xứng. Điều quan trọng là 4 điểm tơng ứng với 4 tần
số khác nhau theo trục thời gian và tần số. Bây giờ chúng ta có biểu diễn tín
hiệu theo thời gian và tần số, chúng ta không những biết tín hiệu gồm các tần
số nào mà còn biết chúng xuất hiện ở thời điểm nào.
Hình 7: Tín hiệu không dừng
Ta biết rằng trong FT không có vấn đề về độ phân giải tần số vì ta biết một
cách xác định tần số nào tồn tại cũng nh trong miền thời gian không có vấn đề
về độ phân giải theo thời gian vì đã biết rõ tín hiệu tại từng thời điểm.
Hình 8: Biểu diễn tín hiệu theo thời gian và tần số
-13-
Ngợc lại, độ phân giải thời gian của FT và độ phân giải tần số trong
miền thời gian bằng không vì ta không biết thông tin gì về chúng. Trong STFT

cửa số có chiều rộng hữu hạn và chỉ bao chùm một phần tín hiệu làm cho độ
phân dải tần số trở lên kém hơn. Chúng ta chỉ biết dải tần nào tồn tại trong tín
hiệu mà không biết chính xác đó là tần số nào. Trong FT hàm gốc cho phép
nhận đợc độ phân giải tần số tốt bởi vì hàm gốc là cửa sổ có chiều rộng vô hạn
nên không thu đợc độ phân giải tần số tốt. Vậy tại sao ta không làm cho chiều
rộng vô hạn nh trong FT để tạo lên độ phân giải tần số tốt? bởi vì khi sử dụng
cửa sổ dài vô hạn trong FT để có độ phân giải tần số tốt ta sẽ mất hết thời
gian, hơn nữa để có thể coi tín hiệu là dừng ta phải có cửa sổ đủ hẹp. Khi cửa
sổ đủ hẹp thì độ phân giải theo thời gian tốt hơn nhng độ phân giải tần số kém
hơn. Ta có thể đi đến kết luận rằng trong STFT cửa sổ hẹp tạo lên độ phân giải
thời gian tốt và độ phân giải tần số kém ngợc lại cửa sổ rộng tạo lên độ phân
giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém.
Trong lĩnh vực vật lý, nguyên lý bất định của Hiesenberg cho mômen
và vị trí chuyển động của các hạt cơ bản có thể áp dụng vào thông tin theo thời
gian và tần số của tín hiệu. Ta không thể biết các thành phần phổ nào tại thời
điểm nào đó mà chỉ biết khoảng thời gian có tồn tại một giải tần này.
Để thấy rõ tác động này, ta hãy tính STFT của 4 hàm cửa sổ có chiều
rộng khác nhau hàm cửa sổ này là hàm Gauss có dạng
( )
( )
2/2.exp)(
*
tbtW =
(1.3.6)
trong đó b xác định chiều rộng cửa sổ, t là thời gian.
Theo hình 9 ta thấy, khi tính STFT của cùng một tín hiệu, nếu b càng
nhỏ thì độ phân giải thời gian càng tốt nhng độ phân giải tần số kém hơn. Trên
đồ thị 3 chiều ta thấy 4 đỉnh phân cách rõ rệt theo thời gian. Mỗi đỉnh bao
gồm một giải tần thay cho chỉ có một tần số. Bây giờ khi cửa sổ rộng ra thì
các đỉnh không phân cách rõ nh trớc nữa theo thời gian nhng giải tần số sẽ

phong phú hơn. Hình 10 thể hiện đồ thị không gian 3 chiều của tín hiệu.
Ví dụ trên cho ta thấy vấn dề nan giải STFT phải đối mặt là phải sử
dụng cửa sổ nh thế nào. Cửa sổ càng hẹp cho độ phân giải thời gian càng tốt
nhng độ phân giải tần số lại kép và ngợc lại. Biến đổi sóng WT khắc phục đợc
nhợc điểm này.
Hình 9: Hàm cửa sổ ứng với các hệ số khác nhau
-14-
Hình 10: Hình ảnh không gian 3 chiều của tín hiệu đối với b khác nhau
3.3 Biến đổi khối (Block Transform)
Trong một vài ứng dụng và mã hoá biến đổi, tín hiệu đợc phân chia
thành các khối gần kề không chồng sát lên nhau. Sau đó áp dụng mã hoá biến
đổi trên mỗi khối độc lập. Để thực hiện biến đổi, ta dùng một hàm cửa sổ
nhân với tín hiệu là một hàm chỉ thị trong khoảng [nT, (n+1)T], chu kỳ hoá
mỗi tín hiệu đã lấy cửa sổ với chu kỳ T và áp dụng khai triển nh chuỗi Furier
trên mỗi tín hiệu đã lấy chu kỳ.
Việc sử lý các khối một cách độc lập gây lên kết quả không mong
muốn gọi là hiệu ứng Blocking. Hiệu ứng blocking xuất hiện do các mẫu cuối
cùng của một khối hầu nh không phù hợp với các mẫu đầu tiên của khối tiếp
theo. Điều này có thể hiểu là do việc phân đoạn tuỳ ý tại các điểm nT và dẫn
đến vấn đề đờng biên giả tạo. Tuy nhiên cũng có những biến đổi đợc sử dụng
dựa trên tính đơn giản hoá này. Ví dụ biến đổi Karhunen Loeve và phép
tính xấp xỉ của nó là một trong các biến đổi khối đợc sử dụng phổ biến cho
các tín hiệu rời rạc theo thời gian.
Để hạn chế hiệu ứng blocking, các nhà nghiên cứu đã đa ra phép biến
đổi trực giao xếp chồng LOT. Các hàm cơ sở đợc sử dụng trong biến đổi LOT
dài hơn chiều dài biến đổi và có sự chuyển tiếp xung quanh giá trị không ở
cuối mỗi khối trơn hơn. Nh vậy, những hàm cửa sổ của một khối sẽ xếp chồng
với các hàm xếp cơ sở xủa các khối gần kề. Ban đầu các hàm cơ sở đợc chọn
có chiều dài gấp đôi , khi đó biến đổi LOT của một khối tín hiệu x tính đợc
bằng:

X = P
T
x
trong đó x là khối mở rộng có 2N mẫu, P là ma trận LOT (2NxN).
Để thoả mãn yêu cầu khôi phục hoàn hảo (PR) của hệ thống, ma trận P
phải thoả mãn các quan hệ:
P
T
. P = I và P
T
. W.P = 0
trong đó I là ma trận đơn vị, W là toán tử dịch có dạng:






00
01
3.4 Phân bố Wigner- Ville
Thay thế khai triển tuyến tính tín hiệu lá khai triển song song tuyến tính
và phân bố Wigner- Ville là một đặc trng cho kiểu khai triển đó. Việc biển
-15-
diễn song song tuyến tính hay thời gian- tần số bậc hai xuất phát từ ý tởng về
phổ công suất tức thời, ví dụ là ảnh phổ. Ngoài ra phân bố thời gian- tần số
FTf(,) của một tín hiệu f(t) có biến đổi Fourier F() phải thoả mãn các tính
chất đờng biên:
- Tích phân theo với cho trớc phải bằng
2

)(

F
và tích phân theo
với cho trớc phải bằng
2
)(

f
.
- Phải thoả mãn tính chất biến dịch chuyển thời gian- tần số, nghĩa là:
g(t) = f(t-).e
j

t
thì FD
s
(,) = TFD
f
(-
0
,-
0
).
- Phân bố Wigner- Ville phải thoả mãn những điều kiện trên và một số
điều kiện khác. Phân bố Wigner- Ville cho một tín hiệu f(t) đợc định nghĩa:
D
f
(,) =
dte

t
f
t
f
tj


.
2
.
2
*

















Đặc tính nổi bật của phân bố Wigner- Ville là khả năng cao độ phân

giải thời gian- tần số. Với các tín hiệu đơn thì phân bố này cho ra dãy năng l-
ợng tập trung và rất rõ ràng trong mặt phẳng thời gian- tần số.
-16-
Chơng II
Biến đổi tín hiệu trong miền sóng con
(Wavelet- transform)
Đ 1 Biến đổi sóng con và các đặc tính cơ bản
1.1.Phơng trình cơ bản của biến đổi sóng con.
Wavelet (tức là sóng nhỏ) ở đây đợc biểu diễn là tín hiệu dao động đặc
biệt có biên độ suy giảm rất nhanh đó là điều kiện để hàm cửa sổ này có chiều
dài hữu hạn. Thuật ngữ sóng nhỏ ở đây chỉ điều kiện hàm dao động và tắt dần
nhanh hơn.
Hình 11 trình bày dạng sóng đó. Biến đổi sóng con đợc phát triển để
giải quyết những hạn chế độ phân giải thời gian và tần số của STFT.
Hình 11: Biểu diễn sóng nhỏ của Wavelet
Biến đổi sóng thuận WT đợc tiến hành tơng tự nh phân tích STFT nghĩa
là tín hiệu đợc nhận với một hàm(đó là hàm sóng Wavelet) tơng tự nh hàm cửa
sổ trong STFT và phép biến đổi đợc tính toán riêng rẽ với từng đoạn tín hiệu
trong miền thời gian. Tuy nhiên có hai điểm khác biệt cơ bản giữa STFT và
CWT là:
* không tính biến đổi Fuorier của các tín hiệu, do đó mỗi đỉnh đơn sẽ t-
ơng ứng với một hình sin và không tính các tần số âm.
* chiều rộng cửa sổ đợc thay đổi. Phép biến đổi đợc tính toán đối với
mỗi thành phần phổ. Đây là đặc điểm quan trọng nhất của biến đổi sóng WT.
Về mặt toán học biến đổi sóng thuận đợc định nghĩa bằng biểu thức:
dt
a
t
t
a

aaWTC )(*)(
1
),(*),(*Ư



==
(2.1.1)
Trong phơng trình này ta nhận thấy tín hiệu đợc biến đổi là hàm của hai
biến T và a
Hàm (T,a) đợc gọi là sóng mẹ theo nghĩa là các hàm sử dụng trong quá
trình biến đổi đợc dẫn xuất từ một hàm chính đợc gọi là sóng mẹ. Nói cách
khác sóng mẹ là khuôn dạng (poto- type) để phát các hàm cửa sổ khác.
-17-
T gọi là hệ số chuyển dịch đợc sử dụng tơng tự nh trong STFT liên quan
đến vị trí của cửa sổ tơng ứng với thông tin thời gian trong miền biến đổi. Tuy
nhiên đó không phải là thông số tần số mà là nghịch đảo của tần số.
a là hệ số tỉ lệ hay là hệ số co dãn giống nh tỷ lệ xích trên một bản đồ.
Nếu tỷ lệ xích trên bản đồ càng nhỏ thì thông tin trên bản đồ càng chi tiết và
nếu tỷ lệ xích bằng1 thì ta có hình ảnh thật của tín hiệu. Tơng tự trong miền
tần số nếu tần số thấp (tỷ lệ xích lớn) ứng với thông tin tổng thể của tín hiệu
còn tần số cao (tỷ lệ xích nhỏ) ứng với thông tin chi tiết vùng ẩn trong tín
hiệu. Tín hiệu cosin tơng ứng với các hệ số co dãn a khác nhau đợc trên hình
12. Ta nhận thấy về toán học nếu hàm f(t) đợc thay bằng f(at) thì khi a>1 hàm
bị co lại còn khi a<1 hàm đợc dãn ra.
Bây giờ ta hãy xem xét kỹ phuơng trình (7). Với x(t) là tín hiệu cần
phân tích sóng mẹ đợc chọn nh khuôn mẫu cho một cửa sổ của quá trình. Các
cửa sổ sử dụng đợc co lại hoặc dãn ra và dịch chuyển từ sóng mẹ. Hai dạng
sóng mẹ thờng sử dụng là sóng Morlet và hàm Mexican hat (cái mũ Mêhico).
Khi đã chọn sóng mẹ phép tính bắt đầu với a=1 và biến đổi sóng đợc tính với

giá trị của a nhỏ hơn và lớn hơn 1. Tuy nhiên, tuỳ theo loại tín hiệu, không
nhất thiết phải phải tính hết phép biến đổi. Trong thực tế, tín hiệu có miền thời
gian hạn chế do đó thờng sử dụng một số giá trị của a. Để thuận tiện quá trình
đợc khởi đầu với a=1 và tiếp tục tăng a nghĩa là phân tích từ tần số cao tới tần
số thấp. Giá trị đầu tiên sẽ tơng ứng với sóng bị nén nhất và khi a tăng lên thì
sóng dãn ra. Sóng đợc đặt ở khởi đầu tín hiệu với t=0. Hàm sóng có a=1 đợc
nhân với tín hiệu rồi tích phân trong suốt thời gian. Kết quả tích phân này đợc
nhân với hằng số 1/sqrt(a) nhằm mục đích chuẩn hoá sao cho tín hiệu đợc biến
đổi có cùng mức năng lợng ở cùng một giá trị a. Kết quả cuối cùng là giá trị
của phép biến đổi với t=T và a=1 trong mặt phẳng thời gian- hệ số tỷ lệ. Sóng
ở hệ số tỷ lệ a=1 đợc dịch chuyển sang bên phải với giá trị ở t= T, a=1 trong
mặt phẳng thời gian tần- số. Quá trình đợc lặp lại cho đến khi kết thúc tín
hiệu. Một điểm trên mặt phẳng thời gian- hệ số co dãn với a=1 đã tính toán
xong. Sau đó s đợc tăng một lợng đủ nhỏ. Vì biến đổi sóng thuận là liên tục cả
T và a phải tăng liên tục với bớc đủ nhỏ. Quá trình đợc lặp lại với mỗi giá trị
của a. Khi quá trình kết thúc với mọi giá trị của a biến đổi sóng thuận đợc tính
toán xong. Hình 13 mô tả chi tiết quá trình này với a=5 và a=20 còn t
0
=20 và
140.
Bây giờ chúng ta hãy xét tín hiệu không dừng trên hình 14. Tín hiệu này
gồm 4 tần số 30 Hz,20 Hz,10 Hz và 5 Hz. Hình 15 là biến đổi sóng của tín
hiệu này ứng với hệ số co dãn nhỏ hơn (tần số cao) tần số giảm theo hệ số co
dãn, do đó đoạn ứng với s gần bằng không ứng với tần số cao nhất và đoạn
ứng với s cao ứng với tần số thấp nhất. Lu ý rằng tín hiệu 30 Hz (tần số cao
nhất) xuất hiện đầu tiên và nó xuất hiện hệ số co dãn thấp nhất và ở các dich
chuyển từ 0 tới 30. Tiếp theo là thành phần 20 Hz và cứ thế tiếp tục. Thành
phần 5 Hz xuất hiện cuối trục dịch chuyển và ở hệ số co dãn cao hơn.
Khác với STFT có độ phân giải không đổi ở mọi thời điểm và mọi tần
số, biến đổi sóng WT có độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém

ở các tần số cao, còn độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém ở
-18-
các tần số thấp. Trên hình 16 ta thấy các hệ số tỷ lệ thấp hơn (tần số lớn hơn)
có độ phân giải s tốt hơn ứng với độ phân giải tần số kém hơn.
Hình 12: Tín hiệu với hệ số co dãn a khác nhau
Hình 13: Qua trình tính WT với a= 5 và 20, t
0
=20 và 140
Hình 14: Tín hiệu không dừng
-19-
Ta lu ý trờng hợp đặc biệt khi sóng mẹ f(x) = exp(jx) và T = 0 thì biến
sóng thuận trở thành:
Hình 15: biểu diễn không gian của WT
CWT = f(x). exp(-jx) dx = F(

) (2.1.2)
Đây chính là biến đổi Fourier. Vì vậy biến đổi Fourier là trờng hợp
riêng của sóng WT khi hệ số co dãn a = 1 và hệ số dịch chuyển T = 0.
Các trục trên hình 15 đợc chuẩn hoá, 100 điểm trên trục dịch chuyển T
ứng với 1000 ms và 150 điểm trên trục hệ số co dãn a ứng với dải tần 40 Hz
đó là số diểm của mẫu tính toán.
Biến đổi sóng ngợc IWT (Invert Wavelet Transform) là qúa trình tìm lại
dạng tín hiệu x(t) từ các thành phần sóng ban đầu sau khi đã co dãn và chuyển
dịch. Về toán học IWT đợc biểu diễn theo công thức:
A(t)=
dad
a
t
a
a

C
.)(
1
),(
1
22









(2.1.3)
Trong đó C là hăng số phụ thuộc vào dạng Wavelet
Ta có thể tóm tắt thuật toán biến đổi sóng thuận đã trình bày bằng sơ đồ
hình 16 để chuyển hàm gốc f(t) thành các thành phần biến đổi sóng.
-20-
+
W
H
(a
1
,
1
)
+
+

W
H
(a
2
,
2
)
W
H
(a
1
,
1
)
f(t)
Giai đoạn phát triển các hệ số co dãn a
chuyển dịch
Sóng mẹ

,a
(t)

*

*
+
ký hiệu tích chập
Hình 16: Sơ đồ biểu diễn sóng thuận WT

*

Biến đổi ngợc IWT (Inverse Wavelet Transform) đợc biểu diễn bằng sơ đồ
hình 17 để tìm lại hàm gốc f(t) từ các thành phần biến đổi sóng của chúng
Thời gian tần số ở
0
-21-
Miền thời gian
Miền tần số
T
aT

4

0
aT
aT

4

0

X

*
X
X

*

*
Giai đoạn phát triển các hệ số co dãn a

chuyển dịch
Sóng mẹ

,a
(t)
CWTf(a
2
,
1
)
CWTf(a
1
,
2
)
CWTf(a
1
,
1
)

f(t)
Hình 17: Sơ đồ biến đổi sóng ngợc IWT
H×nh 2.1 Sù kh¸c nhau cña STFT vµ wavelet transform
+ §iÒu biªn Gaussian ( Morlet).
( )
2/
2
.
ttj

eet
o
−
=
ω
ψ
(2.1.4)
( )
( )
2
2
.2
o
e
ωω
ωψ
−−
Π=
§¹o hµm bËc hai Gaussian
( )
( )
2/2
2
.1
t
ett
−
−=
ψ
( )

2
2
2
2
ω
ωψ
et Π=
(2.1.5)
( )
4/
)4/(sin

2
2/
ω
ω
ωψ
ω
j
ej
−
=
-22-
Sãng cßn
ψ(t)
aT
Π
≈
4
ω

0
ω
t
Mét sè chu kú
ψ(at)
aT
Π
≈
4
ω
0
ω
t



Ψ(ω) =
1≤ t ≤ 1/2
-1.1/2≤ t ≤ 1 (2.1.6)
0 C¸c gi¸ trÞ kh¸c
+ Shannor:
( )






=
2

3
cos.
2/
)2/(sin t
t
t
t




(2.1.7)
1.2. Miền biểu diễn của biến đổi sóng con và các đặt tính.
1.2.1 miền biểu diễn.
Hình 2 - 2 Miền biểu diễn của biến đối wavelet
ứng với mỗi mức tỉ lệ j của thì cho ta một giá trị tơng ứng của t là
t = 2
m
-23-
t

k
k
7
6
5
4
3
2
1

0
0,42
1
2,4
3
3
2
1
0
b
2,3
b
2,2
b
2.1
b
1.0
b
2.0
b
1.0
k
j
b
0.0
0
1
2
3
4

5
6
7
8
t
2,3
2,6
x
*
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,3
W
2,3
(t)
t
0
8
7
6

5
4
3
2
1
b
2,2
W
2,2
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,1
W
2,1
(t)
1
2
3
4
5

6
7
8
0
t
b
2,0
W
2,0
(t)
b
1,1
W
1.1
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
t
0
8
7
6
5

4
3
2
1
-0.5
b
1,0
W
1.0
(t)
t
0.5
0
8
7
6
5
4
3
2

b
0,0
W
0.0
(t)
1
t
0
8

7
6
5
4
3
2
1
t
(mức tỷ lệ m)
t = 2
m
() =
1 < < 2
0 với giá trị khác



1.2.2. TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi wavelet vµ ®Æc ®iÓm cña nã.
-24-
k
k
7
6
5
4
3
2
1
0
0,42

1
2,4
3
3
2
1
0
b
2,3
b
2,2
b
2.1
b
1.0
b
2.0
b
1.0
k
j
b
0.0
0
1
2
3
4
5
6

7
8
t
2,3
2,6
x
*
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,3
W
2,3
(t)
t
0
8
7
6
5
4

3
2
1
b
2,2
W
2,2
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,1
W
2,1
(t)
1
2
3
4
5
6
7

8
0
t
b
2,0
W
2,0
(t)
b
1,1
W
1.1
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
t
0
8
7
6
5
4
3

2
1
-0.5
b
1,0
W
1.0
(t)
t
0.5
0
8
7
6
5
4
3
2

b
0,0
W
0.0
(t)
1
t
0
8
7
6

5
4
3
2
1
t
(møc tû lÖ m)
c)
ω
1
- 1
Ψ(t)
Ψ(ω)
t
o 0,5 1
-30
-20
-10 0
10 20
30
R
e
{Ψ(t)} Ψ(ω)
t
ω
o
o
ω
o
a)

Ψ(t)
Ψ(ω)
ω
t
o
o
2 2
o
b)
3
3
−
H×nh 2 - 3 Mét wavelet vµ phÐp biÕn ®æi cña chóng
a) §iÒu biªn Gaussian Morlet .
b) §¹o hµm bËc hai Gaussian.
c) Shannon.
-25-
k
k
7
6
5
4
3
2
1
0
0,42
1
2,4

3
3
2
1
0
b
2,3
b
2,2
b
2.1
b
1.0
b
2.0
b
1.0
k
j
b
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8

t
2,3
2,6
x
*
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,3
W
2,3
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2

1
b
2,2
W
2,2
(t)
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1
b
2,1
W
2,1
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
0

t
b
2,0
W
2,0
(t)
b
1,1
W
1.1
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
t
0
8
7
6
5
4
3
2
1

-0.5
b
1,0
W
1.0
(t)
t
0.5
0
8
7
6
5
4
3
2

b
0,0
W
0.0
(t)
1
t
0
8
7
6
5
4

3
2
1
t
(møc tû lÖ m)
0
Ψ(ω)
1
ω
π
2
π
Ψ(ω)
0
t
-2
-3
-1
2
1
3
t
oo
2
1
2
1
1
0







−1
2
1
.
2
1
ψ
-2
π
-
π