BAI TAP CHUYEN DE TOAN 8

Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Chuyên đề
Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích thành nhân tử là một phần rất quan trọng .Rút gọn phân thức,quy
đồng mẫu thức nhiều phân thức , đều có thể cần Phân tích thành nhân tử .Đặc biệt
Phân tích thành nhân tử chính là Viết thành tích đấy .
Các em hãy chăm chỉ Viết thành tích nhé!Chúc các em thành công!
-Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta Đặt nhân tử chung trớc .Sau đó:
-Nếu đa thức có 2 hạng tử ta dùng HĐT3,6,7

Thêm bớt
-Nếu đa thức có 3 hạng tử ta dùng HĐT1,2

Tách,Thêm bớt
-Nếu đa thức có 4 hạng tử ta dùng HĐT4,5

Nhóm
-Nếu đa thức có 5 hạng tử trở lên thị thờng nhóm và tách
-Nếu đa thức 1 biến có bậc 3 trở lên thì có thể Nhẩm nghiệm
-Nếu đa thức Phức tạp thì nghĩ tới Đổi biến
B i 1 Rút gọn các phân thức sau:
a)
)2)(3(
62
+
+
xx
x
b)
96
9

2
2
+

xx
x
c)
xx
x
43
169
2
2


d)
42
44
2
+
++
x
xx

e)
4
2
2
2

x
xx
g)
8
1263
3
2

++
x
xx
h*)
4 2
4
1x x
x x
+ +
+
k*)
5 4
3 2
1
2 2 1
x x
x x x
+ +
+ + +
B i 2 Thực hiện các phép tính sau:
a)

62
1
+
+
x
x
+
xx
x
3
32
2
+
+
b)
62
3
+x
xx
x
62
6
2
+



c)
+ +
+

2 2
2x 2x x
x 3x x 4x 3 x 1
d)
1
3 5x
2
1 3 15
3 5 25 9
x
x x


+

B i 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- y
2
- 2x + 2y
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2

e) a
2

+ 2ab + b
2
- ac bc
g) x
2
y - x
3
- 9y + 9x
k) 81x
2
- 6yz - 9y
2
- z
2

m) 9x
2
+ 6x - 575
p) 81x
4
+ 4
s*) (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x +15) + 15
u*) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - 4
i*)
3 2
10 8x x x+ +

b)2x + 2y - x
2
- xy
d)x
2
- 25 + y
2
+ 2xy
f)x
2
- 2x - 4y
2
- 4y
h)x
2
(x-1) + 16(1- x)
l) 36(x-2)
2
-49(2x+3)
2

n) x
2
- x - 12
r*) (x
2
+ x)
2
- 2(x

2
+ x) 15
t*) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 120
v*) (x
2
-7x + 12 )(x
2
-11x +30) + 1
q*)
3 2
4 5 6x x x+ + +

Chuyên đề
Một số ứng dụng của hằng đẳng thức

7 Hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng quan trọng .Ngoài việc có thể dùng để tính tích, bình phơng
,lập phơng,phân tích thành nhân tử nó còn giúp ta tìm Max , min,tính giá trị của một đa thức đối
xứng 2 biến khi biết tổng(hoặc hiệu) và tích của 2 biến,rút gọn những biểu thức phức tạp
Các em hãy tích cực tìm hiểu để 7 HĐT thực sự là Những Hằng Đẳng Thức đáng nhớ nhé !
Bài1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(nếu có) của
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
1
Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại
thành công
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
A=
16
2
+ xx

E =(x+1)
22
)2( ++ x
D=
23
2
++ xx

B=4x
912
2
+ x
G =2(x-3)
22
)4( x
K =-
1
4
x
2
+2x-9
C=-25x
110
2
++ x
H =(2x-3)
)3)(18(
2
+ xx

Bài2 Cho x+y = 5 ; xy=1 (Điều kiện x+y=5 có thể thành x=5-y) Tính
a)
xyyx 5
22
+
g)
yx
yx
11
33
+++
n)x
yyx +
b)x(x+3y)-y(5x-y) h)








+






+

y
y
x
x
11
22
p)x
xyy +
c)(x+7y)(y+7x) k)
3 4 3 4
x x y y+ + +
q)
66
yx +
d)(2x-3y)(2y-3x) l)
22
yx
r)
5 5
x y+
e)
x
y
y
x 1313 +
+
+
m)
11 +++ yx
s)

7 7
x y+
Gợi ý :Biến đổi về dạng toàn x+y, xy.Nếu tính Hiệu ,Căn thì tính bình phơng rồi suy ra.
Bài3Cho x
1
21
+=+ mx
; x
2
21
= mx
a)Tìm min của A=x
)1()1(
2
1
2
2
2
2
2
1
+++ xxx
b)Tìm max của B=1-x
2
2
2
1
x
c)Tìm số p lớn nhất sao cho C=(x
)2)(2

1221
xxx ++
p
d)Tìm số q nhỏ nhất sao cho D=(x
qxxx )3)(3
1221
Gợi ý Bài 3 là kết hợp của bài 1 và bài 2 .Các em làm tơng tự bài 2 để đa biểu thức về
biến là m rồi làm tơng tự bài 1.Phần c chính là tìm giá trị nhỏ nhất ,phần d là Max
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: Gợi ý :Nhìn kỹ thì chỉ là HĐT 1,2,3
a) (3x-1)
2
+ 2(3x-1)( 7-2x) +(2x-7)
2
b) (8x-5)
2
-(16x-10)( 4x+3) +(4x+3)
2
c) 3.5(2
4
+1) (2
8
+1) (2
16
+1) (2
32
+1) (2
64
+1) (2
4
+1)

d) 100
2
-99
2
+98
2
-97
2
+96
2
-95
2
+ +2
2
-1
2
Bài 5: Cho :
1
3x
x
+ =
Tính
a)
2
2
1
x
x
+
b)

3
3
1
x
x
+
c)
5
5
1
x
x
+
d)
2
2
1
x
x


Gợi ý :Tơng tự bài 2: vì x.
1
x
= 1
Bài 6: Cho :
1
4x
x
=

Tính
a)
2
2
1
x
x
+
b)
3
3
1
x
x
+
c)
7
7
1
x
x
+
d)
3
3
1
x
x

Chuyên đề
Biểu thức hửu tỷ

I-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Mẫu

0 , biểu thức chia

0
2)Rút gọn biểu thức
-Nếu biểu thức chứa các phân thức cha rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trớc khi
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - ,
- Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ
thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức trớc.
-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trớc khi thay vào tính
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
2
Khát vọng vơn lên phía trớc là mục đích của cuộc sống
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức trớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ
II bài tập (Sau khi rút gọn các em có thể tự cho thêm yêu cầu khác)
Đề bài kết quả
1.
2 2
2x 2x x

A
x 3x x 4x 3 x 1
= + +
+
2.
2
x 2 4x
B
x 2 x 2 4 x
= +
+
3.
2 2 2 2
2 2 2 2
x x 2 x x 12 y 2y 15 y 4
F . . .
x x 6 x 3x 4 y 3y 10 y y 6
+ +
=
+ +
4.
4
2
2
x 1
G x 1
1 x
+
= + +

5.
2 3
4x 3 12x
H
x 2x 2 x x 4x
= + +
+
6.
2
3 2 2
4x 3x 17 2x 1 6x
I
x 1 x x 1 x x
+
= + +
+ +
7.
2
3 2 2
4x 3x 5 1 2x 6x
I
x 1 x x 1 x x
+
= +
+ +
8.
2 3
5 10 15
K
x 1 x (x 1) x 1

=
+ + +
9.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
x y x y
N
x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y
=
+ + + +
10.
2
2 3
4 3 5x 2 x 2x 4
T
x 2 x 2 4 x x 8
+ +
= + +
+ +
11.A=
2
2 2 2
6x 1 6x 1 x 36
x 6x x 6x x 1
+

+
ữ
+ +

12.
2 2
x 1 2x x 1 10 x
B . .
x 10 x 2 x 10 x 2

= +
+ + + +
13.C
x x 1 x x 1
:
x 1 x x 1 x
+

=
ữ ữ
+

14.
2
2 2
y y 3y y 3 y
D
3 y 2y 3 y 3y y 9

+ +
= +
ữ
+

15.
2 2 2
x x 6 2x 6 x
E :
x 36 x 6x x 6x 6 x


= +
ữ
+ +

16.F=
2 2
3 2
x 6 x 10 x
: x 2
x 4x 6 3x x 2x x 2


+ + +
ữ ữ
+ +

1.
x 2
x 3
+

2.
x 2

x 2
+

3. 1
4.
2
2
1 x
5.
1
x 2+
6.
2
12
x x 1

+ +
7.
3
12x
x 1


8.
2
5x
x x 1 +
9. x-y+xy
10.
1

x 2+
11.
12
x
12.
2
x 1
x 2

+
13.
x 1
x 1
+

14 1
15 1
16.
1
2 x
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
3
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
17.
2
x 2 2 2 4x x 3x 1
G 3 :
3x x 1 x 1 3x
+

= + +
ữ
+ +

18.
2
2
1 2x x 2x 24 12x
H .
4 2x 3x 6 3x 12 6 13x
+

=
ữ
+ +

19.
3 3
2 2
x x x x 1 x 1 x
I :
1 x 1 x 1 x 1 x
+ +


=
ữ
ữ
+ +

20.
3 2 2
5x 1 1 2x 2 2x
M :
x 1 x x 1 1 x x 1
+

=
ữ
+ +

21.
( )
2
2 2
a b 4ab
a b b a
N
a b ab
+

=
+
22.
3 2
3 2
x x 8 x 2x 4 4
P . :
x 2 x 8 x 4 2 x

+

=
ữ
+ + +

23.
2
3 2
x 2 x 1 x 1
Q :
x 1 x x 1 1 x 2
+

= + +
ữ
+ +

24.
2
3 2 2 3 2
x x 1 1 2x
R :
x x x 1 x 1 x 1 x x x 1
+


= +
ữ
ữ

+ + + + +


25.
( ) ( )
3 2
2
x 3x 9 x x 3 x 2
S 1 :
x 9 x 3 x 2 x 2 x 3

+

= +

ữ
+ +


26.
2
3 2
2x x 1 x 2
T : 1
x 1 x 1 x x 1
+ +


=
ữ

ữ
+ +


27.
( )
( )
2
2 3 2
2 3
1 x x x
2x x 1 2x x x
U 1 :
1 x 1 x 2x 1

+ +

= +
ữ
+

28.
2 2
2
2 3
4x x 2 2 3x x 4
V x .
x 4 2x 4 x 4x x 2
+

= + +
ữ ữ


29.
2
2 2 2
2x 1 32x 1 2x
Y
2x x 1 4x 2x x
+
= + +
+
30.
3
3 2
10 x 5x x 1
A 1
x 8 x 2x 4
+
= + +
+ +
31.
2
3 2
x 5x x 2 1
B
x 1 x x 1 x 1
+
= + +

+ + +
32.
2
1 2x 3x 2 3x 2
C
2x 2x 1 2x 4x

= + +

33.
2 2 2 2
2x y 8y 2x y
D
2x xy y 4x 2x xy
+
= + +
+
17.
x 1
3

18.
2
x 2+
19.
2
2
x
1 x+
20.

2x 2
x
+
21.2b
22.
1
x 2

+
23.
2
2
x x 1+ +
24.
x 1
x 1
+

25.
3
x 2+
26.
2
1
x 1
27.
2
1
x x 1 +
28.

( )
3
x
2 x 2+
29 8
30.
1
x 2
31.
3
x 1+
32.
1
2x

33.
( )
4x 2y
x 2x y

+
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
4
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
34.
2 2
2 3
x 1 x 3x 1 1 x 1
E :
x x 1 x 1 x 1 1 x

+ +

=
ữ
+ +

35.
2 2 2
x x 4 2x 4 x
F :
x 16 x 4x x 4x 4 x


= +
ữ
+ +

36.
2
2
x 2 2x 3x 3 4x x 7
G .
x 1 x 1 x x x
+ + + +

= +
ữ
+

37.

( ) ( )
2
3 2 2
1 3 3 3x 3x 3 2x 2
H :
x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2x
+

= +
ữ
+ + + + + +

38.
2 2
2xy x y x y y
I :
x y 2x 2y 2x y x

+
= + +
ữ
+

39.
2 2
1
2 2
3x x 9 x x 3 x 2
A 1 :
9 x x x 6 2 x x 3

+

=
ữ ữ
+ +


40.
=
2
A


















+

+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
41.
2 2
3
2 2 3
x 2 x 1 1 x 2
A :
x 1 x x 1 x 1 x 1
+

= +
ữ
+ + +


42.






+
+








+
+
+



=

1
2
1
3
.
111
2
3
2
3
4
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
A
43.
x
x
xxx
x
A

+

=
2
1
:
2
2
6
9
3
2
2
5

44.
xxx
x
x
x

A

+
++
+
+

+
=
1
1
1
1
1
2
23
2
6
45.
3
32
1
23
32
1115
2
7
+
+

+
+

=
x
x
x
x
xx
x
A

46.








+

+
=
2
3
3
2
6
4
:
2
1
1
2
8
x
x
x
x
x
x
x
A
47.K =

x
2003x
1x
1x4x
1x
1x
1x
1x
2
2
+








+
+



+
48.S =
2 3 2 3
2 2 2 2
x x x x
:

x y x y x y x y 2xy


ữ ữ
+ +

49.T=
2
1 1 2 (1 )
3 3 9
x x x x
x x x
+

+
50.A=
2 2
3 1 1 3
( 1) 1 1
x x
x x x
+ +
+
+
34.
2
1
x x 1+ +
35 1
36.

x 1
x

37.
1
x
38.1
39.
3
x 2+
40.
3
x 3

+
41.
2
x x 1
x 1
+

42.
2
2x 4x 2
x
+ +
43.
2
x 2
44.

2
x
x x 1+ +
45.
46.
47.
x 2003
x
+
48.
x y
x y
+

49.
2
x 3
50.
( )
2
x 3
x 1
+

Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
5
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
51.
2 2
2 2 3

2 4 2 3
:
2 4 2 2

+
=
ữ
+

x x x x x
A
x x x x x
52.


= +

+ + +

2 2 2
2 4 2 2 4 2 2
2
:
( ) ( ) 2 ( )( )
y x y x y x
A
xy x y x y x x y y y x x y
53.
+

= + +
ữ
+

2 3
99 1 1 20 4
:
5 5 5 5 1
x
B
x x x x y xy
54.
( )
3
2
y 1 3 y 11 y
N y 1
y 3 y 1 y 2y 3


= + +
ữ
+

55.
( )
3
2
x 2 x 1 x 5
P x 1

x 1 x 2 x x 2
+ + +

= +
ữ
+ +

56.
2
2
x 2 1 2x 4 2 x 2x 6
Q :
x 2 2 x 4 x 2 4x 8
+ + + +

=
ữ
+

57.
2
2
2
3x 1 x 2x 1 x 2
D 1 x x 1
2x 1 1 4x 2
+ +


= + +

ữ
ữ



58.
( )
2
3 3
2 2 2
2 x 2x 1
x 1 x 1
E :
x x x x x 1
+
+

=
ữ
+

59.
2
x 1 x 1 x 1
F
2 2x x 1 x 1
+

=
ữ ữ

+

60.
2
2 2
4x 8x x 1 2
G :
2 x 4 x x 2x x



= +
ữ
ữ
+


61.
( )
2 2
2 2
b a
H a b b a
a ab ba b

=
ữ


62.

3 2 2
1 2x 2x
I : 1
x 1 x x x 1 x 1

=
ữ ữ
+ +

63.
( ) ( )
2 2
2
a 3a 2 a a 1 1
K :
a 2 a 1 a 1 a 1 a 1

+ + +

= +

ữ
+ +


64.
2
2
2x 3 3x 2 1 6 26x 4x
M

2x 3 2x 3 2 9 4x
+
= +
+
65.
2
2 2
32x 1 2x
N 8
1 4x 2x x

=
+
66.
1 1 x 1 x 2
P :
x 1 x x 2 x 1
+ +

=
ữ ữ


51.
2
4x
x 3
52.
( )
2

x y
xy

53 5xy
54.
2
7y 7y 7+ +
55.
2
5x 5x 5 +
56.
1
2
57.
3x
2
58.
x 1
x 1
+

59.
2
1 x
x

60.
2
4x
x 3

61.
2 2
b a
62.
1
x 1
63.
2
a 1
2a
+
64.
( )
1
2 2x 3
65.
2
2x 1
2x x
+

66.
x 2
3x

Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
6
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
67.
2

2 2
2x 2x x x 2x
A :
x 3x x 4x 3 x 1 x 3
+

= + +
ữ
+

68.
2
x 2 4x x 2
B .
x 2 x 2 4 x x 3


= +
ữ
+ +

69.
2
2
1 x 1 2x x x x
C :
3 x 3 x 9 x x 3
+

=

ữ
+ +

70.
2
2 2 2
5 4 3x 51x 15
D 3 :
2x 6x x 9 x 9


=
ữ
+

71.
2
2 2 2 2
3x 2 6 3x 2 x 2x 1
E .
x 2x 1 x 1 x 2x 1 5x 5
+ + +

=
ữ
+ + + +

72.
4
2

2 2
x 1 x 1
G x 1 :
1 x x 1
+ +

= + +
ữ


73.
2 3 2
4x 3 12x x 2
H :
x 2x 2 x x 4x x 2x


= + +
ữ
+ +

74.
2
3 2 2 2
4x 3x 17 2x 1 6x x 3
I :
x 1 x x 1 x x x x 1
+

= + +

ữ
+ + + +

75.K =
2 2 2
x 9y 3y x 3y
.
x 9y x 3xy x 3y

+

ữ
+ +

76.
2
3 2 2 2
4x 3x 5 1 2x 6x x
I :
x 1 x x 1 x x x x 1
+

= +
ữ
+ + + +

77.
2
2 3 2
5 10 15 x 2x

K :
x 1 x (x 1) x 1 x x 1


=
ữ
+ + + +

78.
2
2
6x 5x x x 2x
M :
x 9 3 x x 3 x 3
+

= +
ữ
+

79.
2
6x x 5x 20
P .
5x 20 x 8x 16 6x 29


=
ữ
+

80.
2
2 2 2
7 1 1 x 4x 3
Q :
8x 18 2x 3x 4x 6 9 4x
+

= +
ữ
+

81.
2 2
5x 2 2x 33 4x 8
R :
2x 3x 2x 3 9 4x 6x 9


= +
ữ
+ +

82.
2
1 2x 2x 1 x 3
U :
2x 2x 1 2x 4x x

= + +
ữ


83.
2 2
2 2
x 2006x 2009 x 2008 x 3x
A :
x 1 x 1 x 1 x x
+ +

= +
ữ
+

67.
1
x
68.
x 2
x 3
+
+
69.
10
3 x
70.
1

2x
71.
( )
2
2
x 1
72.
2
x 1

+
73.
x
x 2
74.
12
x 3


75.
1
x
76.
12
1 x
77.
5
x 2
78.
6

x 2+
79.
x
x 4
80.
1
x
81.
6
x 2
82.
1
x 3
83.
1
x 3+
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
7
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
8
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
Chuyên đề: bất đẳng thức
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có:
2+
a
b
b
a

. Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT2: CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có:
abcd
dcba







+++
4
4
. Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT3 CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có:
16
1111
)(






++++++
dcba
dcba
BT4 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
9

111
)(






++++
cba
cba
BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có:
a) ab + bc + ca
cabcabcba 222
222
++<++

b) (a + b c)(b + c a)(c + a b)

abc
c)
333222
4)()()( cbaabcbacacbcba ++>+++
BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1
CMR:
10
1
22
+ yx
BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y
1

CMR:
5
1
94
22
+ yx
BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 . CMR:
a)
2
1
22
+ ba
b)
8
1

44
+ ba
c)
2
25111
222







++






++






+
c
c

b
b
a
a
BT10 Cho
0
>
dcba
. CMR:
dcba
a
d
b
c
c
b
d
a
++++++
2222
Dạng 2: Sử dụng hằng BĐT để chứng minh BĐT
BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
ab
ba

+
2

(BĐT Cô-si)
BT2: CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:

a)
2+
a
b
b
a
b)
4
11
)(






++
ba
ba

BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:

9
111
)(

++++
cba
cba

BT4 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:

2
3

+
+
+
+
+ ac
b
cb
a
ba
c

( BĐT Nes bit)
HD: áp dụng BĐT BT3, ta có:
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
9
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
[ ]
2
3
2

9
111
9
111
)(29
111
)()()(

+
+
+
+
+

+
++
+
++
+
+







+
+
+

+
+
++






+
+
+
+
+
+++++
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
accbba
cba
accbba

accbba
BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có:

))((
2222
dcbabdac
+++

(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d
R
và c > 0, d > 0 ta có:

dc
ba
d
b
c
a
+
+
+
222
)(

BT7 Chứng minh rằng
Với mọi số thực a + b
0

và m, n nguyên dơng, ta có:

22
.
2
nmnmnnmm
bababa
++
+

++

HD:
)(2))((
nmnmnnmm
bababa
++
+++

0+
++ nmnmnmnm
bababa

0)()( +
nnmnnm
abbbaa

0))(
nnmm
baba
Do a, b có vai trò nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử

ba
(1)
Theo bài: a + b
0



a

- b (2)
Từ (1) và (2):
0 ba
Ta suy ra:

0
0
nn
mm
nn
mm
n
n
m
m
ba
ba
ba
ba
ba
ba


0))((
nnmm
baba
, BĐT đợc chứng minh.
BT8 Cho a + b
0

. Chứng minh rằng:
(a + b)(a
3
+ b
3
)(a
5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
HD:
Theo bài: a + b
0
, áp dụng BĐT BT7:
Ta có:







+

++
+

++
22
.
2
22
.
2
995544
4433
bababa
bababa

2
.
22
.
2
.
2
99445533
bababababa ++

+++

22
.

2
.
2
995533
babababa +

+++


(a + b)(a
3
+ b
3
)(a
5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:

)(
22222
edcbaedcba +++++++
BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

)(
444
cbaabccba ++++
BT11: Chứng minh rằng: nếu ad bc = 1 thì
3
2222
+++++ bdacdcba
BT12: Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng
8
11
22


+
a
b
b
a
BT13: Cho
1,1 << ba
. Chứng minh rằng:
ab
ba



+

1

2
1
1
1
1
22
BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:
2
)(
41
ba
ab
+

Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
10
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
2
22
)(
.3
dcba
cbcada
ca
c
cb
a
+++
+++

>
+
+
+
BT16: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:








+++
+++
+
+++
+++

+
+
+
+
+
+
+
2
22
2
22

)()(
.4
dcba
dcdabb
dcba
cbcada
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng:
a)
)(4)(
333
baba ++
b)
)(3)()(3
2222
cbacbacabcab ++++++
BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a)
cabcabcba ++++
222
b)
abcddcba 4
4444

+++
BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a)

8abc
b) Với mọi a, b, c ta có:
)(4)()(
22
cbaabccbba ++++

BT20: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
a)
2
1
22
+ ba
b)
8
1
44
+ ba
c)
128
1
88
+ ba
BT21: a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng:
1
2222
+++ dcba
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c

16abc
c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng:
5,12
11
22







++






+
b
b
a
a
Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số.
* Phơng pháp:
- Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp:
+ TH1: A
2

+ k

k, (giá trị nhỏ nhất là k).
+ TH2: - A
2
+ k

k, (giá trị lớn nhất là k).
- Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra.
BT1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 1)
2
+ (x - 3)
2

HD: Ta có: P = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
6x + 9)
= 2x
2
4x + 10
= 2(x
2
2x + 1) + 8
= 2(x 1)
2
+ 8
Vì (x 1)

2


0 với mọi giá trị của x .

P = 2(x 1)
2
+ 8

8. Đẳng thức xảy ra

x 1 = 0

x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8

x = 1.
BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ 6y
2
+ 14z
2
8yz + 6zx 4xy
HD: P
222
3)(2)32( zzyzyx ++++=

P

0 với mọi giá trị của x, y, z
Đẳng thức xảy ra

x = y = z = 0. Vậy GTNN của P = 0

x = y = z = 0
BT3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
2xy + 2zx 2x 2y 8z + 2007
HD:
2001)1()2()1(
222
+++++= zzyzyx
Ta có: (x y + z 1)
2


0, (y + z 2)
2


0, (z 1)
2

0 với mọi x, y, z.

Q

2001. Đẳng thức xảy ra

x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001

x = y = 1.
BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 2005)
2
+ (y + 2006)
2
+ (z + 2007)
2

BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = (x + a)
2
+ (y + b)
2
+ (z + c)
2
, với a, b, c là các hằng số.
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1.
Tìm GTNN của biêu thức A = x

3
+ y
3
+ x
2
+ y
2
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
11
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3.
Tìm GTNN của biêu thức B = x
2
+ 2y
2
BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d .
Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)
BT10: Tìm GTNN của biểu thức D =
2
20072007
2
22
2
11
)( )()( axaxax ++++++
biết
200721
xxx +++
= 2007 và
200721

, ,, aaa
là các hằng số.
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)
2007
+ (y + b)
2007
+ (z + c)
2007
biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số.
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G =
2
)2007( +x
x
, với x > 0.
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H =
22
22
yxyx
yxyx
+
++
với x > 0, y > 0.
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A =
yx
11
+
Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho

ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai

cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy
có diện tích lớn nhất.
HD:
S'
x
y
S2
S1
H
B
C
a
M
FK
Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S

, diện tích (ABC) = S. Ta cần tìm GTLN của
S

. Ta kẻ AK

BC, AK cắt EM ở H. Ta có:
S

= EM . HK, S =
2
1
BC . AK, nên:
AK
KH

BC
EM
S
S
2
'
=
Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có:
yx
y
AK
HK
yx
x
BC
EM
+
=
+
= ;
(định lí Talet)
2'
)(
2
yx
xy
S
S
+
=

. áp dụng BĐT
ab
ba







+
2
2
hay (a + b)
2


4ab
2
1
)(
2
2'

+
=
yx
xy
S
S

. Vậy GTLN của S

=
2
1
S. Đẳng thức xảy ra

x = y hay khi đó M là trung
điểm của AC.
BT2 : Cho hbh BEMF. Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
HD: Xét
2
2
)(
'
2

+
=
xy
yx
S
S
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
12
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng
chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì

ABE có diện tích lớn nhất.
HD:
S'
S'
S1
x
x
y
S2
E
A
D
B
C
K
Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S

. Đặt dt(CEB) = S
1
, dt(AED) = S
2
. Trớc hết ta CM:
21
2
.' SSS =
. Thật
vậy:
21
2
2

1
2
1
.'
'
'
'
;
'
SSS
S
S
S
S
EA
EC
S
S
EA
EC
S
S
====
(1)
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số
S
S
S
S
S

S
'
;;
21
theo x và y.
Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S.
Ta có:

ACK đồng dạng với

CEB và

AED nên:
2
2
2
1
)( yx
x
AK
BC
S
S
+
=

=
và
2
2
2
2
)( yx
y
AK
AD
S
S
+
=






=
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
24
22
21
2
)(
'

)(
.
'
yx
xy
S
S
yx
yx
S
S
S
S
S
S
+
=
+
==






Tiếp tục áp dụng BĐT
ab
ba

+
2
2
, ta có:
4
1
)(
'
2

+
=
yx
xy
S
S
. Do đó: GTLN của S


4
1
=
S. Đẳng thức xảy ra

x = y

hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành.
BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi
nào thì hai hình có diện tích bằng nhau?
BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại
sao?
BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao?
BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Tại sao?
BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT9: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

cbacbacbacba
111111
++
++
+
+
+
+
BT10: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

nnnnnn
cbacbacbacba
111
)(
1
)(
1
)(
1

++
++
+
+
+
+
với mọi n

N
BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
13
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:

3
++
+
+
+
+ cba
a
cba
b
cba
c
BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
111
++
++
+

+
+
+
nnn
nnn
cba
cba
a
cba
b
cba
c
mọi n

N
PHầN hìNH họC
B i 1 Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD và BE gặp nhau ở H.
a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH.
b.Tính độ dài HD, BH
c.Tính độ dài HE
B i 2. Cho tam giác ABC, các đờng cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên
BC.Chứng minh rằng:
a.BH.BD = BK.BC
b.CH.CE = CK.CB
B i 3 . Cho hình thang cân MNPQ (MN //PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đờng cao NI = 12cm, QI = 16
cm.
a) Tính IP.
b) Chứng minh: QN NP.
c) Tính diện tích hình thang MNPQ.
d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đờng thẳng vuông góc với EN tại N cắt đờng thẳng PQ tại K. Chứng

minh: KN
2
= KP . KQ
B i4 . Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH.
a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC.
b) Tính BC, AH.
c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?
d) Tính AE.
e) Tính diện tích tứ giác ABCE.
B i5 .Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH. Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia AH
tại K.
a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao?
b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA. Từ đó suy ra: AB . AC = AK . CH
c) Chứng minh: AH
2
= HB . HC
d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH.
B i6. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc
với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF.
c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB
d) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
B i7 Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N
sao cho gócAMN = gócACB.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM.
b) Tính NC.
c) Từ C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt MN tại K. Tính tỉ số
MK
MN

.
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
14
Bài tập chuyên đề Toán 8 Họ tên:
B i8 .Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD
= 5cm.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD.
b) Tính CD.
c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD
B i9 .Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90
o
), đờng cao AH.
Biết BH = 4cm, CH = 9cm.
a) Chứng minh: AB
2
= BH . BC
b) Tính AB, AC.
c) Đờng phân giác BD cắt AH tại E (D AC). Tính
DBA
EBH
S
S
và chứng minh:
DA
DC
EH
EA
=
.
B i10 .Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lợt ở E và G.

Chứng minh:
a) BEF đồng dạng với DEA.
DGE đồng dạng với BAE.
b) AE
2
= EF . EG
c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
B i 11.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx
song song với AB cắt DE ở G.
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG.
b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE
c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC
2
= HE . HA
B i 12.Cho ABC cân tại A (góc A < 90
o
). Các đờng cao AD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA.
b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA. Từ đó suy ra: DC
2
= DH . DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC.
Su tầm và biên tập :Lê Hoàng Vân Trờng THCS Cẩm Sơn
15