Đề thi HS giỏi 9 có Hướng dẫn chấm

PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Năm học 2009-2010
Bài 1: Cho một số A gồm 4 chữ số và A là số chính phương. Nếu ta thêm vào
mỗi chữ số của A một đơn vị thì được một số B cũng là một số chính phương. Hãy tìm
các số A bà B.
Bài 2: Không dùng máy tính cầm tay hãy so sánh: 3 +

với
  +

Bài 3: Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức:
( )
        
 
− + +
 ÷
 
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên và
tìm giá trị nguyên đó của phân thức:
 
  


Bài 5: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120
0
. M là một điểm trên cạnh AB
(M khác A và B). Các đường thẳng DM và BC cắt nhau ở N.

Chứng minh hệ thức: AC
2
= AM.CN.
Bài 6: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm
tương ứng M và L sao cho
·
·
·
·

  = =
.
a. Chứng minh hệ thức: AM.PL = BL.PM
b. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng: DM = DL.
PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Năm học 2009-2010
Bài 1: (1,50 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
( ) ( ) ( ) ( )
 
 !"  #    "  $
%&'( )$*+,-&'.$/&)"01&'#2$3
= =
0,25 đ
Trừ hai số cho nhau ta có : B – A = 1111 hay y
2
– x

2
= (y – x)(y + x) = 1111 0,25 đ
A, B là các số có 4 chữ số nên x, y chỉ có thể là các số có hai chữ số 0,25 đ
1111 = 1. 1111 = 11. 101 nên ta chỉ có: (y – x)(y + x) = 11. 101 0,25 đ
Giải được hệ
$
(04#$
$



0,25 đ
Từ đó suy ra được A = 2025 và B = 3136 0,25 đ
Bài 2: (0,75 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
( )

 !        5   6= + + = + = +
0,25 đ
( )

#     6     5   = + + = + = +
0,25 đ
Vì
78 6 2  &/&  2   + +
0,25 đ
Bài 3: (1,75điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
( )
        

 
− + +
 ÷
 
0,25 đ
( )
        
 
− + +
 ÷
 
0,25 đ
( ) ( ) ( )
 
     
 
− +
 ÷
 ÷
 
0,25 đ
( ) ( ) ( )

     
 
= − +
 ÷
 
0,25 đ
( ) ( )


     
 
= − +
 ÷
 
0,25 đ
( ) ( ) ( )
 
    
 
= − +
 ÷
 

0,25 đ
( ) ( )
    = − +
= 2
0,25 đ
Bài 4: (2,00điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
Ta có:
( ) ( )
  
 
     9
  
  
 

=
0,25 đ

9
 

0,25 đ
A có giá trị nguyên khi
9
 &'.$/&

0,25 đ
Tức là phải có (x – 3) là ước của 7 0,25 đ
Do đó : x – 3 = -1 => x = 2 => A = -4 0,25 đ
x – 3 = 1 => x = 4 => A = 18 0,25 đ
x – 3 = -7 => x = - 4 => A = 26 0,25 đ
x – 3 = 7 => x = 10 => A = 84 0,25 đ
Bài 5: (1,5 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP



·
·
:;%,*&'3
·
·

::; 
Suy ra:

:  :;%''3∆ ∆:
=> CD.AD = AM.CN
:*<'+(=.∆
=> AD = AC = CD
=> AC
2
= AM.CN
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 6: (2,5 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP



a. (0,5 đ)
  ∆ ∆:
=> AM.PL = BL.PM
b. (2,0 đ)
- Gọi E và F lần lượt là trung
điểm của AP và BP. Khi đó ta
có: DE và DF là đường trung
bình của tam giác ABP

- Suy ra DFPE là hình bình
hành (*)
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
- Tam giác APM và tam giác BPL là các tam giác vuông nên ta có:

> :?

(1)

? :>

(2)
·
·
·
·
> >? ?= =
(do AEM và BFL là các tam giác cân)
·
·
>:?:
(theo (*)
Suy ra:
·
·
>:?:
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
:> :? ::∆ ∆ ⇒
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
F
E
D
M
L
P
C
B
A
N
D
M
C
B
A