Đề thi HS giỏi 8 có Hướng dẫn chấm

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2009-2010
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Tìm số tự nhiên được viết bằng 1 chữ số 1, 2 chữ số 2, 3 chữ số 3,….9 chữ
số 9 sao cho số này lại bằng lập phương của một số tự nhiên.
Bài 2: Cho biểu thức
( )
3 2
3 x + 1
A =
x x + x + 1+
a). Rút gọn A
b). Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên.
c). Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 3: Cho hai phương trình:
2x + 1 = 0 (1)
mx = 8 (2)
Xác định giá trị m để phương trình (2) tương đương với phương trình (1)
Bài 4: Cho phương trình:
x + 2 x + 1
x - m x - 1
=
Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng d
song song với AC (d nằm cùng phía với B so với AC) cắt tia DA, BA, BD, BC và DC lần
lượt tại M, N, P, Q và R.
a). Chứng minh:

NP PQ
OA OC
=
b). Chứng minh:
PN PQ
PM PR
=
c). Kẻ qua N đường thẳng song song với AD cắt BD tại E. Chứng minh rằng EQ
song song với CD.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2009-2010
Bài 1: ( 1,0 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
Giả sử số tự nhiên N được viết bằng 1 chữ số 1, 2 chữ số 2, 3 chữ số 3,….9
chữ số 9. Như vậy tổng các chữ số của số N bằng:
1 + 2.2 + 3.3 + ……….+ 9.9 = 285
0,25 đ
Số 285 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 0,25 đ
Do đó số N chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 0,15 đ
Nếu vậy thì N không thể là lập phương của một số tự nhiên được
(Vì nếu N = a
3

M
3 thì do 3 là số nguyên tố nên a
3

M
(3.3.3)

0,25 đ
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn đầu bài 0,125 đ

Bài 2: (2,75 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
a). (1,0 đ)
( )
( ) ( )
2
3 x + 1
A =
x x + 1 x + 1+
0,5 đ
=
( )
( )
( )
2
3 x + 1
x + 1 x 1+
0,25 đ
=
2
3
x 1+
0,25 đ
b). (1,0 đ)

A có giá trị nguyên khi x
2
+ 1 nhận một trong các giá trị:
1; 3± ±
là các
ước của 3
0,5 đ
- Với x
2
+ 1 = 1 => x = 0 0,125 đ
- Với x
2
+ 1 = -1 => Không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức này 0,125 đ
- Với x
2
+ 1 = 3 => x
2
= 2 => x =
2±
0,125 đ
- Với x
2
+ 1 = -3 => Không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức này 0,125 đ
c). (0,75 đ)
A =
2
3
x 1+
; Vì
2

x 1 1+ ≥
với mọi x
R∈
nên A
3
≤
với mọi x
R∈
0,5 đ
A đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 0 0,25 đ
Bài 3: (1,0điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
Từ (1) ta có: 2x = -1 0,25 đ

1
x = -
2
⇔
0,25 đ
Để (1) và (2) tương đương thì (2) phải nhận
1
x = -
2
là nghiệm
0,25 đ
Tức là: m
×
1
-
2

 
 ÷
 
= 8
0,125 đ
=> m = -16 0,125 đ
Bài 4: (1,75 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
ĐK của PT
x + 2 x + 1
x - m x - 1
=
(*)
x – m
≠
0
x m⇒ ≠
0,125 đ
x – 1
≠
0
x 1⇒ ≠
0,125 đ
Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) 0,125 đ
=> mx = 2 – m (**) 0,125 đ
- Với m = 0 thì PT (**) có dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 0,5 đ
- Với m
≠
0 thì PT (*) có nghiệm: x =
2 - m

m
0,125 đ
Nghiệm x =
2 - m
m
là nghiệm của PT (*) khi nó phải thỏa mãn điều kiện: x
≠
m
và x
≠
1
0,125 đ
Tức là :
2 - m
1 2 - m m m 1
m
≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠
0,125 đ

( ) ( )
2
2 - m
m m + m - 2 0 m - 1 m + 2 0
m
≠ ⇒ ≠ ⇔ ≠
0,125 đ

m 1 , m -2⇔ ≠ ≠
0,125 đ
Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m

[ ]
-2; 0; 1∈
0,125 đ
Bài 5: (3,5 điểm)
LỜI GIẢI Điểm TP
a). (1,0 đ)


Hai tam giác ABO và CBO có:
NP//OA và PQ//CO (gt) nên
NP BP
(*)
OA BO
PQ BP
và (**)
OC BO
⇒ =
=

Từ (*) và (**) ta có:
NP PQ

OA OC
⇒ =
0,25 đ
0,25 đ

0,5 đ

b). (1,25 đ)

Trong tam giác ABO ta có:
NP PB
(1)
OA OB
=
0,125 đ
Trong tam giác MDP ta có:
OA OD
(2)
PM DP
=
0,125 đ
Nhân vế với vế của (1) với (2) ta có:
PN OA BP OD
=
OA PM OB DP
× ×

0,25 đ
Hay
PN BP OD
= (3)
PM OB DP
×
0,25 đ
Tương tự như trên với hai tam giác COB và DPR ta cũng có :

PQ BP OD
= (4)
PR OB DP

×
0,25 đ
P
C
E
O
d
N
Q
R
D
A
M
B
Từ (3) và (4) ta suy ra :
PN PQ

PM PR
=
0,25 đ
c). (0,75 đ)
* Từ NE//AD (gt) trong tam giác ABD ta có :
BN BE
(1)
BA BD
=
0,25 đ
* Từ NQ//AC (gt) trong tam giác ABC ta có :
BN BQ
(2)

BA BC
=
0,25 đ
Từ (1) và 2) ta có
BE BQ

BD BC
=
. Điều này chứng tỏ EQ // DC
0,25 đ