ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN HỌC SINH GỎI LỚP 12I

Kỳ THI THử CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH
NĂM HọC 2008 2009
MÔN TOáN LớP 12
Thời gian làm bài 180 phút
(không kể thời gian giao h)
Bài 1: (3.0 điểm)
1. Giải phơng trình:
2
2cos x 2 3sinx cosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
(1)
2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
1 1 1 1
tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6
+ + =

Chứng minh tam giác ABC u.
Bài 2: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di
động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua
một điểm cố nh.i
Bài 3: (3.0 điểm)
1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +

2. Chứng minh rằng:


chia h t cho 8.
Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (U
n
) xác nh bởix:

trong đ -1 <a < 0
1. Chứng minh rằng: - 1 < U
n
< 0 với

và (U
n
) là một dãy số giảm.
2. Tìm Lim U
n
Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau:











Bài 6: (3.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di
động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.
1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti p xúc với một đ ờng tròn cố nh.u
2. Tìm tr của m, F sao cho diện t ch tam giác CEF lớn nhất.
Bài 7: (3.0 điểm)
1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy t 7 chữ số
trên sao cho không tận cùng là chữ số 4
2.C hai b ng điện với xác suất hỏng là 0, 1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc
lập với nhau). T nh xác suất để mạch không c điện do b ng hỏng n u:
a. Chúng đợc mắc song song.
b. Chúng đợc mắc nối ti p.
-H t-
ĐáP áN Và THANG ĐIểM
Điểm ĐáP áN
3.0 Bài 1:
1.5 Bài 1.1. Giải phơng trình:
2
2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
(1)
0.5
(1)
2 cos2x 3 sin2x 3(sinx 3 cosx)+ + = +

1 3 1 3
2 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx
2 2 2 2

+ + = +
ữ ữ
ữ ữ

2 2cos 2x 6cos x
3 6


+ =
ữ ữ

1
0.5

1 cos 2x 3cos x
3 6


+ =
ữ ữ


2
2cos x 3cos x
6 6


=
ữ ữ


3

cos x 0vcos x (loaùi)
6 6 2


= =
ữ ữ

0.5

2
6 2 3
x k x k


= + = +
, k Z.
Vậy phơng trình c 1 họ nghiệm là:
2
3
x k


= +
, k Z.
1.5
Bài 1.2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
1 1 1 1
tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6
+ + =

Chứng minh tam giác ABC u.
0.5
Trong mọi tam giác nhọn ta luôn c : tg A + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
1 1 1
1
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
+ + =
(1)
Đặt
1 1 1
x ,y ,z
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
= = =
thì t (1) ta c: x + y + z = 1 (2)
Mặt khác:
3 3
3 3
3 3 2 2
1
1 x x
tg B.tg C
1
tg B.tg C tg B.tg C 1 x y z
1
tgB.tgC
= = =
+

0.5

Tơng tự:
3
3 3 2 2
1 y
tg C.tg A tg C.tg A z x
=
+
và
3
3 3 2 2
1 z
tg A.tg B tg A.tg B x y
=
+

Giả thi t bài toán trở thành
3 3 3
x y z 1
P
y z z x x y 6
= + + =
+ + +

Theo bất đẳng thức Cauchy:
3 3 3
x y z 1 1 y z x 1 1 z x y 1 1
x, y, z
y z 12 18 2 z x 12 18 2 x y 12 18 2
+ + +
+ + + + + +

+ + +

0.5
Cộng v theo v các bất đẳng thức trên ta đ ợc:

do(2)
1 1 1 1
P (x y z) (x y z) P
6 6 2 6
+ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
3
= = =

Khi đ tg A = tgB = tgC hay ABC u (đpcm) .
3.0
Bài 2:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy
điểm N di động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng
thẳng MN đi qua một điểm cố nh.i
2
0.5
0.5
Kẻ đờng phân giác trong của g c BAC là At. Do A,B, C cố nh => At cố nh.

Gọi I là giao điểm của At với MN.
Ta c : S

AMN
= S

AMI
+ S

ANI
0.5
1 1 1
. .sin . . sin
2 2 2 2 2
A A
AM AN A AM AIsin AN AI = +
0.5
1 1 1 1
2 cos .
2
A
AI AM AN l

= + =
ữ

(không đổi)
0.5
2 cos
2

A
AI l =
(không đổi)
=> I cố nh và MN
0.5
Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố nh u.
3.0
Bài 3:
1.5
Bài 3.1.
Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +
0.5
0.5
áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc
Dấu xảy ra
0.5
T ph ơng trình:
( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đ áp số : nghiệm phơng trình là
1.5
Bài 3.2. Chứng minh rằng:


chia h t cho 8.
0.5
Ta c :

0.5

(M, N là các đa thức)
0.5

vì 2008 chia h t cho 8 (đccm)
3.0
Bài 4:
1.5
Bài 4.1. Chứng minh rằng: - 1 < U
n
< 0 (2) với

và (U
n
) là một dãy số giảm.
0.5
CM bằng quy nạp:
- với n = 1 thì U
1
= a theo giả thi t - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1.
- Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < U
n
< 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1.
0.5
T (2) ta c : 0 < U
n
+ 1 < 1 (*)
Do đ

! !

và









! !

tức là: - 1 < U
n+1
< 0
Vì - 1 < U
n
< 0 nên U
n

+ 1 và



"
với

0.5
T (1) suy ra:













!

Vậy U
n
là dãy giảm.
1.5
Bài 4.2. Tìm lim Un
0.5

Đặt


#






ta c : 0 < q < 1, V
n
> 0
và





$
0.5
Ta c :

$
3

$ $
0.5
Vì Lim (a + 1). q
n - 1
= (a + 1). Lim q
n - 1
nên Lim V
n
= 0
Hay Lim U
n
= - 1
Câu hỏi thêm của bài này: CMR :

! $

T đẳng thức (1) suy ra:












Vì U
n
là dãy giảm; -1 < U
n
< 0 với mọi n và U
1
= a nên:


! $ !
với

t đ suy ra:

%
Do đ :






$

và t (3) ta c :









$

Theo chứng minh trên ta c :

! $

2.0
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau










0.5
Ta c :










0.5
Mặt khác:

# #





0.5
Nên











Do

# #
0.5

Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
3.0
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai
điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.
1.5 6.1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti p xúc với một đ ờng tròn cố nh.u
0.5
A E B K

H

F
D C
0.5
Trờn tia i ca BA ly K sao cho BK = DF . V CH EF , H EF .
DFC = DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90
0
; DC = BC )
4
⇒ CF = CK .

Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK .
0.5
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c)
Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau .
CH không đổi, C cố định, CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đ tròn cố định ( C , a )
1.5 6.2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.
0.5
∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90
0
; CF chung ; CH = CD = a ) ⇒ S
HCF
= S
DCF
Chứng minh tương tự ta có: S
HCE
= 1/2S
BCE
do đó S
HCF
+ S
HCE
= S
DCF
+ S
BCE
0.5
⇒ S
CEF
= S

CDFEB
⇒ S
CEF
= 1/2 ( a
2
– S
AEF
)
S
AEF
≥ 0 ⇒ S
CEF
≤ 1/2 a
2
. Dấu “=“ xảy ra “⇔ S
AEF
= 0
0.5
⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D .
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S
CEF
đạt giá trị lớn nhất .
3.0 Bài 7:
1.5
7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7
chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4
1.5
Kết quả: 14406
1.5
7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là

độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu:
a. Chúng được mắc song song.
b. Chúng được mắc nối tiếp.
1.5
Kết quả:
a. P=0,02
b. P=0,28
Chú ý: Nếu học sinh có lời giải đúng và hợp lôgic thì vẫn chấm điểm tối đa. làm
tròn điểm bài thi theo quy định.
5