de thi va dap an hoc sinh gioi lop 12

Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
ĐỀ SỐ 01
Câu 1: 
a

2
2 2
1 sin
tan 1
ax a y x
x y

+ − = −


+ =



Câu 2: 
ABC∆

M
!"#$%&'
, ,x y z
!(!)!"*+
,
M
-.
, ,BC CA AB
/

2 2 2
2
a b c
x y z
R
+ +
+ + ≤
0123+%*
"4
(
; ; ;a BC b AC c AB R= = =
!"1*567.-
)
ABC∆

Câu 3: 89+:;<
( )
;x y
=>
,x y ∈ ¢
;%
3 3 2
2 1x y y= + +
Câu 4: ?;<
{ }
n
u
@%?$*
( )
1

0 1
; 2,3,4,...
1
1
4
n
n n
u
n
u u
−

< <

=

− >


9
lim
n
n
u
→+∞
Câu 5: 9@A%;<BC
n
;%
!n
DEF12GHIJK;<


Câu 6: 9"
:f →¡ ¡
@%
( )
( ) ( ) ( )
0 2008, 2009
2
2 .cos , ,
f f
f x y f x y f x y x y
π

 
= =

 ÷

 

+ + − = ∀ ∈

¡
Câu 7 L(M
O
1*5
R
9,
S
1*NC:(*O-

12%P:(.
, ,A B C
="Q#.=>%#
α
&'
V
!"5A%/
SABC
R
α

V
!>
ĐÁP ÁN
Câu 1: 
a

2
2 2
1 sin
tan 1
ax a y x
x y

+ − = −


+ =




SD3TLS-
( )
0 0
;x y
!"A%
( )
0 0
;x y−
U!" 0.5 điểm
⇒
R$*(!"
0
0x =

9%
0
0x =
=" %)
( )
0
2
0
1
1
1
a y
y

− =



=


0.5 điểm
9,
( )
1
%
0
2
a
a

=

=


VT
0a =
W"
( )
2 2
sin 1
2
tan 1
y x
x y


− = −


+ =


( )
2
=Q;<!"
( )
, 1x k y k
π
= = − ∈ ¢
0.5 điểm
VT
2a =
W"
( )
( )
2
2 2
2 1 sin 3
tan 1 4
x y x
x y

+ = −



+ =


0X"
( ) ( )
3 & 4
!"
( )
0;1
 0.5 điểm
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 1 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
&+;Y
( )
1 1
;x y
!"#1*NA%
( ) ( )
3 & 4
ZL
2 2
1 1 1
1 tan 1 1y x y= − ≤ ⇒ ≤
 0.5 điểm
[:*
( )
2
1 1 1
2 1 sin 0x y x= − − ≤
1

1
0
1
x
y

=

⇒

=


0.5 điểm
\D
( )
0;1
!"
Đáp số:
2a =
Câu 2: 
ABC∆

M
!"#$%&'
, ,x y z
!(!)!"*+
,
M
-.

, ,BC CA AB
/
2 2 2
2
a b c
x y z
R
+ +
+ + ≤
0123+%*
"4
(
; ; ;a BC b AC c AB R= = =
!"1*567.-
)
ABC∆

z
x
y
h
b
h
c
h
a
A
B
C
M

&'
, ,
a b c
h h h
!(!)!"6%
ABC∆
*O,
, ,A B C
="
1 2 3
, , ,S S S S
!(!)!"
5%
, , ,MBC MCA MAB ABC
9%L
1 2 3
1 2 3
1 1
a b c
S S S
x y z
S S S S
S S S h h h
+ + = ⇔ + + = ⇔ + + =
1.0 điểm
( ) ( )
(
)
2
a b c a b c

a b c
x y z
h h h h h h x y z
h h h
 
⇔ + + = + + + + ≥ + +
 ÷
 ÷
 
0.5 điểm
sin sin sin
2
a b c
x y z h h h
bc ca ab
x y z b C c A a B
R
⇔ + + ≤ + +
+ +
⇔ + + ≤ + + =
0.5 điểm
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2
b c a c a b
a b c
R R
+ + +

+ +
+ +
≤ =
0.5 điểm
0123+%
2 2 2
a b c
h h h
x y z
x y z
a b c
a b c


= =
= =
 
⇔ ⇔
 
= =



= =

⇔
M
!"'M%$
ABC
 0.5 điểm


Câu 3: 89+:;<
( )
;x y
=>
,x y ∈ ¢
;%
3 3 2
2 1x y y= + +
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 2 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
9%
( )
3 3 2 3
2 1x y y y x y= + + > ⇒ >
[:*
( )
3
3 2
1 2 1 1x y y y y< + ⇔ + + < +
0.5 điểm
( )
3 0 3y y y⇔ + > ⇔ < −
:
0y >
\D-
3y < −
:
0y >
=Q 0.5 điểm

\>
3
3 8 2y x x= − ⇒ = − ⇒ = −
\>
3
2 1 1y x x= − ⇒ = ⇒ =
\>
0 1y x= ⇒ =
0.5 điểm
\D1%
( ) ( ) ( )
2; 3 ; 1; 2 ; 1;0− − −
0.5 điểm
Câu 4: ?;<
{ }
n
u
@%?$*
( )
1
0 1
; 2,3,4,...
1
. 1
4
n
n n
u
n
u u

−

< <

=

− >


9
lim
n
n
u
→+∞
]^1_/%%;<
1
;1
n n
u u
−
−
%
( ) ( )
1 1
1
1 2 . 1 2. 1
2
n n n n
u u u u

− −
+ − ≥ − > =
0.5 điểm
1
,
n n
u u n
−
⇒ > ∀ ∈ ¥
S=D ?;<
{ }
n
u
!"?` 0.5 điểm
S"%?;<
{ }
n
u
1:1W
1
 0.5 điểm
⇒
9a.>.
lim
n
n
u a
→+∞
=
0.5 điểm

[:*
( )
1
1
. 1 ,
4
n n
u u n
−
− > ∀
( )
1
1
lim . 1
4
n
n
n
u u
−
→+∞
 
⇒ − ≥
 
0.5 điểm
( )
1
. 1
4
a a⇒ − ≥

2
1
0
2
a
 
⇒ − ≤
 ÷
 
1
2
a⇒ =
0.5 điểm
\D
1
lim
2
n
n
u
→+∞
=

Câu 5: 9@A%;<BC
n
;%
!n
DEF12GHIJK;<
&A%
n

+@%?=*M5
!n
%,%;<C<,%;<b3GHIJ!(
ZK;<cM=>b,%;<G 0.5 điểm
&'
x
 
 
!"(CA%
x
9%!U,%A%b!>%-
!n
)1W
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 3 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
( )
2 3
...
5
5 5 5
k
n n n n
h n
       
= + + + +
       
       
0.5 điểm
9
k

!";<!>"
5
k
n≤

d<
n
@;%
( )
1987h n =
e"!"1#A%b="=->.
1
5
k
i
i
i
n a
=
=
∑

{ }
0;1;2;3;4
i
a ∈
0.5 điểm
9,L
( )
( )

1
5
k
i
i
i
h n ah
=
=
∑
9
( ) ( )
2 1
1
5 1 5 5 ... 5 5 1
4
n n n
h
−
= + + + + = −
0.5 điểm
9
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5
5 1, 5 6, 5 31; 5 156, 5 781h h h h h= = = = =
 0.5 điểm
9%*-!D2
5 4 3 2
2.5 2.5 3.5 3.5 2.5 7960n = + + + + =

@%?
( )
1987h n =
\D@A%
n
!"JHf 0.5 điểm
Câu 6: 9"
:f →¡ ¡
@%
( )
( ) ( ) ( )
0 2008, 2009
2
2 .cos , ,
f f
f x y f x y f x y x y
π

 
= =

 ÷

 

+ + − = ∀ ∈

¡
V
;

2 2
x y t
π π
= = −
%L
( ) ( )
2 cos 2 sin
2 2 2
f t f t f t f t
π π π
π
     
+ − = − − =
 ÷  ÷  ÷
     
( )
1
0.5 điểm
V
;
2 2
x t y
π π
= − =
%L
( ) ( )
0f t f t
π
+ − =
( )

2
0.5 điểm
V
0,x y t
π
= = −
%L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0 cos 2 0 cosf t f t f t f t
π π π
− + − = − = −
( )
3
0.5 điểm
g
( )
1
#=>
( )
2
L
( ) ( ) ( )
2 2 .sin
2
f t f t f t f t
π
π π
 
+ − + − =
 ÷

 
( )
4
0.5 điểm
9,
( )
3
="
( )
4
%L
( ) ( )
0 .cos sin
2
f t f t f t
π
 
= +
 ÷
 
0.5 điểm
d%L
( )
2008cos 2009sinf x x x= +
0.5 điểm
Câu 7: (3.0 điểm)
(M
O
1*5
R

9,
S
1*NC:(*O-12
%P:(.
, ,A B C
="Q#.=>%#
α
&'
V
!"5A%/
SABC

R
α

V
!>
V0X"/
ABC∆
$ 0.5 điểm
VR:
SA x=
h
H
!"-A%
S
C
( )
ABC


9%5)
2 sin
2
BC x
α
=
0.5 điểm
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 4 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
( )
2
2 sin
4
2
; 1 sin 1
3 2
3
x
AH SH x
α
α
= = −
0.5 điểm
[:*
( )
2
2
2
x
SH

R
=
( ) ( )
1 ; 2
%L
( )
2
4
2 1 sin 3
3 2
x R
α
= −
0.5 điểm
( )
2 4
2
1 3 3
. . .sin 4
3 4 6 2
BC x
V SH
R
α
= =
9%
( )
3
="
( )

4
%)L
2
3 2 2
8 3 4
sin 1 sin
3 2 3 2
V R
α α
 
= −
 ÷
 
0.5 điểm
]^1_/Q;L
3 3
max
8 3 8 3
27 27
R R
V V≤ ⇒ =
*="i*
2 0
1
sin 60
2 4
α
α
= ⇔ =
0.5 điểm

R;<L
0
60
α
=
ĐỀ SỐ 02
Câu 1)&+
j 
j
j j
 j 8 GI  x x− + =

Câu 2)9C.A%%kl![m Sm nm;%o6_
[[m SSm nnm$%=%kl"%(12%[ S n/!"
A%.l k kl/1%6_[[m SSm nnmap.#

Câu 3)8;<C<.
j k +
/2*Q;<C3"@%
$*
8
 Gx p+ M

Câu 4)?;<C
{ }
n
a
@%?$*
8
G Gn n n

a a a
− +
>

Vn N∀ ∈
95
!
n→∞
8
G 8
G G 8

n
n
n a a a
 
+ + +
 ÷
 

Câu 5)p%16a7GJM%+S6%B:1>jM;%
*Q8M"*$%1:q@1%CB*%4
Câu 6)9+";<
( )
f x
!C^CR@%L
( )
h 
8
x

f x f x x R
 
+ = − ∀ ∈
 ÷
 
Câu 7)I;<B
a b c d x y z t
/2f;<;%M5#;<
*QML
ac bd ax by az bt+ + +

cx dy cz dt xz yt+ + +
ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM:
Câu 1)&+
j 
j
j j
 j 8 GI  x x− + =
G
9%
x
≤
*Q!"A%G b
\>
x
>

j

8 GI

G j 

x
x
⇔ − + =
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 5 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi

j

GI 8
j

x
x
⇔ + =
8 b
0
x
>
C^1_/Q;j;<L

GI
h h h
  
x x x
x
%L

j j

  
GI GI GI 8
j j
    
x x x
x
x x
+ = + + + ≥ =
G
083?%*="i*L

GI

x
x
=

j
bjx⇔ =

j
bjx⇔ =

x
>

\D?#
j
bjx =
G

Câu 2)ZQ5rp%+;YL
AB AC BC≤ ≤

&'
s sK MM NN
= ∩
="t!"%A%6
_nZ=>l
• 9%/
sM AC∈
L
9D=D+;Y[mW".k
sM AB∈
L
SC
G G
s s
8 8
BM BM BC BM BC BA+ = + < +

( ) ( )
G G
8 8
BC AB AB AB BC CA= + + ≤ + +
• 9B%U/)
sN BC∈
LG
• 9%!.L
( ) ( )
G G

s
8 8
CM AB BC CA CM AB CA= + + − = +
d%
G G
s s
8 8
CM CN CM CA AB− = − =

G
s
8
M N AB MN⇒ = =
 b
9B
G
s
8
MN AB MN= =
;%%[S[mM.S %S[SmM.[
 b
·
·
·
·
s s
s s
MNN MN N
NMM NM M


=

⇒

=


"
·
·
( )
·
·
( )
s  
s  
KNP MN N s l t
KMP NM M s l t

=


 =

C[Z SZ!"M
A%%[Sn
 b
d%
·
·

·
( )
uuMPI IPN MIP do NP MI= =

IMP⇒ ∆
M.[
G
8
MI MP AC⇒ = =
( )
G
8
BP BI BP BM MI AB BC AC⇒ + = + + = + +

sP I⇒ ≡
\D[[
G
SS
G
nn
G
ap.# b
Câu 3)8
&+;Y;<Ca
8
 Ga p+ M
%L
( )
8
G a p≡ −

 8b
d%
( ) ( )
G
G
8
G 
p
p
a p
−
−
≡ −
%L
( ) ( )
G
G
8
G G G 
p
p
a p
−
−
− ≡ − −
 b
Sv!5wvx%L
( )
G
G  

p
a p
−
− ≡
 b
SC
( ) ( )
G
8
G G  
p
p
−
− − ≡
V"!";<C<.
j k
+
CL
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 6 -
N
M
P
A
B
C
M'
N'
P'
t
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi


( )
V 8   p⇔ − ≡
 b
R$=Q!5C;%1")/ 8b
Câu 4)
9%?
{ }
n
a
!"#?`B;B  b
9D=DL-a.;<BC*;%
Gk k
a a
+
≤
+-
8
G 8k k k
a a a
+ +
>
%)
G 8k k
a a
+ +
>
 
V
k

a N∈
="/-%)#?;<C+B;B $"
*Q    3?  %  =  ? 
{ }
n
a
!"  ?  =Q  .
G
0
G 
Ga a> ≥
Cvp.%%
V
n
a n n N> ∀ ∈

d%L
G 8
G 8

n
n
n
a a a
+ + + <
 b
R:
8
G 8
G G 8


n
n
n
u
n a a a
 
+ + + =
 ÷
 

G

n
u
n
< <
 b
\D
!
n→∞
8
G 8
G G 8
 
n
n
n a a a
 
+ + + =

 ÷
 
vC!5*y b
Câu 5)
'GM1*"M !"Mk%6);%3+%L
96)GLMk*Q1:Z3T"MaGfM7!.9%;z:jM;<
GfM;%*Q%M"*$%1: b
&+;Y?:)jM@%C(C !F""M7!.G8M*Q*M
k\^a!."M!":jM?:="j=5?: ;<!""12=>;<
:jM="j;<G=53v*zK%G8M*+8( CL
d<:jMW6)G!"L
j
G
JGbC =
G
96)8LMk1:Z"M7!.GfM9%;z:M;<GfM7!.
;%*Q%M"*$%1:%MW%5%A%MkU*Q):
 b
&+;Y?:)M@%C(C !F""M7!.GM0%MW
%5%Mk=,%:*Q):C%3T"MaGGM7!.
gD!DB6)G %;<:M!"L

G8
88C =

d%L;<:M@%C($1"!"L
JGb 88 Hb
+ =
G
Câu 6)

x R
∀ ∈
%L
( )
8
x
f x f x
 
+ = −
 ÷
 

( )
8
8  
x x x
f x f
 
+ = − −
 ÷
 
⇔

( )
8
 8 
x x x
f x f
 
 

+ = − +
 ÷
 
 
 
⇔
8 b
9,G%L
( )
 f =

R:
( )
8
 

x
g x f x= +
 %L b
( )
 g =
3!C^C{="
 
8
x
g x g x R
 
= − ∀ ∈
 ÷
 

8 b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 7 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
d%L
( ) ( )
8
 G
8 8 8
n
n
x x x
g x g g g
     
= − = = = −
 ÷  ÷  ÷
     
=>
n N
∈
"3!C^C{ 
( )
 g =
CL
( )
 g x x R= ∀ ∈
 b
d%L
( )
8



x
f x x R= − ∀ ∈
 b
9Y!. %
( )
8

x
f x = −
@%G =D#";<@%C($1" b
Câu 7)
9:_|3 :
( )
G
hu a b=
ur

( )
8
hu c d=
uur

( )

hu x y=
uur

( )
j

hu z t=
uur
 b
9%L
G 8 G  G j
   u u ac bd u u ax by u u az bt= + = + = +
ur uur ur uur ur uur

8  8 j  j
   u u cx dy u u cz dt u u xz yt= + = + = +
uur uur uur uur uur uur
G
\j.1Wj=v
G 8  j
u u u u
ur uur uur uur
5#*Q=)pH

Ca.:
=v

i j
u u
ur uur

( )
G ji j≤ < ≤
;%
( )


; h 

i j
i j
i j
u u
u u
u u
= ≥
ur uur
ur uur
ur uur
G
d%
 
i j
u u ≥
ur uur
==D%$+/ b
ĐỀ SỐ 03
Câu 1 (3đ) : &+L
8 8 8 8 8
   
  j  8J 
H
x y z t x y z t
x y z t

+ + + = + + +



+ + + =


Câu 2 (3đ): Q
}

~

~
=
•
%Mkl=%
~
0*Q;;R
~
=Q
•
=
•
kl*v
€

~
k`
•

~
=Q
•

=
•
0*v
€

~
=%
~

~
0!M
~
!
}
%
}
[=%
~
nR
~
=Q
•
=
•
kl*v
€

~
l
`

•

~
=Q
•
=
•
0*v
€

~
=%
~

~
0!M
~
!
}
%
}
•=%
~
S
•
`
~
%
•


~
`
€

k0 l [SQ
~
ph%
•

~
`
€
k l0 n•Q
~
p
Câu 3 (2đ): 9CA%L

 8 8 8 8 8 8
j j j b j j I 
− − + + + + + =
y x y xy x y x y xy x
Câu 4 (3đ):
Cho dãy số
 
n
u
xác định như sau :
G
8
G

8I
8H
8 G  G 8  
n n
u
u u n
+

=



− − = ∀ =

Tìm
!
n
n
u
→+∞
Câu 5 (3đ): %;<BC *@%L
0 k n≤ ≤
/2L

0 2 1 2 2 2
2 2
. (( ) ( ) ... ( ) )
n n n
n k n k n n n
C C C C C

+ −
≤ + + +
Câu 6 (3đ): 3  ‚!";<@%?$*L
8 8 8
Gx y z+ + =
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 8 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
9@A%1/L

xy yz zx
f
z x y
= + +
Câu 7 (3đ): !Dkl0kmlmm0m.% ƒ „!(!)#C
.m0m k0 llmR=5A% ƒ „=%ƒ„@
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 9 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3đ) : &+L
8 8 8 8 8
   
  j  8J 
H
x y z t x y z t
x y z t

+ + + = + + +


+ + + =



8 8 8 8 8
   
  j  8J  G
H 8
x y z t x y z t
x y z t

+ + + = + + +


+ + + =


]^1_/l%3*81#;<LGhhjhG="3hh‚h9%L
8 8 8 8 8
  j  8J x y z t x y z t+ + + ≤ + + +
G
R_/3+%*L

G  j G
x y z t
= = =
\D?
   
G  j G
H
x y z t
x y z t


= = =

⇔


+ + + =

G
l2:L
G  j G
x y z t
k= = = =
%;%L

j
x k
y k
z k
t k
=


=


=


=


9%="8 %)L

H H Gk k= ⇔ =
\D?i#L
 h h h  GhhjhGx y z t =
G
Câu 2 (3đ): Q
}

~

~
=
•
%Mkl=%
~
0*Q;;R
~
=Q
•
=
•
kl*v
€

~
k`
•


~
=Q
•
=
•
0*v
€

~
=%
~

~
0!M
~
!
}
%
}
[=%
~
nR
~
=Q
•
=
•
kl*v
€


~
l
`
•

~
=Q
•
=
•
0*v
€

~
=%
~

~
0!M
~
!
}
%
}
•=%
~
S
•
`
~

%
•

~
`
€

k0 l [SQ
~
ph%
•

~
`
€
k l0 n•Q
~
p
g
&
}
%C
€

€
%[S=
•
l=%
~
k0!M

~
!
}
!%
~
t=%
~
…9%
•
L
·
·
·
·
. .sin
(0,5)
. .sin
.cos
. (0,5)
.cos
MBC
NBC
MC BC MCB
S
MI
IN S
NB BC NBC
MC BCD
NB ABC
= =

=
1
2
1
2
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 10 -
P
Q
I
N
M
D
C
B
A
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
g
9
}

·
·
.cos
. (0,5)
.cos
MJ AM BAD
JN
ND ADC
=
g

S
·
·
·
·
, , (0,5)BCD BAD ABC ADC AMC DNB= = D D:
9
•
!%
~

,
AM MC
ND NB
=
;%
MI MJ
IN JN
=
%
. (0,5)I Jº
g
gM
}
!M
}

}
Q
•

=
•
n•
( , )0 5
Câu 3 (2đ): 9CA%L

 8 8 8 8 8 8
j j j b j j I 
− − + + + + + =
y x y xy x y x y xy x
n
⇔

8 8 8
 G†j j  b I ‡ y y x x y x x
+ − + + + =
• S-ˆxG3CN‰ b
• S-
1y ≠ −

8 8 8
j j  b I − + + + =y x x y x x
!"Š 

3 2 2
4 ( 2 4 8) 4 ( 2)( 2)x x x x x x x∆ = + − − = − +
n+
∆
!";<5 b
6)L

%
2 3
0 0 0
2 1
x y
x y
x y
= ⇒ =


∆ = ⇒ = ⇒ =


= − ⇒ =

 b
1
0 0; 2; 2.x x x∆ > ⇒ ≠ ≠ ≠ −


2
( 2)x x a⇒ − =

2 2
1 1
2 .
1 1
( 1) 1
1 1
0

1 1
x a
x khoâng thoûa
x a
x a
x a
x khoâng thoûa
x a

− + =

⇒ =


− − =


⇒ − − = ⇒

− + = −


⇒ =

− − = −




\D?h 8h x8hG ="hxG=>CE‰ b

Câu 4 (3đ):
Cho dãy số
 
n
u
xác định như sau :
G
8
G
8I
8H
8 G  G 8  
n n
u
u u n
+

=



− − = ∀ =

Tìm
!
n
n
u
→+∞
Đáp án :

Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 11 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
9%L
2
2
1 1
1
2 1 0
2 2
n
n n n
u
u u u
+ +
− − = ⇔ = −
T";<L
2 2
1 1 1
( )
2 2 2 2
x x
f x
−
= = − ≥ −

'( )f x x
=
9%L
1 2 3
1 1 1 3

1 0 0
2 2 2 8
u u u
− − −
< < ⇒ < < ⇒ < < − <
\DL
2n
∀ ≥

1 0
n
u
− < <
 b
2
2
1 1
1
2 1 0
2
n
n n n
u
u u u
+ +
−
− − = ⇔ =
&'%!"A%L
2
1 1

( ( ;0)) 1 2
2 2
x
x x a
− −
= ∈ ⇒ = −
 b
9%L
1
( ) ( )
n n
u a f u f a
+
− = −

9v!5g%x`L
( ) ( ) '( ) .
n n
f u f a f a u a
− = −
0
1 1
'( ) ( ) ( )
2 2
n n
f a f u f a u a≤ ⇒ − ≤ −
 b
2
1 1 1
1 1 1

...
2 2 2
n
n n n
u a u a u a u a
+ −
   
⇒ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ −
 ÷  ÷
   
G 
["
1 1
1
lim 0 lim ( ) 0 lim 1 2
2
n
n n
n n n
u a u a
+ +
→+∞ →+∞ →+∞
 
= ⇒ − = ⇒ = = −
 ÷
 

\DL
lim 1 2
n

n
u
→+∞
= −
 b
Câu 5 (3đ):
%;<BC *@%L
0 k n≤ ≤
/2L

0 2 1 2 2 2
2 2
. (( ) ( ) ... ( ) )
n n n
n k n k n n n
C C C C C
+ −
≤ + + +
0
n 2
(1+x) .(1 ) (1 )
n n
x x
+ = +
0 2 1 2 2
2
( ) ( ) ... ( )
n n
n n n n
C C C C⇒ + + + =

G
[:*L=><

( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
8
8
8
8
8
8
8
88
‹
88G
n
knknkn
CCu
n
kn
n
knk
−⋅⋅⋅−+⋅−+
=⋅=
−+

g"?;<+v* ;%L
2
0 2
( )
n
k n
u u C≤ =
G
\D
0 2 1 2 2 2
2 2
. (( ) ( ) ... ( ) )
n n n
n k n k n n n
C C C C C
+ −
≤ + + +
R_/3+%**ˆ
Câu 6 (3đ):
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 12 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
3  ‚!";<@%?$*L
8 8 8
Gx y z+ + =
9@A%1/L

xy yz zx
f
z x y
= + +

9%L
8
8 8
8 8 8 8
8 
xy yz zx
f y z x
z x y
 
   
= + + + + +
 ÷ ÷  ÷
   
 
G
]^1_/L
8 8 8
A B C AB BC CA+ + ≥ + +
9%)L
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
  8    f y z x y z x y z x≥ + + + + + = + + =
G
R_/3+%
G


xy yz xz
x y z
z x y
⇔ = = ⇒ = = =

\D
 f =
.)*
G

x y z= = =
G
Câu 7 (3đ):
!Dkl0kmlmm0m.% ƒ „!(!)#C.m0m
k0 llmR=5A% ƒ „=%ƒ„@
'^.#=zLkhh l%hh 0h%h kmhh% 3h%h% ƒhh
„%hh‚3  ‚Œ
9%=%ƒ„!"L
nˆƒ•ƒ„•„

2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )P x a y a a y z a x a a z= + − + + + + + − + + −
 b

2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
6 6 ( ) 6 6 ( ) ( )
4 4 4
a a a
P x a y y z a x a z
     
= + − + + + + + − + + −
 ÷  ÷  ÷
     

 b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 13 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
4
(1 1 1 1 1 1) ( ) 6
4 4 4 4 4
4
6 ( ) ( )
4
a a a a a
x a y y z
a
a x a z
   
= + + + + + + − + + + + + + + +
 ÷  ÷
   
 
− + − +
 ÷
 
 b
( ) ( )
4 4 4
( ) 9
2 2 2

a a a
x a y y z a x a z a
     
≥ + − + + + + + − + − + =
 ÷  ÷  ÷
     
      1  _  /
l%3*
\DL
9 3 6
2
6
a a
P ≥ =
G 
0123+%*="i*
2
2 2
2
a
x a y
a a
y z x y z
a
a z a x

= − =




= = ⇔ = = =



− = − =


 b
ĐỀ SỐ 04
Câu 1: (3 điểm)&+
8
f 8
8I
f 8
j 8
!  G
G
x
x x
x x
+
= − −
+ +

Câu 2: (3 điểm) %ABC.AB = c CA = b BC = a&'I!"M67#
-%?/2
8 8 8
G
IA IB IC
bc ca ab

+ + =

Câu 3: (2 điểm) 91%;<C<!C-%;%r1A%1%;<U!"#
;<C<
Câu 4:(3 điểm) T?
( )
n
x

n
x
!"A%L
8
G
n
x x x= + +
0?;<
( )
n
y
L
n
y
ˆ
 G
n
n x −
/2L
( )
n

y
>.9
!
n
n
y
→∞

Câu 5: (3 điểm) D)
{ }
G  b  8 GA n= −

n
∗
∈¥
9;<Cn@;%
Q
~
%
}
G8M
}
B
G
B
8
Ž B
G8

€

%A
€
%%
•
Q
~

~
%
•
C
~
*C
}
;%L

 G G8h G G8h 
i j
B B i j i j∩ = ∅ = = ≠
h

G 8 G8
B B B A∪ ∪ ∪ =
h
Q
€
%
•
M
~


€
Q•M
}
B
i

G G8i =
1`
~
%
Câu 6:(3 điểm) ";<f!C^C
¡
="+?L

           h
 8 8 
f x y f x f y f xy f x f y x y
f f
+ + = + + ∀ ∈


≠ ≠

¡
/2Lfx •yˆfx•fy 
x y∀ ∈ ¡

Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 14 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi

ĐÁP ÁN
Câu 1: (3 điểm)
8
f 8
8I
f 8
j 8
!  G
G
x
x x
x x
+
= − −
+ +
 (1)
R$*L
x∀ ∈
¡
G
( ) ( ) ( ) ( )
8 f 8 f 8 8
8I 8I
! j 8 ! G G j 8x x x x x x⇔ + − + + = + + − +
( ) ( )
8 8 f 8 f 8
8I 8I
! j 8 j 8 G ! Gx x x x x x⇔ + + + = + + + + +
 b
R:

8I
  !f t t t= +

( )
ht ∈ +∞
s
G
  G
! 8I
f t
t
= +
Œ 
( )
ht∀ ∈ +∞
 b
 f t⇒
`C
( )
h+∞
G
8 f 8
j 8 Gx x x⇔ + = + +
 b
f 8
 G x x⇔ − − =
8
8
u x= ≥
R:


   Gg u u u= − −
• /guˆi
( )
h8u ∈
 G
• R:uˆ8;

8
t
π
 
< <
 ÷
 
8
G
; 8 ;
8 H
c t x c
π
⇒ = ⇒ = ±
  b
Câu 2: (3 điê
̉
m)
Cách 1 (phương pháp vectơ)
\I!"M67#-%ABCC%/;%L
aIA bIB cIC+ + =
uur uur uur r

V  b
l%=-A%V %L
8 8 8 8 8 8
8  8  8  a IA b IB c IC abIA IB bcIB IC caIC IA+ + + + + =
uur uur uur uur uur uur
VV  b
[:*%L
8 8 8 8
8 IA IB BA IA IB IA IB BA c− = ⇒ + − = =
uur uur uuur uur uur
8 8 8
8 IA IB IA IB c⇔ = + −
uur uur
G  b
9BL
8 8 8
8 IB IC IB IC a= + −
uur uur
8
8 8 8
8 IC IA IC IA b= + −
uur uur
  b
9%G 8 ="/VV %)/L
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
      a IA b IB c IC ab IA IB c bc IB IC a ca IA IC b+ + + + − + + − + + − =
8 8 8 8 8 8 8 8 8
     a ab ac IA b bc ba IB c ca cb IC abc acb bca⇔ + + + + + + + + = + +
8 8 8
   a b c aIA bIB cIC abc a b c

 
⇔ + + + + = + +
 
 b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 15 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
8 8 8
G
IA IB IC
bc ca ab
⇔ + + =
  b
Cách 2 (phương pháp lượng giác)
9%L
;
8
r
IA
A
=
 8b
  
8 8
A C
b r= +
 8b
  
8 8
A B
c r= +

 8b
8
8
8
G G
;      ;  ; 
8 8 8 8 8 8 8 8 8
;  
8
; ; ; ;
8 8 8 8
IA
A A C A B A C A B
bc
A
A C A B
⇒ = =
+ + + +

; ;
8 8
% %
8 8
; ;
8 8
B C
B C
B C
= =
G

9BL
8
% %
8 8
IB C A
ca
=
h
8
% %
8 8
IC A B
ab
=
 b
⇒
8 8 8
% % % % % % G
8 8 8 8 8 8
IA IB IC A B B C C A
bc ca ab
+ + = + + =
  Jb
Câu 3: (2 điểm)
&'1%;<C<!C-%(!"x, y, z="x < y < z
ZL
8x ≥
y!O="z!O  8b
•S-xŒ
 G

 G
 G
x k
y l
z m
= ±


= ±


= ±

=>
k l m
∗
∈¥
=x, y, zC<CF*Q%-
 8b
ZL
8 8 8 8 8 8
H  f    x y z k l m k l m
 
+ + = + + ± ± ± +
 
M
  b
\D=>xŒ *Q)x, y, z@%$
•S-xˆ8yˆ zˆbZ
8 8 8

I 8x y z+ + = M
\D=>xˆ8 *Q)x, y, z@%$
 b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 16 -
k
l

…
Z


t
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
•Txˆyˆb zˆJZ
8 8 8
Ix y z+ + =
!";<C<
\D1#1%;< b J!"1#1%;<C<!C-(  b
Câu 4:(3 điểm)
• /)L
G•
n
x
ˆ
8 8
8
 G G
G 
Côsi
n n n n

n
n n
x x n x x n
x x
n n
+ + + − + +
+ + =
≤
 V
 b
• 9
~
%
€
C
•

n
x
!"A%L
8
G
n
x x x= + +

G 8
n
x⇒ < <

 n n∀ ≥ ∈ ¥


9
~

•
/)L
8
8
8 8 f
G 
n n
x x n
n
n n
n n n
+ +
+ +
< = + ∀ ≥ ∈ ¥
 VV
\M
}

~
V=%
~
VV
! G
n
n
x

→∞
⇒ =
 G
• \
8
G
n
n n n
x x x= + +
( )
8
G
! G
!
n
n n n
n
x
y x x
x
−
⇒ = + +
 b
="
G
! G
!
n
n
n

x
x
→∞
−
=
 b
! !
n
n
y
→∞
⇒ =
  b
Câu 5: (3 điểm)
&+;Ya.;<Cn;%D)A)M"G8DB
G
B
8
Ž B
G8

€
%%
•
C
~
*C
}
C
~

1%
~
 
•
!%
~
LQ#*Q%% 
G 8 G8
B B B A∪ ∪ ∪ =
a6r
(YA%oDB


G G8i =
12%
9%r+(YA%DA !"LG••b•Ž•8n‘Gˆn
8
  8b
0r(YA%oDB


G G8i =
12%
C
8
f 
G8
n
n k k
∗

∈ ⇒ = ∈¥ ¥
  b
Zr(YA%oDB


G G8i =
!"k
8
  8b
\>
f 8 G G8 Gn k n k
= ⇒ − = −
#5#DB

"
8
G8 G k k⇒ − ≤
 b
jk⇒ ≥
  8b
Zkˆj
⇒
nˆ8jL
{ }
G  b jJA =
  8b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 17 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
TDB



G G8i =
L
{ }
8 G jH 8
i
B i i= − −

G G8i =
  b
0XL
{ } { } { } { }
G 8  G8
G jJ  jb b j  8 8bB B B B= = = =
  8b
!"G8DA%A@%?C($1"
\D;<Cn@(!"Lnˆ8j  8b
Câu 6:(3 điểm)
Vx = yˆ
⇒
fˆ  8b
Vx = yˆ8
⇒
f8ˆ8  8b
Vx = yˆG
⇒

[ ]
8
G  G 8 f f− + =

G G
G 8
f
f
=

⇔

=

 b
TfGˆ8
⇒
fˆ8=Q!‰
TfGˆG
⇒
fx•Gˆfx•G 
x∀ ∈ ¡
 b
V
( )
 x u u
v
y
u
= ≠



=



     
v v v
f u f u f f v f u f
u u u
     
+ + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
G  b
V
( )
 
G
x u u
v
y
u
= ≠



= +


 G   G     G
v v v
f u f u f f v u f u f
u u u

   
⇒ + + + + = + + + +
 ÷  ÷
   
G         G
v v v
f u f u f f u f v u f u f
u u u
     
⇒ + + + + = + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
   
v v v
f u f u f f v u f
u u u
     
⇒ + + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
8  b
9,G="8
V
      f u v f u f v u v
⇒ + = + ∀ ∈ ∀ ∈
¡ ¡
      f x y f x f y x y⇒ + = + ∀ ∈¡
  b
Câu 7: (3 điểm)
'    ^  |xyz    =z => Ahh Bahh Cahah Dhah Amhha Bmahha

Cmahaha Dmhaha  b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 18 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
Z
 h h 
M M M
M x y z
@%

8
8
8
8
M
M
M
x
x
y
x
z

=



=




=


  8b
="
 h h 
N N N
N x y z
@%
8
8
8
8

N
N
N
x
x
x
y a
z

=



= −



=



 8b
%9 x. MN P 
9%L
8 8 8 8
     
N M N M N M
MN x x y y z z= − + − + −
8 8 8 8 8
8 8
   8    8 8
8 8
x x
a x x ax a= + − + = − +
 8b
8 8 8
8
8 
  
 H H 
a a a a
x
 
= − + ≥ =
 
 
 8b



a
MN⇔ ≥

\D

 8
h 8
 
a a
MN x a= ⇔ = ∈
  b
1Z MN P /2 MN // A’C 
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 19 -
x
y
z
l
k

0
km
lm
m
0m
[
S
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi


 8
 
a a
MN x= ⇔ =
 8b
Z
8
h h    h h
   
a a a a
M N

 h h 
  
a a a
MN⇒ = −
uuuur
  8b
[:*
s  h h A C a a a= −
uuuur

0
s A C MN=
uuuur uuuur

sA C⇒
uuuur
E
MN

uuuur

uu sMN A C
⇒
  b
ĐỀ SỐ 05
Bài 1.9BA%%;%a.b;<B*QM
bj8G
xxxxx
@%
a6$*
b b b
 8 b 
G G G
 h  h 
k k k
k k k
k x a k x a k x a
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
Bài 2.∆kl' q!"BMA%%&'km lm m!(!)!"%A%
qk ql q=>67.-∆kl/
HCHBHAHCHBHA
GGG
s
G
s
G
s

G
++≥++
Bài 3.8
% /
G8GGG
888
+−−=
yxz
=Q=>3  ‚∈„
1 /
88IGG
888
+−−=
yxz
=>3  ‚∈„

Bài 4.?;<%

1:="
( )
G
f
b
f
G
G8
≥+≤
++
naaa
nnn

/2?%

#^
Bài 5.Gb1"P ;<,G-Gb[o1"i8*+`+!6L
RF:d%Gf5;%% *Q%+!6F81"!$%S-3v
1"!"A%o5;/=>#?Gb(YR d*Q1"!"".L
RdRRddddddRdRdd8KF*$%/2585;+!6"1#Gb1"
<%
Bài 6. 9"’L{→{*+=="@%$*
Ryxxfyfyfxf
∈∀+=+

Bài 7.       /    kl0            .  $  #  #  :  (
BCADDBACCDAB   
===
q?55/kl0theo BC .
ĐÁP ÁN
Bài 1.9BA%%;%a.b;<B*QM
bj8G
xxxxx
@%a6
$*
b b b
 8 b 
G G G
 h  h 
k k k
k k k
k x a k x a k x a
= = =

= = =
∑ ∑ ∑
&+;Y*QM=>o"A%%Z
( )
( )
G
8
b
G
b
b
G
8
b
b
G
8
8
b
G

b
G
b
b
G







=












⇔






=













∑∑∑∑∑∑
======
k
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xkxkxkxkxkxkxk
G !"6)3+%12A%1_/l%*=;*0%6);%L
•3

ˆ=>ˆG 8  j b 8
•jb;<3

12 ;<7!.* 
•d<;<*!>:128 j
j*Q3+%
8;%%ˆ

9,%6)
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 20 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
•
G 
bj8G
=⇒====≠
axxxxx
•
j 
bjG8
=⇒====≠
axxxxx
•
H 
bj8G
=⇒====≠
axxxxx
•
Gf 
b8Gj
=⇒====≠
axxxxx
•
8b 
j8Gb
=⇒====≠
axxxxx
\>%ˆ
8

=>
{ }
bhjhh8hGh
∈
i
q*QM!"
bhG h
≤≤≠∀==
jijixix
ji

\D(A%%!"hGhjhHhGfh8b
Bài 2.∆kl' q!"BMA%%&'km lm m!(!)!"%A%qk ql
q=>67.-∆kl/
HCHBHAHCHBHA
GGG
s
G
s
G
s
G
++≥++

•0X"/)qkmˆ8qk
G
qlmˆ8ql
G
qmˆ8q
G


•]^“;;%qk•ql•q≥8qk
G
•ql
G
•q
G
ˆqkm•qlm•qmV
•TT+Bq 5!"GZLk

l



k
8
l
8

8
!(!)!"+A%
k l  k
G
l
G

G

/)1#
8

k

l
8
 l
8


k
8
 k
8
l


8
_"Z %
k
8
l
8

8
^V%

HCHBHAHCHBHA
HCHBHAHCHBHA
HCHBHAHCHBHA
HCHBHAHCHBHA
GGGG

s
G
s
G
GGG
8
8
s
8
s
8
GGG
8
GGG
8
GGG
888
++≥++⇔






++≥++⇔







++≥++⇔
++≥++
Bài 3.
% /
G8GGG
888
+−−=
yxz
=Q=>3  ‚∈„
1 /
88IGG
888
+−−=
yxz
=>3  ‚∈„
GiảiL
% Tv!I
Ij G 
Ij G 
8
8
≡
≡
y
x
⇒
I  GG
I  GG
8

8
−≡−
−≡−
y
x
⇒
Ib  GGG
88
≡−−
yx
["
I88G
≡
⇒
IJ 8 8GGG
88
≡+−−
yx
9*
Ij G 
8
≡
z
0G=Q
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 21 -
q

m
k
l

km
lm
k
G
l
G

G
k



l

k
8
l
8

8
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
1
8H8
88888
=++−⇔ yxyxz
T
8H
88
=+
yx


S-3

83ˆ3

ˆ

‚ˆ3




\D%/12i%#1#3



@%
9
88
yx
+
DE12HCDEA%
 
88
yx
i!"hH jhb
S”%!"DEA%3hi!"hhhJh8hbhIhb0=%73 !"%
l2YB-%#A%!"3ˆ8I ˆb
\D8
Bài 4.?;<%


1:="
( )
G
f
b
f
G
G8
≥+≤
++
naaa
nnn
/2?%

#^
GiảiL
nnnnnnn
aaaaaaa
f
b
f
b
f
b
f
G
GG8G8
+≤+⇒+≤
+++++

R:
nnn
aab
f
b
G
+=
+
9%
( )
n
b
1:
( )
n
a
1:
\"
G
G
≥∀≤
+
nbb
nn
d%
( )
n
b
#^
&'1ˆ

n
n
b
∞→
!
9%/2
aa
n
n
=
∞→
!
=>
ba
GG
f
=
\
n
n
b
∞→
!
ˆ1 =>∀εŒ ∃

∈SL


G8
nnbb

n
≥∀<−
ε
aaaaaaaa
a
aabb
nnnnnnn
−−−≥−+−=−+=−>
+++
f
b

f
b
f
GG
f
b
G8
GGG
ε
\D
G8f
b
G
ε
+−<−
+
aaaa
nn

G8f
b
G

ε
+−<−⇒
−++
aaaa
knkn
G8G8f
b
f
b
8

εε
+






+−<−⇒
−++
aaaa
knkn
G8f
b


f
b
G
f
b
G

ε














++++−






<−⇒

−
+
k
n
k
kn
aaaa
9%
⇒<














−=







+++
−
f
f
b
Gf
f
b

f
b
G
G kk
8f
b

ε
+−






<−
+
aaaa
n
k
kn

\>
8f
b

ε
<−






aa
n
k
=>*A!>
ε
<−⇒
aa
n
=>A!>d%
aa
n
n
=
∞→
!

Bài 5.Gb1"P ;<,G-Gb[o1"i8*+`+!6LRF:
d%

Gf5;%% *Q%+!6F81"!$%S-3v1"!"A%o
5;/=>#?Gb(YR d*Q1"!"".LRdRRddddddRdRdd8
KF*$%
/2585;+!6"1#Gb1"<%
x \>+-? ;<(YR1"!"A%5;<%!"I
x \>o*L≤*≤I%;<?*KR ;<K;%!"Gbx*Kd"."Gbx
*•G*+< *+8*+<8(F
9%(:*KR="Gbx*•G*+<"
k
k
C
GGb
+−
=D\D
k
k
C
−
Gf
1"*
KR
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 22 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
x  d<    +    1"  !"      !"L
GfGbHJGf8Gjf8jHb8IfHGGbG
I

Gf
<=++++++++=
∑

=
−
k
k
k
C
x R$"/@+585;1"!"<%
Bài 6. 9"’L{→{*+=="@%$*
Ryxxfyfyfxf
∈∀+=+

9,$*$1" !(!)."%=-v3 %)
8sss
Gsss
xfyfyfyfxf
xfxfyfyfxf
+=+
+=+
SM%=-A%G=>‘’m ="#=>8=-v=-%)
ssGs
=−+
yfxfxfyf
96)GLS-a.
sL

=∈
xfRx

9,;%
yxfyf

∀=+
s

0’3ˆˆ;
96)8LS-
Rxxf
∈∀≠
s

9,;%
yxyfxf Gss
∀=
0’m3ˆˆ;%’3ˆ3•∀ ∈{
\>’m3ˆ ’mˆ9%
8
ˆG%ˆ•G
9,$*1"iDˆG
9Y!.";<’3ˆh’3ˆ3•=> ∈{!"";<(
Bài 7.
  /    kl0            .  $  #  #  :  (
BCADDBACCDAB   
===

q?55/kl0theo BC .
• 9/kl0.$##:(0X"/)
kl0!"/BM
• 0B#klm0mkmlm0.-/Z #:$!"

qK% 
BCADDBACCDAB   

===
C:#$!"
12%f


9_.imA%#$12f

Clˆl0ˆ0
9B _.ikA%#$12f

Ck0ˆklˆkˆ
BC

d%kl0!"$
9D=D 
sssssjsssssj
888888
BDABBDBDDBBDACAB
=⇒=+=+=
• Z
hSV
BCDABCD


G
=
\>!"*+,k-l0
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 23 -
lm
k

0m
km
0

m
l
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
0X"5)

f8
BCh
=

f
8
j

8
BCVBCS
ABCDBCD
=⇒=
ĐỀ SỐ 06
MGL&+1L
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x

−
+ − − >
+
G
l"+R$*
2 2x− ≤ ≤
ZL
+ − − − − −
⇔ > ⇔ >
+ + − + + −
+ +
 
⇔ − + − + + − > ⇔ − + − − − >
 
 
⇔ − − − + + − > ⇔ − − − >

− >


− − >

⇔
2 2
2 2 2
2 2 2
2
(2 4) 4(2 ) 2(6 4) 6 4 2(6 4)
(1)
2 4 2 2 2 4 2 2

9 16 9 16
(3 2) 9 16 2( 2 4 2 2 0 (3 2)(9 8 32 16 8 2 ) 0
(3 2)( 2 8 2 )(8 2 8 2 ) 0 (3 2)( 2 8 2 ) 0
3 2 0
2 8 2 0
x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x



< ≤




⇔



− <


− ≤ <





− − <



2
32
2
3
3 2 0
2
2
3
2 8 2 0
x
x
x
x x
M8L
%kl#-67|--=>|.l P%.[ k[Pl.
S/2L
2 2
. . 0NB AC NC AB− =

l"+L
H
K
N
M

O
B
C
A
&'q Z!(!)!"-A%l !Ck[9v!‰9%x!T %
·
·
1 1
. . .sin
2 2
1 1
. . sin
2 2
AMB
AMC
BH AM BA BM ABM
SNB BH
NC CK S
CK AM CA CM ACM
= = = =
9v+-L
·
·
;sin sin( ) sin ;sin sin( ) sinMB MC ABM B A C ACM C A B= = + = = + =
\D
2
2 2
sin
. . .
sin

NB BA C AB
NB CA NC AB
NC CA B CA
 
= = ⇔ =
 ÷
 
Rn[
ML9+:;<C% 1;%8%•G%-1="81•G%-%
l"+
&+  ;Y  %  1  C    ="
*
2 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 2 1 ( )(1)
2 1
a b
a b ab a b ab a b kab k
b a
+

⇒ + + ⇒ + + ⇒ + + ∈

+

M
M M M ¥
M
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 24 -
Tuyển tập một số đề thi học sinh giỏi
d%* % 1$!O\

1, 1 ( 1)( 1) 0 1 2 2 1 2 3 5 (2)a b a b a b ab a b ab ab≥ ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ + ≤ + ⇒ + + ≤ + ≤
Z-)=>G;%
5k ≤
G \>
5 2 2 1 5k a b ab
= ⇒ + + =
,8%;%
3 3 1ab a b
= ⇒ = =
{e"
1a b
= =
@%?
2 1a b+ M
="
2 1b a+ M
8 \>
3k =
+;Y 
a b≥
%
3 2 2 1 5 3 5 1 3 2 3 3ab a b a b b a a a= + + ≤ ⇒ ≤ ⇒ = ⇒ = + ⇒ =

{e"
1, 3b a= =
@%?
2 1a b+ M
="
2 1b a+ M
 \>

1k
=
+;Y
a b
≥
%
2 2 1 5 5 1ab a b a b b
= + + ≤ ⇒ ≤ ⇒ =
:
3b
=
:
5b
=
•\>
1b =
_/
2 2 1ab a b= + +
W"
2 3a a= +
=Q!‰
•  \> 
3b =
 %   
3 2 6 1 7a a a= + + ⇒ =
  {e  " 
3; 7b a= =
 @%  ?  $  *
2 1 ;2 1a b b a+ +M M
•\>

5b =
%
11
5 2 10 1
3
a a a= + + ⇒ =
!.
\>
a b≤
!‰!DB%)
3, 7a b= =
@%?$*
2 1 ;2 1a b b a+ +M M
9!.Lb:% 1@%?C(1"!"
(1,1);(1,3);(3;1);(3;7);(7;3)
MjL9>.A%?
( )
n
u
=>

1 1
6 36 6
...
(9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 2 )(3 2 )
n
n
n n n n
u
+ +

= + + +
− − − − − −
l"+
9%L
1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 1 1
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
6 6 ... 6 6
9 4 3 2 27 8 9 4 3 2 3 2 3 2
n n n n n n
n
n n n n n n
S
− −
+ + + +
     
− − − − − − −
= − + − + + − =
 ÷  ÷  ÷
− − − − − − −
     
\D
2
1
3
lim lim 6 2
2
3 2.
3
n

n
n
n n
S
→∞ →∞
 
−
 ÷
 
= =
 
−
 ÷
 

MbL#YD#"1%*5>!";<BC:A%#);
"3%%#""*<!D=12:_;;=>
:A%#9*5>A%# 1-2;<*<!D=*Q
:""3%12

G
r;<*<!D=
l"+L
&+;Y#".#YD!"
zyx
≤≤

9,*1 ;%3

≥

="
( )( )( )
xyzzyx

G
888
=−−−
 b
\
z
z
y
y
x
x 888
−
≤
−
≤
−
C*3
J
≥
%
( )( )( )

G
J
b888
8

>






≥
−−−
xyz
zyx
 b
03
≤
f ;%3ˆ 3ˆj 3ˆb:3ˆf
GS-3ˆ‘8‚‘8ˆ‚ $"*Q3+%  b
8S-3ˆj %8‘8‚‘8ˆ
yz

j

⇔
‘f‚‘fˆ8j
gF3  ‚ˆj J hj I GIhj H Gjhj G G8  b
S-3ˆb %‘8‚‘8ˆ
yz

b

⇔

8‘H8‚‘Hˆjb
gF3  ‚ˆb b 8Jhb f G8hb J H  b
Nguyễn Tấn Việt Tiến, Trường THPT Hoàng Hoa Thám, Pleiku, Gia Lai - 25 -