Đề thi vào 10_chuyên ĐHSP Hà Nội 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2008
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 :Cho biểu thức :
( )
2
a b
a b a b b a
P :
a b 2
a b b ab ab a
−
 
+ +
= − + −
 ÷
−
+ − +
 
Với a > 0 , b > 0 ,
a b≠
.
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm a và b sao cho
2
b (a 1)= +

và P = -1
Câu 2 : Cho phương trình :
2 2
x (m 1)x m 2+ + + + =
với m là tham số.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi
1 2
x ,x
là các nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho :
1 2
1 2
2 1 1 2
2x 1 2x 1
55
x x
x x x x
− −
+ = +
Câu 3 :Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý
( )
M A,M B≠ ≠
.
Ký hiệu
1 2
O,O ,O
lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC ,
AMC , BMC.
1. Chứng minh 4 điểm
1 2

C,O ,M,O
cùng nằm trên một đường tròn (C).
2. Chứng minh điểm O cũng nằm trên đường tròn (C) .
3. Xác định vị trí của M để đường tròn (C) có bán kính nhỉ nhất.
Câu 4 : Các số thực a, b, c, d thỏa mãn đồng thời các điều kiện :
2
2
i) ac a c b 2b
ii) bd b d c 2c
iii) b 1,c 1
− − = −
− − = −
≠ ≠
Chứng minh đẳng thức : ad + b + c = bc + a + d .
Câu 5 : Các số thực không âm x, y, z đôi mọt khác nhau và thỏa mãn : ( x + z)(z + y) = 1
Chứng minh đẳng thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
4
x y z x z y
+ + ≥
+ + +
Hết
Ghi chú : cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………. Số báo danh:………………