Tìm hiểu lớp tích phân đặc biệt docx

Vũ Ngọc Thành
Trường THPT Mường So
Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu
Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học
05/09/2009 – 01/12/2010

TÌM HIỂU LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Khi ta làm tốn về tích phân . Ắt các bạn đã từng tính những con tích phân
cơ bản sau đây :
(
)
−
+ +
=
+ + +
∫
x
2
1
1
1 2
ln x x 1
Ví dụ 1:TínhI dx
x 1 x 1

= − − +
∫
1
3 3 2
2

0
Ví dụ 2 : Tính I 2x 3x x 1dx

( )
π
= −
∫
3 3
2
3
0
Ví dụ 3 : Tính I sinx cosx dx

−
=
+
∫
2
1
4
x
1
x
Ví dụ 4 : Tính I dx
2 1

π
=
+
∫

6
2
5
6 6
0
sin x
Ví dụ 5 : Tính I dx
sin x cos x

( )
π
= +
∫
4
6
0
Ví dụ 6 : Tính I ln 1 tanx dx

( )
π
=
∫
2
7
3
0
sinx
Ví dụ 7 : Tính I dx
sinx+cosx

π
=
+
∫
2
8
3 3
0
sinx
Ví dụ 8 : Tính I dx
sin x cos x

π
+
=
+
∫
3
2
9
3
0
1 sin x
Ví dụ 9 : Tính I ln dx
1 cos x


Vấn đề dặt ra : Tích phân tổng qt của các con tích phân trên là gì ?
Ta nhận thấy các tích phân trên đều có 1 dạng chung đó là :
( )

∫
b
a
f x dx
trong đó f(x) + f(a+b-x ) = g(x) và g(x) tính được tích phân
Vậy phương pháp tính các tích phân có dạng trên là gì ?
Ở đây ta hồn tồn làm được theo 1 phương pháp chung .Đó là đổi biến số
bằng phép đặt x= a+b- t
Thật vậy :

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + − =
⇒ = − + − +
⇒ = − + − +
+ −
=
= =
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫

∫
∫
b b b
a a a
b b
a
a
b
a a
b b
a
Theo tích phân dạng tổng quát ở đó : f x f a b x
g x
f x f a b x g x
f x dx f a b x dx g x d
1
f x dx g x dx
2
x
Do f a b x dx f t dt f x dx

Bởi vậy :
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT Mường So
Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu
Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học
05/09/2009 – 01/12/2010

(
)

( ) ( )
(
)
(
)
(
)
−
−
−
+
+ − + − = + +
+ +
= = + + =
+ +
+
+
=
+ + +
∫
∫
∫
2
x
2
1 1
2
1
1
x

2
1
1
1 2
1
2
ln x x 1
Ví dụ
Tacó: f x f 1 1 x x ln x x 1
ln x x 1
1
Nên theo công thức tổng quát I dx xln x x 1 dx ?
2
x 1 x 1
Tích phân này hoàn toàn tính được bằng phương pháp tích phân
1:I dx
x 1 x 1
từng pha
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
π
π
π
+ − =
= − − =
+ + − =
= −
= − − +

= −
=
∫
∫
∫
∫
1
3
3
1
3
3 2
2
0
3 3
2
2
2
0
3 3
2
3
0
3
0
Ví dụ 2 : I 2x 3x x 1dx
Ví du
àn
Ta có : f x f 1 x 0
Nên theo công thức tổng quát I 2x 3x 1dx 0

Ta có : f x f 0 x 0
Nên theo công thức to
ï 3 : Tính I s
ån
inx cosx dx
g quát : I sinx cosx dx 0

Vũ Ngọc Thành
Trường THPT Mường So
Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu
Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học
05/09/2009 – 01/12/2010
( ) ( )
( )
π
π
−
− −
+ − + − =
= =
+
 
+ + − =
 

=
=
+
+


+
=
∫
∫
∫ ∫
2
1
4
x
1
6
2
5
6 6
0
2
2
1 1
2
4
x
1 1
6
5
6
x
Ví dụ 4 : Tính I dx
2 1
sin x
Ví d

Ta có f x f 1 1 x x
x 1
Nên theo công thức tổng quát I dx x dx
2 1 2
Ta có : f x f 0 x 1
2
sin x
Nên theo công thức tổng quát
ụ 5 : Tính I dx
sin x cos
sin
x
I
x
π π
π
= =
∫ ∫
2 2
6
0 0
1
dx 1dx
cos x 2 4

Vũ Ngọc Thành
Trường THPT Mường So
Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu
Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học
05/09/2009 – 01/12/2010

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
π
π
π
π
π
π
−
   
+ + − = + + + =
   
   
= + =
 
+ − =
 

= +

=
∫
∫ ∫
∫
4
6
0

2
7
3
0
4 4
6
0 0
1 t anx
Ta có : f x f 0 x ln 1 tanx ln 1 ln2
4 1+tanx
1
Nên theo công th
Ví dụ 6 : Tính I ln 1 tanx dx
sinx
Ví dụ 7 : Tính I dx
sinx
ức tổng quát I ln 1 t
+cosx
anx dx ln2dx
2
1
Ta có : f x f x
2
s
( )
( )
π π
π
π
=

 
+
 
 
= =
 
+
 
 
∫ ∫
2
2
2 2
7
3
0 0
2
1 1
2
inx+cosx
sin x
4
sinx 1 1
Nên theo công thức tổng quát I dx dx
4
sinx+cosx
sin x
4
Vũ Ngọc Thành
Trường THPT Mường So

Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu
Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học
05/09/2009 – 01/12/2010
( )
( )
2 2
8
3 3
2
8
3 3
0
3
2
9
0
3
0
0
1
Ta có : f x f x
2 1 sinxcosx
sinx 1 1
Nên theo công thức tổng quát I dx dx
sin x cos x 2
sinx
Ví dụ 8 : Tính I dx
sin x cos x
1 sin x
Ví dụ 9 :

1
T
s
í
in
nh
xcosx
1
Ta có :
I ln dx
1 cos x
f x f x ln
2
π
π
π
π
π
π
=
 
+ − =
 
−
 
= =
+ −
+
 
+

+
=
+
+ − =
 
 
∫
∫
∫
∫
3 3
3 3
9
sin x 1 cos x
ln 0
1 cos x 1 sin x
Nên theo công thức tổng quát I 0
+
+ =
+ +
=