HSG Toán 11 chuyên Vĩnh Phúc 2007

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. Giải hệ phương trình:









−
=++
−
=++
−
=++
zx
zz
yz
yy
xy
xx
10

2
1
10
2
1
10
2
1
Câu 2. Cho điểm
P
nằm trong tam giác
ABC
. Xét
D
trên đường thẳng
AB
và E trên
đường thẳng AC sao cho BD=CE. Hãy xác định vị trí của D, E sao cho PD + PE nhỏ
nhất.
Câu 3. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương
);;( nqp
, trong đó
qp,
là các số nguyên
tố, sao cho:
)3()3()3( +=+++ nnqqpp
Câu 4. Xét dãy các đa thức
{ }
0
)(

≥n
x
n
P
được xác định như sau:







−
+=
+
=
2
2
))((
)()(
1
0)(
0
x
n
Px
x
n
Px
n

P
xP
Chứng minh rằng
[ ]
,2,1,0,1;0
1
2
)(0 =∀∈∀
+
≤−≤ nx
n
x
n
Px
Câu 5. Cho
n
điểm A
1
, A
2
, , A
n
theo thứ tự nằm trên một đường tròn. Tìm số cách có
thể được, tô n điểm đó bởi m màu (
2≥m
) sao cho bất cứ hai điểm nào đứng cạnh nhau,
cũng có màu khác nhau.
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh SBD

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2007-2008
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Câu Nội dung Điểm
1.
(2đ)
+ Nhận xét
0.25
+ Viết lại hệ về dạng
0.25
+ Chỉ ra hàm số là hàm số đồng biến
0.25
+ Giả sử . Khi đó suy ra . Do đó
Vậy, được suy ra
0.5
+ Thay vào hệ, thu được
0.5
+ Kết luận nghiệm 0.25
2.
(2đ)
D
E
Q
A
B
C
P

+ Giả sử tìm được sao cho .
+ Gọi là phép dời hình (thuận) biến đoạn thành đoạn , gọi .
Suy ra cố định.
Khi đó , do đó . Suy ra
0.5
đồng viên
0.5
+ Từ đó, ta có cách dựng sau:
• Lấy khác phía đối với đường thẳng sao cho
• Lấy và là giao điểm thứ hai của đường tròn với
0.25
0.25
2
• Khi đó, do tứ giác nội tiếp, nên . Suy ra
và do đó,
• Từ đó, . Hơn nữa - bé nhất
0.25
0.25
3 (2đ)
+ Nếu phương trình có nghiệm, thì
+ Để ý rằng , từ phương trình suy ra
ít nhất một trong hai số nguyên tố phải bằng 3
0.5
+ Với : Thì theo trên n ≥ q + 1, do đó
.
0.5
+ Từ đó, do là số nguyên tố, nên
Thử trực tiếp với từng trường hợp, được
0.5
+ Với : Tương tự, cũng được

0.25
+ Kết luận… 0.25
4. (2đ)
+ Từ cách xác định của suy ra với mọi đều có
0.25
+ Bằng quy nạp, chứng minh được
0.75
+ Khi đó
0.5
+ Nhân hai vế với , và sử dụng bất đẳng thức AM-GM, được
(ĐPCM)
0.5
5. (2đ)
Coi được xếp trên đường tròn theo thứ tự đó.
0.25
+ Gọi là số cách tô màu thỏa mãn cho điểm.
Dễ thấy
+ Với điểm, nếu có màu khác nhau thì các điểm
được tô bởi cách, trong khi đó có cách tô.
0.5
3
Nếu cùng màu, thì các điểm được tô bởi cách, còn
có cách tô.
0.5
+ Suy ra
0.25
+ Từ đó
0.25
+ Vậy, bằng quy nạp, chứng minh được
0.25

Hết
4