CAC BAI TAP NANG CAO ON THI LOP 10

Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VÀO LỚP 10
A. ĐẠI SỐ:
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a)
3 2 2 3 2 2+ + −
b)
( ) ( )
4 15 10 6 4 15+ − −

c)
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 48 49
− + − −
− − − −
d)
432
48632
++
++++
Bài 2: Cho biết
(
)
(
)
333
22
=++++ yyxx
(1). Hãy tính : E = x+ y.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B với A(2m – 1 ; m

2
+ 1) và B(m + 2 ; 1). Xác đònh giá trò
của m để độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
4 6 1 0
) ;
9 4 1 0

− + =


− + =


x y
a
y x

1
2
) .
1
12

+ =




− =



x y
b
x y

Bài 5: Cho hệ phương trình:
3
(2 1) 2
mx y
m x y
+ =


− − =

Với giá trò nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên.
Bài 6: Tìm m để hệ phương trình
3 2 (1)
3 (2)
x y m
x my
− =


+ =

có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
luôn có nghiệm.

Bài 8: Cho các hệ số a, b, c thỏa mãn các điều kiện a > 0; b > a + c. Chứng minh rằng phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Bài 10: Xét các phương trình bậc hai (ẩn x):
ax
2
+ bx + c = 0 (1) và ax
2
+ bx – c = 0 (2)
a) Tìm điều kiện để cả hai cùng vô nghiệm.
b) Chứng tỏ có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 11: Cho a, b, c là ba số thỏa mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12.
Chứng minh rằng trong ba phương trình sau:
x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
+ bx + c = 0 (2)

x
2
+ cx + a = 0 (3)
có một phương trình có nghiệm, có một phương trình vô nghiệm.
Bài 12: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn 3ab + 4bc + 5ca = - 1.
Chứng tỏ rằng phương trình (ax
2
+ bx + c)(bx
2
+ cx + a)( cx
2
+ ax + b) = 0 có nghiệm.
Bài 13: Cho hai phương trình (ẩn x): x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ ax + 1 = 0.
Tìm a để hai phương trình cùng vô nghiệm.
Bài 14: Với giá trò nào của a thì hai phương trình (ẩn x): x
2
– ax + 1 = 0 (1) và x
2
– x + a = 0 (2)
có một nghiệm bằng nhau.
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
Bài 15: Giải các phương trình:
a)
1 3 0x x− − − =
b)
2 5 1 8x x+ + − =

c)
2 2
3 3 5 7x x x x− + − + =
d)
4
2 0
2
x x
x
− + + =
+
e)
36
9
9
x x
x
− = −
−
f)
( )
2 3
3 2 1 8 17
2 1
x
x x
x
−
− − + =
−

Bài 16: Giải các phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
) 4 5 6 4 5 8 0 ) 3 1 2 3 1 8 0
) 2 2 10 5 16 0 ) 3 4 3 2 3
2 5
) 1 2 3 4 0 ) 3 0
1
1
− − − + = + − + + − − =
+ − + + − = − + − + =
+ + + + = − + =
+
+
a x x b x x x x
c x x x x d x x x x
x x
e x x x x f
x
x

Bài 17: Giải các phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
) 12 1 6 1 4 1 3 1 330 ) 9 21
) 3 15 2 5 1 ) 7 7 18 24
− − − − = + − =
+ + + = − + − + =
a x x x x b x x
c x x x x d x x x x
Bài 18: Các số
[ ]
, , 1; 4a b c ∈ −
thoả mãn điều kiện
432 ≤++ cba
Chứng minh bất đẳng thức:
3632
222
≤++ cba
. Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 19: Với mỗi số k nguyên dương, đặt S
k
= (
2
+ 1)
k
+ (
2

- 1)
k
Chứng minh rằng: S
m+n
+ S
m- n
= S
m
.S
n
với mọi m, n là số nguyên dương và m > n.
Bài 20:
a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:
2 2 2
2 0
( 1) 1
x y xy
x y x y xy
+ − =



+ − = − +


b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:
2 2
(2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + > − + +
Bài 21: Giải phương trình:
a)

( )
2 2 3 2
1 1 1
2 2 1
4 4 2
x x x x x x- + + + = + + +
b)
1 1 1 1
3
x 2x 3 4x 3 5x 6
 
+ = +
 ÷
− − −
 
.
Bài 22: Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.
Bài 23: Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a
2
+
2

2
1
4
+
b
a
= 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009.
Bài 24: Cho x, y tháa m·n:
3 3
x 2 y y 2 x
+ − = + −
.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
= + − + +
2 2
B x 2xy 2y 2y 10
.
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
6 4x
x 1
−
+
Bài 26: Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức:
1 1 1
2b c
+ =
.Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau
phải có nghiệm: x
2

+ bx + c = 0 (1) ; x
2
+ cx + b = 0 (2)
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
Bài 27: Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz -
16
0
x y z
=
+ +
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = (x + y)(x + z)
Bài 28: T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x
2
+ xy + y
2
- x
2
y
2
= 0
Bài 29: Gọi
1 2
x , x
là hai nghiệm của phương trình:
2 2
x 2(m 1)x 2m 9m 7 0+ + + + + =
(m là tham số).
Chứng minh rằng :
1 2
1 2

7(x x )
x x 18
2
+
− ≤
Bài 30:
a) Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
b) Tìm x, y ngun sao cho x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2
c) Cho x, y > 0 và
x y 1+ ≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
A
x y xy
= +
+
B. HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại
C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính tích AH . AK theo R.
c) Xác đònh vò trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó.

Bài 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác cân ABC (AC = AB) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần
lượt tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng tứ giác OECF nội tiếp.
b) Chứng minh rằng DF // BC.
c) BF cắt đường tròn (O) tại P. Gọi I là giao điểm của DP với BC. Chứng minh rằng ∆IEP ∆IDE;
∆IBP ∆IDB.
d) Chứng minh rằng diện tích tam giác DBI bằng diện tích tam giác DIE.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm
H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). Chứng minh rằng:
a) D, H, E thẳng hàng. b)
·
·
.MAE ADE và MA DE= ⊥
c) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. d) DE
≤
BC.
e) Cho góc
·
0
30ACB =
và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có
·
0
45ACB =
. Đường tròn tâm I, đường kính AB
cắt cạnh AC và BC tại M và N.
a) Chứng minh MN ⊥ OC.
b) Chứng minh
: 2MN AB=

.
c) Cho A, B cố đònh,
·
0
45ACB =
không đổi và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của
IC.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là điểm đối xứng của H
qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMBH nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AM = AH = AN.
c) Giả sử MN cắt AB và AC lần lượt ở F và E. Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH.
d) Chứng minh rằng AH, BE, CF đồng quy.
Bài 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố đònh, một điểm I nằm giữa A và O sao cho
2
.
3
AI AO=
Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác IECB nội tiếp.
b) Chứng minh rằng ∆AME ∆ACM và AM
2
= AE.AC
c) Chứng minh rằng AE.AC – AI.IB = AI
2
.
d) Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME

nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một
điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H
là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a) Chứng minh rằng bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng KN.KC = KH.KO.
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM, CN, MN.
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác đònh vò trí
của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, hai đường cao BD, CE cắt nhau ở H. I là trung điểm BC. Hai
đường tròn ngoại tiếp BEI và CDI cắt nhau ở K (khác I).
a) Chứng minh rằng
·
·
BDK CEK=
.
b) DE cắt BC tại M. Chứng minh rằng M, H, K thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp.
Bài 9: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại A và B. Từ điểm M trên d và ở ngoài đường tròn
vẽ hai tiếp tuyến MN, MP (N và P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh
·
·
NMO NPO=
.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố đònh khi M di động trên d.
c) Xác đònh vò trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông.
Bài 10: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. C là một điểm trên đoạn thẳng AB. Nối C với một điểm M
bất kì trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở E và F.
a) Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh
·
0
90ECF =
.
c) Tìm quỹ tích trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố đònh.
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ
A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.
a) Chứng minh AM
2
= AN
2
= AB.AC.
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố đònh khi đường
tròn (O) thay đổi.
Bài 12: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên
cạnh AB lấy điểm M trên tia AC lấy điểm N sao cho: CN = BM (C nằm giữa A, N). Chứng minh:
a) IM = IN. b) Tứ giác AMIN nội tiếp.
c) Gọi K là giao điểm của MN với BC. Chứng minh: KM = KN.
d) Cho P là điểm di động trên cung ACI. H là hình chiếu của P xuống AI; E là hình chiếu của H xuống AP;
F là hình chiếu của H xuống IP. Xác đònh vò trí của P để tứ giác PEHF có diện tích lớn nhất.
Bài 13: Cho (O; R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Điểm B lấy bất kì trên (O), kẻ BH vuông góc
xy tại H.
a) Chứng minh: BA là phân giác của góc OBH.
b) Chứng minh: Phân giác ngoài của góc OBH luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi B di động trên (O).
c) Gi M là giao điểm của BH với phân giác của góc AOB. Tìm q tích của M khi B di động trên (O).
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
Bài 14: Cho
∆

ABC đều nội tiếp (O). Trên cung nhỏ AB lấy M, trên dây MC lấy N sao cho MB = CN.
a) Chứng minh :
∆
AMN đều.
b) Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh: MD là đường trung trực của AN.
c) Tiếp tuyến kẻ từ D của (O) cắt tia BA và MC lần lượt tại T, K. Tính số đo bằng độ của góc tổng
·
·
NAT NKT
+
.
d) Khi M di động trên cung nhỏ AB, hãy xác đònh vò trí của M để tổng MA + MB lớn nhất ?
Bài 15: Trên đường tròn tâm O lấy một dây cung cố đònh AB khác đường kính và hai điểm C, D di động
trên cung lớn AB sao cho AD // BC.
a) Chứng minh: Hai cung AB, CD bằng nhau.
b) Khi AC và BD cắt nhau tại M; C và D di động theo điều kiện trên thì điểm M chạy trên đường nào ?
Hãy xác đònh đường đó ?
c) Một đường thẳng d đi qua M song song với AD. CMR: d chứa đường phân giác của góc AMB và d luôn
đi qua một điểm cố đònh mà ta đặt là điểm I.
d) Chứng minh: IA, IB là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ điểm I.