Bài KTCL HK2 môn TOÁN 11(NC)

ĐỀ SỐ 1
Bài 1: Tìm
3
2 1
lim
sin( 3)
→
− −
−
x
x
x
Bài 2: Tìm k để hàm số liên tục trên R .
Bài 3: Cho f(x) =
2
cos .cos2x x
, tìm
12
f
π
 
 ÷
 
,
.
Bài 4: Cho Cho hàm số y = −
1
3
x
3
+ mx (m là tham số ) , có đồ thị là đường cong C

m
.
a) Khi m = 1 , viết phương trình tiếp tuyến của C
1
tại điểm có hoành độ x = 3 ;
b) Tìm m để C
m
tiếp

xúc với đường thẳng ∆ : y = x +
2
3
.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ; SA vuông góc với đáy;
Cạnh SC lập với đáy một góc 45
o
.Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của A trên SB và SD.
a) Chứng minh SC ⊥(AEF) .
b) Tính khoảng cách giữa SC và AB .
c) Tính góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC) .
d) Tìm điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp và tính khoảng cách từ O đến các đỉnh đó
.

ĐỀ SỐ 2
Bài 1: Tìm
2
1 1
lim
sin(2 )
→

− −
−
x
x
x
Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số trên R
Bài 3: Cho f(x) = sin
2
x.sin2x , tìm
12
f
π
 
 ÷
 
,
.
Bài 4: (2điểm) Cho y =
2
3
x
3
− 2mx (m là tham số) ; có đồ thị là đường cong C
m
.
a) Khi m = 1 , viết phương trình tiếp tuyến của C
1
tại điểm có hoành độ x = 3 ;
b) Tìm m để đường cong C
m

tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x +
32
3
.
Bài 5: Cho hình chóp P.ABCD có đáy là hình vuông cạnh c ; PB vuông góc với đáy;
PD lập với đáy một góc 45
o
. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của B trên PA và PC .
a) Chứng minh PD ⊥(BMN) .
b) Tính khoảng cách giữa PD và BC .
c) Tính góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC) .
d) Tìm điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính khoảng cách từ I đến các đỉnh đó .
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẨN CHẤM ĐỀ SỐ 1 TOÁN 11 NC
2
x x 6
khi x 2
f (x)
x 2
3x k khi x 2

+ −

<
=

−

− ≥

2

x 3x 4
khi x 1
f (x)
x 1
2x 3 khi x 1

− −

> −
=

+

− ≤ −

Cách giải vắn tắt Điểm
Bài 1: (1điểm) Tìm
3
2 1
lim
sin( 3)
→
− −
−
x
x
x
=
( )
3

3
2 1
lim
sin( 3).
→
−
− − +
x
x
x x
0.5
0.5
Bài 2: (1.5điểm) Tìm k để hàm số liên tục trên R .
• Hàm số f(x) xác định trên R
• Khi x < 2 là hàm liên tục trên khoảng (–∞ ; 2) ;
• Khi x >2 f(x) = 3x – k là hàm liên tục trên khoảng (2 ; +∞ ) .
0.25
Tại x = 2 : ;
.
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔
2 2
lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
−
→ →
+
= =
⇔ 5 = 6 − k ⇔ k = 1 .
Vậy nếu k = 1 thì f(x) liên tục trên R .

0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 3: (1.5điểm) Cho f(x) =
2
cos .cos2x x
, tìm
12
f
π
 
 ÷
 
,
.
f '(x) = −2cosx.sinx.cos2x − cos
2
x.2sin2x
1.0
f '(x) = −2cosx(sin2x .cosx + cos2x .sinx) = −2cosx sin3x = −(sin2x + sin4x)
0.25
f '(
12
π
) = −( sin
6
π
+ sin
3

π
) = −
1 3
2 2
 
+
 ÷
 
=
1 3
2
+
−
0.25
Bài 4: (2điểm) Cho hàm số y = −
1
3
x
3
+ mx (C
m
)
a) m = 1 ⇒ C
1
: y = −
1
3
x
3
+ x ⇒ y' = – x

2
+ 1 .
x = 3 ⇒ y = −6 , a = y' = – 8 .
0,5
Tiếp tuyến của C có phương trình: y = −8x + 18 0.5
b) Tìm m để C
m
tiếp

xúc với đường thẳng ∆ : y = x +
2
3
.
• ∆ là tiếp tuyến của C
m
⇔
3
2
1 2
3 3
1
x mx x
x m

− + = +



− + =


⇔
2
3
1
2 2
3 3
m x
x

= +


=


⇔ m = 2 .
1.0
Cách giải vắn tắt
Điểm
2
x x 6
f (x)
x 2
+ −
=
−
x 2 x 2
lim f (x) lim (3x k) 6 k
→ →
+ +

= − = −
x 2
(x 3)(x 2)
lim 5
x 2
→
−
+ −
= =
−
2
x 2 x 2
x x 6
lim f (x) lim
x 2
→ →
− −
+ −
=
−
( )
3 3
3 1 1 1
1.
sin( 3) 2 2
2 1
lim lim
→ →
−
= =

−
− +
x x
x
x
x
2
x x 6
khi x 2
f (x)
x 2
3x k khi x 2

+ −

<
=

−

− ≥

Bài 5:(4điểm)
a) (1điểm) Chứng minh SC ⊥(AEF) .
BC⊥AB và BC⊥SA⇒ BC⊥(SAB)
⇒ AE ⊥BC và AE⊥SB⇒ AE ⊥ (SBC)
⇒ SC ⊥ AE (1) ;
0.5
Tương tự SC⊥AF (2) . Từ (1) và (2)
⇒ SC⊥(AEF) (điều cần c/m)

0.5
b) (1điểm) Tính khoảng cách giữa SC và AB .
AB// (SCD), SC ⊂ (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(A,(SCD)) = AF
(vì AF⊥(SCD) , c.m trên) .
0.5
Góc giữa SC và đáy là
·
SCA
= 45
0
⇒ ∆ SAC là ∆vuông cân ⇒ SA = AC =
2a
.
Trong tam giác vuông SAD ta có :
2 2 2
1 1 1
+
AD ASAF
=
=
2 2
1 1
2a a
+
⇒ AF =
6
3
a
0.5
c) (1điểm) Tính góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC) .

Hai mp (SAD) và (SBC) có điểm chung S và đi qua 2 đg. thẳng ADvà BC song song
nên (SAD) cắt (SBC) theo giao tuyến ∆ đi qua S và ∆ //AD.
0.25
SA ⊥ AD ⇒ SA ⊥ ∆ ; SB ⊥ BC⇒ SB ⊥ ∆
⇒ góc hợp bởi 2 mp (SAD) và (SBC) bằng
·
ASB
(vì
·
ASB
nhọn)
0.5
• tan
·
ASB
=
2
2
2
AB a
AS
a
= =
⇒
·
ASB
= arctan
2
2
0.25

d)(1điểm)Tìm điểm O cách đều các đỉnh của h.chóp và tính khoảng cách từ O đến các đỉnh đó.
Ta thấy SAC , SBC , SDC là 3 tam giác vuông có chung cạnh huyền SC. Gọi O là
trung điểm của C thì OA = OB = OD =
1
2
SC . Vậy O là điểm cần tìm.
0.75
SC = 2a ⇒ OA = a
0.25
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẨN CHẤM ĐỀ SỐ 2 TOÁN 11 NC
B
A
S
C
F
D
E
∆
O
Cách giải vắn tắt Điểm
Bài 1: (1điểm) Tìm
2
1 1
lim
sin(2 )
→
− −
−
x
x

x
=
( )
2
2
2 1 1
lim
sin( ).
→
−
− + −
x
x
x x
0.5
0.5
Bài 2: (1.5điểm) Xét tính liên tục của hàm số trên R .
• Hàm số f(x) xác định trên R
• Khi x > −1 ,
2
3 4
( )
1
x x
f x
x
− −
=
−
là hàm liên tục trên khoảng (–1 ; + ∞ ) ;

• Khi x < −1 f(x) = 2x – 3 là hàm liên tục trên khoảng (−∞; −1 ) .
0.25
Tại x = −1 : ;
.

1
lim ( ) (2) 5
x
f x f
→−
= = −
⇔ Hàm số f(x) liên tục tại x = −1
Vậy f(x) liên tục trên R .
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 3: (1.5điểm) Cho f(x) = sin
2
x.sin2x , tìm
12
f
π
 
 ÷
 
,
.
f '(x) = 2 sinx. cosx sin2x + sin
2

x.2cos2x
1.0
f '(x) = 2sinx(sin2x .cosx + cos2x .sinx) = 2sinx sin3x = (cos2x − cos4x)
0.25
f '(
12
π
) = cos
6
π
− cos
3
π
=
3 1
2 2
−
=
3 1
2
−
0.25
Bài 4: (2điểm) Cho y =
2
3
x
3
− 2mx (C
m
)

a) m = 1 ⇒ C
1
: y =
2
3
x
3
− 2x ⇒ y' = 2x
2
− 2
x = 3 ⇒ y = 12, a = y' = 16
0,5
Tiếp tuyến của C có phương trình: y = 16x −36
0.5
b) Tìm m để đường cong C
m
tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x +
32
3
.
• d là tiếp tuyến của C
m
⇔
3
2
2 32
2 2
3 3
2 2 2
x mx x

x m

− = +



− =

⇔
2
3
1
8
m x
x

= −


= −


⇔ m = 3 .
1.0
Cách giải vắn tắt Điểm
1
1
x
x
lim f (x) lim (2x 3) 5

−
−
→−
→−
= − = −
1
x
(x 1)(x 4)
lim 5
x 1
→−
−
+ −
= = −
+
1 1
2
x x
x 3x 4
lim f (x) lim
x 1
+ +
→− →−
− −
=
+
2 2
2 1 1 1
. 1.
sin(2 ) 2 2

1 1
lim lim
→ →
−
= =
−
+ −
x x
x
x
x
2
x 3x 4
khi x 1
f (x)
x 1
2x 3 khi x 1

− −

> −
=

+

− ≤ −

Bài 5:(4điểm)
a) (1điểm) Chứng minh PD ⊥(BMN) .
AD⊥AB và AD⊥PA⇒ AD⊥(PAB)

⇒ BM ⊥ AD và BM ⊥ PA ⇒ BM ⊥(PAD)
⇒PD ⊥ BM (1) ;
0.5
Tương tự PD ⊥ BN (2) . Từ (1) và (2)
⇒ PD⊥(BMN) (điều cần c/m)
0.5
b) (1điểm) Tính khoảng cách giữa PD và BC .
BC// (PAD), PD ⊂ (PAD) nên d(BC, PD) = d(BC, (PAD)) = d(B,( PAD)) = BM
(vì BM⊥( PAD) , c.m trên) .
0.5
Góc giữa PD và đáy là
·
PDB
= 45
0
⇒ ∆PBD là ∆vuông cân ⇒ PB = BD =
2c
.
Trong tam giác vuông SAD ta có :
2 2 2
1 1 1
+
AB BPBM
=
=
2 2
1 1
2c c
+
⇒ BM =

6
3
c
0.5
c) (1điểm) Tính góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC) .
Hai mp (PAD) và (PBC) có điểm chung P và đi qua 2 đg. thẳng ADvà BC song song
nên (PAD) cắt (PBC) theo giao tuyến ∆ đi qua P và ∆ //AD.
0.25
PB ⊥ BC ⇒ PB ⊥ ∆ ; PA ⊥ AD⇒ PA ⊥ ∆
⇒ góc hợp bởi 2 mp (PAD) và (PBC) bằng góc
·
APB
(vì
·
APB
nhọn)
0.5
• tan
·
APB
=
2
2
2
AB c
AP
c
= =
⇒
·

APB
= arctan
2
2
. 0.25
d) (1điểm)Tìm điểm I cách đều các đỉnh của h.chóp và tính khoảng cách từ I đến các đỉnh đó.
Ta thấy PAC , PBC , PDC là 3 tam giác vuông có chung cạnh huyền PC. Gọi I là
trung điểm của PC thì IA = IC = ID =
1
2
PD . Vậy I là điểm cần tìm.
0.75
SD = 2a ⇒ OA = a
0.25
Chú y : Nếu HS có cách giải khác mà đúng thì phần đó được chấm theo biểu điểm .
A
B
P
D
N
C
M
∆
I