CHƯƠNG 3 - HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG pot

CHƯƠNG 3:
HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU :
Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng:
* Xây dựng được hình biểu diễn của điểm.
* Tìm được hình chiếu thứ ba của một điểm khi biết hai hình chiếu thẳng góc
của điểm đó.
* Xây dựng được hình biểu diễn của đường thẳng.
* Xây dựng được hình biểu diễn của mặt phẳng.

NỘI DUNG (6 tiết)
3.1. Hình chiếu của điểm
3.1.1. Đồ thức của một điểm
3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba
3.2. Hình chiếu của đường thẳng
3.2.1. Đồ thức của một đường thẳng
3.2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng
3.2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu
3.2.2.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
3.3. Hình chiếu của mặt phẳng
3.3.1. Đồ thức của mặt phẳng
3.3.2. Các mặt phẳng đặc biệt
3.3.2.1. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
3.3.2.2. Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu
39
CHƯƠNG 3:
HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn không
gian lên mặt phẳng, nói khác đi nó nghiên cứu cách xây dựng các mô hình phẳng của

không gian. Một trong các công cụ để xây dựng mô hình nói trên là phép chiếu.
Góp phần to lớn vào lý thuyết biểu diễn có :
- Leonardo da Vinci, nhà họa sĩ thiên tài Ý và nhà bác học của thời kỳ Phục
hưng.
- Girard Dezarg, nhà hình học và kiến trúc sư Pháp, người đã đặt những luận
cứ khoa học đầu tiên về phép chiếu phối cảnh.
- René Décard, nhà toán học Pháp thế kỷ 17 đã đề xướng hệ toạ độ thẳng
góc.
Gaspard Monje, kỹ sư người Pháp, với công trình “ Hình học họa hình” được công bố
vào năm 1798, công trình đó là cơ sở cho phương pháp vẽ chiếu được ứng dụng cho
đến nay.
*Khái niệm về các phép chiếu:
Giả thiết trong không gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S ở ngoài mặt
phẳng đó. Từ một điểm A bất kì trong không gian dựng đường thẳng SA, đường này
cắt mặt phẳng P tại một điểm A'.

Hình 3.1
Như vậy ta đã thực hiện một phép chiếu
và gọi mặt phẳng P là mặt phẳng hình chiếu, đường thẳng SA là tia chiếu và điểm A'
là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng P.
*1) Phép chiếu xuyên tâm:
Là phép chiếu mà các tia chiếu xuất phát từ một điểm (cố định).
Điểm O cố định: tâm chiếu.
A', B', C': hình chiếu xuyên tâm của hình ABC trên mặt phẳng hình chiếu P.
40
P
S
A
A'
P

A'
C'
B'
A
C
B
O
Hình 3.2
Ví dụ :
Trong thực tế ta thường thấy những hiện tượng giống như các phép chiếu. Ánh
sáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu xuyên tâm với
một ngọn đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng chiếu, bóng đồ vật trên mặt đất là
hình chiếu xuyên tâm của đồ vật đó (Hình 3.2 a).
Ứng dụng: Phép chiếu xuyên tâm được dùng khi vẽ hình chiếu phối cảnh.
Phép chiếu xuyên tâm được dùng trong vẽ mỹ thuật, trong các bản vẽ xây
dựng, kiến trúc. Phép chiếu xuyên tâm cho ta những hình vẽ của vật thể giống như
những hình ảnh khi ta nhìn vật thể đó.
*2) Phép chiếu song song:
Là phép chiếu mà nếu tất cả các tia chiếu không đi qua một điểm cố định mà
song song với một đường thẳng cố định l (phương chiếu).
A'B'C'D': hình chiếu song song của hình
ABCD trên mặt phẳng hình chiếu P.
l: phương chiếu
Dễ dàng thấy rằng phép chiếu song song là
trường hợp riêng của phép chiếu xuyên tâm với
tâm chiếu S ở xa vô tận. Khi đó tâm chiếu S∞
được xác định bởi phương chiếu l.
Ví dụ : Ánh sáng của mặt trời
chiếu đồ vật lên mặt đất giống
như phép chiếu song song. Các

tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song, mặt Hình 3.3
đất là mặt phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song của đồ vật
đó (hình 3.3).
Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song vì phép chiếu
này cho ta tính trực quan và dễ vẽ so với phép chiếu xuyên tâm.
 *3) Phương pháp các hình chiếu vuông góc:
Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng
chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vuông góc.
41
A
B
C
D
A'
B'
D'
C'
P
l
P1
P2
P3
Hình 3.4 : Hình chiếu vật thể trên các mặt
phẳng hình chiếu
Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc thường được sử dụng rộng rãi trong các bản
vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng.
Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các
bản vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vuông góc.
Góc để chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau, sau đó
gập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng bản vẽ, sẽ được các hình chiếu

vuông góc của một vật thể. Đó chính là phương pháp các hình chiếu vuông góc.
3.1. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM
3.1.1. Đồ thức của một điểm
3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
a. Hệ thống chiếu
Phương pháp hai hình chiếu thẳng
góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật
nhất là trong các bản vẽ cơ khí và xây
dựng. Phương pháp này do nhà toán học
người Pháp Gaspard Monje (1746-1818)
đề ra nên còn gọi là phương pháp Monje.
Trong không gian lấy hai mặt
phẳng thẳng góc P
1
và P
2
cắt nhau theo
đường thẳng x. Thông thường lấy P
1
là
mặt phẳng thẳng đứng và P
2
là mặt phẳng
nằm ngang. Mặt phẳng P
1
được chọn làm
mặt phẳng hình vẽ, tức là mặt phẳng trên
đó sẽ vẽ hình biểu diễn của không gian.
Gọi G là mặt phẳng phân giác của
góc nhị diện hợp bởi P

1
, P
2
và s
1
, s
2
, s
3
là
những hướng chiếu tương ứng vuông góc
với P
1
, P
2
và G (Hình 3.1)
Hình 3.1
Để biểu diễn một điểm A bất kỳ ta làm như sau (hình 3.1):
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P
1
, được hình chiếu A
1
.
- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P
2
, được hình chiếu A’
2
.
- Chiếu điểm A’
2

lên mặt phẳng P
1
theo hướng chiếu vuông góc với mặt
phẳng phân giác G, được hình chiếu A
2
.
Cặp điểm A
1
, A
2
gọi là hình biểu diễn của điểm A. Dễ dàng thấy rằng hai điểm
A
1
, A
2
nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x vì mặt phẳng A A
1
A
2
là mặt phẳng
vuông góc với x.
Mỗi điểm A trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A
1
, A
2
cùng
nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x. Ngược lại mỗi cặp điểm A
1
, A
2

bất kỳ
cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x đều là hình biểu diễn của một điểm A
xác định trong không gian.
42
A
P
1
P
2
X

Hình 3.2
Ta dùng các tên gọi như sau :
P
1
: mặt phẳng hình chiếu đứng
P
2
: mặt phẳng hình chiếu bằng
x : trục hình chiếu
A
1
: hình chiếu đứng của điểm A
A
2
: hình chiếu bằng của điểm A
Đường thẳng nối A
1
, A
2

gọi là đường gióng của
điểm A. Cặp điểm A
1
, A
2
gọi là hình biểu diễn
hay là đồ thức của điểm A. Vì mặt phẳng P
1
được
chọn làm mặt phẳng hình vẽ nên ta có hình biểu
diễn của điểm A như trên hình 3.2.
Hai mặt phẳng P
1
và P
2
chia không gian thành 4 góc nhị diện vuông :
- Góc 1 ở trước P
1
và trên P
2
.
- Góc 2 ở sau P
1
và trên P
2
.
- Góc 3 ở sau P
1
và dưới P
2

.
- Góc 4 ở trước P
1
và dưới P
2
.
Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 1 và 3 gọi là mặt phẳng phân giác 1.
Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 2 và 4 gọi là mặt phẳng phân giác 2.
Hình 3.3 thể hiện hình ảnh của hệ thống chiếu nhìn theo hướng a // x.
43
Hình 3.3
Để vẽ hai hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P
1
cố
định, cho P
2
quay quanh x một góc 90
0
để P
2
trùng với P
1
, khi đó A
1
và A
2
sẽ nằm trên
đường thẳng vuông góc với trục x.
Vậy một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A
1

, A
2
nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục x. Ngược lại một điểm trong
không gian hoàn toàn được xác định khi biết hai hình chiếu của nó trên hai mặt phẳng
hình chiếu. Thực vậy, vì từ hai điểm A
1
, A
2
(A
1
A
2
vuông góc với trục x), bằng cách
thực hiện ngược lại các thao tác trên, sẽ xác định được một điểm A trong không gian.
Cặp hình chiếu A
1
, A
2
nằm trên đường vuông góc với trục x gọi là hình biểu
diễn hay đồ thức của điểm A (hình 3.4).
Đồ thức có các tính chất sau:
• Đường thẳng A
1
A
2
vuông góc với trục x (A
1
A
2
⊥x)

• Từ 2 hình chiếu vuông góc A
1
, A
2
của điểm A trên đồ thức thì vị trí của điểm
A hoàn toàn được xác định trong không gian.

Hình 3.4
Kết luận :
Một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A
1
, A
2
nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu. Ngược lại một cặp điểm
A
1
, A
2
thuộc một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu biểu diễn một điểm A
duy nhất trong không gian.
Như vậy các điểm trong không gian và hình biểu diễn thẳng góc của chúng có
sự tương đương hình học.
Quan sát hình 3.4 ta có :
x
AA
1
=
2
AA
,

x
AA
2
=
1
AA
2
AA
là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P
2
,
1
AA
là khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng P
1
.
Vì xem P
1
, P
2
như các mặt phẳng chuẩn nên người ta gọi A
1
A
x
là độ cao và
A
2
A
x

là độ xa của điểm A.
b. Độ cao của một điểm :
Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu
bằng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu đứng của điểm tới trục
hình chiếu.
c. Độ xa của một điểm :
44
A
X
P
2
P
1
A
A
1
A
2
A
1
A
2
A
x
x
Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu
đứng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm tới trục
hình chiếu.
Quy ước :
- Độ cao của một điểm là dương,

bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía
trên, thuộc hay ở phía dưới mặt phẳng P
2
.
- Độ xa của một điểm là dương,
bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía
trước, thuộc hay ở phía sau mặt phẳng P
1
.
Hình 3.5
d. Hình biểu diễn thẳng góc của một số điểm có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng
hình chiếu
Trên hình 3.6 là hình biểu diễn thẳng góc của các điểm có vị trí đặc biệt so với
các mặt phẳng hình chiếu.
- Điểm A ∈ P
1
:
A
1
≡ A
A
2
∈ x (độ xa của A bằng 0).
- Điểm B ∈ P
2
:
B
1
∈ x (độ cao của B bằng 0)
B

2
≡ B
- Điểm C ∈ x

:
(C
1
≡ C
2
) ∈ x. Độ cao và độ xa của C đều bằng 0.
A
1
≡ A
E
1
≡ E
2
D
1
A
2
B
1
C
1
≡ C
2
x

B ≡ B

2

D
2
45
P
1
P
2
P
3
A
O
x
y
z
Hình 3.6
- Điểm D ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư I (tức là mặt phẳng đi qua
trục x và chia đôi góc tư đó). Độ cao và độ xa của D bằng nhau về trị tuyệt
đối và cùng mang dấu dương nên hai hình chiếu của D đối xứng nhau qua
trục x.
- Điểm E ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư II (tức là mặt phẳng đi qua
trục x và chia đôi góc tư đó). Độ cao và độ xa của E bằng nhau về vị trí
tuyệt đối nhưng khác dấu, hai hình chiếu của E trùng nhau.
3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
Trong không gian lấy 3 mặt phẳng P
1
, P
2
, P

3
vuông góc với nhau từng đôi một
làm 3 mặt phẳng hình chiếu (hình 3.7).
P
1
: là mặt phẳng hình chiếu đứng
P
2
: là mặt phẳng hình chiếu bằng
P
3
: là mặt phẳng hình chiếu cạnh
Ba trục chiếu: ox, oy, oz là giao tuyến
của từng cặp mặt phẳng hình chiếu.
Lấy 1 điểm A tuỳ ý trong không gian,
chiếu vuông góc điểm A lên 3 mặt phẳng hình
chiếu sẽ có A
1
trên P
1
, A
2
trên P
2
, A
3
trên P
3
(hình 3.8).
Hình 3.7

a) b)
Hình 3.8
A
1
: gọi là hình chiếu đứng của điểm A.
A
2
: gọi là hình chiếu bằng của điểm A.
A
3
: gọi là hình chiếu cạnh của điểm A.
- Để vẽ 3 hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P
1
cố
định, cho P
2
và P
3
quay một góc 90
0
quanh hai trục Ox và Oy, để P
2
và P
3
trùng với P
1
.
46
z
y

x
O
A
P
3
P
2
P
1
A
1
A
2
A
3
A
x
A
y
A
z
4
5
°
O
y
x
z
A
1

A
2
A
3
A
x
A
y
A
z
A
y
- Ba điểm A
1
, A
2
, A
3
là 3 hình chiếu của một điểm A trên 3 mặt phẳng hình
chiếu hay là đồ thức của điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu. Đồ thức có các tính chất
sau:
• Đường thẳng A
1
A
2
⊥ Ox
• A
1
A
3

⊥ Oz
• Khoảng cách từ A
2
đến trục Ox bằng khoảng cách từ A
3
đến trục Oz và bằng
khoảng cách từ điểm A đến P
1
(A
2
A
X
= A
3
A
Z
).

Hình 3.8c
Điểm A
3
gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng hình chiếu cạnh P
3
là
3
AA
và gọi là độ xa cạnh của điểm A.
Quy ước :
Độ xa cạnh của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trái,

thuộc hay ở phía phải của mặt phẳng P
3
.
Nhận xét :
- Trục y có hai vị trí : trùng với trục z do gập mặt phẳng P
2
trùng với mặt
phẳng P
1
và trùng với trục x do gập mặt phẳng P
3
trùng với mặt phẳng P
1
.
- Hình chiếu cạnh của một điểm thể hiện đồng thời độ cao và độ xa của điểm
đó.
- Khi biết hai trong ba hình chiếu thẳng góc của một điểm ta có thể xác định
được hình chiếu còn lại của điểm đó.
3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba
47
3.1.2.1. Bài toán
Cho hai hình chiếu (A
1
, A
2
) của điểm A.
Vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình 3.9a).
Ap dụng tính chất của đồ thức của một điểm A trong hệ thống ba mặt phẳng
hình chiếu thẳng góc, ta tìm hình chiếu thứ ba A
3

của điểm như sau :
Qua A
1
vẽ đường
dóng A
1
A
z
⊥ z.
Trên đường dóng
này kể từ điểm A
z
đặt về
phía phải của trục z một
đoạn
3
AA
z
=
2
AA
x
.
Trên hình 3.9b
cũng cho thấy cách xác
định hình chiếu cạnh A
3
của điểm A bằng cách
dùng đường phụ trợ
nghiêng góc 45

o
ở góc
thứ tư của hệ trục tọa độ.
- Nối A
1
với A
2
.
- Từ A
2
kẻ đường
ngang gặp đường nghiêng
45
o
dựng tiếp
Hình 3.9a
đường gióng thẳng đứng (theo chiều mũi tên trên hình vẽ).

Ví dụ 1 : Biết hình
chiếu đứng và hình chiếu
bằng của điểm A. Hãy vẽ Hình 3.9b
hình chiếu cạnh của điểm
đó ( Hình 3.10).
- Từ A
1
gióng
đường nằm ngang gặp
đường thẳng đứng gióng
từ đường nghiêng 45
o

tại
A
3
. Vậy điểm A
3
ta đã
tìm được.
Ngoài ra ta cũng
có thể dùng thước và
compa để tìm hình chiếu
thứ ba của điểm khi đã
biết được hai hình chiếu
của điểm đó.
48
Hình 3.10a Hình 3.10b
Cách vẽ như sau :
- Vẽ đường gióng ngang qua A
1
.
- Vẽ đường gióng ngang qua A
2
, xác định giao điểm A
y

∈
y
z
.
- Quay cung tròn tâm O, bán kính OA

y
với chiều ngược chiều kim đồng hồ để
xác định điểm A
y

∈
y
x
(hoặc vẽ đường nghiêng 45
o
so với trục y
z
).
- Vẽ qua điểm A
y

∈
y
x
đường gióng đứng và tìm giao điểm A
3
của nó với
đưòng gióng ngang qua A
1
. Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [(1,2) → 3 ] (hình 3.10a).
Ví dụ 2 : Biết hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của điểm A. Hãy vẽ hình chiếu
cạnh của điểm đó ( Hình 3.10b).
Cách vẽ như sau :
- Vẽ đường gióng đứng qua A
1

.
- Vẽ đường gióng đứng qua A
3
, xác định giao điểm A
y

∈
y
x
.
- Quay cung tròn tâm O, bán kính OA
y
theo chiều kim đồng hồ để xác định
điểm A
y

∈
y
z
(hoặc vẽ đường nghiêng 45
o
so với trục y
x
).
- Vẽ qua điểm A
y

∈
y
z

đường gióng ngang và tìm giao điểm A
2
của nó với
đưòng gióng đứng qua A
1
. Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [(1,3) → 2 ] (hình 3.10b).
3.1.2.2. Tọa độ của điểm
Một điểm A trong không gian bao giờ cũng được xác định bằng ba tọa độ
A(x,y,z), như vậy A
1
(x,z), A
2
(x,y), A
3
(y,z).
Ví dụ 3 : Cho A(5,3,7). Hãy vẽ ba hình chiếu của điểm A (hình 3.11)
Vậy A
1
(5,7), A
2
(5,3), A
3
(3,7).
Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vuông góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục tọa độ.
Từ trục Ox lấy điểm 5 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 7 gióng sang ta có điểm
A
1
. Tương tự như vậy ta tìm được điểm A
2
và A

3
.
49

Hình 3.11
Ví dụ 4 : Cho A(6,-2,8). Tìm ba hình chiếu của điểm A (hình 3.12).
Điểm A
1
(6,8), A
2
(6,-2), A
3
(-2,8).
Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vuông góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục tọa độ.
.
Hình 3.12
Từ trục Ox lấy điểm 6 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 8 gióng sang ta có điểm
A
1
. Tương tự như vậy ta tìm được điểm A
2
và A
3
3.1. HÌNH CHIẾU CỦA ĐƯỜNG THẲNG
3.2.1. Đồ thức của một đường thẳng
Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm, do đó muốn biểu diễn một
đường thẳng chỉ cần biểu diễn hai điểm bất kỳ của đường thẳng đó (hình 3.13).
50
3.2.1.1. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng bất kỳ trên hai mặt phẳng hình
chiếu

Đường thẳng bất kỳ là đường thẳng không song song và cũng không vuông góc
với mặt phẳng hình chiếu nào.
AB là đường thẳng bất kỳ trong không gian. Dùng phép chiếu vuông góc chiếu
điểm A,B lần lượt lên P
1
,P
2
và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất kỳ ( Hình
3.13).


Hình 3.13
3.2.1.2. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng bất kỳ trên ba mặt phẳng hình
chiếu
AB là đường thẳng bất kỳ trong không gian. Dùng phép chiếu vuông góc chiếu
điểm A,B lần lượt lên P
1
,P
2
,P
3
và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất kỳ
(Hình 3.14).
Trên đồ thức:
- Đường thẳng A
1
B
1
gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng AB.
- Đường thẳng A

2
B
2
gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng AB.
- Đường thẳng A
3
B
3
gọi là hình chiếu cạnh của đường thẳng AB
51

Hình 3.14
.
3.2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng
3.2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu
3.3.1.1. Đường mặt
Đường mặt là đường thẳng song song với
mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
( Hình 3.15).
- Dấu hiệu đặc trưng của đường mặt là
hình chiếu bằng của nó song song với trục x (A
2
B
2
// x).
- Hình chiếu đứng của đường mặt là
một đường thẳng nghiêng với trục x góc
đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng
hình chiếu bằng P

2
.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường mặt
thì A
1
B
1
= AB.
Hình 3.15
3.3.1.2. Đường bằng
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng
hình chiếu bằng P
2
( Hình 3.16).
- Dấu hiệu đặc trưng của đường bằng là
hình chiếu đứng của nó song song với trục x (A
1
B
1
// x).
- Hình chiếu bằng của đường bằng là
một đường thẳng nghiêng với trục x góc đúng
bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng thì
A
2
B
2

= AB.
Hình 3.16
52
A
B
B
1
A
1
B
3
A
3
P
1
P
2
P
3
B
2
A
2
0
A
2
B
2
A
1

B
1
B
3
A
3
x
y
z
3.3.1.3. Đường cạnh
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
(hình
3.17).
- Hình chiếu đứng A
1
B
1
và hình chiếu bằng A
2
B
2
của đường cạnh cùng nằm
trên đường thẳng vuông góc với trục x .
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường cạnh thì A
3
B
3
= AB.
Hình 3.17

3.3.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
3.3.2.1. Đường thẳng chiếu đứng:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
đứng P
1
(hình 3.18).
Hình 3.18
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng
suy biến thành một điểm (A
1
≡ B
1
).
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu
đứng vuông góc với trục x.
- Đường thẳng chiếu đứng cũng là đường
bằng nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường
thẳng này thì A
2
B
2
= AB.
- Đường thẳng chiếu đứng vừa // P
2
; vừa //
P
3
nên A
2
B

2
= AB = A
3
B
3
.
53
3.3.3.2. Đường thẳng chiếu bằng:
Hình 3.19
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
(hình
3.19).
- Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu
bằng suy biến thành một điểm (A
2
≡ B
2
).
- Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu
bằng vuông góc với trục x.
- Đường thẳng chiếu bằng cũng là đường
mặt nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường
thẳng này thì A
1
B
1
= AB.
- Đường thẳng chiếu bằng vừa // P

1
; vừa //
P
3
nên A
1
B
1
= AB = A
3
B
3
.
3.3.3.2. Đường thẳng chiếu cạnh:
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
cạnh P
3
(Hình 3.20).
- Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành 1 điểm (A
3
≡ B
3
)
.
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu cạnh song song
với trục x.
- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu cạnh thì A
1
B
1

= A
2
B
2
= AB.

Hình 3.20
Đồ thức của các đường thẳng đặc biệt được tóm tắt ở bảng 3-1 và 3-2 như sau :
54
Bảng 3-1 : Hình chiếu của đường thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu

Vị trí
của
đường
thẳng
Hình không gian Hình chiếu Tính chất
AB //
(P
1
)
A
1
B
1
= AB
A
2
B
2
// Ox

A
3
B
3
// Oz
AB //
(P
2
)
A
1
B
1
// Ox
A
2
B
2
= AB
A
3
B
3
// Oy
AB //
(P
3
)
A
1

B
1
// Oz
A
2
B
2
// Oy
A
3
B
3
= AB
Bảng 3-2 : Hình chiếu của đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu
55
B
A1
B1
A2
B2
B3
A3
A
B3
B2
A2
A1
B1
A3
x

O
O
A3
B3
B2
A2
B1
A1
B
A
x
A3
B2
B3
A1
B1
A2
O
O
A
B
A1
B1
A2
B2
B3
A3
O
x
A1

B1
A2
B2
A3
B3
Vị trí của
đường
thẳng
Hình không gian Hình chiếu Tính chất
AB ⊥ (P
1
) A
1
≡ B
1

A
2
B
2
⊥ Ox
A
2
B
2
= A
3
B
3
=

AB.
A
3
B
3
⊥ Oz
AB ⊥ (P
2
) A
2
≡ B
2

A
1
B
1
⊥ Ox
A
1
B
1
= A
3
B
3
=
AB.
A
3

B
3
// Oz
AB ⊥ (P
3
) A
3
≡ B
3

A
1
B
1
//A
2
B
2
//Ox
A
1
B
1
= A
2
B
2
=
AB.
*SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

*1. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng bất kỳ
Phép chiếu bảo tồn sự liên thuộc của điểm và đường thẳng nên ta có định lý sau
:
Định lý :
Điều kiện ắt có và đủ để điểm A thuộc đường thẳng bất kỳ a là các hình chiếu
của A thuộc các hình chiếu cùng tên của a (hình 3.21).
A
1
∈ a
1
, A
2
∈ a
2
*2. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng cạnh
Dễ dàng thấy rằng định lý trên
cũng đúng cho trường hợp đường thẳng là
đường thẳng chiếu đứng hay chiếu bằng.
56
A1
=
B1
A
B
A2
B2
A3
B3
O
O

x
A1
=
B1
A2
B2
A3
B3
A2
=
B2
B1
A1
A
B
A3
B3
O
x
O
A2
=
B2
A1
B1
A3
B3
A3
=
B3

A1
B1
A2
B2
A
B
O
O
x
B1
A1
A2
B2
A3
=
B3
Hình 3.21
Riêng đối với đường cạnh, vấn đề
có phức tạp hơn. Thực vậy, nếu AB là
một đường cạnh và C là một điểm của AB
thì C
1
∈ A
1
B
1
, C
2
∈ A
2

B
2
. Nhưng ngược
lại không đúng.
Phép chiếu thẳng góc bảo tồn tỷ số
đơn của 3 điểm thẳng hàng nên ta có
định lý sau :
Định lý :
Điều kiện ắt có và đủ để một điểm I thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của 3
điểm hình chiếu đứng của A, B, I bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu bằng của
chúng.
Trên hình 3.22 biểu diễn sự
liên thuộc của điểm I và đường
cạnh AB, ở đó ta thấy rằng :
I
1
∈ A
1
B
1
, I
2
∈ A
2
B
2 ,
I
3
∈
A

3
B
3
Ngoài ra :
(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
) = (A
3
B-
3
I
3
)
Hình 3.22
*VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
*1. Khái niệm
Bài toán 1 : Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d. Xác định giao
điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC (Hình 3.23).
Giải :
Gọi I là giao điểm của d và ABC. Vì ABC là mặt phẳng chiếu bằng nên mọi

điểm thuộc ABC đều có hình chiếu bằngthuộc đường thẳng A
2
B
2
C
2
.
Do đó : I
2
∈ A
2
B
2
C
2

Đồng thời vì I
2
∈ d
2

nên I
2
= d
2
∩ A
2
B
2
C

2
Từ I
2
suy ra I
1
∈ d
1
.
Điểm I (I
1
, I
2
) là giao điểm phải
tìm.
Nếu ABC là mặt phẳng chiếu
đứng, cách lập luận hoàn toàn tương tự.
57
Trên hình 3.24 vẽ giao điểm K của đường
thẳng a với mặt phẳng chiếu đứng BCD.
Hình 3.23
Định nghĩa : Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đó với mặt
phẳng hình chiếu.
*2. Xác định vết của đường thẳng
Bài toán 2 : Cho đường thẳng AB. Vẽ giao điểm của đường thẳng đó với các
mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.25).
Giải :
a) Mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
cũng là một mặt phẳng chiếu bằng. Hình
chiếu bằng của nó chính là trục x. Gọi U là giao điểm của AB với P

1
.
Ta có U
2
= A
2
B
2
∩ x.
Từ U
2
suy ra U
1
∈ A
1
B
1
.
Điểm U(U
1
, U
2
) còn gọi là vết đứng của đường thẳng AB.
b) Mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
cũng là một mặt phẳng chiếu đứng. Hình
chiếu đứng của nó chính là trục x. Gọi R là giao điểm của AB với P
2
.
Ta có R

1
= A
1
B
1
∩ x.
Từ R
1
suy ra R
2
∈ A
2
B
2
.
Điểm R(R
1
, R
2
) còn gọi là vết bằng của đường thẳng AB.
Hình 3.24 Hình 3.25
58
3.3.HÌNH CHIẾU CỦA MẶT PHẲNG
3.3.1.Đồ thức của mặt phẳng
Trong không gian một mặt phẳng được xác định bằng các điều kiện sau :
- Ba điểm không thẳng hàng (A, B, C) (hình 3.26a).
- Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó (a, A) (hình
3.26b).
- Hai đường thẳng cắt nhau (a x b) (hình 3.26c).
- Hai đường thẳng song song (a // b) (hình 3.26d).

a) b)
c) d)
Hình 3.26
Vì vậy muốn xây dựng đồ thức của một mặt phẳng thì ta xây dựng đồ thức của
một trong các trường hợp trên (hình 3.26).
* VẾT CỦA MẶT PHẲNG
1. Khái niệm
Trong hình học họa hình người ta còn biểu diễn mặt phẳng bằng các vết của nó.
Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu
(hình 3.27a).
Vậy có thể có ba vết của một mặt phẳng khi cắt ba mặt phẳng chiếu :
59
- Vết đứng nα : α x P
1

⇒
nα
- Vết bằng mα : α x P
2

⇒
mα
- Vết cạnh pα : α x P
3

⇒
pα

a) b)

Hình 3.27
*2. Xác định vết của mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định khi biết hai vết. Vì vậy người ta có thể xác định
mặt phẳng khi biết đồ thức của hai vết của mặt phẳng đó (hình 3.27b).
Bài toán 1 : Cho mặt phẳng Q (p,q) xác định bởi hai đường thẳng p, q cắt nhau
tại điểm O và mặt phẳng chiếu đứng ABC. Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng ấy (Hình
3.28).
Hình 3.28 Hình 3.29
Giải :
60
Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Muốn xác định đường thẳng
này chỉ cần biết hai điểm chung của hai mặt phẳng đã cho. Ở đây hai điểm chung ấy là
hai giao điểm của các đường thẳng p và q với mặt phẳng chiếu đứng ABC .
Ta có : p ∩ ABC = M
q ∩ ABC = N
Vì ABC là mặt phẳng chiếu đứng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu
đứng thuộc đường thẳng A
1
B
1
C
1
.
Do đó : M
1
∈ A
1
B
1
C

1
Đồng thời vì M
1
∈ p
1

nên M
1
= p
1
∩ A
1
B
1
C
1
Từ M
1
suy ra M
2
∈ p
2
.
Ta cũng có : N
1
∈ A
1
B
1
C

1
Đồng thời vì N
1
∈ q
1

nên N
1
= q
1
∩ A
1
B
1
C
1
Từ N
1
suy ra N
2
∈ q
2
.
Các điểm M (M
1
, M
2
) , N (N
1
, N

2
) là các giao điểm phải tìm.
Giao tuyến tìm được là MN(M
1
N
1
, M
2
N
2
).
Trường hợp ABC là mặt phẳng chiếu bằng, cách lập luận hoàn toàn tương tự.
Bài toán 2 : Cho mặt phẳng xác định bằng hai đường thẳng song song a và b.
Vẽ giao tuyến của mặt phẳng này với các mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.29).
Giải :
Giao tuyến của mặt phẳng (a//b) với mặt phẳng P
1
là đường thẳng UV. Ở đấy :
U = a ∩ P
1
, V = b ∩ P
1

Giao tuyến của mặt phẳng (a//b) với mặt phẳng P
2
là đường thẳng SR. Ở đấy :
S = a ∩ P
2
, R = b ∩ P
2

Cách vẽ các điểm U, V, S, R như trên hình vẽ.
Đường thẳng UV và SR tương ứng gọi là vết đứng và vết bằng của mặt phẳng
(a//b).
Chú ý : Hai vết của mặt phẳng phải cắt nhau tại một điểm thuộc trục x (hay
song song với trục x). Điểm ấy là giao điểm của trục x với mặt phẳng đã cho.
Vì một hình chiếu của vết của mặt phẳng trùng với trục x, nên khi biểu diễn
mặt phẳng bằng các vết của nó, để cho đơn giản người ta không ghi các hình chiếu
của các vết trùng với trục x.
Ký hiệu vết của mặt phẳng :
- Vết đứng của mặt phẳng P : v
1
P
- Vết bằng của mặt phẳng P : v
2
P
Hình 3.30
61
Trên hình 3.30 biểu diễn mặt phẳng P bằng các vết của nó. Ở hình 3.30b mặt
phẳng P song song với x.
3.3.2. Các mặt phẳng đặc biệt
3.3.2.1. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
a. Mặt phẳng chiếu đứng
Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng.
Hình chiếu đứng của mặt phẳng này suy biến thành một đường thẳng nghiêng với trục
x bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
.
Trên hình 3.31 biểu diễn một mặt phẳng chiếu đứng ABC.
Hình 3.31 Hình 3.32

b. Mặt phẳng chiếu bằng
Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng.
Hình chiếu bằng của mặt phẳng này suy biến thành một đường thẳng. nghiêng với trục
x bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
.
Trên hình 3.32 biểu diễn một mặt phẳng chiếu bằng ABC.
Hình 3.33
3.3.2.2. Mặt phẳng song song với mặt phẳng
hình chiếu
a. Mặt phẳng mặt
Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song
song với mặt phẳng hình chiếu đứng P
1
(hình
3.34).
- Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy
biến thành đường thẳng song song với trục x.
- Hình chiếu đứng của hình thuộc mặt phẳng mặt bằng hình thật : A
1
B
1
C
1
=
ABC.
c. Mặt phẳng chiếu cạnh
Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt
phẳng vuông góc mặt phẳng hình
chiếu cạnh P

3
(hình3.33).
- Hình chiếu cạnh của mặt
phẳng chiếu cạnh suy biến thành
một đường thẳng nghiêng với trục z
và trục y
x
lần lượt bằng góc nghiêng
và của mặt phẳng này với P
1
và
P
2
.
62
.
Hình 3.34 Hình 3.35
b. Mặt phẳng bằng
Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P
2
(hình 3.35).
- Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành đường thẳng song song
với trục x.
- Hình chiếu bằng của hình thuộc mặt phẳng bằng bằng hình thật : A
2
B
2
C
2
=

ABC.
c. Mặt phẳng cạnh
Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với
mặt phẳng hình chiếu cạnh P
3
(hình 3.36)
- Mặt phẳng cạnh vuông góc với hai
mặt phẳng hình chiếu P
1
và P
2
.
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng
của mặt phẳng cạnh cùng suy biến thành
đường thẳng và chúng trùng nhau trên cùng
một đưòng gióng.
- Hình chiếu cạnh của hình thuộc mặt
phẳng cạnh bằng hình thật : A
3
B
3
C
3
= ABC.
Hình 3.36. Mặt phẳng cạnh
Đồ thức của các mặt phẳng đặc biệt được tóm tắt ở bảng 3-3 và 3-4 như sau :
Bảng 3-3 Hình chiếu của mặt phẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu
Bảng 3-3
Vị trí
của

mặt
phẳng
Hình không gian Hình chiếu Tính chất
63