Chuyen de Tim GTLN, GTNN CUA BT PHAN THUC

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị của nhất của biểu thức một biến dạng
phân thức
(GV : Nguyễn Hà Tuyên THCS Hoàng Hoa Thám, Cầu Gồ, Yên Thế Bắc Giang)

ở chơng trình lớp 8 khi học về chơng phân thức các em học sinh gặp dạng bài tìm giá trị lớn
nhất, giá trị của nhất của biểu thức một biến dạng phân thức. Bài viết sau đây xin giới thiệu một
số ví dụ qua đó các em tự rút ra kinh nghiệm khi giải các bài toán thuộc dạng toán này.
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
8 3
4 1
x
A
x
+
=
+
Giải:
Ta có:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 2
4 8 4 4 1
2 2
8 3
1 1
4 1 4 1 4 1
x x x
x

x
A
x x x
+ + +
+
+
= = = +
+ + +
A
min
=-1. Dấu = xảy ra

2x+2=0

x=-1.
Ta lại có:
( )
2
2 2
2 2 2
4 1
8 3 16 4 (16 8 1)
4 4
4 1 4 1 4 1
x
x x x x
A
x x x

+ + +

= = =
+ + +
A
max
=4. Dấu = xảy ra

4x-1=0

1
4
x =
2) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
3 2 3
1
x x
B
x
+ +
=
+
Giải
( )
( )
( )
2
2
2
2

2 2 2
2 1 1
1
3 2 3
2 2
1 1 1
x x
x
x x
B
x x x
+ + +
+
+ +
= = = +
+ + +
B
min
=2. Dấu = xảy ra

x+1=0

x=-1
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2 2
4 4 2 1

1
3 2 3
4 4
1 1 1
x x x
x
x x
B
x x x
+ +

+ +
= = =
+ + +
B
max
=4. Dấu = xảy ra

x-1=0

x=1
3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2 2
1
x x
C
x x
+

=
+ +
Giải:
( )
2 2
2 2
2 2 2
3 2 2 2
2 2 3
2 2
1 1 1
x x x
x x x
C
x x x x x x
+ +

= = =
+ + + + + +
C
min
=-2. Dấu = xảy ra

x=0
Với
0x
ta có:
2 2
2 2
2

2 2 3 3
2 2
1 1
1 1
1
x x x
C
x x x x
x x

= = =
+ + + +
+ +

Lại có:
2
2
1 1 3 1 1 3
1
4 2 4x x x

+ + = + +
ữ

Do đó:
3
2 2
3
4
C =

C
max
= 2. Dấu = xảy ra

1 1
0 2
2
x
x
+ = =
4) Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2 2010x x
D
x
+
=
Giải:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2010 2 2010

2009 2010
2 2010
2010 2010
2010
2009 2009
2010 2010 2010
x x
x x
x x
D
x x x
x
x
+
+
+
= = =

= +
D
min
=
2009
2010
. Dấu = xảy ra x=2010
5) Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2
2010
x

E
x
=
+
với x>0
Giải:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2010 2010 4.2010
2010 4.2010 2010
2010 2010 2010
1 1
8040 8040
4.2010 2010 4.2010 2010
x x x
x
E
x x
x x x
x x
+ + +

= =
+ +
+
= =
+ +
E
max
=
1
8040
. Dấu = xảy ra x=2010
6) Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4 2
1
x
F
x x
=
+ +
Giải:
Ta có:
4 2
2
2 2
1 1 1
1
x x
x
F x x

+ +
= = + +
Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức
2 2
2a b ab+
( Dấu = xảy ra

a=b) ta đợc:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
2. . 2 1 3x x x
x x F x
+ = = + +
1
3
F
F
max
=
1
3
. Dấu = xảy ra
2
2
1
1x x
x
= =
Sau đây là một số bài tập vận dụng:

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
2
2
1
1
x
A
x x
+
=
+ +
b)
2
4 3
1
x
B
x
+
=
+
2) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc:
a)
2
2
5 4 4x x
C
x
− +

=
víi x≠0
b)
2
2
2x x m
D
x
− +
=
víi
*
m N∈
3) T×m gi¸ trÞ lín nh¸t cña biÓu thøc
a)
( )
2
x
E
x m
=
+
víi
*
m N∈
vµ x>0
b)
2
2
3 4

1
x x
D
x
+
=
+