Chương 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH doc

Ch ơng 5 . Tích phân xác định
5.1. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định
5.1.1. Tính diện tích hình thang cong.
a. Hình thang cong. Hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]
là phần mặt phẳng toạ độ đợc giới hạn bởi các đờng y = f(x), y = 0, x = a và
x = b.
b. Bài toán. Hãy tính diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm y = f(x)
trên [a; b].
Gọi S là diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]
và T là phép chia [a; b] thành n đoạn tuỳ ý bởi các điểm chia:
a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b.
Qua điểm x
k
(k=
,n1
) dựng các đờng thẳng song song với trục tung.
Thì hình thang cong đ cho đã ợc chia thành n hình thang cong con.
Đặt
k
x

= x
k

x
k-1
, l(T) =
k
x
k n
max


1
0 thì
k
x

0 với mọi k=
,n1
.
Lấy tuỳ ý c
k
[ x
k-1
; x
k
] (k=
,n1
) và thành lập các hình chữ nhật có
kích thớc tơng ứng là: độ dài [ x
k-1
; x
k

] và f(c
k
) (k=
,n1
). Thì diện tích mỗi
hình chữ nhật đó xấp xỉ bằng diện tích của hình thang cong con tơng ứng,
chúng càng gần nhau khi
k
x

càng nhỏ. Khi đó: S
n
=
( )
k
n
k x
k
f c
=


1
S.
Nh vậy, S =
( )
( )
k
n
k x

n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
. (5.1)
Trong thực tế có rất nhiều bài toán mà muốn giải nó chúng ta phải đi
đến việc tính một giới hạn có dạng (5.1). Những bài toán đó đợc gọi chung
1
là bài toán tính tích phân xác định của hàm f(x) trên [a; b]. Sau đây chúng
ta xây dựng một lý thuyết riêng để giải các bài toán nh thế.
5.2. Định nghĩa tích phân xác định
5.2.1. Định nghĩa tích phân xác định.
Trong phần này ta luôn giả thiết a, b là các số hữu hạn và a < b.
Định nghĩa 5.1. Cho hàm f(x) xác định trên [a; b]. Gọi T là phép chia [a;
b] thành n đoạn tuỳ ý bởi các điểm chia:
a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n

= b.
Đặt
k
x

= x
k
x
k-1
, l(T) =
k
x
k n
max


1
Lấy tuỳ ý c
k
[ x
k-1
; x
k
] (k=
,n1
) và thành lập tổng S
n
=
( )
k

n
k x
k
f c
=


1
,
gọi S
n
là tổng tích phân thứ n của hàm f(x) trên [a; b].
Cho số các điểm chia tăng lên vô hạn (n+) sao cho l(T) 0. Nếu
trong quá trình đó mà S
n
I xác định không phụ thuộc vào phép chia T và
cách chọn các điểm c
k
, thì ta nói rằng hàm f(x) có tích phân xác định trên
[a; b] và I đợc gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a; b]. Ký hiệu là:
( )
b
a
f x dx

,
trong đó: đợc gọi là dấu tích phân; f(x) đợc gọi là hàm số dới dấu tích
phân; f(x)dx đợc gọi là biểu thức dới dấu tích phân; x là biến số lấy tích
phân; a là cận dới, b là cận trên. Vậy:
( )

b
a
f x dx

=
( )
( )
k
n
k x
n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
.
2
Chú ý 5.1. Trong định nghĩa 5.1,đ định nghĩa tích phân xác định của hàmã
f(x) trên [a; b] với giả thiết a < b. Nếu a b, bằng cách định nghĩa tơng tự
ta có:
( )
b
a
f x dx

=
( )
a
b
f x dx

(nếu a > b);
( )
b
a
f x dx

= 0 (nếu a = b).
Định nghĩa 5.2. Nếu hàm f(x) có tích phân xác định trên [a; b] và
( )
b
a
f x dx

là số hữu hạn thì hàm f(x) đợc gọi là khả tích trên [a; b].
Định lý 5.1. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) khả tích trên [a; b].
Định lý 5.2. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] trừ ra một số hữu hạn các
điểm tại đó hàm số gián đoạn loại 1. Thì f(x) khả tích trên [a; b].
Nhận xét 5.1. (i) Nếu hàm f(x) khả tích trên [a; b] thì
( )
b
a
f x dx

tồn tại
và hữu hạn. Mặt khác, theo định nghĩa tích phân xác định thì sự tồn tại
của
( )
( )
k
n
k x
n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
= I (hữu hạn) không phụ thuộc vào cách chọn phép
chia T và cách chọn các điểm c
k
. Vì vậy, khi tính
( )
b
a
f x dx

bằng định nghĩa,
mà hàm f(x) khả tích trên [a; b] thì có thể chọn phép chia T đặc biệt và các

điểm c
k
đặc biệt vẫn không làm thay đổi giá trị của
( )
b
a
f x dx

.
3
(ii) Từ định nghĩa 5.1 và phơng pháp tính diện tích hình thang cong tạo bởi
đồ thị hàm f(x) trên [a; b], ta thấy nếu f(x) > 0 trên [a; b] thì
( )
b
a
f x dx

là
diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b].
Ví dụ 5.1. Dùng định nghĩa tích phân xác định tính các tích phân sau:
(i)
b
a
dx

, (ii)
b
a
xdx

.
Giải. (i)
b
a
dx

. f(x) = 1 (x[a; b]) f(x) liên tục trên [a; b]. Do đó khả
tích trên [a; b]. Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và
các điểm c
k
đặc biệt nh sau:
Gọi T là phép chia [a; b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:
a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b.

k
x

= x
k
x
k-1
=

b a
n

, l(T) =
k
x
k n
max


1
=
b a
n

0
khi n +.
Lấy c
k
= x
k
(k=
,n1
) f(c
k
) = 1 (k=
,n1
).
S
n

=
( )
k
n
k x
k
f c
=


1
=
n
k
b a
n
=


1
= b a.
Vậy
b
a
dx

=
( )
( )
k

n
k x
n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
=
( )
k
n
k x
n
k
lim f c
+
=


1
=
( )
n
lim b a

+

= b a.
(ii)
b
a
xdx

. f(x) = x (x [a; b]) f(x) liên tục trên [a; b]. Do đó khả
tích trên [a; b]. Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và
các điểm c
k
đặc biệt nh ở phần trên. Khi đó,
f(c
k
) = x
k
= a + k
b a
n

(k=
,n1
).
4
S
n
=
( )
k

n
k x
k
f c
=


1
=
( )
( )
n
k
b a
b a b a
a k a b a
n n n
=



+ = + +
ữ



2
1
1
1

2
.
Vậy
b
a
xdx

=
( )
k
n
k x
n
k
lim f c
+
=


1
=
( )
( )
n
b a
lim a b a
n
+

+ +

ữ



2
1
1
2
=
=
b a
2 2
2
.
5.2.2. Tính chất của tích phân xác định.
Trong phần này ta luôn giả thiết các hàm dới dấu tích phân đều khả
tích trên đoạn lấy tích phân tơng ứng.
Tính chất 5.1. Có thể đa một hằng số trong dấu tích phân ra ngoài dấu
tích phân, tức là:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
=

(k là hằng số).
Tính chất 5.2.

( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
=


.
Tính chất 5.3. Với a, b, c là các hằng số hữu hạn bất kỳ ta luôn có:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +

.
Tính chất 5.4. Nếu f(x) g(x) (x [a; b]) thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx


.
Tính chất 5.5. Nếu f(x) khả tích trên [a; b] thì nó khả tích trên mọi đoạn
con của [a; b].
Tính chất 5.6. Tích phân xác định không phụ thuộc vào
biến số lấy tích phân. Nghĩa là:
( )
b

a
f t dt

=
( )
b
a
f x dx

.
Tính chất 5.7. (Định lý giá trị trung bình).
5
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c [a; b] để :
f(c)(ba) =
( )
b
a
f x dx

.
Chứng minh. Vì f(x) liên tục trên [a; b], nên f(x) khả tích trên [a; b]. Đồng
thời theo định lý 2 11, thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a; b].
Nghĩa là: tồn tại x
1
, x
2
[a; b] sao cho
m = f(x
1
) f(x) f(x

2
) = M (x [a; b]).
Theo các tính chất 5.1, 5.4 và kết quả của ví dụ 5.1 (i) ta có:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
m b a mdx f x dx Mdx M b a
= =

.
( )
b
a
m f x dx M.
b a
= à


1
Chứng tỏ à là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm f(x) trên [a; b].
Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên theo định lý 2.10, tồn tại c [a; b] sao cho:
f(c) =
( )
b
a
f x dx
b a

1

f(c)(ba) =
( )
b
a
f x dx

. (đpcm)
ý nghĩa hình học của định lý. Nếu f(x) liên tục trên [a; b]. Thì tồn tại c [a;
b] sao cho diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b] bằng
diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là f(c) và độ dài [a; b]. (vẽ hình)
Nhận xét 5.2. (i) Theo kết quả của bài toán tính diện tích hình thang cong
tạo bởi đồ thị của hàm f(x) trên [a; b] ta có:
( ) ( )
k
n
b
k x
a
k
f x dx f c
=



1
với
k
n
x
k

b a
=
= >

1
0
.
( ) ( )
k
n
b
k x
a
k
f x dx f c
b a b a
=




1
1 1
.
6
Vậy nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c [a; b] sao cho:
f(c) =
( ) ( )
k
n

b
k x
a
k
f x dx f c
b a b a
=




1
1 1
.
Chứng tỏ f(c) là giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b].
(ii) Để tìm giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b], ta phải tiến hành
các bớc nh sau: Chứng minh hàm f(x) liên tục trên [a; b]; áp dụng phần (i)
của nhận xét này suy ra giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a; b] là:
( )
b
a
f x dx
b a

1
.
(iii) Nếu trong phần (ii) có thêm yêu cầu: tìm điểm tại đó hàm số đạt
giá trị trung bình thì phải giải phơng trình f(x) =
( )
b

a
f x dx
b a

1
. Nghiệm
của phơng trình trên thuộc [a; b] chính là điểm cần tìm.
5.3. Mối liên hệ giữa tích phân bất định
và tích phân xác định.
Qua ví dụ 5.1 ta thấy việc tính một tích phân xác định bằng định
nghĩa gặp rất nhiều khó khăn. Để tính tích phân xác định đợc đơn giản
hơn chúng ta xét mối liên hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định
từ đó suy ra phơng pháp tính tích phân xác định.
5.3.1. Tích phân với cận trên biến đổi.
7
Định nghĩa 5.3. Cho hàm f(x) khả tích trên [a; b]. Với mỗi x [a; b], hàm
f(t) khả tích trên [a; x]. Thì
( )

x
a
f t dt
đợc gọi là tích phân với cận trên
biến đổi của hàm f(x) trên [a; b].
Định lý 5.3. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a;b] thì
( )
x
a
f t dt

là hàm có đạo
hàm trên [a; b] và
( ) ( )
x
a
f t dt f x


=



( x [a; b]).
Chứng minh. Vì f(x) liên tục trên [a; b] nên khả tích trên [a; b] và mọi
đoạn con của nó.
Đặt F(x) =
( )

x
a
f t dt
. Với mỗi x [a; b]. Cho x số gia
x
sao cho x +
x
[a; b]. Thì:
F
x
= F(x +
x

) F(x) =
( ) ( )
x
x x
a a
f t dt f t dt
+


=
( )
x
x
x
f t dt
+

.
Vì f(x) liên tục trên [a; b] nên liên tục trên [x; x+
x
], theo định lý giá
trị trung bình tồn tại c [x; x+
x
] sao cho:
f(c) =
( )
x
x
x
x

f t dt
+


1
.
Vậy F

(x) =
( ) ( )
x
x x
x
x
x
lim f t dt lim f c
+

=


0 0
1
= f(x). (đpcm)
Nhận xét 5.3. Từ định lý 5.3 ta thấy: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì
( )
x
a
f t dt

là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Vì vậy, nếu hàm f(x) liên
tục trên [a; b] thì:
( ) ( )
x
a
f x dx f t dt C.
= +

Điều này nói lên mối liên hệ giữa TPBĐ và TPXĐ.
8
5.3.2. ứng dụng.
Định lý 5.4. (Định lý Niutơn-Lepnit).
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên [a; b] thì:
( )
b
a
f x dx

= F(x)
b
a
= F(b) F(a).
Chứng minh. Theo giả thiết f(x) liên tục trên [a; b] nên với mỗi x [a; b],
f(x) liên tục trên [a; x]. Do đó, f(x) khả tích trên [a; x].
Đặt

(x) =
( )
x

a
f t dt

. Theo định lý 5.3 thì

(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên [a; b]. Mà F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] nên
tồn tại hằng số C để:

(x) = F(x) + C (x [a; b]).
Tại x = a và x = b ta có:
( ) ( )
( ) ( )
a F a C
b F b C
= +

= +

( ) ( )
( ) ( )
a
a
b
a
f x dx F a C
f x dx F b C

= +

= +



Mà
( )
a
a
f x dx =

0

( )
b
a
f x dx

= F(b) F(a).(đpcm)
Qua định lý 5.4 ta thấy để tích
( )
b
a
f x dx

ta có thể tiến hành nh sau:
Chứng minh hàm f(x) liên tục trên [a; b]; Tìm một nguyên hàm của f(x)
trên [a; b] bằng cách tính F(x) =

( )
f x dx

rồi thế cận tích phân.
Ví dụ 5.2. Tính các tích phân sau: a)
( )
x dx+

1
2
0
3
, b)
cos xdx


2
0
.
9
Giải. a)
( )
x dx+

1
2
0
3
. Hàm f(x)= x
2

+3 xác định, liên tục trên [0;1]và có một
nguyên hàm là F(x) =
1
3
x
3
+ 3x trên [0;1].
áp dụng định lý 5.4 ta có:
( )
x dx
+

1
2
0
3
= (
1
3
1
3
+ 3.1) (
1
3
0
3
+ 3.0) =
4
3
.

b)
cos xdx


2
0
.Hàm f(x) = cosx xác định, liên tục trên [0;

2
]và có một
nguyên hàm là F(x) = sin x trên [0;

2
]. áp dụng định lý 5.4 ta có:
cos xdx


2
0
= sin

2
sin 0 =1.
5.4. phơng pháp tính tích phân xác định
Cũng giống nh tích phân bất định, chúng ta đa ra hai phơng pháp tính
tích phân xác định: Phơng pháp đổi biến số và phơng pháp tích phân từng
phần.
5.4.1. Phơng pháp đổi biến số
Giả sử cần tính tích phân
( )

b
a
f x dx

(x [a; b]).
Nếu đặt x =

(t) trong đó

(t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [

;

],

(t) liên tục trên [

;

]; có miền giá trị [a; b]; và

(t) 0 ( t (

;

)). Thì:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f t t dt

=


.
(công thức này gọi là công thức đổi biến số tính tích phân).
10
Cũng nh với tích phân bất định, nhiều trờng hợp đặt t = (x) thì bài
toán chở nên đơn giản hơn nhng cần lu ý rằng khi đổi biến số phải đổi cận
lấy tích phân.
Ví dụ 5.3. Tính các tích phân sau:
a)
xdx
x +

2
0
3
4 1
, b)
x dx

3
2
0
9
, c)
dx

cos x

+

2
0
2 3
, d)
x x dx

2
2 2
0
4
.
Giải. a)
xdx
x +

2
0
3
4 1
. Hàm f(x) =
x
x +
3
4 1
xác định và liên tục khi x >

1
4
.
Do đó, nó liên tục và khả tích trên [0; 2].
Đặt t =
x +4 1
= (x). Thì (x) là hàm xác định, tăng, khả vi trên
[0;2], có miền giá trị [1;3];

(x) =
x

+
2
0
4 1
và là hàm liên tục trên (0;2).
x =
t tdt
,dx

=
2
1
4 2
.
( )
xdx t t
t dt
x

= = =
+

3
2 3
2
0 1
3 3
3 1 5
1
8 24 8 61 1
4 1
.
b)
x dx

3
2
0
9
.
Hàm f(x) =
x
2
9
xác định và liên tục khi x [3; 3]. Do đó, nó liên
tục và khả tích trên [0; 3].
Đặt x = 3sint = (t) với t
;

0
2
.
Thì (t) là hàm xác định, tăng, khả vi trên
;




0
2
, có miền giá trị
[0;3];

(t) = 3cost 0 và là hàm liên tục trên
;


ữ

0
2
.
11
dx = 3costdt; x
t

3
2
1
0
.

( )
x dx cos tdt cos t dt t sin t



= = + = + =

3
2 2
2 2
0 0 0
9 9 9 9
2 2
9 9 1 2 2
2 2 4 4
0 0
.
c)
dx
cos x

+

2
0
2 3
. Vì 2cosx + 3 1 ( x (;+)) nên hàm f(x) =
cos x +
1
2 3

xác định và liên tục khi x
;




0
2
. Do đó, nó liên tục và khả tích trên [0; 3].
Đặt t = tg
x
2
= (x) với x
;




0
2
. Thì (x) là hàm xác định, tăng, khả vi
trên

;




0
2
, có miền giá trị [0;1];

(x) =
x
cos

1
0
2
2
và là hàm liên tục trên
;


ữ

0
2
. x = 2arctgt dx =
dt
t+
2
2

1
.

dx dt x
arctg arctg .
cos x
t

= = =
+
+

1
2
2
0 0
1
2 2 2 1
2 3 0
5
5 5 5 5
d)
x x dx

2
2 2
0
4
.
Hàm f(x) = x

2
x
2
4
xác định và liên tục khi x [2; 2]. Do đó, nó
liên tục và khả tích trên [0; 2].
Đặt x = 2sint = (t) với t
;




0
2
.
12
Thì (t) là hàm xác định, tăng, khả vi trên
;




0
2
, có miền giá trị
[0;2];

(t) = 2cost 0 và là hàm liên tục trên
;

ữ

0
2
. dx = 3costdt.

( )
x x dx sin tdt cos t dt t si t



= = = =
ữ


2
2 2 2
2 2
0 0 0
1
2
4 4 2 2 1 4 2 4
2
0
.
Ví dụ 5.4 Cho các hằng số a và b thoả n m điều kiện: a > 0; 0 < b ã 1; hàm
u(x) khả tích và là hàm chẵn trên [a; a]. Chứng minh rằng:
( )
( )

a a
x
a
u x
dx u x dx
b

=
+

0
1
.
áp dụng: Tính
x
x dx
e

+

2
1
1
1
.
Giải. Vì 0 < b 1 nên
x
b+
1
1

là hàm liên tục trên [a; a]. Và vì u(x) khả
tích trên [a; a], nên
( )
( )
x
u x
f x
b
=
+1
khả tích trên [a; a].
Đặt t = x dx = dt; x
t
t t
a a
b
t ;
a a
b b


=

+ +
1
1 1
.
Vì u(x) là hàm chẵn trên [a; a], nên u(t) = u(t) ( t [a; a]).
Vậy : I =
( ) ( ) ( ) ( )

t t x
a a a a
x t t x
a a a a
u x b u t b u t b u x
dx dt dt dx
b b b b



= = =
+ + + +

1 1 1 1
.
2I =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
a a a a
x x
a a a a
u x b u x
dx dx u x dx u x dx u x dx
b b

+ = = +
+ +

0

0
1 1
.
Đặt y = x dx = dy; x
y ;
a a


0 0
u(y) = u(y) (y [a; a]).
13
2I =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
a
u y dy u x dx u y dy u x dx u x dx
+ = + =

0
0 0 0 0
2
.
I =
( )
a
u x dx

0
.(đpcm)
á p dụng . Với a = 1; b = e; u(x) = x

2
thoả m n giả thiết của ví dụ 5.4. ã áp
dụng kết quả trên ta đợc:
x
x dx
x dx x
e

= = =
+

2
1 1
2 3
1 0
1
1 1
3 30
1
.
Ví dụ 5.5 Cho hằng số a > 0; hàm f(x) khả tích và là hàm lẻ trên [a; a].
Chứng minh rằng:
( )
a
a
f x dx

=

0

.
áp dụng: Tính
x
dx
x

+

5
1
2
1
1
.
Giải. Đặt y = x dx = dy; x
y
a a


0 0
. Vì f(x) liên tục trên [a;a] và lẻ
trên [a; a] nên khả tích trên [a;a] và f(y) = f(y) (y [a;a]).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a a a
a a a
a a
f x dx f x dx f x dx f y dy f x dx
f y dy f x dx .

= + = +
= + =


0 0
0 0
0 0
0
á p dụng . Hàm
( )
x
f x
x
=
+
5
2
1
liên tục, do đó khả tích và là hàm lẻ
trên [1; 1]. áp dụng kết quả vừa chứng minh ta có:
( )
a
a
f x dx

=

0
.
5.4.2. Phơng pháp tích phân từng phần.

Nếu các hàm u(x), v(x) khả vi trên [a; b] thì:
d[u(x)v(x)] = u

(x)v(x)dx + u (x)v

(x)dx
14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x u x v x dx
a

=

.
(Công thức này đợc gọi là công thức tích phân từng phần đối với TPXĐ).
Ví dụ 5.6 Tính các tích phân sau (m là hằng số 0):
a)
( )
e
x ln xdx


1
2 1
, b)
xsinmxdx

2
0
, c)
x
arcsin dx
x +

3
1
1
, d)
( )
x
x e
dx
x +

2
1
2
0
2
.
Giải. a)
( )
e
x ln xdx

1
2 1
. Hàm f(x) = (2x 1)ln x liên tục khi x [1; e]. Do
đó, nó khả tích trên [1; e]. Các hàm u(x) = ln x, v(x) = x
2
x là các hàm khả
vi
trên [1; e]. u = ln x u

=
x
1
; v

= (2x 1) v = x
2
x.

( )
( )
( )
e e
e
x ln xdx x x ln x x dx
=

2
1 1
2 1 1

1
=
( )
e e
x e
x x ln x x

+
=
ữ

2 2
2
1
2 21 1
.
b)
xsinmxdx


2
0
. Hàm f(x) = x sin mx xác định và liên tục trên [0;

2
]. Do
đó, nó liên tục và khả tích trên [0;

2
].

Các hàm u(x) = x, v(x) =
m
1
cos mx là các hàm khả vi trên [0;

2
].
15
u = x, v
′
= sin mx ⇒ u
′
= 1, v = −
m
1
cos mx.
⇒
xsinmxdx x cosmx cosmxdx
m m
π π
π
= − +
∫ ∫
2 2
0 0
1 1
2
0
=
m m

x cosmx sinmx cos sin
m m
m m
π π
π π π
− + = − +
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
0 0
.
c)
x
arcsin dx
x +
∫
3
1
1
. Hµm f(x) = arcsin
x
x + 1
liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn
[1;3].
C¸c hµm u(x) = arcsin
x
x + 1
, v(x) = x lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [1; 3].
u(x) = arcsin

x
x + 1
, v
′
(x) = 1 ⇒ u
′
=
( )
x x+
1
2 1
, v(x) = x.
⇒
( )
x x xdx
arcsin dx x arcsin
x x
x x
= −
+ +
+
∫ ∫
3 3
1 1
3
1 1
1
2 1
= 3 arcsin
−

3
2
arcsin
2
2

d x dx
x
x
+ −
+
∫ ∫
3 3
1 1
2
2
1
=
x arctg x arcsin
π π
− + = + − +
3 3
3
1 3 3
4 21 1
.
d)
( )
x
x e

dx
x +
∫
2
1
2
0
2
. Hµm f(x) =
( )
x
x e
x +
2
2
2
x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn [0;1]. Do ®ã,
nã liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn [0;1].
C¸c hµm u(x) = x
2
e
x
, v(x) = −
x +
1
2
lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [0;1].
16
u(x) = x
2

e
x
, v

(x) =
( )
x +
2
1
2
u

(x) = xe
x
(x+2), v(x) =
x +
1
2
.
.
5.5. Tích phân suy rộng
Trong những phần trớc, chúng ta mới tính đợc
( )
b
a
f x dx

khi a, b là
các hằng số hữu hạn; f(x) là hàm liên tục trên [a; b] hoặc là hàm liên tục
trên [a; b] trừ ra một số hữu hạn các điểm mà tại đó hàm f(x) gián đoạn

loại 1. Trong các trờng hợp: có ít nhất một trong các số a và b là số vô hạn;
f(x) là hàm không thoả m n các điều kiện đ nêu ở trên, thì chúng ta chã ã a
tính đợc
( )
b
a
f x dx

(những tích phân loại này đợc gọi là tích phân suy
rộng). Trong phần này, chúng ta sẽ đa ra phơng pháp tính một số loại tích
phân suy rộng và luôn giả thiết rằng a , b là các số hữu hạn.
5.5.1. Các tích phân suy rộng cơ bản.
1.Tích phân suy rộng cơ bản loại 1.
Cho hàm f(x) liên tục trên [a; +). Với mọi b (b > a), thì hàm f(x) liên
tục do đó khả tích trên [a; b]. Nếu tồn tại
( )
b
a
b
lim f x dx
+

.Thì giới hạn đó đ-
ợc gọi là tích phân loại 1 suy rộng của hàm f(x) trên [a; +) và ký hiệu là
( )
a
f x dx
+

. Vậy:

( )
a
f x dx
+

=
( )
b
a
b
lim f x dx
+

.
17
Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng
( )
a
f x dx
+

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.7. Tính:
dx
x
+
+

2

1
1
.
Giải. Ta có: Hàm f(x) =
x+
2
1
1
liên tục trên [1; +);
( )
+ +

= =
+

b
b b
dx
lim lim arctgb arctg
x
2
1
1
4
1
.

dx
x
+

+

2
1
1
=
( )
b
b b
dx
lim lim arctgb arctga
x
+ +

= =
+

2
1
4
1
.
Hay tích phân suy rộng trên hội tụ.
2. Tích phân suy rộng cơ bản loại 2.
Cho hàm f(x) liên tục trên (; b]. Với mọi a (a < b), thì hàm f(x) liên
tục do đó khả tích trên [a; b]. Nếu tồn tại
( )
b
a
a

lim f x dx


. Thì giới hạn đó đ-
ợc gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f(x) trên (; b] và ký hiệu là
( )
b
f x dx


. Vậy:
( )
b
f x dx


=
( )
b
a
a
lim f x dx


.
Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng
( )
b
f x dx

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.8. Tính:
dx
x



1
3
.
Giải. Ta có: Hàm f(x) =
x
3
1
liên tục trên (;1];
18



= =
ữ


a
a a
dx
lim lim
x a

1
3 2
1 1 1
2 2
2
.

dx
x



1
3
=


=

1
3
a
a
dx 1
lim .
2
x
Hay tích phân suy rộng trên hội tụ.
3. Tích phân suy rộng cơ bản loại 3.
Cho hàm f(x) liên tục trên (a; b] và f(x) gián đoạn vô hạn bên phải tại

a (nghĩa là
( )
x a
lim f x
+

= +
). Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để a < a+

< b) thì hàm
f(x) liên tục do đó khả tích trên (a+

; b]. Nếu tồn tại
( )
b
a
lim f x dx
+
+


0
. Thì
giới hạn đó đợc gọi là tích phân suy rộng loại 3 của hàm f(x) trên [a; b] và
ký hiệu là
( )
b
a

f x dx

. Vậy:
( )
b
a
f x dx

=
( )
b
a
lim f x dx
+
+


0
.
Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng
( )
b
a
f x dx

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.9. Tính:
dx
x

0
1
2
1
.
Hàm f(x) =
x
2
1
1
liên tục trên (1; 0] và
x
lim
x
+

= +

2
1
1
1
. Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để 1 < 1+

< b) thì hàm f(x) liên tục do đó khả tích trên

(1+

; b].
( )
dx
lim lim arcsin arcsin
x
+ +
+


= + =



0
1
2
0 0
0 1
2
1
.
Vậy
dx
x


=

0
1
2
2
1
. Hay tích phân suy rộng trên hội tụ.
19
4. Tích phân suy rộng cơ bản loại 4.
Cho hàm f(x) liên tục trên [a; b) và f(x) gián đoạn vô hạn bên trái tại
b (nghĩa là
( )
x b
lim f x


= +
). Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để a < b

< b) thì hàm
f(x) liên tục do đó khả tích trên [a ; b

]. Nếu tồn tại
( )
+

b
a
lim f x dx
0
. Thì
giới hạn đó đợc gọi là tích phân suy rộng loại 4 của hàm f(x) trên [a; b] và
ký hiệu là
( )
b
a
f x dx

. Vậy:
( )
b
a
f x dx

=
( )
b
a
lim f x dx
+



0
.
Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng

( )
b
a
f x dx

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.10. Tính:
dx
x


0
1
. Hàm f(x) =
x
1
liên tục trên [1; 0) và
x
lim
x


= +
0
1
.
Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để 1 < 0

< 0) thì hàm f(x) liên tục do đó khả tích
trên [1; 0

]. Ta có:
dx
lim lim ln ln
x
+ +



= = +


0
1
0 0
0 1
.

dx
x


0
1
=
dx
lim lim ln ln

x
+ +



= = +


0
1
0 0
0 1
.
Hay tích phân suy rộng trên phân kỳ.
Chú ý 5.2. (i) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] trừ một số hữu hạn điểm
gián đoạn loại 1. Thì quy ớc tính
( )
b
a
f x dx

nh tính tích phân xác định.
(ii) Khi tính tích phân xác định bằng phơng pháp đổi biến số, mà sau
khi đổi biến ta đợc một tích phân suy rộng . Thì tính tích phân mới theo
tích phân suy rộng.
20
5.5.2. Tích phân suy rộng.
( )
b
a

f x dx

là tích phân suy rộng nếu có ít nhất một cận là số vô hạn,
hoặc hàm f(x) xác định , liên tục trên [a; b] và có một số hữu hạn điểm gián
đoạn vô hạn thuộc [a; b]. Do đó, tích phân suy rộng
( )
b
a
f x dx

phân tích đ-
ợc thành tổng của hữu hạn các tích phân suy rộng cơ bản.
Tích phân suy rộng
( )
b
a
f x dx

đợc gọi là hội tụ nếu tất cả các tích
phân suy rộng thành phần đều hội tụ, và đợc gọi là phân kỳ nếu có ít nhất
một tích phân suy rộng thành phần phân kỳ.
Ví dụ 5.11. Tính các tích phân sau: a)
dx
x x

4
2
0
3
, b)

dx
x x +

2
1
2
4 3
.
Giải. a)
dx
x x

4
2
0
3
. Hàm f(x) =
x x
x x

=




2
1 1 1 1
3 3
3
là hàm liên tục trên

các miền (0; 3) và (3; 4]. Ta lại có:
( )
x x
lim f x lim
x x
+ +

= = +

2
0 0
1
3
,
( )
x x
lim f x lim
x x


= = +

2
3 3
1
3
,
( )
x x
lim f x lim

x x
+ +

= = +

2
3 3
1
3
.
Vậy
dx dx dx dx
x x x
x x
= + +



4 3 4 4
2
0 0 3 0
1 1 1
3 3 3 3 3
3
=
dx dx dx
lim lim lim
x x x
+ + +

+ +

+ +


1
2 3
1 2 3
3 4 4
0 3 0
0 0 0
1 1 1
3 3 3 3 3
.
Mà
( )
dx dx
lim lim ln ln
x x
+ +
+

= = =

3
3 3
4 4
3
0 0
0 0

4
.
Vậy tích phân đ cho là tích phân suy rộng phân kỳ.ã
21
b)
dx
x x +

2
1
2
4 3
. Hàm f(x) =
( )
x
2
1
1 2
là hàm liên tục trên các miền
(1;
3
2
) và (
3
2
; 2]. Ta lại có:
( )
( )
x x
lim f x lim

x
+ +

= = +

2
1 1
1
1 2
,
( )
( )
x x
lim f x lim
x


= = +

2
2 2
1
1 2
.
( )
( )
( )
( )
d x d x
dx

lim lim
x x
x x
+ +

+


= +
+


2
1
1 2
3
2 2
2
3
1 1
2 2 2
0 0
2
2 2
4 3
1 2 1 2
( )
lim arcsin arcsin
+

= + +


1
1
0
1
1
2
lim arcsin arcsin
+



=


2
2
0
1
2 2
.
Vậy tích phân suy rộng trên hội tụ.
5.6. ứng dụng của tích phân xác định
5.6.1. Tính diện tích hình phẳng.
5.6.2. Tính thể tích.
Câu hỏi ôn tập chơng 5.

Câu 1: Định nghĩa tích phân xác định; áp dụng định nghĩa đó tính
xdx

2
1
.
Câu 2: Định nghĩa hàm số khả tích trên [a;b]. Chứng tỏ rằng nếu hàm f(x)
khả tích trên [a;b] thì f(x) là hàm bị chặn trên [a;b].
Câu 3: Phát biểu các tính chất của tích phân xác định. Chứng minh định
lý giá trị trung bình.
22
Câu 4: Định nghĩa tích phân với cận trên biến đổi. Chứng minh rằng nếu
f(x) là hàm liên tục trên [a;b] thì đạo hàm của tích phân với cận trên biến
đổi của f(x) trên (a;b) bằng hàm số dới dấu tích phân; từ đó suy ra mối liên
hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định.
Câu 5: Phát biểu và chứng minh định lý Nutơn-Lepnít; từ đó suy ra phơng
pháp tính tích phân xác định trên [a;b] của hàm liên tục trên [a;b].
Câu 6: Phân biệt sự khác nhau giữa một nguyên hàm và tích phân với cận
trên biến đổi của cùng một hàm số trên [a;b].
Câu 7: Định nghĩa các tích phân suy rộng cơ bản và tích phân suy rộng.
Câu 8: Nêu các ứng dụng của tích phân xác định( nêu và mô tả công thức
tính cho từng trờng hợp).
23