Chương 6 Tích phân xác định.doc

Tích phân xác định:
1/ Bài toán diện tích hình thang cong: ................................................................................... 2
2/ Định nghĩa tích phân xác định: ............................................................................................ 3
3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): ................................................................... 3
4/ Các tính chất của tích phân xác định: .................................................................................. 6
5/ Công thức Newton – Leibnitz: .......................................................................................... 9
6/ Tính gần đúng tích phân xác định: .................................................................................... 10
a/ Đa thức nội suy: .......................................................................................................... 10
Công thức hình thang: ...................................................................................................... 12
Công thức Simpson: .......................................................................................................... 13
7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định: ..................................................................... 15
7.1/ Tính diện tích hình phẳng: ....................................................................................... 15
........................................................................................................................................... 16
.......................................................................................................................................... 17
7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực .......................................... 18
7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng ................................................................................ 19
7.4/ Tính thể tích vật thể ................................................................................................. 21
7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay ................................................................................. 22
7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay .................................................................................... 23
8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân .................................................................................................. 24
9/ Tích phân suy rộng ........................................................................................................... 25
9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn: ................................................................. 25
9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn .......................................................... 26
9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: ................................................................................................... 26
9.4/ Hội tụ tuyệt đối ......................................................................................................... 28
Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1 ................................... 28
Bài tập ..................................................................................................................................... 29
.......................................................................................................................................... 29
1/ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng: .................................................................... 30
.......................................................................................................................................... 31
........................................................................................................................................ 32

........................................................................................................................................... 33
.......................................................................................................................................... 33
12/ Xét sự hội tụ của tích phân: ...................................................................................... 34
13/ Xét sự hội tụ của tích phân: ..................................................................................... 35
2/ Tính các tích phân sau .................................................................................................. 36
........................................................................................................................................... 36
........................................................................................................................................... 37
........................................................................................................................................... 38
........................................................................................................................................... 38
.......................................................................................................................................... 39
........................................................................................................................................... 41
........................................................................................................................................... 42
........................................................................................................................................... 43
1
........................................................................................................................................... 43
........................................................................................................................................... 44
........................................................................................................................................... 45
........................................................................................................................................... 45
........................................................................................................................................... 45
3/ Dùng định nghĩa tính các tích phân: ............................................................................ 46
4/ Tính các đạo hàm: ........................................................................................................ 48
5/ Tính các giới hạn ........................................................................................................... 48
.......................................................................................................................................... 48
........................................................................................................................................ 49
.......................................................................................................................................... 50
.......................................................................................................................................... 51
.......................................................................................................................................... 52
.......................................................................................................................................... 53
1/ Bài toán diện tích hình thang cong:
Cho hàm số y

=
f(x), xác định, liên tục trên khoảng đóng [a, b]. Xét hình thang cong
AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trên [a, b], các đường thẳng x
=
a, x
=
b và
trục hoành Ox. Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB.
Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
o 1 2 i 1 i n
x a x x ...x x ...x b
−
≡ < < < < < =
ta gọi cách chia đó là 1 phân điểm P
( )
( )
( )
( )
[ ]
i i
i 1 i 1 i i
i i i 1
Bay gio, tu cac diem chia x i 0,n ta dung cac duong thang x x ,
nhu the ta da chia hình thang cong AabB
thành n hình thang cong nho P x x P i 1,n
moi hình thang cong nho dó có day x x x i 1,n .
Theo gia thiet, hàm so f x lien tuc tren a,b ,
n
− −
−

= =
=
∆ = − =
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( )
i 1 i
i
x x ,x
i 1 i
i
x x ,x
i 1 i
i i i i i i i
ên cung liên tuc trên x ,x , i 1,n
do dó f x dat dc giá tri nho nhat m min f x
and giá tri lon nhat M max f x
m f x M m . x f x . x M . x
−
∈
−
∈
−
=
=

=
⇒ ≤ ≤ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆
Về mặt hình học: tích số
i i
m . x∆
chính là diện tích của hình chữ nhật trong có chiều rộng
là
i
x∆
và chiều dài là
i
m
. Tích số
i i
M . x∆
chính là diện tích của hình chữ nhật ngoài có
chiều rộng là
i
x∆
và chiều dài là
i
M
, hình thang cong nhỏ thứ i
i 1 i 1 i i
P x x P
− −
luôn bị các
hình chữ nhật trong và ngoài kẹp
Gọi
*

*
S and S
là tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong và ngoài, để cho gọn, gọi
*
S
là tổng trong and
*
S
là tổng ngoài, luôn có bdt:
2
( ) ( )
( )
n n
* *
* * i i i i
i 1 i 1
n n n
i i i i i i i i i i
i 1 i 1 i 1
n n n
i i i i i
x 0 x 0 x 0
i i i
i 1 i 1 i 1
S S , S m . x , S M . x
from m . x f x . x M . x m . x f x . x M . x
lim m . x lim f x . x lim M . x S
= =
= = =
∆ → ∆ → ∆ →

= = =
≤ = ∆ = ∆
∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆
⇒ ∆ = ∆ = ∆ =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
2/ Định nghĩa tích phân xác định:
Define
Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những
khoảng nhỏ bởi 1 phân điểm P, trong mỗi khoảng nhỏ
x ,x
i 1 i
 
 − 
lấy 1 điểm
( )
i i 1 i i
c tùy ý sao cho : x c x i 1,2,..n
−
≤ ≤ =
( )
( )
[ ]
( )
n
i i i i i 1
i 1
i
x 0

i
b
a
Và lap tong: A f c . x with x x x
if when n and max x 0 A có gioi han huu han I lim A I
thi I dc goi là tich phan xac dinh cua hàm so f x lay trên khoang dong a,b
và kí hieu là : I f x .dx
−
=
∆ →
= ∆ ∆ = −
→ ∞ ∆ → =
=
∑
∫
Khi đó, ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích (intergrable) in [a, b]
Diện tích (area) hình thang cong AabB là:
( )
b
a
S f x .dx=
∫
3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction):
* Định lí (theorem): dk (condiction) để (of) hàm số (function) f(x) khả tích (intergrability)
trên [a, b] là:
( )
x 0
i
lim S s 0
∆ →

− =

3
( ) ( )
( ) ( )
n
i i
i 1
n
i i
i 1
b
n
i i
x 0
i
i 1
a
n
i i i i i i i i
i 1 i
trong do s m . x là tong tich phan duoi,
S M . x là tong tich phan tren
Prove that: gia su ton tai tich phan I f x .dx lim A A f c . x
I A I
from m . x f x . x M . x m . x f x . x
=
=
∆ →
=

= =
= ∆
= ∆
 
= = = ∆
 
 
 
⇒ − ε < < + ε
∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ⇒ ∆ ≤ ∆
∑
∑
∑
∫
∑
n n
i i
1 i 1
M . x
=
≤ ∆
∑ ∑
( )
( )
n n n
i i i i i
x 0 x 0 x 0
i i i
i 1 i 1 i 1
x 0 x 0 x 0 x 0

i i i i
lim m . x lim f x . x lim M . x I
lim s lim A lim S I lim S s 0
∆ → ∆ → ∆ →
= = =
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
⇒ ∆ = ∆ = ∆ =
⇒ = = = ⇔ − =
∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
x 0
i
i i i i i 1 i
n n
i i i i i
i 1 i 1
gia su assume có has lim S s 0 mà s I S, s A S A I
f kha tich intergrable trên a,b
let M m dc goi là dao dong cua f trong x , x
suy ra derive : S s M m x . x
and can be write dieu kien condition kha tich inte
∆ →
−
= =
− = ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ − < ε

⇒
ω = − ω
− = − ∆ = ω ∆
∑ ∑
( )
n
i i
x 0
i
i 1
rgrable duoi dang :
lim . x 0
∆ →
=
ω ∆ =
∑
* Định lí 2 (theorem 2nd): If f(x) liên tục (continuous) in [a, b] thì (derive) f(x) khả tích
(intergrable) trên [a, b]
Cm: because f(x) continuous in closed interval (khoảng đóng) [a, b] derive (suy ra) f(x)
liên tục đều (uniformly continuous) in [a, b] do đó (therefore) with any (bất kì) ε > 0 luôn
(always) tìm được (found)
1
0ε >
sao cho (so that)
[ ]
( ) ( )
( )
i i 1 1 i 1 i i i 1 i
n n n
i i i i i

x 0
i
i 1 i 1 i 1
x x with x , x a,b always have f x f x
. x x b a lim . x 0
− − −
∆ →
= = =
− < ε ∈ − < ε ⇒ ω < ε
⇒ ω ∆ < ε ∆ < ε − ⇒ ω ∆ =
∑ ∑ ∑
Do đó (therefore) f(x) khả tích in [a, b]
* Theorem 3 third: If f(x) bị chặn (bounded) and đơn điệu (monotone) in [a, b] derive f(x)
khả tích (intergrable) in [a, b]:
4
Cm: giả sử f(x) đơn điệu tăng in [a, b],
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ]
1
n n
i 1 i i 1 i i 1 1
i 1 i 1
n
i i
x 0
i

i 1
because f x don dieu tang nên f b f a 0
f b f a
cho x , i 1,n . x f x f x f b f a
lim . x 0 therefore f x intergrable in a,b
−
= =
∆ →
=
ε
ε = − >
−
∆ < ε = ⇒ ω ∆ < ε − = ε − = ε 
 
⇒ ω ∆ =
∑ ∑
∑
* Examples (VD):
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
( )
1
2
0
1
n

2 2
i i
x 0
i
i 1
0
i i 1 i i i
i
2
* Calculate I x .dx because f x continuous lien tuc in 0,1
f x intergrable kha tich in 0,1 x .dx lim c . x
i 1 0 1
choose c x ,x , c x
n n n
chia 0,1 thành n khoang nho bang nhau
khi do x 0 n , therefore :
x .dx
∆ →
=
−
=
⇒ = ∆
−
∈ = ⇒ ∆ = =
∆ → ⇔ → ∞
∫
∑
∫
( ) ( )
1

2
n n
2
3 3
n n n
i 1 i 1
0
n n 1 2n 1
i 1 1 1 1
lim . lim i lim .
n n 6 3
n n
→∞ →∞ →∞
= =
+ +
 
= = = =
 
 
∑ ∑
∫
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
( )
b
a
o i i i

b
i
a
* Calculate I sin x.dx because f x sin x continuous lien tuc in 0,1
f x intergrable kha tich in 0,1
therefore do dó can be choose phan diem sao cho :
b a
x a,...x a ih with h , i 1,n khi do max x x h
n
choose c a i 1 h sin x.dx li
= =
⇒
−
= = + = = ∆ = ∆ =
= + − ⇒ =
∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
i
h 0
i 1
n
n n
i 1

i
i 1 i 1
m sinc .h
sin a i 1 h .h.2sin h/2
dat A sinc .h sin a i 1 h .h
2sin h/2
→
=
=
= =
+ −
= = + − =
∑
∑
∑ ∑
5
( ) ( )
( )
n
i 1
b
h 0
a
h h
cos a i 1 h cos a i 1 h .h
2 2
h
2sin
2
h 1 h

h h
cos a cos a n h
cos a cos b h
2 2 2
2 2
h h
2sin 2sin
2 2
because a nh b
h
h
2
I sin x.dx lim cos a
h
2
sin
2
=
→
 
   
+ − − − + − +
   
 
   
 
=
 
 
     

   
− − + −
− − −
   
 
 
   
 
   
     
   
= =
+ =
 
⇒ = = −


∑
∫
h
cos b cosa cosb
2
 
 
− − = −
  
 
  
 
4/ Các tính chất của tích phân xác định:

1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a < b, if a < b thì ta hiểu là hướng lấy tích phân thay đổi.
Khi ấy ta có phân hoạch:
( ) ( )
a b
o 1 n i i 1 i
b a
a x x ... x b x x x 0 f x dx f x dx
+
= > > > = ⇒ ∆ = − < ⇒ = −
∫ ∫
2/ Tích phân xác định ko phụ thuộc biến:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f y dy= =
∫ ∫ ∫
3/
( )
a
a
f x dx 0=
∫
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
b c b

i i i i i i i i
i a i a i c
b c
i i i i i
x 0 x 0 x 0
i i i
i a i a
4 / f x dx f x dx f x dx
Cm : gia su a c b and f x kha tich tren a,b . Xét 1 phân diem P trong do diem c
dc chon làm diem chia : f d . x f d . x f d . x d x
lim f d . x lim f d . x lim f d
= = =
∆ → ∆ → ∆ →
= =
= +
< <
⇒ ∆ = ∆ + ∆ ∈∆
⇒ ∆ = ∆ +
∫ ∫ ∫
∑ ∑ ∑
∑ ∑
( ) ( ) ( )
b
i
i c
b c b
a a c
. x
f x dx f x dx f x dx
=

∆
⇒ = +
∑
∫ ∫ ∫
6
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
b b
a a
i 1 i i i 1 i i 1
*
i i 1 i
* *
i i i i i 1 i i i 1
*
i i i i
5/ f x dx f x dx ta cm tinh kha tich cua f x
if in x ,x i hvae f x f x f x f x
therfore do dó , if ki hieu là dao dong cua hàm so f x in x ,x ,
thi , f x f x , f x f x
0 . x . x because f x kha tich i
− − −
−
− −
≤

− ≤ −
ω
ω ≤ ω ω = − ω = −
⇒ ≤ ω ∆ ≤ ω ∆
∫ ∫
∑ ∑
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
i i
*
i i
b b
i i i i
a a
n a,b . x 0
. x 0, therefore f x kha tich in a,b
f c . x f c . x f x dx f x dx
⇒ ω ∆ →
⇒ ω ∆ →
∆ ≤ ∆ ⇒ ≤
∑
∑
∑ ∑
∫ ∫
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )

b b b
a a a
b
a
6 / If m f x M, x a,b m dx f x dx M dx
m b a f x dx M b a
≤ ≤ ∈ ⇒ ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
7/ Định lí trung bình 1: cho f(x) khả tích trên [a, b], and m ≤ f(x) ≤ M with x ∈ [a, b], khi
đó tồn tại c sao cho:
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
b
a
f x dx c b a , m c M if f x lien tuc in a,b
ton tai d sao cho : f x dx f d b a
= − ≤ ≤
⇒ = −
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
( )

b b
a a
1
Cm : ta có m b a f x dx M b a and dat c f x dx
b a
gia su f x lien tuc in a,b theo dinh li ve cac giá tri trung gian,
ton tai d a,b sao cho f d c; m c M
− ≤ ≤ − =
−
⇒
∈ = ≤ ≤
∫ ∫
8/ Định lí trung bình 2: Giả sử: 1/ f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a, b]
2/ m ≤ f(x) ≤ M 3/ g(x) ko đổi dấu trên [a, b] (g(x) ≥ 0 or g(x) ≤ 0)
4/ f(x) liên tục in [a, b].
7
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
b b
a a
b b b
a a a
b b b
a a a
b b b

a a a
khi dó : f x .g x dx f c g x dx a c b
Cm : gia su g x 0 m.g x f x .g x M.g x
m. g x dx f x .g x dx M. g x dx
because g x 0 g x dx 0, if g x dx 0 f x .g x dx 0
if g x dx 0 f x .g x dx/ g x dx d m d M
because f x lien tuc in a,b ton ta
= ≤ ≤
≥ ⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
≥ ⇒ ≥ = ⇒ =
> ⇒ = ≤ ≤
⇒
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
[ ]
( )
i c a,b sao cho f c d∈ =
9/ Cho
( ) ( )
[ ]
x
a
G x f t dt, x a,b= ∈
∫
If f(t) khả tích trên đoạn [a, b] thì G(x) liên tục đối với x ∈ [a, b]
Cm: cho x 1 số gia ∆x = h sao cho x + h ∈ [a, b], khi đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
x h x x h x h
a a x x
x h
x
x,x h
x,x h
h 0 h 0
h 0
G x h f t dt f t dt f t dt G x f t dt
G x h G x f t dt d.h
with m d M, m inf f t , M sub f t
lim G x h G x lim d.h 0
lim G x h G x G x lien tuc tren doan a,b
+ + +
+
+
+
→ →
→
+ = = + = +
⇒ + − = =
≤ ≤ = =

⇒ + − = = 
 
⇒ + = ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫
If f(t) liên tục tại t = x thì G(x) có đạo hàm tại x và
( ) ( )
'
G x f x=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
'
h 0 h 0
G x h G x
I have : d, because f t continuous at t x
h
f x f t f x , t x, x h ,
because m inf f t , M supf t , t x, x h
f x m M f x , because m d M
f x d f x d f x
G x h G x

G x lim lim d f x
h
→ →
+ −
= =
⇒ − ε < < + ε ∈ +
= = ∈ +
⇒ − ε ≤ ≤ ≤ + ε ≤ ≤
⇒ − ε ≤ ≤ + ε ⇔ − < ε
+ −
⇒ = = =
8
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
a
x h x
'
h 0 h 0
a a
x h x h
h 0
x x
x h
'
h 0

x
Cách 2 : Cho G x f t dt
G x h G x
1
G x lim lim f t dt f t dt
h h
1 1
lim f t dt, f x f x dt
h h
1
G x f x lim f t f x dt
h
+
→ →
+ +
→
+
→
=
 
+ −
 
⇒ = = −
 
 
= =
⇒ − = −
 
 
∫

∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
x h x h
'
h 0
x x
f x lien tuc trên doan a,b 0, f t f x voi x t
1 1
A f t f x dt .dt lim A 0 G x f x
h h
+ +
→
⇒ ∀ε > − < ε − < ε
⇒ = − < ε = ε ⇒ = ⇒ =
 
 
∫ ∫
5/ Công thức Newton – Leibnitz:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x F b F a F x= − =

∫
If f(x) continuous in [a, b], and if F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x F b F a F x= − =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
x a
a a
b
a
o 1 2 n
1 0 2 1 n n 1
i i 1
Cm : Cách 1: f t dt F x C f t dt F a C 0 C F a
f t dt F b C F b F a
Cách 2 : Lay phan hoach bat kì cua doan a,b : a x x x ... x b,
G b G a G x G x G x G x ... G x G x
Dùng cong thuc Larrange cho tung doan x ,x
−
+

= + ⇒ = + = ⇒ = −
⇒ = + = −
= < < < < =
 
− = − + − + + −   
   
 
∫ ∫
∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
o o 1 1 n 1 n 1 i i i 1
b
i
a
, ta duoc :
G b G a f c x f c x ... f c x voi c x ,x
Nhu vay G b G a dc bieu dien o dang tong tích phân cua
hàm f x trên doan a,b . Cho x 0, ta dc : G b G a f x dx
− − +
− = ∆ + ∆ + + ∆ ∈
−
∆ → − =
∫

9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
'
a
' ' '
' '
x b
a a
Cách 3: Dat G x f t .dt G x f x , Dat u x F x F a G x
u x F x G x f x f x 0 x a,b
u a 0, u x u a u c x a 0 c x,a because u x 0 x a,b
u x u a 0 G x f t .dt F x F a f t .dt F b F a
= ⇒ = = − −
⇒ = − = − = ∀ ∈
= − = − = ∈ = ∀ ∈
⇒ = = ⇒ = = − ⇒ = −
∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2
n
2 2 2

n
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
n
2 2 2
n n n
Tính gioi han : I lim ...
n 1 n 2 n n
n n n
n n n
n n n
dat I ... ...
n 1 n 2 n n n 1 n 2 n n
n n n
1 1 1 1
I ...
n
1 2 n
1 1 1
n n n
→∞
 
= + + +
 
 + + + 
= + + + = + + +
+ + + + + +
 
 
 

= + + +
 
     
 
+ + +
     
 
     
 
( )
[ ] [ ]
2
i o 1 i
1
1
n
0
2
n
0
1
Xét hàm f x continuous in 0,1 , do dó kha tich tren 0,1
1 x
1 0 1 1 i
dùng phan diem deu x và các diem chia : x 0, x ,...,x
n n n n
dx
lim I I arctan x
4
1 x

→∞
=
+
−
∆ = = = = =
π
⇒ = = = =
+
∫
6/ Tính gần đúng tích phân xác định:
a/ Đa thức nội suy:
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 n n
n
n n 1 o n
n i i i
Cho truoc n 1 giá tri cua hàm f x trong doan a,b :
f x y , f x y ,..., f x y
Da thuc bac n : P x a .x ... a .x a , a 0 sao cho :
P x f x y
+
= = =
= + + + ≠
= =
Đa thức
( )

n
P x
được gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).
Định lí: nếu tồn tại đa thức nội suy
( )
n
P x
của hàm f(x) thì đa thức đó là duy nhất.
10
Cm: Giả sử có 2 đa thức
( ) ( )
n n
P x , Q x
cùng là đa thức nội suy của f(x).Lúc đó theo định
nghĩa, ta có:
( ) ( )
n i i n i i
P x y , Q x y= =
⇒ hiệu
( ) ( )
n n
P x Q x−
là 1 đa thức có bậc ≤ n và triệt tiêu tại
n + 1 giá trị khác nhau
( ) ( )
( )
i n i n i i i
x , i 1,n 1 vì P x Q x y y 0= + − = − =
. Do vậy đa thức
hiệu

( ) ( )
n n
P x Q x−
phải bằng đa thức 0,
( ) ( )
n n
P x Q x⇒ =
Đa thức nội suy Larrange:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0 1 i 1 i 1 n
i
i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n
i i j
2 0 2 1 2 2 n
1 2
1 0 1 2 1 n
n

n i i n i i
i 0
n
x x x x ... x x x x ... x x
Put p x
x x x x ... x x x x ... x x
1 khi i j
p x là da thuc bac n và : p x
0 khi i j
x x x x x x ... x x
p x 0
x x x x ... x x
Put L x y .p x L x y
L x dc goi là da
− +
− +
=
− − − − −
=
− − − − −
=

⇒ =

≠

− − − −
= =
− − −
= ⇒ =

∑
thuc noi suy Larrange
The second putting
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 i 1 i 1 n
i
i 1 i 2 i i 1 i i 1 i n
i i j
n
n i i n i i
i 0
n
x x x x ... x x x x ... x x
Put p x
x x x x ... x x x x ... x x
1 khi i j
p x là da thuc bac n và : p x
0 khi i j
Lap da thuc L x y .p x L x y
L x dc goi là da thuc noi suy Larrange
− +
− +
=
− − − − −

=
− − − − −
=

⇒ =

≠

= ⇒ =
∑
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 1
1 1 1 2 2
1 2 2 1

2 1 1 2 2 3 3
2 3
1
1 2 o 3
1 3
1 2
1 3
2 1 2 3 3 1 3 2
Noi suy bac nhat n 1 noi suy tuyen tính :
y x x y x x
L x y .p x y .p x
x x x x
Noi suy bac 2 : L x y .p x y .p x y .p x
x x x x
trong dó : p x ,
x x x x
x x x x
x x x x
p x , p x
x x x x x x x x
=
− −
= + = +
− −
= + +
− −
=
− −
− −
− −

= =
− − − −
Tính gần đúng tích phân xác định:
11
Công thức hình thang:
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
1 2 i 1 n i i 1 i
x
x x
b
3
2 n
a x x x
1 2 n 1
Tính I f x dx f x xác dinh và lien tuc trên a,b
Dùng he phân diem deu, chia a,b
thành n doan con bang nhau boi các diem chia :
b a
x a, x a h,..., x a i.h,...,x b, h x x x
n
I f x dx f x dx f x dx ... f x dx
D
+ +
−
=

−
= = + = + = = ∆ = − =
⇒ = = + + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 n 1 n
1 2 1 1 1 2 2
e tính I, ta thay f x bang các da thuc noi suy bac nhat Larrange trong các doan
x , x , x , x ,... x , x ,
on interval x ,x : f x L x y .p x y .p x
−
≈ = +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
1 2
1 2 2 1
1 1 2 1
1 2 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 2 2 1 2
2 1

x x x x
p x , p x ,
x x x x
doi bien : x x h.t, khi x x t 0, khi x x x h t 1
x h.t x x h.t x h
dx h.dt, p x t 1 ,
h h
x x x h.t x
p x t L x y .p x y .p x y 1 t y .t
x x h
− −
= =
− −
= + = ⇒ = = = + ⇒ =
+ − + − −
= = = = − −
− −
− + −
= = = ⇒ = + = − +
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
1
2 2
1 1 2
x x 0
1 1
1 1

1 2
0 0
1
1
2
2
1 2
o 1
0
0
f x dx L x dx h y 1 t y .t dt
h y 1 t d 1 t y .t.dt
1 t h y y
t
h y y
2 2 2
⇒ ≈ = − +
 
 
 
 
= − − − +
 
 
 
 
 
− +
 
 

= − + =
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
3
n
2 3
n 1 n
x x
2 n 1
b
n 1
1 n 1 n
2 3 n 1 i
i 2
a

h y y
h y y
Tuong tu: f x dx ,..., f x dx
2 2
y y b a y y
I f x dx h y y ... y y
2 n 2
−
−
−
−
=
+
+
= =
 
+ − +
 
⇒ = ≈ + + + + = +
 
 
 
 
 
∫ ∫
∑
∫
12
Script tính gần đúng tích phân xác định
( )

b
2
a
sin x .dx
∫
theo công thức hình thang:
a = input('nhap vao can duoi a: ');
b = input('nhap vao can tren b: ');
x = a:10^(-3):b;
y = sin(x.^2);
y1 = 0;
for i = 2 : 1 : length(x) - 1
y1 = y1+y(i);
end
I = ((b - a)/length(x))*( y1 + y(1)/2 + y(length(x))/2)
Công thức Simpson:
Khi xây dựng công thức hàm thang chúng ta đã xấp xỉ f(x) bằng các đa thức nội suy bậc
nhất, bây giờ ta sẽ xấp xỉ f(x) bằng các đa thức nội suy bậc 2, do đó trong mỗi khoảng chia
cần 3 nút, vì thế phải chia đoạn [a, b] thành 2n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 i 2n 1 i 1 i
x x
x
b
3 7
2n 1
a x x x
1 5 2n 1

x
3
x
1
2 1 1 2 2 3 3
b a
a x x x ... x ... x b, x x i.h, h
2n
I f x .dx f x .dx f x .dx ... f x .dx
De tính f x .dx ta xap xi f x bang da thuc noi suy Larrange bac 2 :
L x y .p x y .p x y .p x ,
+ +
+
−
−
= < < < < < < = = + =
⇒ = = + + +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 1 3
1 2
1 2 1 3 2 1 2 3
x x
3 3
1 2
3 2
3 1 3 2
x x
1 1
1 1
3 1 1 2 3
x x x x x x x x
p x , p x ,
x x x x x x x x
x x x x
p x , f x .dx L x .dx
x x x x
make the change of variable x x h.t dx h.dt, when x x t 0,
when x x x 2h t 2, and x x h.t x h h.t x 2h
− − − −
= =
− − − −
− −
= ≈
− −

= + ⇒ = = ⇒ =
= = + ⇒ = = + = − + = −
∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3
2 3
1 2 3
1 2 1 3
h.t
x x h t 1 , x x h t 2
x x x x
t 1 t 2 t t 1
p x , p x t t 2 , p x
x x x x 2 2
+
⇒ − = − − = −
− −
− − −
= = = − − =
− −
13
( ) ( )

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x x
2
3 3
1 3
2 2
x x 0
1 1
2 2
2
1 3
2
2
0
2 2 2
3 2 3 3 2
1 2 3
2
3
1
2
0 0 0
y t 1 t 2 y .t t 1
f x .dx L x .dx h y .t t 2 dt

2 2
y t 3t 2 y . t t
h y . t 2t dt
2 2
h y 4y y
h.y
h.y
t 3t t t t
. 2t h.y t .
2 3 2 3 2 3 2 3
− − −
 
⇒ ≈ = − − +
 
 
 
− + −
 
= − − +
 
 
 
     
+ +
= − + − − + − =
     
     
     
∫ ∫ ∫
∫

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
x
5
3 4 5
x
3
x
2n 1
2n 1 2n 2n 1
x
2n 1
b
1 2n 1 2 4 2n 3 5 2n 1
a
h y 4y y
Similiarly: f x .dx ,...,
3
h y 4y y
f x .dx
3
h y y 4 y y ... y 2 y y ... y
I f x .dx
3
+

− +
−
+ −
+ +
≈
+ +
≈
+ + + + + + + + +
 
 
⇒ = ≈
∫
∫
∫
( )
( ) ( )
( )
b
1 2n 2 4 2n 2 3 5 2n 1
a
h y y 4 y y ... y 2 y y ... y
I f x .dx
3
− −
 
+ + + + + + + + +
 
⇒ = ≈
∫
Script tính gần đúng tích phân xác định

( )
b
2
a
sin x .dx
∫
theo công thức Simson
a = input('nhap vao can duoi a: ');
b = input('nhap vao can tren b: ');
x = a:10^(-3):b;
y = sin(x.^2);
y1 = 0; y2 = 0;
for i = 2 : 2 : length(x) - 2
y1 = y1+y(i);
end
for j = 3 : 2 : length(x) - 1
y2 = y2+y(j);
end
I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x)))
14
7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định:
7.1/ Tính diện tích hình phẳng:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
1 2 1 2
a
Dien tích hình thang cong gioi han boi các duong thang :

y 0, y f x , x a, x b là :S f x dx
Truong hop hình phang gioi han boi các duong :
y f x , y f x , x a, x b S f x f x dx
= = = = =
= = = = ⇒ = −
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
'
t
2
'
1 1 1 2
t
1
'
t
4
'
2 3 2 4
t
3
Truong hop duong cong cho duoi dang tham so :
x m t , y n t , dat y f x b t , dx m t dt
x a m t , x b m t S m t .n t dt
dat x g y m t , dy n t dt,

y a n t , y b n t S n t .m t dt
= = = = =
= = = = ⇒ =
= = =
= = = = ⇒ =
∫
∫
(
)
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
1 2
y
a a a
2 2 2 2 2 2
2
a y a a
1
x y
Ex : Calculate dien tích hình elip : 1
a b
b a x
b a x
y y

a
a
b a x b a x
y , y , a x 0 a x a
a a
b a x b a x b a x
S dx dy dx 2 dx
a a a
− − −
+ =
−
± −
⇒ = ⇔ =
− − −
⇒ = = − ≥ ⇔ − ≤ ≤
 
− − − −
 
⇒ = = − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
( )
a
2 2
2 2
0
a
2 2 2
0

b a x 4b
because y x là hàm chan theo x S a x dx
a a
4b a x x a x
arcsin 2ab.arcsin1 ab
a 2 a 2
−
= ⇒ = −
 
−
 
= + = = π
 
 
∫
15
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
Tinh calculate a x dx a x a
x
Dat x a sin t dx a cos tdt t arcsin
a
Vay so : a x dx a 1 sin t.a cos tdt a cos tdt
1 cos2t t sin2t
a dt a C

2 2 4
a x 2a sin t.cost a x a sin t. 1 sin t
arcsin C arcsin C
2 a 4 2 a 2
a
ar
2
− − ≤ ≤
= ⇒ = ⇒ =
− = − =
+
 
= = + +
 
 
−
= + + = + +
=
∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2
2 2 2
2
x x
a . 1
a
x a x x a x
a

csin C arcsin C
a 2 2 a 2
−
−
+ + = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a
a 0
* I f x .dx 2 f x .dx with f x là hàm chan : f x f x
−
= = = −
∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
a
0 a 0
a 0 a
0 a a a
1
a 0 0 0
, x a
* I f x .dx with f x là hàm chan : f x f x
I f x .dx f x .dx trong f x .dx dat x t dx dt t a
I f t .dt f t .dt f x .dx I 2 f x .dx f x f t f t
−
− −
= −

= = −
= + = − ⇒ = − ⇒ =
⇒ = − − = = ⇒ = = − =
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
16

( ) ( ) ( ) ( )
a
a
* I f x .dx 0 with f x là hàm le : f x f x
−
= = = − −
∫

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
a
0 a
a 0
0
a
0 a a
1
a 0 0

a a
0 0
, x a
* I f x .dx with f x là hàm le : f x f x
I f x .dx f x .dx
trong f x .dx dat x t dx dt t a
I f t .dt f t .dt f x .dx
I f x .dx f x .dx 0 f x f t f t
−
−
−
= −
= = − −
= +
= − ⇒ = − ⇒ =
⇒ = − − = − = −
⇒ = − + = = − = −
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
2 2 2
2
0 0 0
2 2
0 0 0
Cách 2 : Calculate S theo cách bieu dien pt tham so cua elip :
x a.cos t

0 t 2 S y.dx b.sin t. a.sin t dt ab sin t.dt
y b.sin t
1 cos 2t 1 cos2t 1 cos2t 1 cos 2t
S ab .dt ab .dt .dt 2ab .dt
2 2 2 2
be
π π π
π π π π
π
=

≤ ≤ π ⇒ = = − =

=

 
− − − −
 
= = + =
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
0
cause cos2t là hàm tuan hoan chu kì : cos 2 t cost
2t sin2t
S 2ab ab
4

π
π + π =
 
 
−
 
= = π
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
T a a T T
0 0 a a T
T
3
a T
0 a a a
3
a 0 0 0
T a T
0 a
Ta có : f x dx f x dx f x dx f x dx 1 f a f a T
x a T t a
Xet I f x dx Dat t x T dt dx
x T t 0
I f t T dt f t T dt f t dt f x dx 2
The (2) vào (1) ta dc f x dx f x dx
+

+
+
+
= + + = +
= + ⇒ =
= = − ⇒ =
= ⇒ =
= + = − + = − = −
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
17
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0
2 2
0 0
f cos t dt f cos t dt f cos t dt 2 f cos t dt
because f cos t là hàm chan f cos t f cos t
f sin t dt f sin t dt f sin t dt 0 with f là hàm le
π π−π π π
−π −π
π π−π π
−π −π

= = =
= −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
2 2
2
1 2 1 2
y
2p 2p
2
2
0 y 0
1
2p
1
3
3 2 2
1
2
0
Calculate area bounded by 2 curves : y 2px, x 2py
x 0
x
y 2p.x, y , y y
x 2p
2p
x
S dx dy 2p.x dx

2p
2p
2 x 2.4p 4p
2p.x
3 6p 3 6 3
+
= =
=

⇒ = = = ⇔

=

 
⇒ = = −
 
 
 
 
 
= − = − =
 
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2

2 2 2
0 0 0
2
2
2 2 2
0
0
Calculate area figure limited by cycloide line :
x a t sin t
0 t 2 và truc hoành Ox
y a 1 cos t
S y.dx a 1 cos t .dt a cos t 1 2cos t .dt
cos2t 1 3t sin2t
a 1 2cos t .dt a 2sin t 3 a
2 2 4
π π π
π
π
= −


≤ ≤ π

= −


= = − = + −
+
   
= + − = − + = π

   
   
∫ ∫ ∫
∫
7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực
Giả sử đường cong của hình phẳng cho trong tọa độ cực. Để tính diện tích của hình quạt
cong giới hạn bởi 2 tia φ = a, φ = b (a < b) và cung
»
AB
của đường cong r = r(φ), ta chia
góc
·
AOB
thành n góc nhỏ, kí hiệu là
i
, i 1,n∆ϕ = , như thế hình quạt
¼
AOB
được chia
thành n hình quạt nhỏ có diện tích
i
S∆
xấp xỉ bằng diện tích hình quạt tròn
( )
2
i i
i
r .
S
2

ϕ ∆ϕ
∆ ≈
⇒ diện tích hình quạt cong AOB
( ) ( )
2 2b
n
i i
n
i 1
a
r r d
lim
2 2
→+∞
=
ϕ ∆ϕ ϕ ϕ
= =
∑
∫
18
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
0
2 2
2 2 2
2 2 2
0 0
2

Ex :1/ Calculate area hình tròn bán kính R
1
Pt duong tròn bán kính R trong toa do cuc là r R S R .d .R
2
2 / Tính dien tích gioi han boi duong hình tim : r a 1 cos , a 0
a a a
S 1 cos d 1 cos d 1 cos d
2 2 2
2a
2
π
π π−π π
−π −π
= = ϕ = π
= + ϕ >
= + ϕ ϕ = + ϕ ϕ = + ϕ ϕ
=
∫
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
0
2
2
0
cos 2cos 1 d
3 sin 2 3 a
Because cos là hàm chan S a 2sin
2 4 2

π
π
ϕ + ϕ + ϕ
ϕ ϕ π
 
ϕ = + ϕ + =
 
 
∫
7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],
»
AB
là đồ thị của
f(x).
Lấy trên cung
»
AB
những điểm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
o o o 1 1 1 n n n o n
M x ,f x , M x ,f x ,..., M x ,f x with x a, x b= =
.
Ta gọi độ dài s của cung
»

AB
là giới hạn của độ dài đường gấp khúc
o 1 n
M M ...M khi n → ∞
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
i i 1 i i 1
a 0
i 0
i i 1 i 1 i i 1 i i i
2 2
i i 1 i i
' '2
i i 1 i i i i i i 1 i i 1 i i
b
n
'2 '2
i i
a 0
i 0
a
dat a M M s lim M M ,
M M x x , f x f x x , y
M M x y . Theo cong thuc Larrange :
y f x f x f c . x x c x M M 1 f c . x

s lim 1 f c . x 1 f x .dx
+ +
→
=
+ + +
+
+ + +
→
=
= ⇒ =
= − − = ∆ ∆
⇒ = ∆ + ∆
∆ = − = ∆ ≤ ≤ ⇒ = + ∆
⇒ = + ∆ = +
∑
∑
uuuuuuuur
∫
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
b
'
' ' '2 '2
'
a
Truong hop duong cong cho duoi dang tham so : x x t , y y t , t a,b

y t
chi can thay y x , dx x t .dt s x t y t .dt
x t
= = ∈
= = ⇒ = +
∫
19
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' ' '
b
'2 '2 2 '2 2 '2
a
Truong hop duong cong cho trong he toa do cuc :
r f , a,b , x r .cos , y r .sin ,
coi x, y dc bieu dien theo tham so ta dc :
x r .cos r .sin , y r .sin r .cos
x y r r s r r .d
= ϕ ϕ∈ = ϕ ϕ = ϕ ϕ
ϕ
ϕ = ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ ϕ
⇒ ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ⇒ = ϕ + ϕ ϕ
∫
( )
2
2
x x x

'2 2 2
0 0 0
x
2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2
2 2 2
x
Ex : Calculate do dài cung parabol : y , p 0
2p
lay tu goc toa do den diem M có hoành do x :
x 1
s 1 y x .dx 1 .dx x p .dx
p p
1
x. x p p .ln x x p
2p
1
x. x p p .ln x x p ln p
2p
1
x. x p p .ln
2p
= >
 
= + = + = +
 
 
 
= + + + +

 
 
 
= + + + + −
 
 
= + +
∫ ∫ ∫
2 2
x x p
p
 
+ +
 
 
 
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
'
'

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
dx
* set x a t x x a t x
x a
t a
t 2t.x x x ,
2t
t a .2t 2t t a
4t 2t 2a t a
dx dt dt dt
4t 2t
2t
t a
dt
dx dt
2t
ln t C ln x x a C
t
t a
x a
t
2t
+ = − ⇒ + = −

+
−
= − + ⇒ =
− − −
− + +
= = =
+
⇒ = = = + = + + +
−
+
−
∫
∫ ∫ ∫
20
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x.dx
u x a
* I x a dx dat du , v x
dv dx
x a

x .dx x a a
I x. x a x. x a dx
x a x a
a .dx
I x. x a x a dx x. x a I a .ln x x a
x a
2I x. x a a .ln x x a
1
I x. x a a .ln x x a
2


= +
= + ⇒ = =

=

+

+ −
⇒ = + − = + −
+ +
= + − + + = + − + + +
+
⇒ = + + + +

⇒ = + + + +


∫

∫ ∫
∫ ∫



( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
'2 '2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
2
2
0
0 0
* Tính do dài duong cycloide : x a t sin t , y a 1 cos t , 0 t 2
s x t y t .dt a 1 cost sin t.dt
2t
1 cos
2
a 2 1 cost .dt 2a .dt
2
t t t
2a sin .dt 2a sin .dt 4a cos 8a
2 2 2
π π

π π
π π
π
= − = − ≤ ≤ π
= + = − +
 
−
 
 
= − =
= = = − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
7.4/ Tính thể tích vật thể
Cho 1 vật thể A giới hạn bởi 1 mặt cong và 2 mặt phẳng x = a, x = b, a < b
Giả sử ta biết diện tích S thiết diện của vật thể trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S
= S(x), trong đó x là hoành độ giao điểm mặt phẳng cắt trục Ox, S(x) liên tục trong đoạn
[a, b], a ≤ x ≤ b . Ta sẽ định nghĩa thể tích vật thể trên. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ
bởi các điểm chia:
o 1 n
a x x ... x b= < < < =
Qua mỗi điểm chia
i
x
ta dựng 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật
thể A thành n vật thể nhỏ. Trên mỗi đoạn
[ ]
i i 1 i
x ,x lay 1 diem c

+
, dựng hình hộp giới hạn
bởi các mặt phẳng
i i 1
x x , x x
+
= =
.
Thể tích của hình hộp đó là
( )
i i i i 1 i
S c . x , x x x
+
∆ ∆ = −
⇒ thể tích của vật thể A là:
( ) ( )
b
n
A i i
n
i 1
a
V lim S c . x S x .dx
→+∞
=
= ∆ =
∑
∫
21
[ ]

2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y z
Ex : Tính the tích cua elipxoit : 1
a b c
Cat elipxoit boi 1 mat phang vuong góc voi truc Ox
tai diem có hoành do x a,a
y z x
se dc thiet dien là 1 elip có pt : 1
b c a
+ + =
∈ −
+ = −
( )
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a
a a
2 3
2 2 2
2 2 2
a 0

0
y z
hay 1
b 1 x /a c 1 x /a
Theo VD 7.1 dien tích elip dó là : S x bc 1 x /a
x 2 bc 2 bc x 4 abc
V bc 1 dx a x dx a .x
3 3
a a a
−
+ =
   
− −
   
   
= π −
   
π π π
⇒ = π − = − = − =
   
   
   
∫ ∫
7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay
Giả sử phải tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi
đường y = f(x), x ∈ [a, b], và trục Ox khi quay nó quanh trục Ox.
Giả sử f(x) liên tục trong [a, b], khi đó mọi thiết diện vuông góc trục Ox đều là mặt tròn có
tâm nằm trên Ox và có bán kính là y = f(x), nên diện tích f(x) của thiết diện ứng với hoành
độ x là:
( ) ( ) ( )

b
2 2 2
a
S x .y .f x V f x .dx= π = π ⇒ = π
∫
Tương tự, nếu hình thang cong CcdD giới hạn bởi đường x = g(y), y ∈ [c, d], trục Oy, thì
thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong khi cho nó quay quanh trục Oy được tính
theo công thức:
( )
d
2
c
V g y .dy= π
∫
22
( )
( ) ( )
2 2
2 2
a
2
2 2 2 2
2
a
a a
2 2
2 2 2 2
2 2
a 0
a

2 3 2
2
2
0
Ex : Tính the tích cua vat the tròn xoay tao boi elip :
x y
1 khi cho elip quay quanh truc Ox
a b
b
Ta có : y a x V y .dx
a
b 2 b
a x .dx a x .dx
a a
2 b x 4 ab
a .x
3 3
a
−
−
+ =
= − ⇒ = π
π π
= − = −
 
π π
= − =
 
 
 

∫
∫ ∫
7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay
Xét cung
»
AB
, đồ thị của hàm số y = f(x), x ∈ [a, b], với f(x),
( )
'
f x
liên tục trong [a, b],
cho cung
»
AB
quay quanh trục Ox và tính diện tích mặt tròn xoay này.
Lấy trên cung
»
AB
những điểm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
o o o 1 1 1 n n n o 1 2 n
M x ,f x , M x ,f x ,..., M x ,f x , a x x x ... x b= < < < < =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )

i i 1
2 2
i i 1 i i 1 i i 1 i i
'
i i 1 i i i i i i 1
'2
i i 1 i i
khi quay quanh Ox, dây cung M M
sinh ra 1 mat nón cut có dien tích xung quanh là :
.M M f x f x , trong dó : M M x y .
Theo cong thuc Larrange :
y f x f x f c . x x c x
M M 1 f c . x
+
+ + +
+ +
+
π + = ∆ + ∆
∆ = − = ∆ ≤ ≤
⇒ = + ∆

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
'2
i i i 1 i
n
i 1

b
n
'2 '2
i i i
n
i 1
a
i i i 1
Do dó diên tích cua mat tròn xoay là :
S lim 1 f c . f x f x . x
lim 2 . f c 1 f c . x 2 f x 1 f x .dx
2 f c f x f x
+
→+∞
=
→+∞
=
+
= π + + ∆
= π + ∆ = π +
≈ +
∑
∑
∫
23
Trường hợp đường cong có pt x = g(y), g(y) liên tục trong [c, d] thì điện tích mặt tròn xoay
sinh ra bởi cung của đồ thị x = g(y) quay quanh trục Oy là:
( ) ( )
d
'2

c
S 2 g y . 1 g y .dy= π +
∫

Area of vòng xuyến bằng tổng diện tích sinh bởi 2 nửa đường tròn khi quay quanh Ox.
Ex: Calculate area of hình vòng xuyến sinh bởi đường tròn
( ) ( )
2
2 2
x y b a b a+ − = >

quay quanh trục Ox
Nửa đường tròn trên có pt:
2 2
1
y b a x= + −
Và nửa đường tròn dưới có pt:
2 2
2
y b a x= − −
( )
( ) ( )
2
2
'
2 2
a a
2
2
' 2 2

1 1 1
2 2
a a
a a a
2
2 2
2 2
2 2
a a a
x
Trong ca 2 truong hop ta có : y
a x
x
S 2 y x . 1 y x 2 b a x . 1 .dx
a x
a dx
2 b a x . .dx 2 ab 2 a dx
a x
a x
− −
− − −
=
−
 
 
⇒ = π + = π + − +
 
 
 
−

 
= π + − = π + π
 
 
−
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
a a
2
2
' 2 2
2 2 2
2 2
a a
a a
2 2
a a
a a
1 2
2 2 2 2
a 0
a
2
2 2
0
x
S 2 y x . 1 y x 2 b a x . 1 .dx

a x
dx
2 ab 2 a dx
a x
dx dx
S S S 4 ab 8 ab
a x a x
1 x
because f x là hàm chan S 8 ab. arcsin 4 ab
a
a x
− −
− −
−
 
 
= π + = π − − +
 
 
 
−
= π − π
−
⇒ = + = π = π
− −
 
 
 
= ⇒ = π = π
 

 
 
−
 
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân
a/ Sơ đồ tích phân:
giả sử cần tính 1 đại lượng A(x) phụ thuộc x, x biến thiên trong đoạn [a, b], ngoài ra A(x)
thỏa tính chất cộng:
nếu chia [a, b] thành 2 khoảng [a, c] và [c, b]
thì A(x) trên đoạn [a, b] = A(x) trên đoạn [a, c] + A(x) trên đoạn [c, b]
Sơ đồ tích phân: chia đoạn [a, b] thành n phần bởi phân điểm:
o 1 2 n
a x x x ... x b= < < < < =
24
Phân tích A thành tổng của n số hạng:
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
n
i i i i 1 i i i 1 i
i 1
b
n
i i 1 i
i 1
a
A A , A f c x x c x x

A f c x x f x .dx
+ +
=
+
=
= ≈ − ∈ −
⇒ ≈ − =
∑
∑
∫
b/ Sơ đồ vi phân:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i
b
a
Neu có A f c . x A f x . x o x
dA f x .dx dA là vi phân cua A A f x .dx
∆ ≈ ∆ ⇒ ∆ = ∆ + ∆
⇒ = ⇒ =
∫
Ex: Lực đẩy giữa 2 điện tích cùng dấu
1 2
e and e
đặt cách nha 1 khoảng r dc cho bởi công
thức:
1 2
2
e .e
F

r
=
Giả sử điện tích
1
e
dc đặt ở gốc tọa độ O, hãy tính công của lực F sinh ra do điện tích
2
e

di chuyển từ điểm
1
M
(có hoành độ a) đến điểm
2
M
(có hoành độ b) trên Ox.
Gọi A(x) là công của lực đẩy F sinh ra do
2
e
di chuyển từ điểm
1
M
có hoành độ x đến
điểm M có hoành độ x + dx sao cho dx rất bé. Vì dx bé nên có thể coi lực đẩy F trong
đoạn [x, x + dx] ko đổi
1 2 1 2
2 2
e .e e .e
F , A F.x dA F.dx .dx
x x

= = ⇒ = =
Vậy công của lực đẩy F sinh ra khi
2
e
di chuyển từ điểm
1
M
đến
2
M
là:
b b
b
1 2
1 2 1 2
2
a
a a
e .e
1 1 1
A dA .dx e .e . e .e
x a b
x
   
= = = − = −
   
   
∫ ∫
9/ Tích phân suy rộng
9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn:

Nếu tồn tại
( )
b
b
a
lim f x .dx
→+∞
∫
thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x)
trong khoảng [a, +∞]
Khi đó ta nói tích phân suy rộng hội tụ, và kí hiệu là:
( ) ( )
b
b
a a
lim f x .dx f x .dx
+∞
→+∞
=
∫ ∫
Nếu ko tồn tại giới hạn thì ta nói tích phân phân kì
Tương tự:
25