Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ ppsx

Ch ơng 7: chuỗi số chuỗi luỹ thừa
7.1. chuỗi số
7.1.1. Định nghĩa chuỗi số.
Định nghĩa 7.1. Dãy số là một tập hợp gồm vô hạn các số thực đợc sắp
xếp theo một quy luật nào đó.
Thông thờng, ngời ta ký hiệu dãy số bởi:
{u
n
} = u
1
, u
2
, u
3
, , u
n
,
trong đó u
k
đợc gọi là số hạng thứ k của dãy số (k =
,+1
), u
n
đợc gọi là số
hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 7.1.
(i) Tập hợp: {1, 3, 5, 7, 9} không phải là dãy số vì nó chỉ có 5 số hạng.
(ii) Tập hợp: {1, 3, 5, 7, 9, } là dãy số vì nó có vô hạn số thực và đợc sắp
xếp theo quy luật số đứng sau bằng số đứng ngay trớc nó cộng với 2. Dãy
số này đợc viết gọn nh sau: {2n + 1}.
Định nghĩa 7.2. Cho dãy số {u

n
}. Tổng tất cả các số hạng của dãy số trên
(ký hiệu là
n
n
u
+
=

1
) đợc gọi là một chuỗi số. Vậy:
n
n
u
+
=

1
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ + u
n
+
7.1.2. Các loại chuỗi số.
Chuỗi số dơng là một chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều dơng.
Chuỗi số âm là một chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều âm.

Chuỗi số đan dấu là một chuỗi mà hai số hạng bất kỳ đứng cạnh
nhau thì có dấu ngợc nhau.
1
Một chuỗi số không phải là chuỗi số dơng, không phải là chuỗi số âm,
không phải là chuỗi số đan dấu thì đợc gọi là chuỗi số bất kỳ.
Ví dụ 7.2.
(i)
n
n
+
=

1
2
,
( )
n
n
+
=


1
3 1
là các chuỗi số dơng.
(ii)
( )
n
n
+

+
=


2 1
1
1
,
( )
n
n
+
=


1
1 2
là các chuỗi số âm.
(iii)
( )
n
n
+
=


1
1
,
( )

n
n
n
+
+
=


1
2
1
1
là các chuỗi số đan dấu.
(iiii)
( )
n
n
cosn
+
+
=


2 1
1
1
,
n
sinn
+

=

1
là các chuỗi số bất kỳ.
7.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số.
Cho chuỗi số
n
n
u
+
=

1
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ + u
n
+ Ta thành lập dãy các tổng
riêng nh sau: S
1
= u
1
, S
2
= u
1

+ u
2
, S
3
= u
1
+ u
2
+ u
3
, , S
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ +
u
n
,
Định nghĩa 7.3. Nếu chuỗi số
n
n
u
+
=

1

có
n
n
lim S
+
tồn tại, hữu hạn. Thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
đợc gọi là hội tụ. Khi đó,
n
n
u
+
=

1
=
n
n
lim S
+
=I,
I đợc gọi là tổng của chuỗi số. Trong trờng hợp ngợc lại, chuỗi
n
n

u
+
=

1
đợc gọi
là phân kỳ.
Nhận xét 7.1. Chuỗi
n
n
u
+
=

1
phân kỳ khi
n
n
lim S
+
không tồn tại hoặc tồn tại
nhng là số vô hạn.
2
Ví dụ 7.3. (i) Chuỗi
n
n
+
=

1

1
2
hội tụ và có tổng = 1 vì:
S
n
=
n n
+ + + =
1 1 1 1
1
2 4
2 2

n
n
n n
lim S lim
+ +

= =
ữ

1
1 1
2
.
(ii) Chuỗi
n
n
+

=

1
phân kỳ vì:
S
n
=
( )
n n
n
+
+ + + =
1
1 2
2

( )
n
n n
n n
lim S lim
+ +
+
= = +
1
2
.
(iii) Chuỗi
( )
n

n
+
=


1
1
phân kỳ vì:
S
n
=
( )
n
khi n k

khi n k
= +

+ + + =

=

1 2 1
1 1 1 1
0 2
(k nguyên, dơng).

n
n
lim S

+
không tồn tại.
Tính chất 7.1.
(i) Nếu
n
n
u
+
=

1
và
n
n
v
+
=

1
là các chuỗi hội tụ thì
( )
n n
n
u v
+
=


1
cũng hội tụ.

(ii) Nếu nhân tất cả các số hạng của một chuỗi số với một số khác không thì
không làm thay đổi sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó.
(iii) Nếu thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của chuỗi số thì
không làm thay đổi sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó.
Định lý 7.1 (Tiêu chuẩn Cauchy để một chuỗi số hội tụ). Điều kiện cần và
đủ để chuỗi số
n
n
u
+
=

1
hội tụ là: ( >0),(N

> 0: m,n > N

) S
m

S
n
< .
3
Hệ quả 7.1.1. Điều kiện cần để chuỗi số
n
n
u
+
=

1
hội tụ là
n
n
lim u
+
=
0
.
Chứng minh. Theo định lý 7.1, vì chuỗi số
n
n
u
+
=

1
hội tụ nên:
( >0),(N

> 0: m = n

1,n > N

) S
m

S
n

< .
( >0),(N

> 0: n

1 > N

) u
n
< .

n
n
lim u
+
= 0
. (đpcm)
Nhận xét 7.2. Nếu một chuỗi số không thoả mãn điều kiện
n
n
lim u
+
= 0
(nghĩa là giới hạn trên không tồn tại hoặc tồn tại nhng là số khác 0) thì
chuỗi đó phân kỳ. Tuy nhiên, hệ quả 7.1.1 chỉ là điều kiện cần nên một
chuỗi số thoả mãn điều kiện
n
n
lim u
+

= 0
, thì cha kết luận đợc chuỗi số đó
hội tụ hay phân kỳ.
Ví dụ 7.4.
(i) Chuỗi
n
n
n
+
=
+


1
1
2 1
phân kỳ vì:
n
n n
n
lim u lim
n
+ +
+
= =

1 1
0
2 1 2
.

(ii) Chuỗi
( )
n
n
+
=


1
1
phân kỳ vì:
n
n
lim u
+
không tồn tại.
Chú ý 7.1. Chúng ta công nhận các kết quả sau:
(i) Chuỗi số
n
n
q
+
=

1
(q là hằng số) đợc gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này
hội tụ khi q< 1 và phân kỳ khi q 1.
(ii) Chuỗi số
s
n

n
+
=

1
1
(s là hằng số) đợc gọi là chuỗi Dirichlet. Chuỗi
này hội tụ khi s > 1 và phân kỳ khi s 1.
Nhận xét 7.3. Đối với chuỗi số Dirichlet và chuỗi số nhân chúng ta chỉ cần
nhìn vào s hoặc q là có thể kết luận đợc chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.
Chẳng hạn:
4
(i)
n
n
+
=

1
2
là chuỗi số phân kỳ vì nó là chuỗi số nhân có q = 2 > 1.
(ii)
n
n
+
=

1
1
3

là chuỗi số hội tụ vì nó là chuỗi số nhân có q =
1
3
< 1.
(iii)
n
n
+
=

3
1
1
là chuỗi số phân kỳ vì nó là chuỗi số Dirichlet có s =
1
3
< 1.
(iiii)
n
n
+
=

2
1
1
là chuỗi số hội tụ vì nó là chuỗi số Dirichlet có s = 2 > 1.
7.2. Sự hội tụ của chuỗi số dơng
Nhắc lại: Chuỗi số
n

n
u
+
=

1
là chuỗi số dơng nếu u
n
> 0 (n =1, 2, 3, ).
Trong phần này chúng ta đa ra các điều kiện đủ để một chuỗi số dơng
hội tụ.
7.2.1. Dấu hiệu so sánh 1.
Định lý 7.2. Cho hai chuỗi số dơng
n
n
u
+
=

1
,
n
n
v
+
=

1
; tồn tại số c > 0 và tồn tại
số N nguyên dơng sao cho:

u
n
c.v
n
(n > N).
Khi đó, (i) Nếu chuỗi số
n
n
v
+
=

1
hội tụ thì chuỗi số
n
n
u
+
=

1
hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi số
n
n
u
+
=

1

phân kỳ thì chuỗi số
n
n
v
+
=

1
phân kỳ.
(Kết quả trên vẫn đúng cho chuỗi số không âm).
Nhận xét 7.4. Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 1 xét sự hội tụ của một
chuỗi số ta phải tiến hành qua các bớc nh sau:
B ớc 1: Kiểm tra tính dơng của chuỗi số đã cho.
5
B ớc 2: Đa ra chuỗi số thứ hai
n
n
v
+
=

1
thoả mãn các điều kiện: là chuỗi
số dơng ; đã biết hội tụ hay phân kỳ rồi; so sánh đợc với chuỗi số đã cho.
Để đa ra chuỗi số thứ hai ta phải dựa vào chuỗi số đã cho và chuỗi số
nhân (hoặc chuỗi số Dirichlet).
Ví dụ 7.5. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a)
n
n
+

=
+

2
1
1
3 1
, b)
n
n
n
+
=


1
5
3 2
.
Giải. a)
n
n
+
=
+

2
1
1
3 1

. Ta có u
n
=
n +
2
1
3 1
> 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã
cho là chuỗi dơng.
Chuỗi số
n
n
v
+
=

1
=
n
n
+
=

2
1
1
là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì
s = 2 > 1. Mặt khác:
u
n

=
n +
2
1
3 1
<
n
=
2
1 1
3
3
v
n
(n =1, 2, 3, ).
Theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi đã cho hội tụ.
b)
n
n
n
+
=


1
5
3 2
. Ta có u
n
=

n
n

5
3 2
>0 (n=1,2, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng.
Chuỗi số
n
n
v
+
=

1
=
n
n
+
=

ữ


1
5
3
là chuỗi dơng và là chuỗi nhân phân kỳ vì
q > 1. Mặt khác: u
n
=

n
n
n

> =
ữ


5 5
3 2 3
v
n
(n =1, 2, 3, ).
Theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi đã cho phân kỳ.
Nhận xét 7.5. Nếu trong ví dụ 7.5, ở phần a) mẫu số 3n
2
+ 1 đợc thay bởi
3n
2
k hoặc ở phần b) mẫu số 3
n
2 đợc thay bởi 3
n
+ k (với k là hằng số d-
ơng). Thì chúng ta không thể áp dụng dấu hiệu so sánh 1 đợc. Để khắc
phục, sau đây chúng ta đa ra dấu hiệu so sánh 2.
7.2.2. Dấu hiệu so sánh 2.
6
Định lý 7.3. Cho hai chuỗi số dơng
n

n
u
+
=

1
,
n
n
v
+
=

1
có
n
n
n
u
lim
v
+
= k

0, hữu hạn.
Thì hai chuỗi số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chứng minh.
Từ giả thiết của định lý ta suy ra k > 0. Theo định nghĩa giới hạn ta có:
n
n

n
u
lim
v
+
= k ( > 0), (N


> 0: n > N

) k <
n
n
u
v
< k + (7.1)
Vì (7.1) đúng với mọi > 0 nên cũng đúng với
0
=
k
2
> 0. Nghĩa là tồn
tại N
0
> 0 sao cho với mọi n > N
0
thì:
k
2
v

n
= (k
k
2
)v
n
< u
n
< (k +
k
2
)v
n
=
k3
2
v
n
. (7.2)
(i) Nếu
n
n
u
+
=

1
hội tụ
n
n N

u
+
=

0
hội tụ. Từ (7.2) ta có:
k
2
v
n
< u
n
( n > N
0
). áp
dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
v
+
=

0
hội tụ
n
n
v
+
=

1
hội tụ.
(ii) Nếu
n
n
u
+
=

1
phân kỳ
n
n N
u
+
=

0
phân kỳ. Từ (7.2) ta có: u
n
<
k3
2
v
n
( n
>N
0
). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n

n N
v
+
=

0
phân kỳ
n
n
v
+
=

1
phân kỳ.
(iii) Nếu
n
n
v
+
=

1
hội tụ
n
n N
v
+
=

0
hội tụ. Từ (7.2) ta có: u
n
<
k3
2
v
n
( n >N
0
).
7
áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
u
+
=

0
hội tụ
n
n
u
+
=

1
hội tụ.
(iiii) Nếu

n
n
v
+
=

1
phân kỳ
n
n N
v
+
=

0
phân kỳ. Từ (7.2) ta có:
k
2
v
n
< u
n
(n >
N
0
). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
u
+

=

0
phân kỳ
n
n
u
+
=

1
phân kỳ.
Từ (i) đến (iiii) (đpcm)
Nhận xét 7.6. Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 2 xét sự hội tụ của chuỗi
số chúng ta cũng phải chải qua các bớc nh trong nhận xét 7.4.
Ví dụ 7.6. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a)
n
n
+
=


2
1
1
3 2
, b)
n
n
n

+
=
+

1
5
3 2
.
Giải. a)
n
n
+
=


2
1
1
3 2
. Ta có u
n
=
n
2
1
3 2
> 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã
cho là chuỗi dơng.
Chuỗi số
n

n
v
+
=

1
=
n
n
+
=

2
1
1
là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì
s = 2 > 1. Mặt khác:
n
n n
n
u
n
lim lim
v
n
+ +
=

2
2

3 2
=
1
3
0, hữu hạn.
Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho hội tụ.
b)
n
n
n
+
=
+

1
5
3 2
.
Ta có u
n
=
n
n
+
5
3 2
> 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng.
Chuỗi số
n
n

v
+
=

1
=
n
n
+
=

ữ


1
5
3
là chuỗi dơng và là chuỗi nhân phân kỳ vì
8
q > 1. Mặt khác:
( )
n n
n
n n
n n
n
u
lim lim
v
+ +

=
+
5 3
3 2 5
= 1 0, hữu hạn.
Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý 7.2. Trong dấu hiệu so sánh 2, ta mới chứng minh đợc cho trờng hợp
n
n
n
u
lim
v
+
= k 0, hữu hạn. Nếu k = 0 hoặc k = + thì dấu hiệu so sánh 2 còn
đúng nữa không ? Sau đây chúng ta xét cụ thể cho từng trờng hợp.
(i) Nếu k = 0
n
n
n
u
lim
v
+
= k
( > 0), (N


> 0: n > N

) <
n
n
u
v
< (7.3)
Vì (7.3) đúng với mọi > 0 nên cũng đúng với
0
= 2 > 0. Nghĩa là tồn
tại N
0
> 0 sao cho với mọi n > N
0
thì:
2v
n
< u
n
< 2v
n
. (7.4)
Nếu
n
n
v
+
=

1
hội tụ

n
n N
v
+
=

0
hội tụ. Từ (7.4) ta có: u
n
< 2v
n
( n >N
0
).
áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
u
+
=

0
hội tụ
n
n
u
+
=

1

hội tụ.
Nếu
n
n
u
+
=

1
phân kỳ
n
n N
u
+
=

0
phân kỳ. Từ (7.4) ta có: u
n
< 2v
n
( n
>N
0
). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
v
+
=

0
phân kỳ
n
n
v
+
=

1
phân kỳ.
Nh vậy, nếu k = 0. Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ có
thể kết luận nh sau:
9
Nếu k = 0 thì từ chuỗi
n
n
v
+
=

1
hội tụ
n
n
u
+
=

1

hội tụ.
Nếu k = 0 thì từ chuỗi
n
n
u
+
=

1
phân kỳ


n
n
v
+
=

1
phân kỳ.
(ii) Nếu k = +
n
n
n
u
lim
v
+
= +
(M > 0), (N

> 0: n > N

)
n
n
u
v
> M (7.5)
Vì (7.5) đúng với mọi M > 0 nên cũng đúng với M
0
= 20 > 0. Nghĩa là
tồn tại N
0
> 0 sao cho với mọi n > N
0
thì:
u
n
> 20v
n
. (7.6)
Nếu
n
n
v
+
=

1
phân kỳ
n
n N
v
+
=

0
phân kỳ. Từ (7.6) ta có: u
n
> 20v
n
( n
>N
0
). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
u
+
=

0
phân kỳ
n
n
u
+
=

1
phân kỳ.
Nếu
n
n
u
+
=

1
hội tụ
n
n N
u
+
=

0
hội tụ. Từ (7.6) ta có: u
n
< 20v
n
( n > N
0
).
áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có
n
n N
v

+
=

0
hội tụ
n
n
v
+
=

1
hội tụ.
Nh vậy, nếu k = +. Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ
có thể kết luận nh sau:
Nếu
n
n
u
+
=

1
hội tụ
n
n
v
+
=

1
hội tụ.
Nếu
n
n
v
+
=

1
phân kỳ
n
n
u
+
=

1
phân kỳ.
Nhận xét 7.7. Muốn áp dụng các dấu hiệu so sánh1 và dấu hiệu so sánh 2
10
để xét sự hội tụ của chuỗi số dơng. Chúng ta phải đa ra đợc chuỗi dơng thứ
hai đã biết hội tụ hay phân kỳ rồi và so sánh đợc với chuỗi đã cho. Tuy
nhiên, việc đa ra chuỗi thứ hai thoả mãn các điều kiện nh trên không phải
trờng hợp nào cũng thuận lợi. Để khắc phục sau đây chúng ta đa ra hai
điều kiện đủ khác (thuận lợi hơn) để xét sự hội tụ của chuỗi số dơng.
7.2.3. Dấu hiệu D

Alembert.
Định lý 7.5. Cho chuỗi số dơng

n
n
u
+
=

1
có
n
n
n
u
lim
u
+
+
1
= k. Khi đó:
(i) Nếu k < 1. Thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
hội tụ.
(ii) Nếu k > 1. Thì chuỗi
n
n

u
+
=

1
phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1. Thì cha kết luận đợc về sự hội tụ hay phân kỳ của
chuỗi
n
n
u
+
=

1
.
Ví dụ 7.7. Xét sự hội tụ của các chuỗi:
a)
n
n
n
+
=


2
1
2
3 2
, b)

n
n
n
+
=


1
5 13
3
, c)
n
n
n
+
=


2
1
3 2
.
Giải. a)
n
n
n
+
=

2
1
2
3 2
. Ta có u
n
=
n
n
2
3 2
> 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã
cho là chuỗi dơng ; u
n+1
=
n
n n
+
+ +
1
2
2
3 6 1
.
k =
( )
( )
n
n
n

n n
n
n
u
lim lim
u
n n
+
+
+ +

= =
+ +
1 2
1
2
2 3 2
2
2 3 6 1
> 1.
Theo dấu hiệu DAlembert, chuỗi đã cho phân kỳ.
11
b)
n
n
n
+
=

1
5 13
3
. Ta có u
n
=
n
n 5 13
3
> 0 (n =3, 4, 5, ), u
1
=

8
3
< 0 vậy
chuỗi đã cho không phải là chuỗi dơng. Nhng chuỗi
n
n
n
+
=


3
5 13
3
là chuỗi d-
ơng ; u
n+1

=
n
n
+

1
5 8
3
. k =
( )
( )
n
n
n
n n
n
n
u
lim lim
u
n
+
+
+ +

= =

1
1
3 5 8

1
3
3 5 13
< 1. Theo dấu
hiệu DAlembert, chuỗi
n
n
n
+
=


3
5 13
3
hội tụ. Theo tính chất về sự hội tụ của
chuỗi số thì chuỗi đã cho hội tụ.
c)
n
n
n
+
=


2
1
3 2
. Ta có u
n

=
n
n
2
3 2
> 0 (n =1, 2, 3, ), vậy chuỗi đã cho là
chuỗi dơng ; u
n+1
=
n
n n
+
+ +
2
1
3 6 1
. k =
( )
( )
( )
n
n n
n
n n
u
lim lim
u
n n n
+
+ +

+
= =
+ +
2
1
2
3 2 1
1
3 6 1
.
Theo dấu hiệu DAlembert, cha kết luận đợc sự hội tụ hay phân kỳ
của chuỗi đã cho. Mặt khác, chuỗi
n
n
v
+
=

1
=
n
n
+
=

1
1
là chuỗi số dơng và là
chuỗi Dirichlet phân kỳ. Ta lại có:
( )

n
n n
n
u
n
lim lim
v
n
+ +
= =

2
2
1
0
3
3 2
, hữu
hạn. Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho phân kỳ.
7.2.4. Dấu hiệu Cauchy.
Định lý 7.6. Cho chuỗi số dơng
n
n
u
+
=

1
có
n

n
n
lim u
+
= k. Khi đó:
12
(i) Nếu k < 1. Thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
hội tụ.
(ii) Nếu k > 1. Thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
phân kỳ.
(iii) Nếu k = 1. Thì cha kết luận đợc về sự hội tụ của chuỗi
n
n
u
+
=

1
.
Ví dụ 7.8. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a)
n
n
n
+
=

+
ữ


2
1
1
1
, b)
n
n
n
n
+
=

ữ
+

1
3 1
.
Giải. a)
n
n
n
+
=

+
ữ


2
1
1
1
. Ta có u
n
=
n
n

+
ữ

2
1
1

> 0 (n =1, 2, 3, ), vậy chuỗi
đã cho là chuỗi dơng k =
n
n
n
n n
lim u lim e
n
+ +

= + =
ữ

1
1
> 1.
Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ.
b)
n
n
n
n
+
=

ữ
+


1

3 1
. Ta có u
n
=
n
n
n

ữ
+

3 1
> 0 (n =1, 2, 3, ), vậy chuỗi đã cho
là chuỗi dơng k =
n
n
n n
n
lim u lim
n
+ +

= =
ữ
+

1
3 1 3
< 1.
Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.

Nhận xét 7.8.
(i) Các dấu hiệu so sánh 1, so sánh 2, dấu hiệu D

Alembert và dấu hiệu
Cauchy áp dụng đợc để xét sự hội tụ của chuỗi số âm bằng cách nhân tất
cả các số hạng của chuỗi số âm với (1).
(ii) Trên đây chúng ta đã trình bầy các điều kiện đủ để một chuỗi số dơng
hội tụ hay phân kỳ, theo thứ tự: dấu hiệu so sánh 1, so sánh 2, dấu hiệu
D

Alembert và dấu hiệu Cauchy. Tuy nhiên, khi áp dụng chúng ta nên đi
theo chu trình ngợc lại. Tức là, sử dụng các dấu hiệu D

Alembert và
13
Cauchy trớc, nếu không đợc (k =1) thì sử dụng dấu hiệu so sánh 2, cũng
không đợc thì sử dụng dấu hiệu so sánh 1 nếu không đợc nữa thì sử dụng
điều kiện cần để chuỗi số hội tụ. Ví dụ sau đây khẳng định điều đó.
Ví dụ 7.9. Xét sự hội tụ của chuỗi
n
n
n
n
e
+
=

+
ữ

2
1
1 1
1
.
Giải. Dễ dàng kiểm tra đợc chuỗi trên không áp dụng đợc các dấu hiệu
D

Alembert và Cauchy (vì trong cả hai trờng hợp đó ta luôn tìm đợc k =1).
Việc sử dụng các dấu hiệu so sánh 1 và so sánh 2 để xết sự hội tụ của chuỗi
số này gặp rất nhiều khó khăn. Mặt khác,
n
n
lim u e

+
=
1
2
0
vì:
( )
( )
t
x
t
x
t
ln t t

x
lim
lim x x ln
lim
t t
x
t
n
n x
lim u lim e e e e
e x

+



+

+

ữ

+


+ +


= + = = = =

ữ



2
0
0
1 1
1
1
1 1
1
2 1
2
1 1
1
.
Nên chuỗi đã cho phân kỳ.
7.3. Sự hội tụ của chuỗi số đan dấu
7.3.1. Định nghĩa chuỗi số đan dấu.
Định nghĩa 7.4. Chuỗi số đan dấu là một chuỗi số có một trong các dạng
sau:
( )
n
n
n
u
+
=

1
1
hoặc
( )
n
n
n
u
+
+
=


1
1
1
, trong đó u
n
> 0 (n = 1, 2, 3, ).
Ví dụ 7.9.
(i) Các chuỗi số sau đây là các chuỗi số đan dấu:
( )
n
n
n
+
=

1
1
,
( )
n
n
n
+
+
=

+

1
2
1
1
2
.
(ii) Chuỗi số
( )
n
n
n
+
=



2

1
1
2
không phải là chuỗi đan dấu vì u
1
= 1< 0, u
2
=
1
2
> 0.
Nhận xét 7.9.
14
(i) Số hạng tổng quát của
( )
n
n
n
u
+
=


1
1
là (1)
n
u
n
chứ không phải là u

n
.
(ii) Số hạng tổng quát của
( )
n
n
n
u
+
+
=


1
1
1
là (1)
n+1
u
n
chứ không phải là u
n
.
7.3.2. Sự hội tụ của chuỗi số đan dấu.
Định lý 7.7 (định lý Leibnitz). Nếu chuỗi số đan dấu
( )
n
n
n
u

+
+
=


1
1
1
thoả
mãn các điều kiện sau:
(i) u
1
u
2
u
3
u
n
;
(ii)
n
n
lim u
+
= 0.
Thì chuỗi đan dấu trên hội tụ và có tổng u
1
.
Chứng minh.
Với mỗi k= 1,2,3, ta có: u

k
u
k+1
0 (vì u
1
u
2
u
3
u
n
) nên
S
2k
= u
1
u
2
+ u
3
u
4
+ u
2k
+ u
2k

= (u
1
u

2
) + (u
3
u
4
) + + (u
2k-1
u
2k
). (7.7)
= u
1
(u
2
u
3
) + + (u
2k-2
u
2k-1
) u
2k
u
1
. (7.8)
15
Từ (7.7) và (7.8) suy ra { S
2k
} là dãy không giảm và bị chặn trên bởi
u

1
khi k +. Theo tiêu chuẩn tồn tại giới hạn thứ hai thì tồn tại

k
k
lim S
+
2
= I u
1
. (7.9)
Mặt khác, vì
n
n
lim u
+
= 0 nên
k
k
lim u
+
+
2 1
= 0. Mà S
2k+1
= S
2k
+ u
2k+1
. Do đó:

k
k
lim S
+
+
2 1
=
k
k
lim S
+
2
+
k
k
lim u
+
+
2 1
= I + 0 = I u
1
. (7.10)
Từ (7.9) và (7.10) suy ra
n
n
lim S
+
= I u
1

. (đpcm)
Ví dụ 7.10. Xét sự hội tụ của chuỗi số
( )
n
n
n
+
+
=

+

1
1
1
3
.
Giải. Chuỗi số đã cho là chuỗi số đan dấu với u
n
=
n +
1
3
và ta có:
u
1
=
1
4
> u

2
=
1
5
> u
3
=
1
6
> ;
n
n n
lim u lim
n
+ +
=
+
1
3
= 0.
Theo định lý Leibniz, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng
1
4
.
Chú ý 7.3.
(i) Định lý Leibnitz phát biểu cho chuỗi đan dấu dạng
( )
n
n
n

u
+
+
=


1
1
1
và là
điều kiện đủ để chuỗi
( )
n
n
n
u
+
+
=


1
1
1
hội tụ. Đối với chuỗi đan dấu dạng
( )
n
n
n
u

+
=


1
1
chúng ta chỉ áp dụng đợc định lý Leibnitz sau khi nhân tất cả
các số hạng của
( )
n
n
n
u
+
=


1
1
với (1), do đó chỉ kết luận đuợc sự hội tụ của
( )
n
n
n
u
+
=


1

1
mà không kết luận đợc
( )
n
n
n
u
+
=


1
1
có tổng u
1
.
16
(ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng
( )
n
n
n
u
+
+
=


1
1

1
mà các giả thiết của định lý
Leibnitz chỉ đúng khi n > N (với N là số nguyên dơng nào đó). Thì vẫn kết
luận đợc sự hội tụ của chuỗi đan dấu đó nhng không kết luận đợc chuỗi đó
có tổng u
1
.
Ví dụ 7.11. Xét sự hội tụ của các chuỗi số (i)
( )
n
n
n
+
=


1
1
, (ii)
( )
n
n
n
n
+
=

+

2

1
1
16
.
Giải. (i) Chuỗi số đã cho là chuỗi số đan dấu với u
n
=
n
1
. Nhân tất cả các
số hạng của chuỗi số đã cho với (1) ta đợc chuỗi số mới:
( )
n
n
n
+
+
=


1
1
1
và ta
có:
u
1
= 1 > u
2
=

1
2
> u
3
=
1
3
> ;
n
n n
lim u lim
n
+ +
=
1
= 0.
Theo định lý Leibnitz, chuỗi số
( )
n
n
n
+
+
=


1
1
1
hội tụ và có tổng 1. Theo

tính chất về sự hội tụ của chuỗi số suy ra chuỗi số đã cho hội tụ.
(ii) Chuỗi số đã cho là chuỗi số đan dấu với u
n
=
n
n +
2
16
. Nhân tất cả các
số hạng của chuỗi số đã cho với (1) ta đợc chuỗi số mới:
( )
n
n
n
n
+
+
=

+

1
2
1
1
16
và ta
có:
n
n n

n
lim u lim
n
+ +
= =
+
2
0
16
, u
n+1
u
n
=
( )
( )
n n
n n
+
<

+ + +

2
2
2
16
0
1 16 16
(n 4).

17
Xây dựng chuỗi
( )
n
n
n
v
+
+
=


1
1
1
nh sau: v
n
=
n
u
khi n , , , ;
u
khi n .
=


>

4
1 2 3 4

4
Thì ba
chuỗi
( )
n
n
n
n
+
=

+

2
1
1
16
,
( )
n
n
n
n
+
+
=

+

1

2
1
1
16
và
( )
n
n
n
v
+
+
=


1
1
1
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
(tính chất về sự hội tụ của chuỗi số), mà
( )
n
n
n
v
+
+
=

1
1
1
là chuỗi đan dấu thoả
mãn định lý Leibnitz nên chuỗi
( )
n
n
n
n
+
=

+

2
1
1
16
hội tụ.
Nhận xét 7.10. (i) Nếu chuỗi số đan dấu có điều kiện (ii) của định lý
Leibnitz không thoả mãn (tức là,
n
n
lim u
+
không tồn tại hoặc tồn tại nhng
bằng k 0). Thì chuỗi số đan dấu đó phân kỳ vì không thoả mãn điều kiện
cần để một chuỗi số hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi số đan dấu có điều kiện (i) của định lý Leibnitz không

thoả mãn và điều kiện (ii) của định lý thoả mãn. Thì ta cha thể kết luận gì
về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đan dấu đó, vì định lý Leibnitz chỉ là
một điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để chuỗi số đan dấu hội
tụ. Ví dụ sau đây sẽ khẳng định điều đó.
Ví dụ 7.12. (a) Cho chuỗi số
( )
n
n
n
+
+
=


1
1
1
. Đây là chuỗi số đan dấu hội tụ. Ta
có chuỗi số mới: 1
8
+
+ +
3
1 1
300
2 3
là chuỗi hội tụ thoả mãn điều
kiện (ii) nhng không thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.
(b) Chuỗi:
( )

n n


+ + + + +

2 3 4 2 1 2
1 1 1 1 1 1
2
3 2 3 3
2
là chuỗi số đan dấu hội
tụ (tổng của hai chuỗi hội tụ) và là chuỗi thoả mãn điều kiện (ii) nhng
không thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.
18
(c) Xét chuỗi số đợc cho bởi: u
2k-1
=
( )
k
k



2 2
1
2 1
, u
2k
=
( )

k
k


2 1
1
2
(k = 1,2,3, ).
Chuỗi đó cụ thể nh sau: 1
( ) ( )
k k

k
k


+ + + + +

2 2 2 1
1 1
1 1 1 1
2 4 2
3 5 2 1
=
k
k k
k k
+
=

1
2 2 1
2 2 1
.
Đây là chuỗi số đan dấu phân kỳ thoả mãn điều kiện (ii) nhng không
thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.
7.4. Chuỗi số bất kỳ
7.4.1. Chuỗi số trị tuyệt đối.
Định nghĩa 7.5. Cho
n
n
u
+
=

1
là chuỗi số bất kỳ thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
đợc gọi là
chuỗi số trị tuyệt đối của chuỗi số
n
n

u
+
=

1
.
Nếu chuỗi
n
n
u
+
=

1
hội tụ còn chuỗi
n
n
u
+
=

1
phân kỳ thì chuỗi
n
n
u
+
=

1

đợc
gọi là chuỗi bán hội tụ.
Nếu cả hai chuỗi
n
n
u
+
=

1
và
n
n
u
+
=

1
đều hội tụ thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
đợc gọi là
chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 7.13. Dễ dàng kiểm tra đợc các kết quả sau:
Chuỗi số

( )
n
n
n
+
=


1
1
là chuỗi bán hội tụ; Chuỗi số
( )
n
n
n
+
=


2
1
1
là chuỗi
hội tụ tuyệt đối.
7.4.2. Tính chất.
19
Định lý 7.8. Nếu chuỗi
n
n
u

+
=

1
hội tụ thì chuỗi
n
n
u
+
=

1
cũng hội tụ.
Nhận xét 7.11.
Để kiểm tra một chuỗi số có hội tụ tuyệt đối hay không ta chỉ cần
kiểm tra sự hội tụ của chuỗi trị tuyệt đối của nó.
7.5. Chuỗi luỹ thừa
7.5.1. Chuỗi hàm.
Định nghĩa 7.6. Cho {f
n
(x)} là dãy các hàm số xác định trên miền X . Thì
tổng tất cả các hàm số của dãy hàm số trên đợc gọi là một chuỗi hàm số
trên miền X, ký hiệu là
( )
n
n
f x
+
=

1
. Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
f x f x f x f x
+
=
= + + + +

1 2
1
Ví dụ 7.14.
n
x x x
ln ln x ln ln
n n
+
=
= + + + +

1
2
là một chuỗi hàm trên (0;+).
n
sinnx sin x sin x sinnx
+
=
= + + + +

1
2
là một chuỗi hàm trên
(;+).
Định nghĩa 7.7. Cho chuỗi
( )
n
n
f x
+
=

1
các hàm xác định trên X, x
0
X. Thì
( )
n
n
f x
+
=

0
1
là một chuỗi số.Nếu chuỗi số này hội tụ thì chuỗi hàm
( )
n
n
f x

+
=

1
đợc
gọi là hội tụ tại x
0
và điểm x
0
đợc gọi là điểm tụ của chuỗi hàm
( )
n
n
f x
+
=

1
.
Tập hợp tất cả các điểm tụ của một chuỗi hàm đợc gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm đó.
20
Ví dụ 7.15. Chuỗi
n
n
x
+
=

1

có miền hội tụ là (1;1). Chuỗi
n
sinnx
+
=

1
hội tụ tại
các điểm k với mọi k = 1, 2, 3,
7.5.2. Chuỗi luỹ thừa.
Định nghĩa 7.8. Chuỗi luỹ thừa là một chuỗi hàm số có một trong các
dạng sau:
n
n
n
a x
+
=

1
(1),
( )
n
n
n
a x x
+
=

0
1
(2),
trong đó x
0
, a
n
(n =1, 2, 3, ) là các số thực.
Ví dụ 7.16.
n
n
x
+
=

1
là chuỗi luỹ thừa với a
n
= 1 ( n =1, 2, 3, ).

( )
n
n
x
n
+
=

+

1
2
3 1
là chuỗi luỹ thừa với a
n
=
n +
1
3 1
(n =1, 2, 3, ).
Nhận xét 7.12.
(i) Chuỗi luỹ thừa dạng (1) luôn hội tụ tại x = 0, chuỗi luỹ thừa dạng
(2) luôn hội tụ tại x = x
0
.
(ii) Chuỗi luỹ thừa dạng (2) luôn đa đợc về dạng (1) bằng cách đặt y =
x x
0
. Vì vậy để xét sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta chỉ cần xét sự
hội tụ của chuỗi luỹ thừa dạng (1).
7.6. Sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa
7.6.1. Định lý Abel.
Định lý 7.9. Nếu chuỗi luỹ thừa
n
n
n
a x
+
=

1
hội tụ tại x
0

0 thì chuỗi luỹ thừa
đó hội tụ tuyệt đối tại mọi x màx< x
0
.
21
Chứng minh. Vì chuỗi luỹ thừa
n
n
n
a x
+
=

1
hội tụ tại x
0
0, nên chuỗi số
n
n
n
a x
+
=

0
1

hội tụ. Theo điều kiện cần để một chuỗi số hội tụ thì
n
n
n
lim a x
+
=
0
0
.
Do đó,
n
n
a x
0
là đại lợng bị chặn khi n + . Vậy:
M > 0 ,N
0
> 0: n > N
0
|
n
n
a x
0
| M.
Tại x = 0 chuỗi
n
n
n

a x
+
=

1
hội tụ và có tổng bằng 0.
Với x 0, ta có: |a
n
x
n
| =
n n
n
n
x x
a x M
x x

0
0 0
( n > N
0
).
Mà
n
n
x
x
+
=

1
0
là dơng và là chuỗi nhân hội tụ khi |x| |x
0
|. Vậy theo dấu
hiệu so sánh 1 của chuỗi số dơng, với mọi x mà |x| |x
0
| thì
n
n
n
n N
a x
+
= +

0
1
hội
tụ. Theo tính chất về sự hội tụ của chuỗi số thì chuỗi
n
n
n
n
a x
+
=

1

hội tụ. Do
đó, chuỗi
n
n
n
a x
+
=

1
hội tụ tuyệt đối khi |x| |x
0
|.(đpcm)
Hệ quả 7.9.1. Nếu chuỗi luỹ thừa
n
n
n
a x
+
=

1
phân kỳ tại x
1


0 thì chuỗi luỹ
thừa đó phân kỳ tại mọi x màx> x
1
.

Chứng minh.
22
Giả sử tồn tại x
0
sao cho: x
0
> x
1
và chuỗi
n
n
n
a x
+
=

1
hội tụ tại x
0
. Thì
x
1


0, theo định lý Abel chuỗi
n
n
n
a x
+

=

1
hội tụ tuyệt đối khi |x| |x
0
|. Do đó
chuỗi hội tụ tại x
1
. Trái với giả thiết, suy ra (đpcm)
Nhận xét 7.13. Đối với chuỗi luỹ thừa mà bằng cách nào đó chúng ta tìm
đợc hai điểm x
0
, x
1


0 (x
0
< x
1
); tại x
0
chuỗi hội tụ, tại x
1
chuỗi phân kỳ. Thì
kết luận đợc chuỗi hội tụ trên (|x
0
|; |x
0
|), phân kỳ trên (;|x

1
|) (|x
1
|;+),
còn trên [|x
1
|; |x
0
|] và [|x
0
|;|x
1
|] phải xét riêng.
Vấn đề đặt ra là với một chuỗi luỹ liệu có hay không một số a > 0 sao
cho chuỗi hội tụ khi |x| < |a| và phân kỳ khi |x| > |a|?
Ngời ta đã chứng minh đợc với mỗi chuỗi luỹ thừa luôn tìm đợc một
số r 0 sao cho chuỗi hội tụ khi |x| < |r| và phân kỳ khi |x| > |r|.
Định nghĩa 7.8. Nếu tồn tại số r 0 sao cho chuỗi luỹ thừa
n
n
n
a x
+
=

1
hội tụ
khi |x| < |r| và phân kỳ khi |x| > |r| (khi r > 0). Thì r đợc gọi là bán kính hội
tụ của chuỗi luỹ thừa
n

n
n
a x
+
=

1
.
7.6.2. Phơng pháp tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
Dựa vào các dấu hiệu D

Alembert và Cauchy về sự hội tụ của chuỗi
số dơng ngời ta chứng minh đợc định lý sau:
Định lý 7.10. Nếu chuỗi luỹ thừa
n
n
n
a x
+
=

1
có
n
n
n
a
lim k
a
+

+
=
1
hoặc
n
n
n
lim a k
+
=
. Thì bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa đó đợc tính theo
công thức:
23
r =
khi k ;
khi k ;
khi k .
k


= +

+ =



< < +

0
0

1
0
Ví dụ 7.16. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
a)
n
n
x
n
+
=


1
3 1
, b)
( )
n
n
x
n
+
=


2
1
1
, c)
( )
n

n
n
n
x
n
+
=
+


ữ



2
1
1
2
2 1
.
Giải. a)
n
n
x
n
+
=


1

3 1
. Đây là chuỗi luỹ thừa với a
n
=
n
1
3 1
> 0 ( n = 1, 2,
3, ) và: k =
n
n n
n
a
n
lim lim
a n
+
+ +
+
= =

1
3 2
1
3 1
. Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã
cho là r = 1. Hay chuỗi đã cho hội tụ khi | x| < 1 và phân kỳ khi | x| > 1.
Tại x = 1, ta có chuỗi số:
n
n

+
=


1
1
3 1
. Đây là chuỗi số dơng phân kỳ (so
sánh với chuỗi
n
n
+
=

1
1
). Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho phân kỳ tại x = 1.
Tại x = 1, ta có chuỗi số:
( )
n
n
n
+
=



1
1
3 1

. Đây là chuỗi số đan dấu hội tụ
(sử dụng định lý Leibnitz). Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x = 1.
Vậy miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho là: [1; 1).
b)
( )
n
n
x
n
+
=


2
1
1
. Đây là chuỗi luỹ thừa với a
n
=
n
2
1
> 0 ( n = 1, 2, 3, ) và:
k =
( )
n
n n
n
n
a

lim lim
a
n
+
+ +
+
= =
2
1
2
1
1
.
24
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là r = 1. Hay chuỗi đã cho hội
tụ khi | x 1| < 1 và phân kỳ khi | x 1| > 1.
Tại x 1 = 1, ta có chuỗi số:
n
n
+
=

2
1
1
. Đây là chuỗi số dơng và là chuỗi
Dirichlet hội tụ. Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x 1 = 1.
Tại x 1 = 1, ta có chuỗi số:
( )
n

n
n
+
=


2
1
1
. Có
( )
n
n
n
+
=


2
1
1
=
n
n
+
=

2
1
1

hội tụ
nên chuỗi
( )
n
n
n
+
=


2
1
1
hội tụ. Vậy miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho là:
x 1[1; 1] x [2; 0].
c)
( )
n
n
n
n
x
n
+
=
+


ữ

2
1
1
2
2 1
. Đây là chuỗi luỹ thừa với a
n
=
n
n
n
+

ữ


1
2 1
> 0 ( n =
1, 2, 3, ) và: k =
n
n
n n
n
lim a lim
n
+ +
+

= =

1 1
2 1 2
.
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là r = 2. Hay chuỗi đã cho hội tụ
khi |(x 2)
2
| < 2 và phân kỳ khi |(x 2)
2
| > 2.
Tại (x 2)
2
= 2, ta có chuỗi số:
n
n
n
n
+
=
+

ữ



1
1
2 1
. Đây là chuỗi số dơng và là

chuỗi hội tụ (sử dụng dấu hiệu Cauchy). Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ
tại (x 2)
2
= 2.
Tại (x2)
2
=2 vô nghiệm. Vậy miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho
là:
0 (x 2)
2
2
2
x 2
2
2
2
x 2 +
2
.
Ví dụ 7.17. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:
25