LY THUYET CO BAN TOAN 9 ON THI VAO THPT

CHƯƠNG I.
CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
1. Căn bậc hai
•
2
x 0
x = a
x = a
≥

⇔


• Với a > 0 ; b > 0 ta có:
a < b a < b⇔
• Điều kiện xác đònh của
A


A
được xác đònh khi A ≥ 0.
• Hằng đẳng thức
2
A = A


2
A ; khi A 0
A = A =
-A ; khi A < 0

≥



• Khai phương một tích

A.B = A . B
(với A ≥ 0 ; B ≥ 0)
• Nhân hai căn bậc hai

A . B = A.B
(với A ≥ 0 ; B ≥ 0)
• Khai phương một thương

A A
B
B
=
(với A ≥ 0 ; B > 0)
• Chia hai căn bậc hai

A A
B
B
=
(với A ≥ 0 ; B > 0)
• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

2
A .B A B=

(với B ≥ 0)
• Đưa thừa số vào trong dấu căn

2
A B A B=
(với A ≥ 0 ; B ≥ 0)

2
A B A B= −
(với A < 0 ; B ≥ 0)
• Khử mẫu của biểu thức lấy căn

2
A AB AB
B B B
= =
(với AB ≥ 0 ; B ≠ 0)
• Trục căn thức ở mẫu

A A B
B
B
=
(với B > 0)

1 A B
A - B
A B
=
±

m
(với A ≥ 0 ; B ≥ 0 ; A ≠ B)
2. Căn bậc ba
•
3
3
x = a x = a⇔
• Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.
PHẦN ĐẠI
CHƯƠNG I I.
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Dạng tổng quát

ax + by = c
a'x + b'y = c'



(Trong đó: ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn)
2. Hệ phương trình tương đương
 Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng một tập nghiệm.
 Quy tắc cộng đại số: Trong một hệ hai phương trình, ta có thể thay thế một phương trình của
hệ bởi phương trình có được bằng cách cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ.
 Quy tắc thế: Trong một hệ hai phương trình, ta có thể từ một phương trình của hệ, biểu thò
một trong hai ẩn theo ẩn số kia rồi thế vào phương trình thứ hai.
3. Giải hệ phương trình bằng phép biến đổi tương đương
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (sử dụng quy tắc cộng đại số).
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (sử dụng quy tắc thế).
4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
 Bước 1: Lập hệ phương trình.

• Chọn các ẩn số, đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn.
• Biểu thò các mối tương quan giữa ẩn và các đại lượng đã biết để lập các phương
trình của hệ.
 Bước 2: Giải hệ phương trình.
 Bước 3: Chọn giá trò thích hợp, thử lại (nếu cần) và trả lời.
CHƯƠNG I I I .
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
1. Phương trình bậc hai một ẩn
 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 trong đó x là ẩn số;
a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số (a ≠ 0).
 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai.
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
∆ = b
2
– 4ac
• ∆ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
-b + -b -
x = ; x =
2a 2a
∆ ∆
.
• ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x = x =

2a
−
.
• ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm.
 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai.
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) ; b = 2b’
∆’ = b’
2
– ac
• ∆’ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
-b' + ' -b' - '
x = ; x =
a a
∆ ∆
.
• ∆’ = 0 : Phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x = x =
a
−
.
• ∆’ < 0 : Phương trình vô nghiệm.
2. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
 Nếu x
1
, x

2
là nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
1 2
1 2
b
x + x = -
a
c
x . x =
a







 Ứng dụng:
• Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghệm:
1 2
c
x = 1 ; x =
a
.
• Nếu phương trình ax
2

+ bx + c = 0 có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghệm:
1 2
c
x = 1 ; x =
a
− −
.
 Nếu hai số u và v có
u + v = S
u . v = P



thì u và v là nghiệm của phương trình X
2
– SX + P = 0.
(Điều kiện để có u, v là: S
2
– 4P ≥ 0).
3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
a/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
• Tìm điều kiện xác đònh.
• Quy đồng mẫu thức ở hai vế và khử mẫu.
• Giải phương trình nhận được.
• Chọn giá trò thích hợp và trả lời.
b/ Phương trình tích: A(x) . B(x) = 0
⇔
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
c/ Phương trình trùng phương ax
4

+ bx
2
+ c = 0 (a
≠
0)
• Đặt x
2
= t, điều kiện t ≥ 0.
• Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0.
• Với giá trò t thỏa mãn điều kiện, giải phương trình x
2
= t.
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Bước 1: Lập hệ phương trình.
• Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
• Tìm các mối liên hệ giữa các dữ liệu để lập phương trình.
 Bước 2: Giải hệ phương trình.
 Bước 3: Chọn giá trò thích hợp, thử lại (nếu cần) và trả lời.
CHƯƠNG I V .
Đồ thò hàm số
1. Đồ thò hàm số
* Tập hợp các cặp giá trò tương ứng (x ; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy được gọi là đồ thò của hàm
số y = f(x).
2. Đồ thò của hàm số y = ax (a ≠ 0)
* Đồ thò của hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A(1 ; a).
Đồ thò y = ax (a > 0) Đồ thò y = ax (a < 0)
3. Đồ thò của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
 Đồ thò của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ

bằng b và song song với đường thẳng y = ax (nếu b ≠ 0) và trùng với đường thẳng y = ax
(nếu b = 0).
 Cách vẽ đồ thò hàm số y = ax + b:
• Xác đònh hai điểm bất kỳ của đồ thò. Hoặc:
• Xác đònh giao điểm của đồ thò với hai trục tọa độ.
Đồ thò y = ax + b (a > 0) Đồ thò y = ax + b (a < 0)
4. Hệ số góc của đường thẳng – Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
 Đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0)
a: hệ số góc của đường thẳng (d).
b: tung độ gốc.
 Cho hai đường thẳng (d
1
): y = ax + b (a ≠ 0)
(d
2
): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)
• (d
1
) // (d
2
) ⇔ a = a’ ; b ≠ b’.
• (d
1
)
≡
(d
2
) ⇔ a = a’ ; b = b’.
• (d
1

) cắt (d
2
) ⇔ a ≠ a’ (Nếu b = b’ thì hai (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục
tung có tung độ bằng b).
5. Đồ thò của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0)
* Đồ thò của hàm số y = ax
2
(a ≠ 0) là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận trục
tung làm trục đối xứng, O là đỉnh.
• Nếu a > 0 thì đồ thò nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thò.
• Nếu a < 0 thì đồ thò nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thò.
x
y
a
1
O
x
y
a
1
O
x
y
O

x
y
O
.
.
.
.
yy
x
O
O
Đồ thò hàm số y = ax
2
(a > 0) Đồ thò hàm số y = ax
2
(a < 0)
CHƯƠNG I .
HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
•
2
2
AB = BH . BC
AC = CH . BC





• AH

2
= BH . CH
• AH . BC = AB . AC
•
2 2 2
1 1 1
= +
AH AB AC
• ∆ABC vuông tại A ⇔ BC
2
= AB
2
+ AC
2
(Đònh lí Pitago thuận và đảo).
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
 Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
•
AB canh doi
sinα = =
BC canh huyen
•
AC canh ke
cosα = =
BC canh huyen

•
AB canh doi
tgα = =
AC canh ke

•
AC canh ke
cotgα = =
AB canh doi
 Với hai góc nhọn α, β nếu ta có: sinα = sinβ (hoặc cosα = cosβ ; tgα = tgβ ; cotgα =
cotgβ) thì α = β.
 Nếu α + β = 90
0
(α và β là hai góc nhọn phụ nhau) thì ta có:
sinα = cosβ ; cosα = sinβ
tgα = cotgβ ; cotgα = tgβ
x
PHẦN HÌNH
A
C
B
H

A
B
C
 Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:
Tỉ số
lượng giác
30
0
45
0
60
0

sin
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
cotg
3
1
3
3
3. Giải tam giác vuông
* a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông ABC. Ta có:
b = a.sinB = a.cosC.
c = a.sinC = a.cosB.
b = c.tgB = c.cotgC.
c = b.tgC = b.cotgB.

CHƯƠNG I I .
ĐƯỜNG TRÒN – GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1. Tiếp tuyến của một đường tròn
 Đònh lí 1 : (Tính chất của tiếp tuyến)
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
 Đònh lí 2 : (Dấu hiệu nhận biết tiếp t uyến)
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và
vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là
tiếp tuyến của đường tròn.
 Đònh lí 3 : (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc
tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc
tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
2. Đường tròn ngoại tiếp – Đường tròn nội tiếp tam giác
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác:
• Là tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác.
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm
các đường trung trực của tam giác.
A
B
C
.
O
C
B
A

1
1
2
2
 Đường tròn nội tiếp tam giác:
• Là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác.
• Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác.
3. Liên hệ giữa đường kính, dây và cung
 Trong một đường tròn, hai cung bò chắn giữa hai dây song song
thì bằng nhau.
 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi
qua trung điểm của dây ấy.
 Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa
của một dây cung (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy
và chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.
 Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa
của một cung thì vuông góc và đi qua trung điểm của dây căng
cung ấy.
4. Các loại góc với đường tròn
a) Góc ở tâm
 Đònh nghóa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.
 Tính chất:
• sđ
»
·
AB = AOB

• sđ
¼

0
AmB = 360 -
sđ
»
AB
b) Góc nội tiếp
 Đònh nghóa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và
hai
cạnh chứa hai dây cung của đường tròn.
 Tính chất: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bò
chắn.
·
1
BAC =
2
sđ
»
BC
 Hệ quả:
• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm
cùng chắn một cung.
• Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp
thì chắn nửa đường tròn.
c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
 Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo
của cung bò chắn.

·
1
xAB =
2
sđ
»
AB
d) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
 Số đo góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng
nửa tổng số đo của hai cung bò chắn.
.
O
A
B
C
D
m
.
O
A
x
B

·
»
»
sdAB + sdCD
BEC =
2

e) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
 Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bò chắn.
·
»
»
sdBC - sdAD
BEC =
2

·
»
»
sdBC - sdAC
BEC =
2

·
¼
¼
sdAmC - sdAnC
BEC =
2
5. Tứ giác nội tiếp
 Đònh nghóa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi
là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện
bằng 180
0
.
 Dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp:

• Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180
0
.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện.
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác đònh được). Điểm đó là
tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
• Tứ giác có tổng các góc đối đôi một bằng nhau.
6. Độ dài đường tròn – Độ dài cung tròn
 Độ dài đường tròn:

R: bán kính đường tròn.
π ≈ 3,14.
 Độ dài cung tròn:
R: bán kính đường tròn.
n
0
: số đo độ của cung
π ≈ 3,14.
7. Diện tích hình tròn – Diện tích hình quạt tròn
 Diện tích hình tròn:

R: bán kính hình tròn.
π ≈ 3,14.
 Diện tích hình quạt tròn:
hay
R: bán kính hình tròn.
n
0
: số đo độ của cung hình quạt.

C = 2πR
»
l
0
0
AB
πRn
=
180
lR
S =
2
S = πR
2
2 0
0
πR n
S =
360
l: là độ dài cung.
π ≈ 3,14.
CHƯƠNG I I I .
Hình học không gian
1. Hình trụ
 Diện tích xung quanh:
C: chu vi đáy.
h: chiều cao.
R: bán kính đáy.
π ≈ 3,14.
 Diện tích toàn phần:

S
đ
: diện tích đáy.
 Thể tích:
2. Hình nón
 Diện tích xung quanh:
R: bán kính đáy.
l: độ dài đường sinh.
π ≈ 3,14.
 Diện tích toàn phần:
 Thể tích:
3. Hình cầu
 Diện tích mặt cầu:
R: bán kính mặt cầu.
π ≈ 3,14.
 Thể tích hình cầu:
.
.
r
h
.
r
l
h
.
R
S
xq

= C.h = 2πRh

S
tp

= S
xq
+ 2.S
đ
= 2πRh + 2πR
2
V = S
đ
.h = πR
2
h
S
xq

= πRl
S
tp

= S
xq
+ S
đ
= πRl + πR
2
V =
1
3

V
trụ
=
1
3
πR
2
h
S = 4πR
2
V =
4
3
πR
3