12 DE TOAN 9 ON THI HSG - THI CHUYEN ( co huong dan giai )

An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
ĐỀ 01
Bài 1: Chứng tỏ phương trình sau không có nghiệm nguyên: x
2
– 2y
2
= 5
HD: Suy ra x lẻ ; x = 2k+1; thay vào PT suy ra y chẵn ; y=2t; dẫn đến m.(m+1) lẻ (vô lý)
Bài 2: Giải phương trình 5
1
3
+
x
= 2 (x
2
+2)
HD: ĐKXĐ: ? Đặt a =
1
+
x
và b =
1
2
+−
xx
; suy ra: a
2
+ b
2
=5ab; KQ: x=

2
375
±
;
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức T =
222
111 z
z
y
y
x
x
−
+
−
+
−
; trong đó x,y,z là các số dương thoã mãn x
2
+
y
2
+ z
2
= 1.
HD: p dụng BĐT Cau chy cho ba số dương 2x
2
; 1-x
2
1-x

2
từ đó suy ra x(1-x
2
)
33
2
≤
;
Suy ra
2
2
2
33
1
x
x
x
≥
−
;……..
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy D sao cho BD = 2 DC. Trên đoạn AD lấy P sao
cho
·
·
BAC BPD=
. CMR:
·
·
1
2

DPC BAC=
.
HD:Trên các cạnh AB , AC lần lượt lấy M , N sao cho DM s/song AC, MN s/song BC ;
CM: BDPM; AMPN nội tiếp, từ đây s/ra: DPNC nội tiếp – Gọi Q là trung điểm NC, Cminh QC = QN
= QD ; s/ra:Q là tâm đường tròn ngoại tiếp DPNC suy ra:
·
DPC
=
·
1
2
DQC

ĐỀ 02
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho 2p +1 là lập phương của một số tự nhiên .
HD: 2p+1 = n
3
(n
N
∈
) ; thử p = 2 ; nếu p > 2 thì p lẻ (?) ; (p ; 2) = 1; 2p = (n-1)(n
2
+n+1) ; chú ý
n
2
+n+1 lẻ và n
2
+ n + 1 > n - 1 nên chỉ có thể n -1 = 2 ; thử lại (?)
Bài 2: Giải phương trình 3
2111244

2
3
+−=−
xxx
HD: C/m VP > 0 ; s/ra: x -1 > 0 ; dùng BĐT Cauchy cho x - 1 ; 2 ; 2 và kết hợp PT s/ra:
(x - 3)
2
≤ 0 ; s/ra: x = 3; thử lại (?).
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức B = (x+1)(
1
1
+
y
) + (y+1)(
1
1
+
x
) ; trong đó x, y là các số dương thoã
mãn x
2
+ y
2
= 1 . ( Trích thi HSG Tỉnh BĐònh 2006-2007).
HD: B/đổi B = (x+
x2
1
) + ( y+
y2
1

) +
1 1 1
2
2
x y
x y y x
   
+ + + +
 ÷  ÷
   
;
KQ: Min B= 4+3
2
khi chỉ khi x = y =
2
1
.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có AD , BE , CF là các đường cao . Gọi M là điểm nằm giữa D và F ;
trên tia đối của tia ED lấy N sao cho
·
·
MAN BAC=
. Chứng minh rằng: AM là tia phân giác
·
NMF
.
HD: Gọi H là trực tâm ; c/minh: DA là tia phân giác
·
FDE
; gọi I đối xứng M qua DA thì I thuộc

đoạn DE (?) và MI s/song BC ; hãy c/minh AMIN nội tiếp; để ý rằng
·
·
AIN AMF=
.

ĐỀ 03
Bài 1: Tìm nhgiệm nguyên tố của phương trình : x
y
+ y
x
= z .
HD: z = x
y
+ y
x
≥ 2
2
+ 2
2
; s/ra : z n/tố lẻ ; s/ra: x và y khác tính chẵn lẻ ; giả sử x chẵn , s/ra: x = 2
(?) ; y lẻ , trường hợp y =3 (…) ; nếu y > 3 thì ( y ; 3) =1 (?) ; z = (2
y
+1
y
) + (y
2
-1) ;
Mà (2
y

+1
y
)
3
(?) ; (y-1)y(y+1)
3
⇒
(y
2
-1)
3
(?) ; vậy z có ước thực sự là 3 nên z không là số
n/tố .
Bài 2: Giải phương trình: x
3
+1 = 2
3
12
−
x
Nguyễn Tấn Ngọc
1
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
HD: Đặt y =



=+
=+

⇒−
xy
yx
x
21
21
12
3
3
3
(hệ đối xứng loại hai)- Trừ vế theo vế ; đưa về PT tích !
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức A =
tx
xz
xz
zy
zy
yt
yt
tx
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+

−
; trong đó x , y , z , t là các số dương.
HD: B/đổi A+4 = (x+y)








+
+
+
++








+
+
+
txzy
zt
xzyt
11

)(
11
;
Dùng a > 0 ; b > 0 thì
baba
+
≥+
411
( Dấu “=”
0
>=⇔
ba
); KQ: MinA = 0



=
=
⇔
tz
yx

Bài 4: Cho điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O) ; gọi KA và KT là hai tiếp tuyến (A và T là tiếp
điểm) . Trên tia đối của tia TK lấy điểm C sao cho AC cắt (O) tại B và B là trung điểm AC ; BK cắt
(O) lần nữa tại L . CMR: TL // AC .
HD: AKL~ BKA (g.g); TKL ~ BKT (g.g) s/ra: Hai tỉ lệ thức t/hợp cùng với KA = KT , s/ra
BT
TL
BC
AL

BT
TL
BA
AL
=⇒=
(?) ;
·
·
ALT TBC=
( cùng bù góc ? );
S/ra: ALT~ CBT (c.g.c) ;
·
·
·
LAT BCT LTK= =
(đ.v)
ĐỀ 04
Bài 1: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số
đo chu vi ? HD: lập hệ



++=
=+
)(2
222
zyxxy
zyx
; khử z s/ra: (x-4)(y-4)= 8 .
Bài 2: Giải phương trình:

121
3
−+=+
xx
. HD: ĐKXĐ: (?); Đặt u =
3
1
+
x
và v =
2
+
x
; lập
hệ (?)
Bài 3: Cho a , b , c là các số dương ; ch/minh BĐT:
2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
HD: Dùng BĐT Cau chy cho a và b+c thu được (…)

cba
a
cb
a
++
≥
+
⇒
2
(?); cuối cùng dấu bằng
không xảy ra (?).
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn , H là trực tâm . Đường phân giác ngoài ở dỉnh H của tam giác BHC
lần lượt cắt các cạnh AB , AC tại D và E . Đường thẳng qua D vuông góc AB và đường thẳng qua E
vuông góc AC cắt nhau tại K . CMR: HK đi qua trung điểm BC ?
HD: Gọi N ; P là các chân đường cao hạ từ B ; C ; DK cắt BC tại T; EK cắt BC tại R; HK cắt BC tại
O . CMR: DB:DP = HB:HP = HC:HN = EC:EN = RC:RB = TB:TC
TCRB =⇒
(…)
ĐỀ 5
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x + y) = 3(x
2
- xy + y
2
).
(Ttrích thi HSG Tỉnh BĐònh 2006-2007)
HD: Chuyển về PT bậc hai đối với ẩn x ;=> ▲
x
≥ 0 ; từ đó tìm y (?) .
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Tìm GTNN biểu thức: A =
11

22
−
+
−
b
b
a
a
.
HD: Đặt x = a-1 , y = b-1 ( với x, y > 0) => A =
4)
1
()
1
(
)1()1(
22
++++=
+
+
+
y
y
x
x
y
y
x
x
Bài 3: Giải phương trình : 3

424
23
++=+
xxxx
HD: ĐKXĐ: (?) ; Đặt u =
xvx
=+
;4
2
=> u
2
+2v
2
-3uv = 0 .
Bài 4: Cho △ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp ; O là tâm đường tròn ngoại tiếp ; G là trọng tâm
và giả sử rằng
·
AIO
= 1v . CMR: IG // BC . HD: AI cắt (O) tại E và cắt BC tại D => EB = EC = EI =
IA ; theo Đ/lý Ptôlêmê: EA . BC = EC . AB + EB . AC => 2BC = AB + AC ; t/c p/giác có:
AB : DB = AC : DC = IA : ID = (AB + AC ) : ( DB + DC)
Nguyễn Tấn Ngọc
2
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
Hay IA :ID = (AB + AC ) : BC = 2 = GA : GM ( M là trung điểm BC) => GI // MD (Talet đảo)
ĐỀ 6
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ:




=+
=−
2
13
ytxz
ztxy
; HD: => (x
2
+ 3t
2
)(y
2
+ 3z
2
) = 13 (?)
 x
2
+3t
2
=1 hoặc y
2
+3z
2
= 1
Bài 2: Cho a > 0 , b > 0 và a+b =1 . Tìm GTNN biểu thức K =
ab
ba
11
22

+
+
.
HD: K = (
ab
ba
2
11
22
+
+
) +
ab2
1
; dùng x > 0; y > 0 thì
yxyx
+
≥+
411
và (x + y)
2
≥ 4xy.
Bài 3: Giải phương trình:
1
3
+
x
= x
2
-3x -1 .

HD: ĐKXĐ: (?) ; đặt u =
1
+
x
; v =
1
2
+−
xx
( với u ≥ 0 ; v > 0) => v
2
- 2u
2
- uv = 0 ;
Bài 4: Cho △ABC vuông ở A ; vẽ đường tròn (B) đường kính AD. Trên đường thẳng BC lấy E và F
sao cho B là trung điểm EF . Các tia DE và DF lần lượt cắt (B) tại các điểm khác là M và N . CMR:
C, M , N thẳng hàng .
HD: Kẽ tiếp tuyến CK (K là tiếp điểm ; K khác A) ; giả sử E , F nằm bên trong (B) và E nằm giữa B
và C ( các trường hợp còn lại CM t/tự) . Hãy CM:
CMEK nội tiếp ;
·
1AND v=
;
△ABE = △DBF (c.g. c) =>
·
·
CME NMD+
= 180
0

ĐỀ 7
Bài 1: a) Cho C = (a - b)
3
+ (b - c)
3
+ (c - a)
3
( với a,b,c
∈
Z) . CMR: C

6 .
HD: C = 3(a-b)(b-c)(c-a) – Dùng nguyên tắc Di rich le.
b)Tìm nghiệm nguyên của PT: x
2
– 3y
2
= 17.
HD:  ( x
2
+ 1) -3y
2
= 18 => (x
2
+1)

3 ( không xảy ra ?)
Bài 2: Cho x,y,z
≥

0 và x+y+z
≤
3 . Tim GTLN biểu thức A =
111
222
+
+
+
+
+
z
z
y
y
x
x
HD: C/m:
1
1
1
2
2
2
2
+
+
≤
+
x
x

x
x
; KQ: MinA = 3/2 x = y = z = 1.
Bài 3: Cho a,b > 0 và a + b = 1 ; tìm GTNN biểu thức: B =
ab
ba
23
22
+
+
.
HD: B = 3






+
+
ab
ba
2
11
22
+
ab2
1
; dùng (x+y)
2

≥ 4xy ;
yxyx
+
≥+
411
( với x,y > 0)
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB . Trên đường thẳng AB lấy điểm C ( C nằm bên
ngoài (O) ). Từ C kẽ tiếp tuyến CE và cát tuyến CMN ( E, M, N thuộc nửa (O) ). Gọi I là hình chiếu
của E lên AB . CMR:
·
·
AIM BIN=
.
HD: C/m: CI . CO = CM . CN ( = CE
2
) => △CIM ∽ △CNO => MION nội tiếp => đpcm
ĐỀ 8
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để tổng n
4
+ n
3
+ 1 là một số chính phương .
HD: n
4
+ n
3
+ 1 > (n
2
)
2

=> n
4
+ n
3
+ 1 = (n
2
+ k)
2
( với k thuộc N
*
) (?)
 n
2
(n - 2k) = k
2
- 1 ≥ 0 (1) => (k
2
-1)

n
2
=> k
2
-1 = 0 hoặc k
2
-1≥ n
2
;
Nếu k
2

-1 = 0 => k = 1 => n = 2 ( thử lại ?) - Nếu k
2
-1 ≥ n
2
=> k > n => n - 2k < 0 => (1) > <
Bài 2: Giải phương trình:
2
2
11
2
=
−
+
x
x
. HD: ĐKXĐ: (?) Đặt y =
2
2 x
−
( với y > 0)
Nguyễn Tấn Ngọc
3
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
=>






=+
=+
2
11
2
22
yx
yx
=>




−
=
=
2
1
1
xy
xy
( ……….) => S =






−−
2

31
;1
.
Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức A = x
3
+ y
3
+ z
3
; trong đó x , y , z ≥ -1 và x
2
+y
2
+z
2
= 12 .
HD: (x+1)(x-2)
2
≥ 0  (…) MinA = 24  x = y = z = 2.
b) Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d ≤ 1 . Tìm GTLN biểu thức:
B = (
ba
+
)
4
+ (
ca
+
)
4

+ (
da
+
)
4
+ (
444
)()() dcdbcb
+++++
HD: (
)6(2)()()
2244
4
abbabababa
++=−++≤+
(dấu “=”  a = b);
T/tự (….) MaxB = 6  a = b = c = d = ¼ .
Bài 4: Cho △ABC nhọn , BC > AC và nội tiếp (O) ; H là trực tâm ; CF là đường cao của
△ABC ; trên cạnh AC lấy điểm P sao cho
·
PEO
= 1v . CMR:
·
·
FHP BAC=
.
HD: Gọi T đối xứng H qua AB ; C/m: T
∈
(O) ; PF cắt BT tại Q , c/m: FP = FQ (bài toán Con Bướm)
– △PFH = △QFT (c.g.c) =>

·
·
·
PHE QTF BAC= =
.
ĐỀ 9
Bài 1: Tìm tất cả các giá trò hữu tỷ của x để x
2
+ x + 6 có giá trò là số chính phương.
HD: C/m: x phải là số nguyên (?) ; x
2
+x+6 = y
2
(ythuộc N) ; nhân hai vế cho 4 .
Bài 2: Tìm GTNN biểu thức A =
xx
1
2
2
+
−
(với 0 < x < 2)
HD: A =
x
xx
x
xx
2
)2(
2

)2(
+−
+
−
+−
; KQ: MinA = 1,5+
2222
−=⇔
x
.
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức B =
nm
536
−
; với m , n là các số nguyên dương.
HD: A là số tự nhiên có tận cùng bằng 1 hoặc 9 – Xét A = 1  36
m
– 5
n
= 1  36
m
-1
m
= 5
n
( không xảy ra vì theo HĐTTQ thì VT chia hết cho 7) .
Bài 4: Cho △ABC ; M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho:
·
·
·

·
AMB ACB AMC ABC− = −
.
CMR:AM và các đường phân giác
·
·
;ABM ACM đồng quy .
HD: Về phía ngoài △ABC dựng △APB ∽ △AMC => △APM ∽ △ABC (c.g.c) =>
·
APM
=
·
ABC
; k/hợp
·
·
APB AMC=
=>
·
·
·
·
APB APM AMC ABC− = −
hay
· ·
·
BPM AMC ABC= −
(*)
·
·

AMP ACB=
(do hai t/g đ d) =>
·
· · ·
·
PMB AMB AMP AMB ACB= − = −
(**) . Từ (*) , (**) và đẳng thức
bài toán =>
·
·
BPM PMB=
=> △BPM cân tại B => BP = BM ; △APB ∽ △AMC =>
AB:BP=AC:CM =>AB:BM=AC:CM; gọi BD là p/giác △ABM => AB:BM = DA:DM =>
AC:CM = DA:DM => CD là p/giác △ACM => đpcm.
ĐỀ 10
Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của PT: 4(x + y) = 3xy - 8 ; HD:  (…)(…) = m (m
)Z
∈
.
b)C/tỏ PT:
1
111
22
=++
y
xy
x
không có nghiệm nguyên dương . HD: G/sử 1≤ x
y
≤

=>(><).
Bài 2: Giải PT: x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1 = 0 . HD: x = 0 (?) → chia hai vế cho x
2
→ đặt ẩn phụ ?
Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức C =
2
3
3
−
+
x
x
(với x > 2); HD: Thêm,bớt 2/3.
b)Cho x + y + z = 5 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 9 . CMR: 1
3
7
,,
≤≤

zyx
. HD: Dùng BĐT Bunhiacôpsky
có (1
2
+ 1
2
)(y
2
+ z
2
)
2
)( zy
+≥
 2(9 - x
2
)≥ (5 - x)
2
.
Bài 4: Cho △ABC có A’;B’;C’ l/lượt là trung điểm BC; CA; AB. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc miền
trong △ABC . Gọi A
1
là giao điểm MA và B’C’ ; B
1
là g/điểm MB và C’A’; C
1
là g/điểm MC và
A’B’. CMR: A’A
1
; B’B

1
; C’C
1
đồng quy.
Nguyễn Tấn Ngọc
4
An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên
Toán
HD: ( Dùng ĐL thuận & đảo Xe-Va); gọi M
1
;M
2
;M
3
l/lượt là g/điểm AM và BC ; BM và AC ;
CM và AB – Dùng Xe-Va thuận cho △ABC với ba đường đ/quyAM
1
;BM
2
;CM
3
Có:AM
3
:M
3
B ……= 1 (1); Ta-lét có: M
1
C:M
1
B = A

1
B’:A
1
C’ (2) ; t/tự có (3), (4)- Nhân (1) ,(2),
(3),(4) vế theo vế => (…); dùng Xê-Va đảo cho △A’B’C’
ĐỀà 11
Bài 1: a) Cho n
*
N
∈
và A = 6
2n
+ 19
n
- 2
n+1
. CMR: A
17
; HD: A = (36
n
- 19
n
) + 2(19
n
- 2
n
).
b)Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:




=−+−+
=++++
)2(754443
)1(1254445
222
222
yzxyzyx
yzxyzyx
HD: (1) +(2) => x + 2y = 10 (x,y > 0) ; (1) – (2) => y + 2z = 5 (y,z > 0) => x = 4z ; y = 5 - 2z
x > 0, y > 0 ; => 0 < z < 2,5 => z = 1;2
Bài 2: Giải PT: x
4
- 5x
3
+ 10x
2
- 10x + 4 = 0 ; HD: x = 0 (?) ; chia hai vế cho x
2
– đặt ẩn phụ (?).
Bài 3: a- Tìm GTNN biểu thức B =
xx
1
1
2
+
−
( với 0 < x < 1) ; KQ: MinB = 3+ 2
2
.

b- Cho a,b,c
[ ]
2;0
∈
; tìm GTLN biểu thức E =
ab
c
ca
b
bc
a
+
+
+
+
+
444
;
HD: G/sử 0
2
≤≤≤≤
cba
=> 4
bcacab
+≤+≤+≤
444
(1) – Nghòch đảo các vế =>
ac
b
ab

b
bc
a
ab
a
+
≥
++
≥
+
44
;
44
; => E
ab
cba
+
++
≤
4
; dùng (2 - a)(2 - b)
0 ; 2 4c≥ ≤
=>
4+ ab
)(2 ba
+≥
=> 4 +ab + ab
)(2 ba
+≥
(dấu “=”  ab = 0) =>2(4 + ab)

≥
2(a + b + c);
Max E = 1  (a,b,c) là các hoán vò (0;2;2).
Bài 4: Cho △ABC với AH là đường cao. Về phía ngoài t/g vẽ △ABE vuông tại B; vẽ △ ÀCF vuông
tại C sao cho △ACF ∽ △ABE . CMR: BF; CE; AH đồng quy .
HD: Từ hai t/g đ dạng => AB : BE = AC : CF – Trên tia đối tia AH lấy K sao cho AK =
( AB . BC) : EB = ( AC . BC) : FC => AK:AB = BC:BE (1) ;
·
·
KAB CBE=
(2) => △KAB ∽
△CBE =>
·
·
·
·
0
90ABK EBK BEC EBK+ = + =
=> CE ⊥ BK => đpcm
ĐỀ 12:
Bài 1: Tìm x
Z∈
sao cho đa thức x
3
-2x
2
+7x -7 chia hết cho đa thức x
2
+3 .
HD: x(x

2
+ 3) -2(x
2
+ 3) +(4x -1)

(x
2
+ 3) => (4x -1)

(x
2
+ 3) => (4x -1)(4x + 1)

(x
2
+ 3)
 ( 16(x
2
+ 3) - 49)

(x
2
+ 3) => 49

(x
2
+ 3) => x
2
+ 3 = 7;49 – Thử lại (?)
Bài 2: Giải PT:

323312
222
+−=−++−
xxxxxx
; HD: ĐKXĐ: (?) – nhân hai vế cho 2 – Dùng
Cau-Chy cho 2x
2
–x và 1 ; t/tự => VT ≤ 4 ; VP ≥ 4 (dấu “=”  x = 1) ; thử lại !
Bài 3: Tìm GTNN biểu thức P =
abc
cabcba )()(
22
+++
; trong đo ùa,b,c là độ dài ba cạnh một t/g vuông
; clà độ dài cạnh huyền .
HD: B/đổi P =
c
ba
ab
ba
+
+
+
22
=









+
++
+






−
c
ba
ab
c
ab
ba
22
1
1
222
; KQ:MinP= 2+
2

a
cb
==
22

.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (
·
ABC
< 90
0
). Các tia BA và CD cắt nhau tại M ; các tia AD
và BC cắt nhau tại N . Đường tròn ngoại tiếp △BMN cắt (O) lần nữa tại E . CMR: Đường thẳng DE
đi qua trung điểm MN.
HD: ED cắt MN tại I ; =>
·
·
·
·
·
·
0
180IME EBN EDC EBN IME EDC+ = + = ⇒ =
·
·
·
·
·
·
IMD IME DME EDC DME MED= − = − =
( góc ngoài △ DME) => IM là tiếp tuyến tại M của đ/t
ngoại tiếp △DME => IM
2
= ID . IE ; IN
2

= ID .IE => IM = IN
Nguyễn Tấn Ngọc
5