Ánh Xạ Và Số Nguyên Tố doc

www.themegall
ery.com

LOGO
Nội dung
Ánh xạ
1
Số nguyên – đồng dư thức
2
Số nguyên tố
3
Hệ g- phân
4
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Số nguyên tố
Định lý Bezout
1
Các định lý cơ bản
2
Định lý Fermat nhỏ
3
Định lý Euler
4
Nhóm I
Ứng dụng vào bảo mật
5
www.themegall

ery.com

LOGO
Định lý Bezout
Phát biểu :
Với a,b N, a>b >=1; ta có :
a) Tồn tại x,y Z : ax+by = (a,b).
b) Nếu (a,b) = 1, tồn tại x,y Z sao cho ax + by = 1.
c) (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1.
∈
Nhóm I
∈
∈
∈
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Bezout
Chứng minh :
a) Theo thuật toán Euclide :
r
n-2
= r
n-1
q
n-1
+ r
n
hay r

n
=

r
n-2
- r
n-1
q
n-1
(r
n
là ước chung lớn nhất của a và b)
Suy ra :

r
n
là một tồ hợp tuyến tính của r
n-1
, r
n-2
Tạm viết là :

r
n


th( r
n-1
, r
n-2

)
và : r
n-1


th( r
n-2
, r
n-3
)
Tiếp tục quy nạp ta có được :

r
n


th( r
n-k
, r
n-k-1
) và r
n


th( a, b

)
Hay tồn tại x,y Z / ax + by = r
n
= (a,b) (đpcm)

Nhóm I
Suy ra : r
n
 th(r
n-2
, r
n-3
)
∈
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Bezout
Chứng minh :
b) (a,b) = 1 suy ra tồn tại x,y Z / ax + by = (a,b) = 1
(đpcm).
c) Gọi c là một ước chung của a và b
Giả sử ax + by = 1
ax + by chia het cho c
c là ước của 1 c =1.
Vậy (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1.
∈
Nhóm I
∈
∈
⇔
⇔
⇔
⇔

www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Bezout
Chứng minh :
b) (a,b) = 1 suy ra tồn tại x,y Z / ax + by = (a,b) = 1
(đpcm).
c) Gọi c là một ước chung của a và b
Giả sử ax + by = 1
ax + by chia het cho c
c là ước của 1 c =1.
Vậy (a,b) =1 nếu và chỉ nếu tồn tại x,y Z : ax + by = 1.
∈
Nhóm I
∈
∈
⇔
⇔
⇔
⇔
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Phát biểu định lý 1 :
Ước số nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên là một số
nguyên tố.
Chứng minh định lý 1 :

Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1, p là ước số nhỏ
nhất khác 1 của a ( a=p.k.l).
Nếu p là số nguyên tố, bài toán coi như đã xong.
Nếu p không là số nguyên tố p = m.n(hay a=
m.n.k.l).
a có 2 ước số m,n <p (vô lý vì p là ước nhỏ nhất).
Vậy ta có đpcm.
∈
Nhóm I
⇔
⇒
⇒
⇒
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Phát biểu định lý 2 :
Có vô số số nguyên tố.
Chứng minh định lý 2:
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng :
Giả sử số các số nguyên tố là hữu hạn. Không mất tính tổng
quát ta giả sử chỉ có n số nguyên tố p
1
, p
2
,…,p
n
.

Đặt T = p
1
p
2
…p
n
+ 1 suy ra T > 1.
Theo tính chất 1 thì q > 1 là ước nguyên tố của T.
q S = {p
1
p
2
…p
n
}
q | p
1
p
2
…p
n

Và q | T = (p
1
p
2
…p
n
+ 1)
nên q | 1 suy ra q = 1 ( vô lý vì q > 1)

Vậy có vô số số nguyên tố.
Nhóm I
∈
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Phát biểu định lý 3 : Định lý cơ bản của số học
Mọi số nguyên n>=2 đều có thể biểu diễn duy nhất
thành tích của một số số nguyên tố theo dạng :
n =
Nhóm I
k
n
k
nn
ppp
21
21
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Chứng minh định lý 3 :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Chứng minh định lý 3 :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Các định lý cơ bản
Chứng minh định lý 3 :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Fermat nhỏ
Phát biểu định lý :
Chứng minh định lý :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Fermat nhỏ
* Chứng minh định lý :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO

Định lý Euler
Phát biểu định lý :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Euler
Phát biểu định lý
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Euler
Ví dụ :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Euler
Phát biểu định lý :
Chứng minh định lý :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Định lý Euler

Chứng minh định lý :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Phát biểu hệ quả :
Nhóm I
www.themegall
ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Ứng dụng :
∈
Nhóm I
⇔
⇒
www.themegall
ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Ví dụ :
∈
Nhóm I
⇔
⇒
www.themegall

ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Ví dụ :
∈
Nhóm I
⇔
⇒
www.themegall
ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Hệ quả :
∈
Nhóm I
⇔
⇒
www.themegall
ery.com

LOGO
Ứng dụng vào bảo mật
Ứng dụng :
∈
Nhóm I
⇔
⇒
≡≡

≡
Tiếp tục