LTDH_ Chuyen De Dai So To Hop.doc

Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và
không chứa 2.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn
sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn
sách cùng môn được xếp kề nhau?
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường
B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp
sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5
chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong
mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh
nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ
riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
1
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp
thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số
còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9. (ĐH Hàng hải 1999)
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một
chiếc ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999)
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số
0 và 1.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau và không chia hết cho 5.

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra
6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn
sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong
ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được
chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
2
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập
được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau
từng đôi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán
học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?

16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số
trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số
là một số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một
khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi
đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số
bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
3
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4,
5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao
cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác
có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở đòa điểm A, 2 người ở đòa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghò Hội sinh viên của trường sao
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau
vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.

31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em
nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò
chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
4
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
32. (ĐH An ninh khối D 2001)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số
có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng
3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7
học sinh nam phải đứng liền nhau.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người
bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1
nam.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số
gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần?
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5
em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?

38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho
ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số
5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
5
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6
chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có
9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vò trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong
đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt

không quá một lần.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số
chẵn?
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học
sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
49. (ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?
6
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
50. (ĐH khối D dự bò 1 2002)
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học
sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có
ít nhất một em được chọn.

51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi
số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn
tổng của 3 chữ số cuối một đơn vò.
53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp
các đường nói trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp
đôi số cạnh.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ
số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm
4 chữ số khác nhau.

59. (ĐH khối B 2004)
7
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có
thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau
và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu
hỏi dễ không ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bò 1)
Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó
phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ
số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)

Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và
đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân
biệt?
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng
của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
8
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Trên đường thẳng d
1
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d
2
cho 8 điểm phân biệt.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác
lấy từ 18 điểm đã cho.
BÀI GIẢI
1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
{ }
{ }
⊂



= ∪
 
∈ ⇔
 
⊂



∉

X A
X 1 Y
1 X
Y 3,4,5,6,7,8
2 X
.
Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 2
6
= 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A.
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123.
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n
• Tính m: Lập một số chẵn

5 4 3 2 1
a a a a a
gồm 5 chữ số khác nhau a
1
,
a
2
, a
3
, a
4
, a
5
∈ A, có nghóa là:
Lấy a
1
từ {2, 4, 6, 8} → có 4 cách
Lấy a
2
, a
3
, a
4
, a
5
từ 7 số còn lại của A → có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách

Do đó: m = 4.840 = 3360.
• Tính n: Lập một số chẵn
2 1
123a a
bắt đầu bởi 123; a
1
,a
2
∈ A; a
1
≠ a
2
Lấy a
1
từ {4,6,8} → có 3 cách
Lấy a
2
từ A \ {1,2,3,a
1
} → có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách
Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán: 2! cách
Nhóm sách Văn: 4! cách
Nhóm sách Anh: 6! cách
9
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các
em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để
ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất
trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh
trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,
v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức
abcde
(kể cả a = 0), có 4 cách chọn e
∈ {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là:
4
7
A
= 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.

Ta loại những số có dạng
0bcde
. Có 3 cách chọn e, và
3
6
A
cách
chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3.
3
6
A
= 360 số chẵn có dạng
0bcde
.
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.
2. n =
abcde
* Xem các số hình thức
abcde
(kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vò trí
cho 1. Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {1}: có
4
7
A
cách.
Như thế: có 3.
4
7
A
= 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.

* Xem các số hình thức
0bcde
. Có 2 cách chọn vò trí cho 1. Chọn chữ
số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là
3
6
A
.
Như thế: có 2.
3
6
A
= 240 số hình thức dạng
0bcde
.
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
10
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
2 1 1
4 5 6
C C C
= 180

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
1 2 1
4 5 6
C C C
= 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
1 1 2
4 5 6
C C C
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =
645.
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho
2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ
ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)

b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
11
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp
các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vò trí tuỳ ý trong 9 vò trí (5 vò trí còn lại đương
nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).
Vậy: có tất cả
=
4
9
9!
A

5!
= 6.7.8.9 = 3024 số.
9. (ĐH Hàng hải 1999)
1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
−
6 5
10 10
A A
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:
6
9
A
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
−
6 5
9 9
A A
= 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)

* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có
3
4
A
khả năng chọn 3 chữ số cuối.
⇒ Có 4.
3
4
A
= 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có
3
4
A
= 24 số
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn,
có
2
3
A
= 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
12
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9
A
= 60480
2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A .7
= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
4 2
6 8
A .A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
3 3
6 9
A .A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam → có
2 4
15 30
C .C
cách
hoặc * 3 nữ, 3 nam → có
3 3
15 30
C .C
cách
hoặc * 4 nữ, 2 nam → có
4 2
15 30
C .C
cách
hoặc * 5 nữ, 1 nam → có
5 1
15 30
C .C
cách
hoặc * 6 nữ → có
6
15
C
cách
Vậy: có
2 4
15 30
C .C
+

3 3
15 30
C .C
+
4 2
15 30
C .C
+
5 1
15 30
C .C
+
6
15
C
cách
2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là:
6
45
C
.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0
hoặc
abc2
hoặc
abc4
* Với số
abc0

ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
⇒ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số
abc2
hoặc
abc4
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3
cách chọn c.
⇒ Có 4.4.3 = 48 số
abc2
và 48 số
abc4
Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng
ab0
hoặc
ab5
.
* Với số
ab0
ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 5.4 = 20 số
* Với số
ab5
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
13
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
⇒ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi

abc
là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó
{a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
→ có 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần
tử → có 3! = 6 số.
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
15. (ĐH Y HN 2000)
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí
nam là:
1 1 1
5 3 4
C .C .C
= 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
1 2
3 4
C .C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
2 1
3 4
C .C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số
1 2 3 4 5
a a a a a

1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có
4
5
A
= 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có
2
5
A
cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có
3
4
A
= 24 cách.
Vậy có
2
5
A
.
3
4
A
= 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10

C .C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
= 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các
số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại
này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
14
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vò
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ các chữ số 2, 3, 4.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho

1 2 3 4
a a a a
. Có hai khả năng:
1. Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số chẵn thì có thể lấy a
5
∈ {1, 3, 5, 7, 9} và
lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5
a a a a a
với tổng các chữ số là một số
lẻ.
2. . Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số lẻ thì có thể lấy a
5
∈ {0, 2, 4, 6, 8} và

lập được 5 số có 5 chữ số
1 2 3 4 5
a a a a a
với tổng các chữ số là một số
lẻ.
Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số
này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên
có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một
số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có:
2
5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.
4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có

3 3
9 5
C .C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có
2 2 2
9 5 4
C .C .C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có
1 1 4
9 5 4
C .C .C
cách
Vậy có tất cả:
3 3
9 5
C .C
+
2 2 2
9 5 4
C .C .C
+
1 1 4
9 5 4
C .C .C
= 3045 cách.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn → có 5!5! cách

2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
15
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô
điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn
2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6.
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.
2
4
C
.1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
là 9.10
5
số
Với mỗi số có 6 chữ số
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
ta lập được 5 số có 7 chữ số
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
mà tổng các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.10
5
.5 = 45.10

5
số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1
cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là:
=
5
9
9!
C
5!4!
= 126.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả:
= =
3 2 4 2 2 4
9 6 9 5 9 7
C .C C .C C .C
= 1260 cách
26. (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
1 2
2 18
C .C
* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
2 1

2 18
C .C
Vậy số chọn là:
1 2
2 18
C .C
+
2 1
2 18
C .C
= 324 cách.
27. (HV Quân y 2000)
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác
nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống
nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3

4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ
với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và
các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
16
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
u
1
= 100017, 100035, …, u
n
= 999999
với công sai d = 18. Do đó:
u
n
= u
1
+ (n – 1)d ⇔ 999999 = 100017 + (n – 1).18 ⇔ n = 50000
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x =

1 2 3 4 5 6
a a a a a a
Từ giả thiết ⇒ a
1
∈ {5,6,7,8,9}, a
6
∈ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a
1
lẻ:
* a
1
có 6 cách chọn
* a
6
có 4 cách chọn
* sau khi chọn a
1
, a
6
, cần chọn
2 3 4 5
a a a a
, mỗi cách chọn ứng với
một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.
4
8
A

= 40320 số
2. a
1
chẵn:
* a
1
có 2 cách chọn
* a
6
có 5 cách chọn
*
2 3 4 5
a a a a
có
4
8
A
cách chọn
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.
4
8
A
= 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5.
3
5
A

= 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:
4
5
A
= 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có
3
9
C
cách
Chọn 2 em nữ: có
2
6
C
cách
Vậy có:
3
9
C
.
2
6
C
= 1260 cách.
17
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
32. (ĐH An ninh khối D 2001)

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
18
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
19
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Thế thì:
* Có 6 cách chọn vò trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vò trí cho số chữ 0 ta còn
3
6
C
= 20 cách chọn vò trí
cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đã chọn vò trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách
chọn cho 3 chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam ⇒ số cách chia là:
3 2
6 4
C .C
= 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là:

5
6
C
= 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:
4 1
6 4
C .C
= 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A =
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
.
+ Nếu a
1
= 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1,
2, 3, 5, 6, 7. Vậy có
5
7
A
= 2520 số.
+ Nếu a
1
≠ 4 thì vì a
1
≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a
1

. Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vò trí còn lại là a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Khi đó các vò trí khác
(không có chữ số 4) sẽ chỉ còn
4
6
A
số khác nhau. Vậy trường hợp
này có 6.5.
4
6
A
= 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
• Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên
a000
với a ∈
{1,2,3, ,9} ⇒ có 9 số

+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
20
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
*
a111
với a ∈ {2,3,4, …,9} ⇒ có 8 số
*
1b11
với b ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
*
11c1
với c ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
*
111d
với d ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
⇒ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao
cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
• Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là:
5
13
C
= 1287
* Số cách chọn 5 em toàn nam là:
5

7
C
= 21
* Số cách chọn 5 em toàn nữ là:
5
6
C
= 6
Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ
nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh
trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học
sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
• Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
2
5
C
= 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có
5
8
C
= 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
⇒ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
• Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có

3
5
C
= 10 cách chọn 3 học sinh khá.
* Có
4
8
C
= 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.
⇒ Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
21
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
• Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vò trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vò trí cho
chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là:
3
5
A
⇒ Số các số thu được là: 4.4.
3
5
A
= 960 số
• Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là:
4

5
A
⇒ Số các số thu được là: 5.
4
5
A
= 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,
8 cách chọn chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9.9.8 = 648 số.
2. • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu
được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là:
4
7
A
= 840
• Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.
* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)
* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
⇒ Số các số tạo thành: 3.6.
3
6
A
= 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120
Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Đánh số vò trí đứng từ 1 đến 9.
Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi
học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vò
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
22
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
Có 5 cặp 3 vò trí của 3 học sinh nữ.
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vò trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam
vào 6 vò trí còn lại là 6!.
Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9.
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng:
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
. Xếp chữ số 0 vào các vò trí từ
a
2
đến a
6
: có 5 cách xếp. Còn lại 5 vò trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để
xếp vào 5 vò trí này: có
5
8

A
cách.
Vậy tất cả có: 5.
5
8
A
= 33600 cách.
2. Số được xét có dạng:
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
.
Chọn 2 vò trí để xếp hai chữ số 2: có
2
7
C
cách.
Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
5
C
cách.
Còn 2 vò trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vò trí này: có 2!
2
8
C

cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

2

7
C
.
3
5
C
.2!
2
8
C
= 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.
Đối với các số
2 3 4 5 6 7
0a a a a a a
:
* Chọn 2 vò trí để xếp chữ số 2: có
2
6
C
cách.
* Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
4
C
cách.
* Chọn 1 số để xếp vào vò trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có:
2
6

C
.
3
4
C
.7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x =
1 2 3 4 5
a a a a a
∈ X.
Nếu chọn a
5
= 1 thì
1 2 3 4
a a a a
ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 1.
23
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Duy Thái
Tương tự có
4
5

A
số có chứ hàng đơn vò là 3; …
⇒ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vò của các phần tử x ∈ X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).
4
5
A
= 3360.
Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x ∈
X là: 3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
1. Số tập con của A là:
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
20
2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C
Ta có: 0 = (1 – 1)
20
=

− + − +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
⇒
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C
=
+ + +
1 3 19
20 20 20
C C C
⇒
+ + + +
0 1 2 20
20 20 20 20
C C C C
= 2
( )
+ + + +
0 2 4 20
20 20 20 20
C C C C
⇒ T =
+ + +
2 4 20
20 20 20
C C C

=
−
20
0
20
2
C
2
= 2
19
– 1.
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Xét các số chẵn x =
abc
với 3 chữ số khác nhau; a, b, c ∈
{1;2;3;4;5} = E.
Vì x chẵn nên c ∈ {2;4} ⇒ có 2 cách chọn c.
Với mỗi cách chọn c, có
2
4
A
cách chọn
bc
.
Vậy tất cả có: 2.
2
4
A
= 24 số chẵn.
2. Xét x =

abc
với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345.
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta
đều có x =
abc
< 345. Loại này có: 2.
2
5
A
= 40 số.
* Nếu a = 3 thì x =
3bc
< 345 ⇔
{ }

= ∈

= =

b 1hoặc 2; c E \ a,b
b 4; c 1hoặc 2
Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh
nam thì có 2 trường hợp:
24
Trần Duy Thái Tuyển tập Đại số tổ hợp
* 2 nam và 3 nữ: có

2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
2 3
10 10
C .C
= 10800 cách.
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh
nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có
1 4
10 10
C .C
cách.
* 2 nam và 3 nữ: có
2 3
10 10
C .C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
3 2
10 10
C .C

cách.
* 4 nam và 1 nữ: có
4 1
10 10
C .C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
1 4
10 10
C .C
+ 2.
2 3
10 10
C .C
= 15000 cách.
49. (ĐH Y HN 2001)
Ta xét các trường hợp sau:
1. Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, 6 ⇒ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn
vò.
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng
đơn vò và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 6 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.
2. Chữ số hàng đơn vò là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng
chục.

⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 6 số.
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.
50. (ĐH khối D dự bò 1 2002)
Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là:
8
18
C
=
43758
Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối
đều có em được chọn (số cách phải tìm).
25