Công suất mạch điện xoay chiều có RLC mắc nối tiếp

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Vật lý

Seminar

Công suất mạch điện xoay chiều RLC nối
tiếp
Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Lê Anh
Nguyễn Quốc Khánh
Trần Hữu Cầu
Lương Minh Khánh
Nguyễn Tố Ái
Nguyễn Ngọc Phương Dung
Trịnh Ngọc Diểm


Lý thuyết
1. Công suất:

Giả sử:

i = I0 cos ω t

u = U0 cos ( ωt + ϕ )

Công suất tức thời:

Lấy trung bình:

p = ui = U0 .I0 .cos ( ωt ) cos ( ωt + ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ( 2ωt + ϕ )

P = p = UI cos ϕ + UI cos ( 2ωt + ϕ ) = UI cos ϕ

Công suất của dòng điện xoay chiều:

P = UI cos ϕ

2. hệ số Công suất:

Hệ số công suất:

P RI 2 RI 2
cos ϕ =
=
= 2⇒
UI UI ZI

R
cos ϕ =
Z


Lý thuyết
3. Cơng suất hao phí:

P2 R
∆P = 2
U cos2 ϕ

Cơng suất hao phí trong q trình truyền tải điện năng:

Độ giảm điện áp trên đường dây tải điện:

Hiệu suất tải điện:

∆U = I. R

P − ∆P
H=
×
100%
P


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Tìm cơng suất, hệ số cơng suất
Một tụ điện có điện dung C = 5,3 μF mắc nối tiếp với điện trở R = 300 Ω thành một đoạn mạch. Mắc đoạn mạch vào mạng điện xoay chiều có điện áp
200 V, tần số 50 Hz. Hệ số công suất khi đó là:
A. 0,447

Dung kháng của tụ điện:

Tổng trở của mạch điện:

Hệ số công suất:

B. 0,300

C. 0,557

ZC =

D. 0,600

1
1
=
≈ 600,58 ( Ω )
−6
2π fC 2π .50.5,3.10

2
Z = R 2 + ZC = 3002 + 600,582 ≈ 671,34 ( Ω )

cos ϕ =

R
300
=
≈ 0, 447
Z 671,34


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Tìm cơng suất, hệ số cơng suất
Cơng suất truyền đi của một trạm phát điện là 200 kW. Hiệu số chỉ các công tơ điện ở trạm phát và ở nơi thu sau một ngày đêm lệch nhau thêm 480

kWh. Tính hiệu suất tải điện?
A. 80%

B. 85%

C. 90%

∆P =

D. 95%

A 480
=
= 20
t
24

( kW )

P − ∆P
200 − 20
H=
×
100% =
×
100% = 90%
P
200

Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi L, C và ω thay đổi

Ta có:

U2
U2R
P = RI = R 2 = 2
2
Z
R + ( Z L − ZC )

P = Pmax

2

2
⇒  R 2 + ( Z L − ZC )  = R 2

 min

Z L = ZC ⇒ Lω =

1
⇒ω =
Cω

1

LC

P = Pmax

(mạch cộng hưởng)

2

U
=
R


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi L, C và ω thay đổi
Cho mạch điện RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Biết L = (H), C = (F), R = 100 (Ω), uAB = 200cosωt (V) với ω thay đổi được.
Giá trị f để công suất tỏa nhiệt trên R là lớn nhất và giá trị cơng suất khi đó lần lượt là:
A. 50 Hz và 100 W

Ta có:

B. 100 Hz và 200 W

U = 100 2

Áp dụng công thức, ta có:

C. 60 Hz và 120 W

D. 100 Hz và 100 W

( V)
ω=

P = Pmax

1
=
LC

(

1
−4

1 10
×
π 4π

100 2
U2
=
=
R
100

)

= 200π

( rad / s )

2

= 200

( W)

⇒ f = 100

( Hz )


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi

U2
U2
P = RI = R 2 = R 2
=
2
Z
R + ( Z L − ZC )
2

Ta có:

P = Pmax

2

( Z L − ZC ) 
⇒ R +

R

 min



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

P = Pmax

U2

( Z − ZC )
R+ L

2

R

( Z L − ZC ) ≥ 2 R ×( ZL − ZC ) = 2 Z − Z
R+

L
C
R
R

U2
U2
=
=
2 R 2 Z L − ZC

2

2


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi
Cho mạch điện RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Biết L = (H), C = (F), uAB = 200cos100πt (V)
Giá trị R để công suất tỏa nhiệt trên R là lớn nhất và giá trị cơng suất khi đó lần lượt là:
A. 50 Ω và 400 W

Ta có:

B. 150 Ω và 400 W

Z L = Lω = 100

Áp dụng công thức, ta có:

C. 50 Ω và 200 W

( Ω)

D. 150 Ω và 200 W

1
ZC =
= 50
Cω

( Ω)

U = 100 2

R = Z L − ZC = 100 − 50 = 50

P = Pmax

(

100 2
U2
=
=
2R
2.50

)

( Ω)

( Ω)

2

= 200

( W)


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Tìm R thay đổi để P = P’ (với P’ < Pmax)

Phương pháp giải cũng khá đơn giản, ta xuất phát từ công thức:

P′ = P = I R =
2

U2R
R 2 + ( Z L − ZC )

2

⇒ P′R 2 + P′ ( Z L − ZC ) = U 2 R
2

⇔ P′R 2 − U 2 R + P′ ( Z L − ZC ) = 0
2

Giải phương trình bậc hai (1) này, ta được 2 nghiệm R1 và R2

( 1)


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi
Cho mạch điện RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Biết L = (H), C = (F), uAB = 200cos100πt (V)
Giá trị điện trở R để công suất tỏa nhiệt trên R là 240 (W) là:
A. 30 Ω

Ta có:

B. Ω

C. Cả A và B đều đúng

Z L = Lω = 100

( Ω)

D. Cả A và B đều sai

1
ZC =
= 60
Cω

( Ω)

U = 100 2

P′R 2 − U 2 R + P′ ( Z L − ZC ) = 0
2

Giải phương trình bậc hai:

(

⇒ 240 R − 100 2
2

)

2

R + 240 ( 100 − 60 ) = 0

 R1 = 30 ( Ω )
⇒
 R2 = 160 ( Ω )



3

2

( Ω)


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị R cùng cho một công suất tiêu thụ P bằng nhau

Ta chỉ cần sử dụng định lý Viete trong phương trình bậc hai:

PR − U R + P ( Z L − ZC ) = 0
2

2

2

Nếu R1 và R2 là nghiệm của phương trình bậc hai này thì:

 R1 R2 = ( Z L − ZC ) 2


U2
 R1 + R2 =

P

Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị R cùng cho một công suất tiêu thụ P bằng nhau
Mạch RLC nối tiếp với R là biến trở, cuộn dây thuần cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp u = 200cos100πt (V). Thay đổi R thì thấy khi R = 10 (Ω)
và R = 40 (Ω) cơng suất của mạch có cùng giá trị bằng P. Giá trị R và công suất tiêu thụ của mạch khi đạt giá trị cực đại lần lượt là:
A. 20 Ω và 250 W

B. 50 Ω và 400 W

C. 30 Ω và 250 W

D. 20 Ω và 500 W

R1 R2 = ( Z L − ZC )

Áp dụng công thức khi hai giá trị điện trở có cùng cơng suất:

Mặt khác, khi cơng suất cực đại với R thay đổi, ta lại có:

R = Z L − ZC = R1 R2 = 10.40 = 20
Như vậy công suất cực đại:

Pmax

(

100 2

U2
=
=
2R
2.20

)

( Ω)

2

= 500

( W)

2


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị L1, L2 cho cùng một cơng suất
Gọi hai cơng suất bằng nhau đó là P1 và P2, ta có:

P = P2 ⇒
1

(

U2R

R + Z L1 − ZC
2

 Z L1 − ZC = Z L2 − ZC
⇒
 Z L1 − ZC = ZC − Z L2


)

2

=

(

U2R

R + Z L2 − ZC
2

)

2

⇒

Z L1 − ZC = Z L2 − ZC

 Z L1 = Z L2 (lo¹i)
1
⇔
⇒ ω L1 + ω L2 = 2
Cω
 Z L1 + Z L2 = 2 ZC


L1 + L2 =

2
Cω 2

Ngược lại, nếu biết 2 giá trị C1 và C2 cho cùng một công suất:

Z L − ZC1 = Z L − ZC2 ⇒ ω L −

1
1
1  1
1 
1
1
=
− ω L ⇒ 2 L = 2  + ÷⇒
+ = 2ω 2 L
C1ω C2ω
ω  C2 C1  C2 C1

Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị L1, L2 cho cùng một công suất
Cho mạch RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm được đặt vào nguồn điện xoay chiều

u = 200cos100πt (V). Biết điện trở R = 10 (Ω), khi hai giá trị L 1 =

0,6 (H) và L2 = 0,2 (H) thì thấy hai giá trị cơng suất bằng nhau. Cơng suất tiêu thụ khi đó là:
A. 500 W

Ta có:

B. 600 W

Z L1 = 30

( Ω)

Áp dụng công thức, ta có:

Ta có cơng suất khi đó:

C. 800W

D. 1000W

Z L2 = 10
Z L1 + Z L2

ZC =
P=

2

( Ω)
=

30 + 10
= 20
2

2

(

U R

R + Z L1 − ZC
2

)

2

=

( Ω)

( 100 2 )

2

.10

10 + ( 30 − 20 )
2

2

= 1000

( W)


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị ω1, ω2 cho cùng một cơng suất
Tương tự, ta cũng có:

P = P2 ⇒
1

(

U2R

R + Z L1 − ZC1

2

)

2

=

(

U2R

R + Z L2 − ZC2
2

)

2

⇒

U2R
2


1 
R 2 +  Lω1 −
÷
Cω1 


=

U2R

1
1

Lω1 −
= Lω2 −

Cω1
Cω2
1
1
⇒ Lω1 −
= Lω2 −
⇒

Cω1
Cω2
1
1
Lω1 −
=
− Lω2

Cω1 Cω2


1 ω2 − ω1

1

L ( ω1 − ω2 ) =
ω1ω2 = −
(lo¹i)


C ω1ω2
LC
⇔
⇔

1
1 ω2 + ω1

ω1ω2 =
L ( ω1 + ω2 ) =


LC
C ω1ω2



2


1 

R 2 +  Lω2 −
÷
Cω2 


1
ω1ω2 =
LC


Phân loại bài tập
1. Mạch RLC chứa cuộn dây thuần cảm:

 Biết hai giá trị ω1, ω2 cho cùng một công suất
Cho mạch RLC nối tiếp với cuộn dây thuần cảm được đặt vào nguồn điện xoay chiều

u = 200cos2πft (V) với giá trị tần số f thay đổi được. Biết khi f 1 =

25 (Hz) và f2 = 100 (Hz) thì thấy hai giá trị cơng suất bằng nhau. Muốn cho cơng suất mạch đạt cực đại thì giá trị f 0 là:
A. 75 Hz

B. 125 Hz

C. 62,5 Hz

ω0 =

Với f thay đổi, mạch đạt giá trị cực đại khi:

D. 50 Hz

1
1
⇒ f0 =
LC
2π LC

Mặt khác, vì cơng suất bằng nhau ứng với f1 và f2 nên:

ω1ω2 =
Như vậy, ta có:

1
1
⇒ 4π 2 f1 f2 =
⇒
LC
LC

f0 =

f1 f2 =

f1 f2 = 25.100 = 50

1
2π LC

( Hz )

Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Tìm cơng suất, hệ số cơng suất
Cơng suất tiêu thụ của đoạn mạch:

P = UI cos ϕ = I 2 ( R + r )

Công suất tiêu thụ trên điện trở R:

U2R
U2R
PR = I R = 2 =
2
2
Z
( R + r ) + ( Z L − ZC )

Công suất tiêu thụ trên cuộn dây:

U 2r
U 2r
Pr = I r = 2 =
2
2
Z
( R + r ) + ( Z L − ZC )

2

2

Hệ số công suất của đoạn mạch:

R+r
cos ϕ =
=
Z

Hệ số công suất của cuộn dây:

cos ϕ =

R+r

( R + r ) + ( Z L − ZC )
2

r
r
=
Zd
r 2 + ZL2

2


Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi L, C và ω thay đổi

Ta có:

U2 ( R + r)
U2
P = ( R + r) I2 = ( R + r) 2 =
2
2
Z
R + r ) + ( Z L − ZC )
(
1

 Z L = ZC ⇒ ω = LC

⇒
U2

Pmax =


R+r


Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi

Ta có:

U2
U2
P = ( R + r) I2 = ( R + r) 2 = ( R + r)
=
2
2
Z
( R + r ) + ( Z L − ZC )


R + r = Z L − ZC

U2
U2

 P = Pmax = 2 ( R + r ) = 2 Z − Z
L
C


U2
R+r+

( Z L − ZC )
R+r

2

Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi
Tuy nhiên, khi xét đến công suất tiêu thụ lớn nhất trên điện trở R thì sẽ có thay đổi trong phép biến đổi. Lúc đó ta có:

P=I R=
2

U2R

( R + r)

2

+ ( Z L − ZC )

2

=

U2R
R + 2 Rr + r + ( Z L − ZC )
2

2

2

=

U2

( Z − ZC )
2r + R + L

2

+ r2

R

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

( Z L − ZC )
R+

2

+r

2

R

R=

( Z L − ZC )

2

+ r2

≥2

( Z L − ZC )
R
R

PR max

2

+ r2

=2

( Z L − ZC )

U2
=
=
2( R + r) 2 r +



2

+ r2

U2
Z L − ZC ) + r 2 
(
÷

2


Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Công suất lớn nhất khi R thay đổi

Trong trường hợp, R thay đổi để công suất trên cuộn dây cực đại thì:

P=

U 2r

( R + r)

2

+ ( Z L − ZC )

2

 ( R + r ) 2 + ( Z L − ZC ) 2  ⇒ ( R + r ) ⇒ R = 0
P = Pmax ⇒

min

 min
Pmax =

U 2r
r 2 + ( Z L − ZC )

2


Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Tìm R thay đổi để P = P’ (với P’ < Pmax)
Dạng 1: Nếu P là công suất của cả đoạn mạch.

P′ = P = I 2 ( R + r ) =

U2 ( R + r)

( R + r ) + ( Z L − ZC )
2

2

⇒ P′ ( R + r ) − U 2 ( R + r ) + P′ ( Z L − ZC ) = 0
2

Giải phương trình bậc hai, ta tìm được 2 nghiệm:

2

 ( R1 + r )


( R2 + r )


Nếu đề bài cho trước 2 giá trị R1 và R2 cùng cho một cơng suất thì ta áp dụng định lý Viete cho phương trình bậc hai:

( R1 + r ) ( R2 + r ) = ( Z L − ZC ) 2


U2
R1 + R2 + 2 r =


P


Phân loại bài tập
2. Mạch RLC chứa cuộn dây không thuần cảm:

 Tìm R thay đổi để P = P’ (với P’ < Pmax)
Dạng 2: Nếu P là công suất tiêu thụ trên điện trở R (hoặc r)

P′ = P = I 2 R =

U2R

⇒ P′ ( R + r ) − U 2 R + P′ ( Z L − Z C ) = 0
2

( R + r ) + ( Z L − ZC )
2

2

⇔ P′R 2 + 2 P′Rr + P′r 2 − U 2 R + P′ ( Z L − ZC ) = 0
2

(

)

2
⇔ P′R 2 + 2 P′r − U 2 R + P′  r 2 + ( Z L − ZC )  = 0


Ngược lại, nếu bài toán cho 2 nghiệm R trước để công suất bằng nhau

(

)

2
′R 2 + 2 P′r − U 2 R + P′  r 2 + ( Z L − ZC )  = 0
⇔P



 R1 R2 = r 2 + ( Z L − ZC ) 2

⇒
2
 R1 + R2 = U − 2 P′r


2


Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho một đoạn mạch xoay chiều gồm một tụ điện và một biến trở mắc nối tiếp. Đặt Volt kế vào hai đầu đoạn mạch thì Volt kế chỉ . Thay đổi điện trở của biến trở. Khi
cường độ hiệu dụng của dịng điện có giá trị 1 A thì cơng suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt cực đại. Điện trở của biến trở lúc đó là:
A. 100 Ω

B. 200 Ω

C. Ω

D. Ω

Bài 2: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R 1 = 40 Ω mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C = F, đoạn mạch
MB gồm điện trở thuần R2 mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần. Đặt vào A, B điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số khơng đổi thì điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch
AM và MB lần lượt là:
A. 0,86

uAM = 50cos(100 ) (V) và uMB = 150cos100 (V). Hệ số công suất của đoạn mạch AB là:

B. 0,84

C. 0,95

D. 0,71

Bài 3: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AN và NB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AN gồm có điện trở R và cuộn dây thuần cảm L, đoạn mạch NB gồm tụ điện C. Đặt vào A, B
điện áp xoay chiều

u AB = 100cos100 (V). Hệ số cơng suất của tồn mạch là 0,6 và hệ số công suất của đoạn mạch AN là 0,8. Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu N, B

là:
A. 100 V

B. 125 V

C. 150 V

D. 75 V