Các chuyên đề vật lý tổng hợp cực hay

Chương I: DAO ðỘNG CƠ
DAO ðỘNG ðIỀU HỒ
1. Dao động
Chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng gọi là dao động. Dao động có thể là tuần hồn, có thể là khơng tuần
hồn.
Dao động tuần hồn: Chuyển động được lặp lại liên tiếp và mãi mãi. gọi là dao động tuần hồn.
Khi vật thực hiện được một dao động Ta gọi giai đoạn đó là một dao động tuần hồn hay một chu trình.
Thời gian thực hiện một dao động tuần hồn gọi là chu kì (kí hiệu là T) của dao động tuần hồn. ðơn vị của chu kì
là giây (s).
Trong 1 giây chuyển động thực hiện được f=
1
T
dao động tuần hồn, f gọi là tần số của dao động tuần hồn. ðơn
vị của tần số là
1
s
, gọi là héc (kí hiệu Hz).
2. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lò xo.
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang (Hình 6.3)
Con lắc lò xo gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lượng
khơng đáng kể, đầu kia củalò xo cố định.
Trục x như hình vẽ, gốc O ứng với vị trí cân bằng. Toạ độ x của vật
tính từ vị trí cân bằng gọi là li độ.
Lực F tác dụng lên vật nặng là lực đàn hồi của lò xo, lực này ln
hướng về O (trái dấu với li độ) và có độ lớn tỉ lệ thuận với li độ,
nên: F= -kx ; hệ số tỉ lệ k là độ cứng của lò xo.Lực F ln ln hướng
về vị trí cân bằng nên được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục.
Gia tốc của vật nặng (khối lượng m) bằng đạo hàm hạng hai của li
độ theo thời gian x’’.Bỏ qua ma sát và áp dụng định luật II Niu- tơn,
ta có: mx'’= - kx hay là x’’=
k

m
x= 0 (6.1)ðặt:
ω
2
=
k
m
(6.1)
phương trình (6.1) trở thành: x’’=
ω
2
x= 0 (6.3)
Phương trình (6.1) hoặc (6.3) gọi là phương trình động lực học của dao động.
3. Nghiệm của phương trình động lực học: phương trình dao động điều hồ.
Tốn học cho biết nghiệm của phương trình (6.3) có dạng: x= Acos(
ω ϕ
t +
) (6.4)
trong đó A và
ϕ
là hai hằng số bất kì. Có thể thử lại điều đó bằng cách tính đạo hàm của x:
x'= -
ω
Asin(
ω ϕ
t +
) (6.5) x’’= -
ω
2
Acos(

ω ϕ
t +
)=-
ω
2
x (6.6)
Thay biểu thức (6.6) của x’’ vào phương trình (6.3), ta thấy rằng phương trình này được nghiệm đúng.
Hình 6.3. Con lắc lò xo
a) Vật nặng ở vò trí cân bằng O, lò xo không dãn.
b) Vật nặng ở vò trí M, li độ x, vật chòu lực tác dụng
của lực đàn hồi F = - kx của lò xo.
x
O
x
M
O
b)
a)

Phương trình (6.4) cho sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian, gọi là phương trình dao động.
Dao động mà phương trình có dạng (6.4), tức là vế phải là hàm cơsin hay sin của thời gian nhân với một
hằng số, gọi là dao động điều hồ.
4. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hồ
Với giá trị của A dương trong (6.4):
a) A gọi là biên độ, đó là giá trị cực đại của li độ x ứng với
lúc cos(
ω ϕ
t +
)= 1. Biên độ ln ln dương.
b) (

ω ϕ
t +
) gọi là pha của dao động tại thời điểm t, pha chính
là đối số của hàm cơsin và là một góc. Với một biên độ đã
cho thì pha xác định li độ x của dao động.
c)
ϕ
là pha ban đầu, tức là pha
ω ϕ
t +
vào thời điểm t= 0.
d)
ω
gọi là tần số góc của dao động.
ω
là tốc độ biến đổi của góc pha, có đơn vị là rad/s hoặc độ/s. Với một con lắc
lò xo đã cho thì tần số góc
ω
chỉ có một giá trị xác định cho bởi (6.2).
5. ðồ thị (li độ) của dao động điều hồ.
Xuất phát từ phương trình dao động (6.4), cho
ϕ
= 0 để đơn giản. Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian t
(xem Bảng 6.1) và vẽ đường biểu diễn x theo t (Hình 6.4). Từ đồ thị ta thấy rằng, dao động điều hồ là chuyển động tuần
hồn.

6. Chu kì và tần số của dao động điều hồ: T =
2
π
ω

(6.7)
Tần số f của dao động điều hồ, theo định nghĩa, là: f=
1
T
=
2
ω
π
(6.8)
7. Vận tốc trong dao động điều hồ: v=x’= -
ω
Asin(
ω ϕ
t +
) =
ω
Acos
π
 
ω ϕ
 
 
t + +
2
(6.9)
như vậy là vận tốc cũng biến đổi điều hồ và có cùng chu kì với li độ. ðồ thị vận tốc (đường đứt nét) đối chiếu với đồ thị li
độ ( đường liền nét) được vẽ trên Hình 6.5.
Chú ý rằng: Ở vị trí giới hạn x=
±
A thì vận tốc có giá trị bằng 0.

Ở vị trí cân bằng x= 0 thì vận tốc v có độ lớn cực đại, bằng
ω
A ( hoặc -
ω
A).
8. Gia tốc trong dao động điều hồ
Gia tốc a bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a= v’= x’’=-
ω
2
Acos(
ω ϕ
t +
) = -
ω
2
x (6.10)
Gia tốc ln ln trái dấu với li độ và có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ.Người ta nói rằng, gia tốc ngược pha với li độ
9. Biểu diễn dao động điều hồ bằng vectơ quay
ðể biểu diễn dao động điều hồ (6.4) người ta dùng một vectơ
OM

có độ dài
là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ
góc là
ω
. Ở thời điểm ban đầu t= 0, góc giữa trục Ox và
OM

là
ϕ

(pha ban đầu)
T
T
T
x
t
T
- A
A
O

Hình 6.7 Véctơ quay vào một thời
điểm t bất kì.
ϕ
ϕϕ
ϕ
M
P
x
x
O
(Hình 6.6). Ở thời ñiểm t, góc giữa trục Ox và
OM

sẽ là
ω ϕ
t +
(Hình 6.7),
góc ñó chính là pha của dao ñộng.ðộ dài ñại số của hình chiếu vectơ quay
OM



trên trục x sẽ là:ch
x
OM

=
OP
= Acos(
ω ϕ
t +
) (6.11)
ñó chính là biểu thức trong vế phải của (6.4) và là li ñộ x của dao ñộng.
Như vậy: ðộ dài ñại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay
OM

biểu
diễn dao ñộng ñiều hoà chính là li ñộ x của dao ñộng.
10. ðiều kiện ban ñầu: sự kích thích dao ñộng
Xét một vật dao ñộng, ví dụ vật nặng trong con lắc lò xo. Trong
bài trước, ta ñã tìm ñược phương trình dao ñộng của vật, trong ñó có hai
hằng số A và
ϕ
có giá trị xác ñịnh, tuỳ theo cách kích thích dao ñộng.




BÀI TẬP
1. Tốc ñộ của chất ñiểm dao ñộng ñiều hoà cực ñại khi

A. Li ñộ cực ñại. B. Gia tốc cực ñại. C. Li ñộ bằng 0. D. Pha bằng
4
π
.
2. Gia tốc của chất ñiểm dao ñộng ñiều hoà bằng 0 khi
A. Li ñộ cực ñại. B. Li ñộ cực tiểu. C. Vận tốc cực ñại hoặc cực tiểu. D. Vận tốc bằng 0.
3. Dao ñộng cơ ñiều hoà ñổi chiều khi
A. Lực tác dụng ñổi chiều. B. Lực tác dụng bằng 0.
C. Lực tác dụng có ñộ lớn cực ñại. D. Lực tác dụng có ñộ lớn cực tiểu.
4. a) Thử lại rằng: x= A
1
cos
ω
t+ A
2
sin
ω
t. (6.14)
trong ñó A
1
và A
2
là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).
b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A
1
và A
2
trong biểu thức ở vế phải của (6.3) như sau:
A
1

= Acos
ϕ
; A
2
= - Asin
ϕ
thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).
5. Phương trình dao ñộng của một vật là: x= 6cos
4
π
 
π
 
 
t +
6
(cm).
a) Xác ñịnh biên ñộ, tần số góc, chu kì và tần số của dao ñộng.
b) Xác ñịnh pha của dao ñộng tại thời ñiểm t =
1
4
s, từ ñó suy ra li ñộ tại thời ñiểm ấy.
c) Vẽ vectơ quay biểu diễn dao ñộng vào thời ñiểm t= 0.

t
x, v, a
A
-
A

ωA

-ωA

ω
2
A

-ω
2
A

O

T T/2

T
ðường biểu diễn x(t), v(t) và a(t) vẽ trong cùng một
hệ trục toạ ñộ, ứng với φ = 0
a(t)

v(t)

x(t)


6. Một vật dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ A= 4cm và chu kì T= 2s.
a) Viết phương trình dao ñộng của vật, chọn gốc thời gian là lúc nó ñi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Tính li ñộ của vật tại thời ñiểm t= 5,5s.
7. Một vật nặng treo vào một lò xo làm cho lò xo dãn ra 0,8cm. Cho vật dao ñộng. Tìm chu ì dao ñộng ấy. Lấy g= 10m/s

2
.

7. CON LẮC ðƠN -
1. Con lắc ñơn
Con lắc ñơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m, treo ở ñầu một sợi dây mền không dãn có ñộ
dài l và có khối lượng không ñáng kể.
Vị trí cân bằng của con lắc ñơn là vị trí mà dây treo thẳng ñứng QO, vật nặng ở vị trí O thấp nhất.
Nếu ñưa vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng, ví dụ tới vị trí A trên quỹ ñạo tròn tâm Q bán kính l với


OA
= s
0
, rồi thả
tự do thì vật nặng dao ñộng trên cung tròn

AOB
, qua lại quanh vị trí cân bằng (Hình 7.1a).
2. Phương trình ñộng lực học


Vật nặng ở vị
trí M xác ñịnh bởi


OM
= s (Hình 7.1b),
s gọi là li ñô cong.
Dây treo ở

QM xác ñịnh bởi góc


OQM
=
α
gọi là li
ñộ góc.
Chiều dương ñể tính s và
α
gọi là chiều từ O ñến A. Hệ thức giữa s và
α
là: s= l
α
.
Các lực tác dụng lên vật là: - Trọng lực
P
→
có ñộ lớn mg hướng thẳng ñứng xuống dưới.
- Phản lực
R
→
của dây hướng theo MQ.
Ta phân tích trọng lực
P
→
thành hai phần: thành phần
n
P
→

theo phương của dây treo MQ và vuông góc với quỹ ñạo
tròn, thành phần
t
P
→
theo phương tiếp tuyến với quỹ ñạo.
P
→
=
n
P
→
+
t
P
→
(7.1)
Thành phần
n
P
→
của trọng lực và phản lực
R
→
của dây treo cùng tác dụng lên vật, nhưng vì chúng vuông góc với quỹ ñạo
nên không làm thay ñổi tốc ñộ của vật. Hợp lực của chúng là lực hướng tâm giữ cho vật chuyển ñộng trên quỹ ñạo tròn.
Thành phần
t
P
→

của trọng lực luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O, giống như lực kéo về trong con
lắc lò xo.
H 7.2

Q
A
B
O
Q
A
B
O
M

l
P


R


α

a) Con lắc ñơn.
b) Sơ ñồ con lắc ñơn.
Hình 7.1 Con lắc ñơn và sơ ñồ.

α
Q
A

O
B
P


P
n


P
t

R


M

α
s
(+)

Với những dao ñộng nhỏ, tức là li ñộ góc
α
<< 1, còn li ñộ cong s << l, thì có thể coi gần ñúng cung

OM
là ñoạn
thẳng.
Hình 7.2 cho thấy lực
t

P
→
có ñộ lớn mgsin
α
và luôn hướng về O, nên: P
t
= - mgsin
α

Ngoài ra,
α
<< 1 nên có thể coi gần ñúng sin
α

≈
α
. Áp dụng ñịnh luật II Niu- tơn, ta có:
ms'’= - mgsin
α

≈
mg
α
≈
- mg
s
l
(7.2) Từ ñây, suy ra: s’’+
g
l

s= 0 (7.3a) ðó là phương trình
ñộng lực học của dao ñộng của con lắc ñơn với li ñộ cong s nhỏ (so với l). ðặt:
ω
g
=
l
(7.4)
ta lại có phương trình giống như phương trình (6.3) trong bài trước ñối với dao ñộng của con lắc lò xo:
s’’ =
2
ω
s= 0 (7.5a)
3. Nghiệm của phương trình (7.5a)
Phương trình dao ñộng của con lắc là: s = Acos(
ω
t+
ϕ
) (7.6)
Với cách kích thích như ở mục 1 (tức là ñưa vật nặng về phía phải, ở li ñộ cong s
0
rồi thả tự do) và gốc thời gian
chọn vào lúc thả vật nặng, ta có ñiều kiện ban ñầu: Khi t= 0 thì s = s
0
và v= s’= 0 (7.7)
Vận dụng ñiều kiện ban ñầu cho nghiệm (7.6), ta có: Acos
ϕ
= s
0
và -
ω

Asin
ϕ
= 0
từ ñó, suy ra:
ϕ
= 0 và A= s
0
. Vậy, nếu kích thích như ở mục 1 thì: s=s
0
cos
ω
t (7.8)
Có thể chọn góc lệch
α
của dây treo làm thông số xác ñịnh vị trí (toạ ñộ góc), khi ñó:

α
=
α
0
cos
ω
t (7.9)
Cả hai phương trình (7.8) và (7.9) ñều mô tả cùng một chuyển ñộng dao ñộng của con lắc ñơn. ðó là một dao ñộng
ñiều hoà.
Dao ñộng của con lắc ñơn với góc lệch nhỏ là dao ñộng ñiều hoà quanh vị trí cân bằng với tần số góc
ω
ωω
ω
cho

bởi (7.4). Tần số góc
ω
không phụ thuộc khối lượng m của vật nặng.
Chu kì T của dao ñộng nhỏ là:
2
π
= π
ω
2 l
T =
g
(7.10)
. BÀI TẬP
1. Chu kì dao ñộng nhỏ của con lắc ñơn phụ thuộc
A. Khối lượng của con lắc. B. Trọng lượng của con lắc.
C. Tỉ số của trọng lượng và khối lượng của con lắc. D. Khối lượng riêng của con lắc.
2. Chu kì của con lắc vật lí ñược xác ñịnh bằng công thức
A.
1
2π
mgd
T =
I
B.
π
mgd
T = 2
I
C.
π

I
T = 2
mgd
D.
π
2 I
T =
mgd
.
3. Tìm chiều dài của con lắc ñơn có chu kì 1s ở nơi có gia tốc trọng trường g= 9,81m/s
2
.
4. Ở nơi mà con lắc ñơn ñếm giây (tức là có chu kì 2 s) có ñộ dài 1 m thì con lắc ñơn có ñộ dài 3m dao ñộng với chu kì
bằng bao nhiêu?
5. Một vật rắn có khối lượng m= 1,5kg có thể quay quanh một trục nằm ngang. Dưới tác dụng của trọng lực, vật dao động
nhỏ với chu kì T= 0,5s. Khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của vật là d= 10cm. Tính mơmen qn tính của vật đối với
trục quay (lấy g= 10m/s
2
).

8. NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ðỘNG ðIỀU HỒ
1. Sự bảo tồn cơ năng
Trong các con lắc mà ta đã xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi (F= -kx) hoặc trọng lực
(P= mg). Các lực này là lực thế. Ở SGK Vật lí 10 nâng cao, ta đã biết rằng cơ năng (động năng + thế năng) của một vật
chuyển động trong trường lực thế được bảo tồn.
Như vậy: Cơ năng của vật dao động được bảo tồn.
Ta sẽ xem xét chi tiết sự biến đổi từng thành phần của cơ năng, tức là động năng và thế năng, của vật nặng trong
con lắc lò xo và thử lại rằng cơ năng được bảo tồn.
2. Biểu thức của thế năng
Trước hết, cần nói rõ rằng thế năng W

t
của vật nặng dưới tác dụng của lực
đàn hồi cũng chính là thế năng đàn hồi của lò xo.Xét vật nặng trong con lắc
lò xo, vật dao động với tần số góc
ω
và biên độ A, li độ của vật là:
x= Acos(
ω
t+
ϕ
) (8.1)Lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên vật là F= -kx.
Dưới tác dụng của lực này, thế năng của vật là:W
t
=
1
2
kx
2
Thay x từ (8.1),
ta có: W
t
=
1
2
k A
2
cos
2
(
ω

t+
ϕ
)mà
2
ω =
k
m
tức là k= m
ω
2
, do đó:
W
t
=
1
2
m
ω
2
A
2
cos
2
(
ω
t+
ϕ
) (8.2)
ðây là biểu thức của thế năng phụ thuộc vào thời gian. Từ đây có thể khảo sát sự biến đổi của thế năng theo thời gian (xem
Hình 8.1).

3. Biểu thức của động năng
Theo định nghĩa, động năng của vật nặng là: W
đ
=
1
2
mv
2
. Vận tốc v có thể tính được theo cơng thức (8.1)
của li độ x: v= x’= -
ω
Asin(
ω
t+
ϕ
)Thay vào biểu thức trên của động năng ta có:
W
đ
=
1
2
m
ω
2
A
2
sin
2
(
ω

t+
ϕ
) (8.3) ðây là biểu thức của động năng phụ thuộc vào thời gian.
Từ đây có thể khảo sát sự biến đổi của động năng theo thời gian (xem cột bên trái).
Vì khối lượng của lò xo rất nhỏ so với khối lượng của vật nên có thể bỏ qua động năng của lò xo. Như thế, động
năng của vật cũng là động năng của cả con lắc lò xo.
4. Biểu thức của cơ năng
Hình 8.2 Đường biểu diễn công thức biến đổi động
năng theo thời gian
t
W
đ
O

Cơ năng W của vật nặng bằng tổng ñộng năng và thế năng của vật, ñó cũng là cơ năng của con lắc lò xo: W= W
ñ
+
W
t
=
1
2
m
ω
2
A
2

(
)

2 2
cos t+ + sin ( t+ )
 
ω ϕ ω ϕ
 
Suy ra: W=
1
2
m
ω
2
A
2
(8.4)
Từ (8.4), ta thấy rằng cơ năng W không phụ thuộc thời gian: ta ñã thử lại rằng cơ năng của vật nặng dao ñộng, tức
cũng là cơ năng của con lắc lò xo, ñược bảo toàn.
Chú ý rằng k= m
ω
2
, ta có: W=
1
2
kA
2
(8.5) Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên ñộ A của dao ñộng.

BÀI TẬP
1. ðộng năng của vật nặng dao ñộng ñiều hoà biến ñổi theo thời gian
A. Theo một hàm dạng sin. B. Tuần hoàn với chu kì T.
C. Tuần hoàn với chu kì

T
2
D. Không ñổi.
2. Một vật có khối lượng 750g dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ 4cm và chu kì T= 2s. Tính năng lượng của dao ñộng.
3. Tính thế năng, ñộng năng và cơ năng của con lắc ñơn ở một vị trí bất kì (li ñộ góc
α
) và thử lại rằng cơ năng không ñổi
trong chuyển ñộng.
4. Dựa vào ñịnh luật bảo toàn cơ năng, tính:
a) Vận tốc của vật nặng trong con lắc lò xo khi ñi qua vị trí cân bằng theo biên ñộ A.
b) Vận tốc của con lắc ñơn khi ñi qua vị trí cân bằng theo biên ñộ góc
0
α
.

9. BÀI TẬP VỀ DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
Bài tập 1
Chứng tỏ rằng, một phù kế nổi ở trong một chất lỏng có thể dao ñộng ñiều hoà theo phương thẳng ñứng.
Ghi chú: Phù kế là dụng cụ ñể ño khối lượng riêng của chất lỏng. ðó là một ống thuỷ tinh rỗng, kín, phía dưới là
một cái bầu nặng (xem Hình 9.1). Khi thả phù kế vào một chất lỏng, mực chất lỏng ngoài ống thuỷ tinh khi cân bằng cho ta
biết khối lượng riêng của chất lỏng.
Bài tập 2
ðiểm M dao ñộng ñiều hoà theo phương trình:
x= 2,5cos
10 t
2
π
 
π +
 

 
(cm)
a) Vào thời ñiểm nào thì pha dao ñộng ñạt giá trị
5
6
π
, lúc ấy li ñộ x bằng bao nhiêu?
b) ðiểm M ñi qua vị trí x= 1,25cm vào những thời ñiểm nào? Phân biệt những lần ñi qua theo chiều dương và theo chiều
âm.
c) Tìm tốc ñộ trung bình của ñiểm M trong một chu kì dao ñộng. Tốc ñộ trung bình
v
của chất ñiểm trong một khoảng thời
gian
∆
t ñược ñịnh nghĩa bằng thương số giữa khoảng ñường ñi ñược
∆
s (trong khoảng thời gian
∆
t) chia cho
∆
t.
∆
=
∆

s
v
t

Bài tập 3

Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m= 0,4kg gắn vào ñầu một lò xo có ñộ cứng k= 40N/m. Vật
nặng ở vị trí cân bằng. Dùng búa gõ vào quả nặng, truyền cho nó vận tốc ban ñầu bằng 20cm/s hướng theo trục của lò xo.
a) Viết phương trình dao ñộng của vật nặng.
b) Muốn cho biên ñộ dao ñộng của vật nặng bằng 4cm thì vận tốc ban ñầu truyền cho vật phải bằng bao nhiêu?
Bài tập 4
Một nhà du hành vũ trụ ngồi trong một dụng cụ ño khối lượng (DCðKL). Dụng cụ này ñược chế tạo ñể dùng trong
các con tàu vũ trụ trên quỹ ñạo mà nhà du hành vũ trụ có thể dùng nó ñể xác ñịnh khối lượng của mình trong ñiều kiện phi
trong lượng trên quỹ ñạo quang Trái ðất. DCðKL là một cái ghế lắp vào ñầu một lò xo (ñầu kia của lò xo gắn vào một
ñiểm trên tàu). Nhà du hành ngồi vào ghế và thắt dây buộc mình vào ghế, cho ghế dao ñộng và ño chu kì dao ñộng T của
ghế bằng một ñồng hồ hiện số ñặt trước mặt mình.
a) Gọi M là khối lượng nhà du hành, m là khối lượng ghế, k là ñộ cứng của lò xo, hãy chứng tỏ rằng:
M=
π
2
k
4
T
2
– m.
b) ðối với DCðKL trong con tàu vũ trụ Skylab 2 thì k= 605,5N/m, chu kì dao ñộng của ghế không có người là T
0
=
0,90149s. Tính khối lượng m của ghế.
c) Với một nhà du hành ngồi trong ghế thì chu kì dao ñộng là T= 2,08832s. Tính khối lượng nhà du hành.
10. DAO ðỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ðỘNG DUY TRÌ
1. Quan sát dao động tắt dần
Có bốn con lắc lò xo giống hệt nhau, vật nặngcủa mỗi con lắc dao động trong một mơi trường khác nhau
: a) khơng khí; b) nước; c) dầu; d) dầu rất nhớt (xem Hình 10.1)Ta nhận thấy rằng, con lắc a dao động gần như điều hồ
trong một thời gian khá dài. Con lắc b dao động với biên độ giảm dần theo thời gian rồi dừng lại; người ta gọi chuyển động
của con lắc b là dao động tắt dần. Con lắc c chỉ đi qua lại vị trí cân bằng vài lần rồi dừng lại, chuyển động ấy cũng gọi là

dao động
tắt dần, nhưng tắt nhanh hơn b. Con lắc d được đưa ra khỏi vị trí cân bằng mà khơng dao động.
2. ðồ thị của dao động tắt dần


O
O
O
O
Hình 10.2 Đồ thò của dao động tắt dần
t
t
t
x
x
x
t
x
d)
c)
b)
a)

Nếu dùng dao động kí ghi lại đồ thị li độ x của các trường hợp dao động tắt dần, ta sẽ thấy những dạng như sau
(Hình 10.2):
3. Lập luận về dao động tắt dần
Như vậy có thể kết luận: Dao động tắt dần càng nhanh nếu mơi trường càng nhớt tức là lực cản của mơi trường
càng lớn.
4. Dao động tắt dần chậm
Nếu vật (hay hệ) dao động điều hồ với tần số góc

0
ω
chịu thêm tác dụng của lực cản nhỏ thì dao động của vật
(hay hệ) ấy trở thành tắt dần chậm.
Dao động tắt dần chậm có thể coi gần đúng là dạng sin với tần số góc
0
ω
và với biên độ giảm dần theo thời gian
cho đến bằng 0.
5. Dao động duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (do ma sát) để bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà khơng
làm thay đổi chu kì riêng của nó thì dao động kéo dài mãi mãi và được gọi là dao động duy trì.
6. Ứng dụng của sự tắt dần dao động: cái giảm rung
Có những dao động kéo dài gây nên tác dụng khơng có lợi, người ta tìm cách làm cho nó chóng tắt. Ví dụ: ơtơ đi
trên đường gặp chỗ mấp mơ thì xe bị nảy lên và rơi xuống đột ngột (bị xóc), làm phát sinh lực va chạm lớn. Người ta tránh
xóc bằng cách nối khung xe với trục bánh xe bằng một hệ thống lò xo. Vì có hệ thống lò xo này nên mỗi lần xe đi qua chỗ
mấp mơ thì khung xe, thay vì bị nảy lên, bắt đầu dao động. Nếu dao động của khung kéo dài sẽ gây khó chịu cho người
ngồi trên xe, người ta lại phải dùng một cái giảm rung để làm tắt nhanh dao động.
Cái giảm rung gồm một pittơng có những lỗ thủng, chuyển động được theo chiều thẳng đứng trong một xi lanh
chứa đầy dầu nhớt. Pittơng gắn với khung xe, xilanh gắn với trục bánh xe. Khi khung xe dao động đối với trục bánh xe thì
Hình 10.1 Dao động trong môi trường mới
d)
c)
b)
a)

pittông cũng dao ñộng rong xilanh và dầu nhớt chảy qua các lỗ thủng ở pittông tạo nên một lực ma sát lớn làm tắt dần
nhanh dao ñộng.
Lò xo cùng với cái giảm rung gọi chung là bộ phận giảm xóc.
11. DAO ðỘNG CƯỠNG BỨC

CỘNG HƯỞNG
1. Dao ñộng cưỡng bức
Bây giờ vật nặng ñứng yên ở vị trí cân bằng, ta tác dụng lên vật một ngoại lực F biến ñổi ñiều hoà theo thời gian:
F= F
0
cos
Ω
t
và xét vật chuyển ñộng như thế nào.
Người ta chứng minh ñược rằng, chuyển ñộng của vật dưới tác dụng của ngoại lực nói trên bao gồm hai giai ñoạn:
Giai ñoạn chuyển tiếp trong ñó dao ñộng của hệ chưa ổn ñịnh, giá trị cực ñại của li ñộ (biên ñộ) cứ tăng dần, cực ñại sau
lớn hơn cực ñại trước. Sau ñó, giá trị cực ñại của li ñộ không thay ñổi, ñó là giai ñoạn ổn ñịnh.
Giai ñoạn ổn ñịnh kéo dài cho ñến khi ngoại lực ñiều hoà thôi tác dụng. Xem ñồ thị dao ñộng trên Hình 11.1.

OÅn ñònh
Chuyeån tieáp
O
Hình 11.1
t
x

Dao ñộng của vật trong giai ñoạn ổn ñịnh gọi là dao ñộng cưỡng bức. Lí thuyết và thí nghiệm chứng tỏ rằng:
- Dao ñộng cưỡng bức là ñiều hoà (có dạng sin).
- Tần số góc của dao ñộng cưỡng bức bằng tần số góc
Ω
của ngoại lực.
- Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức tỉ lệ thuận với biên ñộ F
0
của ngoại lực và phụ thuộc vào tần số góc
Ω

của
ngoại lực.
2. Cộng hưởng
Với biên ñộ F
0
của ngoại lực ñã cho, biên
ñộ A của dao ñộng cưỡng bức phụ thuộc vào tần
số góc
Ω
của ngoại lực. Sự phụ thuộc ñó ñược
biểu diễn bởi một ñường cong trên ñồ thị của
Hình 11.2.
Theo dõi ñường biểu diễn, ta thấy rằng:
Giá trị cực ñại của biên ñộ A của dao ñộng cưỡng bức ñạt ñượ
c khi tần số góc củ ngoại lực (gần ñúng) bằng tần số góc riêng
0
ω

của hệ dao ñộng tắt dần.
Khi biên ñộ A của dao ñộng cưỡng bức ñạt giá trị cực ñại,
người ta nói rằng có hiện tượng cộng hưởng. ðiều kiện ñể xảy ra cộng hưởng là
Ω
=
0
ω
(gần ñúng).
A
O

3. Ảnh hưởng của ma sát

Nếu ta vẽ lại ñường biểu diễn sự phụ thuộc của biên ñộ A
của dao ñộng cưỡng bức trong trường hợp hệ
dao ñộng và ngoại lực giống như trên, chỉ khác là vật
dao ñộng trong một môi trường có lực cản (ma sát nhớt) nhỏ hơn
thì sẽ ñược ñường biểu diễn (2) vẽ ở Hình 11.3. ðể so
sánh ta vẽ lại ñường (1) ở Hình 11.2 ứng với ma
sát lớn hơn bằng ñường chấm chấm.
4. Phân biệt dao ñộng cưỡng bức với dao ñộng duy trì
Dao ñộng cưỡng bức là dao ñộng xảy ra dưới tác dụng
của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc
Ω
bất kì. Sau giai ñoạn
chuyển tiếp thì dao ñộng cưỡng bức có tần số góc bằng tần số góc của ngoại lực.
Dao ñộng duy trì cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực, như ở ñây ngoại lực ñược ñiều khiển ñể có tần số góc
ω
bằng tần số góc
0
ω
của dao ñộng tự do của hệ.
Dao ñộng cưỡng bức khi cộng hưởng có ñiểm giống nhau với dao ñộng duy trì: cả hai ñều có tần số góc gần ñúng
bằng tần số góc riêng
0
ω
của hệ dao ñộng. Tuy vậy, vẫn có sự khác nhau: dao ñộng cưỡng bức xảy ra trong hệ dưới tác
dụng của ngoại lực ñộc lập ñối với hệ, còn dao ñộng duy trì là dao ñộng riêng của hệ ñược bù thêm năng lượng do một lực
ñược ñiều khiển bởi chính dao ñộng ấy qua một cơ cấu nào ñó.
5. Ứng dụng hiện tượng cộng hưởng
Hiện tượng cộng hưởng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ: chế tạo tần số kế, lên dây ñàn …
Trong một số trường hợp, hiện tượng cộng hưởng có thể dẫn tới kết quả làm gãy, vỡ các vật bị dao ñộng cưỡng
bức. Một lực nhỏ, nhưng biến ñổi tuần hoàn có thể làm gãy những máy móc thiết bị lớn rất chắc chắn. Khi chế tạo các máy

móc, phải cố làm sao cho tần số riêng của mỗi bộ phận trong máy khác nhiều so với tần số biến ñổi của các lực có thể tác
dụng lên bộ phận ấy, hoặc làm cho dao ñộng riêng tắt rất nhanh. Khi lắp ñặt máy cũng phải tránh ñể cho tần số rung do
máy tạo nên trùng với tần số riêng của các vật gần máy. Ví dụ: nếu một ñộng cơ ñiện lắp trên một tấm ván, mà tần số quay
của ñộng cơ gần bằng tần số riêng của tấm ván thì ván có thể rung rất mạnh (Hình 11.5).

12. TỔNG HỢP DAO ðỘNG
1. Vấn ñề tổng hợp dao ñộng
Như vậy, muốn tổng hợp hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương cần cộng hai hàm dạng sin. Sau ñây ta xét quy tắc
cộng trong trường hợp hai hàm sin có cùng tần số góc.
2. Tổng hợp của hai hàm dạng sin cùng tần số góc. Phương pháp giản ñồ Fre- nen
Cho hai hàm dạng sin:
x
1
= A
1
cos(
ω
t+
1
ϕ
) (12.1)
x
2
= A
2
cos(
ω
t+
2
ϕ

) (12.2)
chúng ta sẽ tìm biểu thức của tổng của chúng
(2)
(1)
A
O

Hình 12.2 Giaûn ñoà Fresnen
ϕ
P
2
P
1
P
M
M
2
M
1
O
x

x= x
1
+ x
2

bng phng phỏp gin ủ Fre- nen (cũn gi
l phng phỏp gin ủ vect quay).
V vect quay

1
OM

biu din dao ủng
ủiu ho x
1
v
2
OM

biu din x
2
vo thi ủim t= 0.
Theo quy c mc 9, Bi 6 thỡ:
*
1
OM

cú ủ di A
1
v hp vi trc x gúc (Ox,
1
OM

)=
1

vo lỳc t= 0.
*
2

OM

cú ủ di A
2
v hp vi trc x gúc (Ox,
2
OM

)=
2

vo lỳc t= 0.
V hỡnh bỡnh hnh m hai cnh l
1
OM

v
2
OM

, ủng chộo
OM

ca hỡnh bỡnh hnh l tng ca hai vect
1
OM

v
2
OM

(Hỡnh 12.2).
OM

=
1
OM

+
2
OM

(12.4)
Vect
OM

cú hỡnh chiu trờn trc x l tng ca x
1
v x
2
. x= x
1
+ x
2
.
Vy
OM

chớnh l vect quay biu din tng ca x
1

v x
2
.
Gúc ủnh O ca hỡnh bỡnh hnh vo thi ủim t= 0 bng hiu s pha ban ủu
2 1
= +
ca hai dao ủng x
1

v x
2
.
Hai vect quay
1
OM

v
2
OM

quay ủu quanh O vi cựng tc ủ gúc

, vỡ th gúc gia hai vect ny khụng ủi
v hỡnh bỡnh hnh cú cnh
1
OM

v
2
OM

cng khụng bin dng, hỡnh ny ch quay ủu quanh O vi tc ủ gúc

nh
hai cnh ca nú.
Vect
OM

biu din dao ủng tng hp x l ủng chộo ca hỡnh bỡnh hnh, vect ny cng quay ủu quanh O
vi tc ủ gúc

.
3. Biờn ủ v pha ban ủu ca dao ủng tng hp
di ca vect quay
OM

(biờn ủ A) v gúc

= (Ox,
OM

)m
OM

hp vi trc x vo thi ủim t= 0 (pha
ban ủu) cú th tớnh ủc theo cụng thc lng giỏc trong tam giỏc OM
1
M (Hỡnh 12.4).
(OM)
2

= (OM
1
)
2
+ (M
1
M)
2
2(OM
1
)(M
1
M)cos


1
OM M
=
2
1
A
+
2
2
A
+ 2A
1
A
2
cos(

2

-
1

)
di ca vect quay
OM

chớnh l biờn ủ A ca dao ủng tng hp x, cũn gúc

= (Ox,
OM

)
chớnh l pha ban ủu: A
2
=
2
1
A
+
2
2
A
+ 2A
1
A
2
cos(

2

-
1

)(12.5)
tan

=
PM
OP
=
1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin
A cos A cos
+
+
(12.6)vy biu thc ca dao ủng tng hp l:
x= Acos(

t+

) (12.7)trong ủú biờn ủ A v pha ban ủu

cho bi (12.5) v (12.6).
Biờn ủ A ph thuc vo cỏc biờn ủ A
1
v A
2

v vo ủ lch pha ca cỏc dao ủng x
1
v x
2
.
Hỡnh 12.4 Giaỷn ủo Fresnen ủeồ tỡm A vaứ




P
M
M
2
M
1
O
x

Với A
1
và A
2
ñã cho thì biên ñộ A có giá trị lớn nhất khi ñộ lệch pha
2
ϕ
-
1
ϕ
= 0 (x

1
và x
2
cùng pha) hoặc bằng
một số nguyên lần 2
π
: A
2
=
2
1
A
+
2
2
A
+ 2A
1
A
2

hay là A= A
1
+ A
2
. Biên ñộ A có giá trị nhỏ nhất khi ñộ lệch pha
2
ϕ
-
1

ϕ
=
π
(x
1
và x
2
ngược pha) hoặc bằng
π
cộng
một số nguyên lần 2
π
: A
2
=
2
1
A
+
2
2
A
- 2A
1
A
2
hay là A=
1 2
A A
−

.
BÀI TẬP
1. Xét dao ñộng tổng hợp của hai dao ñộng hợp thành có cùng phương và cùng tần số. Biên ñộ của dao ñộng tổng hợp
không phụ thuộc
A. Biên ñộ của dao ñộng hợp thành thứ nhất. B. Biên ñộ của dao ñộng hợp thành thứ hai.
C. Tần số chung của hai dao ñộng hợp thành. D. ðộ lệch pha của hai dao ñộng hợp thành.
2. Hai dao ñộng cơ ñiều hoà cùng phương, cùng tần số góc
ω
= 50rad/s, có biên ñộ lần lượt là 100mm và 173mm, dao
ñộng thứ hai trễ pha
2
π
so với dao ñộng thứ nhất. Xác ñịnh dao ñộng tổng hợp.
Hướng dẫn: Có thể chọn gốc thời gian sao cho pha ban ñầu của dao ñộng thứ nhất bằng 0.
3. Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương, cùng tần số góc
ω
, cùng biên ñộ A có ñộ lệch pha
∆ϕ
. ðối chiếu với kết quả nhận ñược bằng cách dùng phương pháp giản ñồ Fre- nen.
TÓM TẮT CHƯƠNG I
1. Dao ñộng cơ ñiều hoà là chuyển ñộng của một vật mà li ñộ biến ñổi theo ñịnh luật dạng sin theo thời gian: x=
Acos(
ω
t+
ϕ
) trong ñó A là biên ñộ,
ω
tần số góc,
ω
t+

ϕ
là pha,
ϕ
là pha ban ñầu.
Chu kì T của dao ñộng: T=
2
π
ω
Tần số f của dao ñộng: f =
1
T
=
2
ω
π

Mỗi dao ñộng ñiều hoà ñược biểu diễn bằng một vectơ quay
OM

có ñộ dài bằng biên ñộ A, vectơ này quay quanh O với
tốc ñộ góc
ω
, vào thời ñiểm ban ñầu t= 0, vectơ quay hợp với trục x một góc bằng pha ban ñầu. Hình chiếu của vectơ
quay
OM

lên trục x thì bằng li ñộ của dao ñộng.
2. Nếu một vật khối lượng m, mỗi khi dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng O một ñoạn x, chịu một lực tác dụng F= -kx thì vật
ấy sẽ dao ñộng ñiều hoà quanh O với tần số góc
k

m
ω
=
. Biên ñộ A và pha ban ñầu
ϕ
phụ thuộc cách kích thích và chọn
gốc thời gian.
3. Dao ñộng tự do là dao ñộng xảy ra trong một hệ dưới tác dụng của nội lực, sau khi hệ ñược kích thích ban ñầu: ñưa ra
khỏi trạng thái cân bằng rồi thả ra. Hệ có khả năng thực hiện dao ñộng tự do gọi là hệ dao ñộng. Mọi dao ñộng tự do của
một hệ dao ñộng ñều có cùng tần số góc
0
ω
gọi là tần số góc riêng của hệ ấy.
4. Con lắc lò xo là một hệ dao ñộng. Con lắc ñơn là Trái ðất, con lắc vật lí và Trái ðất là những hệ dao ñộng. Dưới ñây là
bảng các ñặc trưng chính của một hệ dao ñộng.

Con lắc lò xo Con lắc ñơn Con lắc vật lí
Cấu trúc Hòn bi (m) gắn vào lò xo (k) Hòn bi (m) treo ở ñầu sợi
dây (l)
Vật rắn (m,I) quay quanh
trục nằm ngang
Vị trí cân bằng Lò xo không dãn (nằm ngang) Dây treo thẳng ñứng QG thẳng ñứng


Lực tác dụng
Lực ñàn hồi của lò xo có giá trị
F= -kx
x : li ñộ thẳng
Trọng lực của hòn bi và
lực của dây treo

F= P
t
=-m
g
l
s s: li ñộ cong.
Trọng lực của vật rắn và
lực của trục quay có
momen
M=-mgdsin
α
α
: li ñộ góc
Phương trình
ñộng lực học của dao
ñộng

x” +
ω
2
x= 0

s” +
ω
2
s= 0

α
” +
ω

2
α
= 0
Tần số góc
k
m
ω
=

g
l
ω
=

mgd
I
ω
=

Phương trình
dao ñộng
x= Acos(
ω
t+
ϕ
)
x trong giới hạn ñàn hồi
s= s
0
cos(

ω
t+
ϕ
) s
0
<l
α
=
α
0
cos(
ω
t+
ϕ
)
α
0

<1
Cơ năng
W=
1
2
kA
2
=
1
2
m
ω

2
A
2
W = mgl(1- cos
α
0
)
=
1
2
m
g
l
2
0
s


5. Dao ñộng tự do không có ma sát là ñiều hoà, khi có ma sát là tắt dần: “biên ñộ” giảm theo thời gian. Khi ma sát lớn, dao
ñộng không xảy ra. Khi ma sát nhỏ, dao ñộng tắt dần có thể coi gần ñúng là tuần hoàn với tần số góc bằng tần số góc
0
ω

của dao ñộng ñiều hoà khi không có ma sát.
Muốn duy trì dao ñộng tự do khi có ma sát, người ta dùng một cơ cấu ñể cấp thêm năng lượng cho dao ñộng bù lại sự tiêu
hao vì ma sát và không làm thay ñổi chu kì riêng của nó.
6. Nếu tác dụng một ngoại lực biến ñổi ñiều hoà có tần số
Ω
lên một hệ dao ñộng có tần số riêng
0

ω
thì sau moat thời
gian chuyển tiếp, hệ sẽ dao ñộng với tần số
Ω
của ngoại lực, dao ñộng này gọi là dñ cưỡng bức.
Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức phụ thuộc vào biên ñộ và tần số
Ω
của ngoại lực. Khi tần số này bằng (gần ñúng)
tần số riêng
0
ω
của hệ dao ñộng thì biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức ñạt giá trị cực ñại, ñó là hiện tượng cộng hưởng.
7. Tổng hợp hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương là cộng hai hàm x
1
và x
2
dạng sin. Nếu hai hàm cùng tần số góc
ω
thì có
thể dùng phương pháp giản ñồ Fre- nen: vẽ các vectơ quay
1
OM

và
2
OM

biểu diễn x
1
và x

2
vào thời ñiểm t= 0. Vectơ
tổng
OM

=
1
OM

+
2
OM

chính là vectơ quay biểu diễn dao ñộng tổng hợp x= x
1
+ x
2
. Bằng công thức lượng giác có thể
tính ñộ dài của OM (tức là biên ñộ A của x) và góc (Ox,
OM

) (tức là pha ban ñầu
ϕ
của x).

2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos( )
A A A A A
ϕ ϕ

= + + −
tan
ϕ
=
1 1 2 1
1 1 2 2
sin sin
cos cos
A A
A A
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
+

CÁC DẠNG TOÁN TRONG DAO ðỘNG CƠ HỌC
DAO ðỘNG TUẦN HOÀN – DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
I. DAO ðỘNG TUẦN HOÀN
:
1. Dao ñộng:
Chuyển ñộng của một vật ñược gọi là dao ñộng nếu như nó
chuyển ñộng qua lại nhiều lần xung quanh một vị trí cân bằng.


a)
b)
c)
2. Dao ñộng tuần hoàn:
a. Khái niệm:
* Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng mà trạng thái dao ñộng ñược lặp lại mãi mãi theo thời gian.

* Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng mà trạng thái chuyển ñộng của vật ñược lập lại như củ sau những khoảng thời gian như
nhau .
a) Chu kỳ : thời gian vật thực hiện một dao ñộng- khoảng thời gian ngắn nhất sau ñó trạng thái lập lại như cũ hay
khoảng thời gian giứa hai lần vật lập lại trạng thái cũ.
b) Tần số : Số dao ñộng trong một giây.
T
f
1
=
ñơn vị Hz
c) Tần số góc :
f
T
π
π
ω
2
2
==

II CON LẮC LÒ XO:
A/ CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG :
1/ Cấu tạo: - Gồm một lò xo nhẹ ( khối lượng nhỏ có thể bỏ qua ) có ñộ cứng k , một ñầu treo vào một ñiểm cố ñịnh ,ñầu
còn lại gắn vào vật nặng có khối lượng m , có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang.( hoặc trên một trục xuyên
tâm qua vật )
2/ Phương trình chuyển ñộng : Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một ñoạn rồi buông nhẹ cho vật dao ñộng. Khi vật ở vị trí
cân bằng thì chịu tác dụng của hai lực bù trừ là trong lực P và phản lực ñàn hồi Q.Ap dụng ñịnh luật I Niu tơn ta có :
0=+ QP
(1.1)
* Ở vị trí bất kỳ vật chịu tác dụng của các lực ,

d
FQP ,,

áp dụng ñịnh luật II Niu Tơn :
amFQP
d
.=++
( 2)
Chiếu PT (2) lên trục toạ ñộ ta có:
maF
d
=−
(2.1)

//
xmamxk ==−⇒

0
//
=+
⇒
x
m
k
x


0
2//
=+ xx

ω
( 3 ) với
m
k
=
2
ω

nghiệm phương trình ( 3 ) cho
cos( )
x A t
ω ϕ
= +
( 4 )
3/ DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ :
Dao ñộng ñiều hoà là một dao ñộng ñược mô tả bằng một ñịnh luật dạng sin hay côsin, trong ñó A,ω
ωω
ω, ϕ
ϕϕ
ϕ là hằng số .
4/ Chu kỳ dao ñộng ñiều hoà: hàm số sin có chu kỳ là 2π . Từ phương trình
cos( . ) cos( . 2 )
x A t x A t
ω ϕ ω ϕ π
= + ⇒ = + +
=
2
cos ( )A t
π
ω ϕ

ω
 
+ +
 
 
tại thời ñiểm t vật có toạ ñộ x thì sau khoảng thời gian ngắn nhất
ω
π
2
=T
vật lập lại quỹ ñạo củ ,
do ñó chu kỳ dao ñộng ñiều hoà là
ω
π
2
=T
k
m
T
π
2=⇒

5/ Dao ñộng tự do: Dao ñộng mà chu kỳ chỉ phụ thuộc các ñặc tính của hệ , không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài gọi là
dao ñộng tự do.

M

x
x
O

O
a)
b)
F


B/ CON LẮC LÒ XO THẲNG ðỨNG :
Chọn trục toạ ñộ như hình vẽ. Ở vị trí cân bằng , con lắc chịu tác dụng 2 lực :
trọng lực P và lực ñàn hồi F
0
Ap dụng ñịnh luật I Newton
0
0
=+ FP
(1)
Chiếu phương trình (1) lên trục toạ ñộ ta có:
Chiếu phương trình (1) lên trục toạ ñộ ta có: P-F
0
= 0 ( 1.1) +mg - k∆l = 0 (1.2)
Ở vị trí bất kỳ ,vật chịu tác dụng của trọng lực P và lực ñàn hồi F.Ap dụng ñịnh
luật II NewTon
amFP =+
(2) chiếu PT (2 )lên trục toạ ñộ:
+P – F = m.a (2.1)
maxlkgm
=
+
∆
−
+

)(.
m.g - k∆l – kx = m.x
//
(2.2)
Thay 1.2 vào 2.2 ta có
//
. . . .
k x m a m x
⇒ − = =

0
//
=+⇒ x
m
k
x

0
2//
=+ xx
ω
( 3 )
với
m
k
=
2
ω
nghiệm phương trình ( 3 ) cho
cos( )

x A t
ω ϕ
= +
( 4 ) vật dao ñộng ñiều hoà.
B/ CON LẮC LÒ XO TRÊN MẶT PHẲNG NGHIÊNG :
Chọn trục toạ ñộ như hình vẽ. Ở vị trí cân bằng , con lắc chịu tác dụng hai lực : trọng lực P , lực ñàn hồi F
0
và phản lực
Q
Ap dụng ñịnh luật I Newton
0
0
=++ FQP
(1)
Chiếu phương trình (1) lên trục toạ ñộ ta có
+Psinα - F
0
= 0 ( 1.1) k
+mgsinα - k∆l = 0 (1.2) O

k
gm
l
α
sin
=∆⇒
m x
Ở vị trí bất kỳ ,vật chịu tác dụng của trọng lực P
Phản lực Q và lực ñàn hồi F.
Ap dụng ñịnh luật II NewTon:

amFQP .=++

Chiếu PT (2) lên trục toạ ñộ: + Psinα – F = m.a (2.1)

maxlkgm
=
+
∆
−
+
)(sin.
α

⇒
m.g sinα- k∆l – kx = m.x
//
(2.2)
Thay 1.2 vào 2.2 ta có
//
xmamxk ==⇒

0
//
=+⇒ x
m
k
x

0
2//

=+ xx
ω
( 3 ) với
m
k
=
2
ω


nghiệm phương trình ( 3 ) cho
cos( )
x A t
ω ϕ
= +
( 4)
⇒
vật dao ñộng ñiều hoà
Kết luận: Con lắc lò xo nằm ngang hoặc thẳng ñứng hoặc nằm xiên khi dao ñộng ñiều hoà ñều có cùng chu kỳ T =
k
m
π
2
, nhưng ñộ biến dạng ở vị trí cân bằng là khác nhau.
+

x

O

m

k

l
III.Phương trình ly ñộ , vận tốc , gia tốc của dao ñộng ñiều hoà : K m
Phương trình li ñộ:
cos( . )
x A t
ω ϕ
= +

Phương trình vận tốc: v = x
/
=
(
)
sinA t
ω ω ϕ
− +

Phương trình gia tốc a =v
/
= x
//
=-ω
2
Acos(ωt +ϕ) =- ω
2
x

IV. Năng lượng trong dao ñộng ñiều hoà :
Xét con lắc lò xo nằm ngang . bỏ qua mọi ma sát và lực cản .
Ta có: Phương trình li ñộ:
cos( . )
x A t
ω ϕ
= +

Phương trình vận tốc: v =
(
)
sinA t
ω ω ϕ
− +

1. Sự bảo toàn cơ năng:Dao ñộng của con lắc ñơn, và con lắc lò xo dưới tác
dụng của lực thế ( trọng lực và lực ñàn hồi ) và không có ma sát nên cơ năng
của nó ñược bảo toàn. Vậy cơ năng của vật dao ñộng ñược bảo toàn.
2. Biểu thức thế năng:
• Xét con lắc lò xo. Tại thời ñiểm t bất kì vật có li ñộ x=Acos(ωt+ϕ) và lò xo có
thế năng: W
t
=
1
2
kx
2
=
1
2

kA
2
cos
2
(ωt+ϕ) =
1
2
mω
2
A
2
cos
2
(ωt+ϕ)
• ðồ thị W
t
ứng với trường hợp ϕ = 0 ở hình bên.
3. Biểu thức ñộng năng:
• Tại thời ñiểm t bất kì vật nặng m có vận tốc v=-Aωsin(ωt+ϕ) và có ñộng năng W
ñ
=
1
2
mv
2
=
1
2
mA
2

ω
2
sin
2
(ωt+ϕ)
• ðồ thị W
ñ
ứng với trường hợp ϕ = 0 ở hình bên.
4. Biểu thức cơ năng:
• Cơ năng của vật tại thời ñiểm t:W = W
t
+ W
ñ
=
1
2
mω
2
A
2
cos
2
(ωt+ϕ)+
1
2
mA
2
ω
2
sin

2
(ωt+ϕ)
2 2 2
1 1
2 2
W kA m A
ω
⇒ = =

• ðồ thị W
t
, W
ñ
vẽ trong cùng một hệ trục toạ ñộ ở hình bên.
ðịnh luật : Trong quá trình dao ñộng không ma sát , có sự biến ñổi qua lại giữa thế năng và ñộng năng nhưng tổng của
chúng tức là cơ năng không ñổi hay ñược bảo toàn và tỷ lệ với bình phương biên ñộ dao ñộng . Thế năng của con lắc :
E

t = E cos
2
(ωt +ϕ ); ðộng năng của con lắc : E
ñ
= E sin
2
(ωt +ϕ )
Lưu ý :
* Cơ năng của con lắc phụ thuộc vào cách kích thích dao ñộng hay phụ thuộc vào biên ñộ dao ñộng.
* Khi W
t
= W

ñ
⇒ x = ±
A 2
2
⇒

kho
ả
ng th
ờ
i gian
ñể
W
t
= W
ñ
là :
∆
t =
T
4

* Thế năng và ñộng năng của vật biến thiên tuần hoàn với cùng tần số góc w’= 2w, tần số dao ñộng f’ =2f
và chu kì T’= T/2.
* Khi tính năng lượng phải ñổi khối lượng về kg, vận tốc về m/s, ly ñộ về mét

W
t
t
2

T

4
T

O

1
4
m
ω
2
A
2

1
2
m
ω
2
A
2


W
t
t
2
T

4
T

O

1
4
m
ω
2
A
2

1
2
m
ω
2
A
2

W
t
t
2
T
4
T
O

1
4
m
ω
2
A
2

1
2
m
ω
2
A
2

Bài tập :
1. Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa với chu kỳ T và biên ñộ A. Tại vị trí nào thì ñộng năng bằng thế năng.
2. Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa với chu kỳ T và biên ñộ A. Tại vị trí nào thì ñộng năng gấp ñôi thế năng.
3. Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa với chu kỳ T và biên ñộ A. Tại vị trí nào thì ñộng năng gấp 4 lần thế năng.
4. Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hòa với chu kỳ T và biên ñộ A. Sau những khoảng thời gian nào thì ñộng năng bằng thế
năng.
5. Một con lắc lò xo có k = 100N/m, quả nặng có khối lượng m = 1kg. Khi ñi qua vị trí có ly ñộ 6cm vật có vận tốc 80cm/s.
a) Tính biên ñộ dao ñộng: A. 10cm B. 5cm C. 4cm D. 14cm
b) Tính ñộng năng tại vị trí có ly ñộ x = 5cm : A. 0,375J B. 1J C. 1,25J D. 3,75J
6. Treo một vật nhỏ có khối lượng m = 1kg vào một lò xo nhẹ có ñộ cứng k = 400N/m. Gọi Ox là trục tọa ñộ có phương
thẳng ñứng, gốc tọa ñộ 0 tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương hướng lên. Vật ñược kích thích dao ñộng tự do với biên
ñộ 5cm. ðộng năng E
ñ1
và E

ñ2
của vật khi nó qua vị trí có tọa ñộ x
1
= 3cm và x
2
= - 3cm là :
A.E
ñ1
= 0,18J và E
ñ2
= - 0,18J B.E
ñ1
= 0,18J và E
ñ2
= 0,18J
C.E
ñ1
= 0,32J và E
ñ2
= 0,32J D.E
ñ1
= 0,64J và E
ñ2
= 0,64J
7. Một con lắc lò xo có m = 200g dao ñộng ñiều hoà theo phương ñứng. Chiều dài tự nhiên của lò xo là l
o
=30cm. Lấy
g=10m/s
2
. Khi lò xo có chiều dài 28cm thì vận tốc bằng không và lúc ñó lực ñàn hồi có ñộ lớn 2N. Năng lượng dao ñộng

của vật là
A. 1,5J B. 0,1J C. 0,08J D. 0,02J
8. Một vật có khối lượng m =100(g) dao ñộng ñiều hoà trên trục Ox với tần số f =2(Hz), lấy tại thời ñiểm t
1
vật có li ñộ
x
1
= -5(cm), sau ñó 1,25(s) thì vật có thế năng:
A.20(mj) B.15(mj) C.12,8(mj) D.5(mj)
9. Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hoà . Nếu tăng ñộ cứng lò xo lên 2 lần và giảm khối lượng ñi hai lần thì cơ năng của vật
sẽ: A. không ñổi B. tăng bốn lần C. tăng hai lần D. giảm hai lần
10. Một con lắc lò xo nằm ngang, tại vị trí cân bằng, cấp cho vật nặng một vận tốc có ñộ lớn 10cm/s dọc theo trục lò xo, thì
sau 0,4s thế năng con lắc ñạt cực ñại lần ñầu tiên, lúc ñó vật cách vị trí cân bằng
A. 1,25cm. B. 4cm. C. 2,5cm. D. 5cm.
11. Con lắc lò xo dao ñộng theo phương ngang với phương trình x = Acos(ωt + ϕ). Cứ sau những khoảng thời gian bằng
nhau và bằng π/40 (s) thì ñộng năng của vật bằng thế năng của lò xo. Con lắc DððH với tần số góc bằng: A. 20 rad.s
–
1
B. 80 rad.s
– 1
C. 40 rad.s
– 1
D. 10 rad.s
– 1

12. Một vật dao ñộng ñiều hoà, cứ sau một khoảng thời gian 2,5s thì ñộng năng lại bằng thế năng. Tần số dao ñộng của vật
là: A. 0,1 Hz B. 0,05 Hz C. 5 Hz D. 2 Hz
12. Một vật dao ñộng ñiều hoà với phương trình : x = 1,25cos(20t +
π
/2)cm. Vận tốc tại vị trí mà thế năng gấp 3 lần

ñộng năng là: A. 12,5cm/s B. 10m/s C. 7,5m/s D. 25cm/s.

5. Cách xác ñịnh biện ñộ dao ñộng và vận tốc của dao ñộng ñiều hoà

Ta có cơ năng
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
1 1 1
2 2 2
t d
E E E kA kx m v
v v
A x A x
v A x
ω ω
ω
= + ⇒ = +
 
⇒ = + ⇒ = +
 
 
⇒ = ± −
Khi vật qua vị trí CB thì vận tốc cực ñại:
max
v A
ω

=

6. Cách xác ñịnh lực ñàn hồi cực tiểu hay cực ñại
ðối với con lắc lò xo nằm ngang : F
mim
= 0 và F
max
= K.A
ðối với con lắc lò xo thẳng ñứng :
* Khi
max
min
( )
0
F k l A
l A
F
= ∆ +
 
∆ ≤ ⇒
 
=
 
Khi
l
∆
> A
max
min
( )

( )
F k l A
F k l A
= ∆ +
 
⇒
 
= ∆ −
 

3. Xác ñịnh ñộng năng của vật:
2
2
1
mvE
d
=

4. Cơ năng của hệ : E = E
t
+ E
ñ

22
0
2
1
2
1
mvxkE +=⇒

Lấy ñạo hàm hai vế theo thời gian :
//
0

2
1
2.
2
1
0 vvmxxk
dt
dE
+==

(
)
00
2//
0
////
0
=+⇒+⇒+=⇒ xxxkmxmxxk
ω
với
m
k
=
2
ω

⇒
Vật dao
ñộng ñiều hoà
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Chứng minh vật dao ñộng ñiều hoà của con lắc lò xo giống phần lý thuyết.
Bài 1: Một vật hình trụ ñứng có khối lượng m , tiết diện S ñược thả nổi thẳng ñứng trên mặt thoáng của một chất lỏng có
khối lượng riêng D .Từ VTCB ấn vật xuống 1 ñoạn rồi buông nhẹ .Chứng minh rằng vật dao ñộng ñiều hoà và lập biểu
thức tính chu kỳ dao ñộng
Bài 2: Trong 1 ống thuỷ tinh hình chữ U tiết diện ñều S = 0,4 cm
2
có chứa 1 lượng thuỷ ngân m = 120 g .An mực thuỷ
ngân trong nhánh xuống dưới một ñoạn nhỏ rồi buông nhẹ .Chúng minh rằng khối thuỷ ngân dao ñộng ñiều hoà .Tìm chu
kỳ dao ñộng . cho khối lượng riêng d = 13,6 g/cm
3
và
g = 10 m/s
2

Bài 3: Một con lắc lò xo treo thẳng ñứng có ñộ cứng K = 2,7 N/m khối lượng quả nặng m = 0,3 kg
a.Tính chu kỳ dao ñộng
b.Từ VTCB kéo xuống 1 ñoạn x
1
= 3cm thả ra ñồng thời cung cấp vận tốc v
1
= 12 cm/s hướng về VTCB .Viết phương
trình dao ñộng chọn t = 0 lúc qua VTCB theo chiều dương
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ðỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
Phương trình li ñộ:
(
)

cosx A t
ω ϕ
= +
Phương trình vận tốc: v =
(
)
sinA t
ω ω ϕ
− +


Xác ñịnh tần số góc ω
Xác ñịnh biên ñộ A
Xác ñịnh pha ban ñầu ϕ
1 Dựa vào giả thiết Dựa vào giả thiết Dựa vào giả thiết
2
Nếu biết K ,m thì
m
k
=
ω

Nếu biết chiều dài quỹ ñạo d thì
2
d
A=

Khi t = 0 thì x = A cosϕ
Và v = - ωAsinϕ
3

Nếu biết chu kỳ T thì
T
π
ω
2
=

Nếu biết quãng ñường ñi ñược trong một
chu kỳ thì
4
l
A
=

4
Nếu biết tần số f thì
f
π
ω
2
=

Nếu biết chiều dài cực ñại và cực tiểu thì
2
minmax
LL
A
−
=

*Nếu ñã biết A thì ta có
x
1
= A cosϕ
1
cos cos
x
A
ϕ α
⇒
= =

ϕ α
⇒ = ±

nếu v> 0 chọn
ϕ α
= −

nếu v< 0 chọn
ϕ α
= +

5 Nếu biết v
max
và A thì
A
v
max
=

ω

Nếu biết v
max
và ω thì
ω
max
v
A
=

6 Nếu biết E, m , A thì
m
E
A
21
=
ω

Nếu biết E , k ,m , ω thì
k
E
m
E
A
221
==
ω

7 Nếu biết x, v ,A thì

22
xA
v
−
=
ω

Nếu biết toạ ñộ x vận tốc v và tần số góc
ω thì
2
2






+=
ω
v
xA

*Nếu chưa biết A thì
x = A cosϕ
v = -ωA sinϕ
Lập tỉ số
sin
cos
v A
x A

ω ϕ
ϕ
= −

( )
v
tg tg
x
ϕ α
ω
⇒
= − = −

;
ϕ α ϕ α π
⇒
= − = − +

nếu v > 0 thì
ϕ α
= −

nếu v < 0 thì
ϕ α π
= − +

8 Nếu biết ñộ giản lò xo khi ở vị
trí cân bằng và gia tốc g thì
l
g

m
k
∆
==
ω

Dựa vào ñiều kiện ban ñầu tìm A và ϕ

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho con lắc lò xo có ñộ cứng K = 100N/m , m = 1kg khi dao ñộng chiều dài cực ñại L
max
= 40 cm và L
min
= 20
cm.Viết phương trình dao ñộng .Chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương
Bài 2: Một vật dao ñộng ñiều hoà với chu kỳ T = 0,1 s , chiều dài quỹ ñạo d = 40 cm , viết phương trình dao ñộng chọn
gốc thời gian khi vật ở vị trí bờ dương
Bài 3: Một vật chuyển ñộng trong 1 chu kỳ ñi ñược quãng ñường l = 40cm khi qua VTCB có vận tốc v
0
= 20π cm/s . Viết
PT dao ñộng chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều âm
Bài 4: Một con lắc lò xo thẳng ñứng khi treo vật nặng vào thì lò xo giãn ra 1 ñoạn ∆l = 10 cm . Lấy g = 10 m/s
2
.Vận tốc
qua VTCB v
0
= 60 cm/s .Viết phương trình dao ñộng chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí x
1
=-3 cm hường về vị trí bờ gần
nhất

Bài 5: Một vật dao ñộng ñiều hoà với f = 5 Hz khi vật qua vị trí x
1
= 4 cm thì vận tốc của vật là v
1
= 30π
cm/s.Viết phương trình dao ñộng của vật, chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí x
2
= - 2,5
2
cm ñi về VTCB
Bài 6: Một vật dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ A = 8cm, chu kỳ T = 2s . Viết phương trình dao ñộng của vật, chọn gốc toạ
ñộ tại VTCB, gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều (+).
Bài 7: Một vật dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ A = 5 cm, tần số f = 2 Hz . Viết phương trình dao ñộng của vật . Chọn gốc
toạ ñộ tại VTCB, gốc thời gian là lúc nó ñạt li ñộ cực ñại ( x = A )
Bài 8: Một con lắc lò xo dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ A = 3 cm chu kì T = 0,5(s). Tại thời ñiểm t = 0 hòn bi ñi qua vị trí
cân bằng theo chiều (+). Viết phương trình dao ñộng của con lắc lò xo
Bài 9: Vật dao ñộng ñiều hoà thực hiện 5 dao ñộng trong thời gian 2,5 s, khi qua vị trí cân bằng vật có vận tốc 62,8 (cm/s).
Viết phương trình dao ñộng ñiều hoà của vật. Chọn gốc toạ ñộ tại VTCB, gốc thời gian lúc vật có li ñộ cực ñại (+)
Bài 10: Vật dao ñộng ñiều hoà: khi pha dao ñộng là
3
π
thì vật có li ñộ là
5 3
cm, vận tốc -100 cm/s. Viết phương trình
dao ñộng, Chọn gốc toạ ñộ tại VTCB, gốc thời gian lúc vật có li ñộ
5 3
và ñang chuyển ñộng theo chiều (+)
Bài 11: Vật dao ñộng ñiều hoà với tần số f = 0,5 Hz, tại t = 0 vật có li ñộ x = 4cm và vận tốc v = -12,56 cm/s. Viết phương
trình dao ñộng của vật.
Bài 12: Vật dao ñộng ñiều hoà có vận tốc cực ñại bằng 16 cm/s và gia tốc cực ñại bằng 128 cm/s

2
. Viết phương trình dao
ñộng. Chọn gốc toạ ñộ tại VTCB, gốc thời gian là lúc vật có li ñộ 1 cm và ñang ñi về vị trí cân bằng
Bài 13: Xét 1 hệ dao ñộng ñiều hoà với chu kì dao ñộng T = 0,1
( )
s
π
. Chọn gốc toạ ñộ là vị trí cân bằng thì sau khi hệ bắt
ñầu dao ñộng ñược t = 0,5T vật ở toạ ñộ x = -
2 3
cm và ñang ñi theo chiều (-) quỹ ñạo và vận tốc có giá trị 40cm/s. Viết
phương trình dao ñộng của vật.
Bài 14: Một vật dao ñộng ñiều hoà trên quỹ ñạo 4cm, thời gian ngắn nhất vật ñi từ vị trí biên ñến vị trí cân bằng là 0,1s.
Lập phương trình dao ñộng của vật chọn gốc thời gian là lúc vật ñi qua vị trí cân bằng theo chiều (–)
Bài 15: Con lắc lò xo dao ñộng thẳng ñứng. Thời gian vật ñi từ vị trí thấp nhất tới vị trí cao nhất cách nhau 10cm là 1,5s.
Chọn gốc thời gian là lúc vật có vị trí thấp nhất và chiều (+) hướng xuống dưới. Viết phương trình dao ñộng
Bài 16: Vật dao ñộng ñiều hoà với tần số f = 2Hz và biên ñộ A = 20cm. Viết phương trình dao ñộng của vật trong các
trường hợp sau;
1) Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều (+)
2) Chọn gốc thời gian lúc vật ñi qua vị trí có li ñộ +10cm ngược chiều (+)
3) Chọn gốc thời gian lúc vật ñang ở vị trí biên dương
Bài 17: Một con lắc lò xo gòm một quả nặng có khối lưọng 0,4kg và 1 lò xo có ñộ cứng 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra
khỏi vị trí cân bằng 1 ñoạn bằng 8 cm theo chiều(+) và thả cho nó dao ñộng
1) Viết phương trình dao ñộng của quả nặng
2) Tìm giá trị cực ñại của vận tốc quả nặng
III. TÌM THỜI ðIỂM VẬT ðI QUA MỘT VỊ TRÍ M XÁC ðỊNH
TÌM KHOẢNG THỜI GIAN VẬT ðI TỪ VỊ TRÍ M ðẾN VỊ TRÍ N
TÌM VẬN TỐC TRUNG BÌNH TRÊN ðOẠN MN
I. Xác ñịnh thời ñiểm vật qua vị trí M lần thứ n
Cho biết phương trình : x = Acos(ωt + ϕ) thay toạ ñộ của ñiểm M vào phương trình

⇒ x
1
= Acos(ωt + ϕ) ⇒ cos(ωt + ϕ) = x
1
/A = cos α

2
t k
ω ϕ α π
+ = ± +
; nếu v > 0 chọn nghiệm
2
k
ϕ α π
= − +
, nếu v < 0 chọn nghiệm
2
k
ϕ α π
= + +

khi vật qua vị trí M lần thứ n thì thay k = 0 vào phương trình
khi k = 0 nếu t > 0 lần thứ nhất với k = 0 ; t < 0 lần thứ nhất với k = 1
II. Xác ñịnh khoảng thời gian vật ñi từ M ñến N
Thay toạ ñộ x
M
vào phương trình x
M
= Acos(ωt
1

+ ϕ) → tìm t
1
theo (I)
thay toạ ñộ x
N
vào phương trình x
N
= Acos(ωt
2
+ ϕ) → tìm t
2
theo (I)
thời gian ñi từ M → N là t =  t
2
– t
1

III.Tốc ñộ trung bình
t
S
v =
Vận tốc trung bình
t
xx
v
MN
−
=

a) Tốc ñộ trung bình trong 1 chu ky :

4
A
v
T
=

b) Tốc ñộ trung bình trong 1/ 4 chu kỳ :
t
A
v =
=
4
A
T

c) Vận tốc trung bình trong một chu kỳ bằng không
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 : Một vật chuyển ñộng với phương trình : x = 10cos(πt ) cm xác ñịnh thời ñiểm vật qua x
1
= 5cm lần thứ 3 theo chiều
dương
Bài 2 : Một vật chuyển ñộng với phương trình : x = 20cos (2πt - π) cm tìm thời ñiểm vật qua vị trí có toạ ñộ x
1
= -10
2
cm
lần thứ 2 theo chiều âm
Bài 3 : Một vật dao ñộng giữa 2 ñiểm biên B và B’ . O là VTCB M là trung ñiểm của OB . Thời gian ñi từ O ñến B là t
1
=

3 s . Tìm thời gian ñi từ O ñến M
Bài 4 : Một vật dao ñộng ñiều hoà với chu kỳ T =1s khi qua VTCB vận tốc của vật là 20π cm/s
1. Viết phương trình dao ñộng của vật chọn gốc thời gian ở vị trí biên có toạ ñộ âm
2. Tìm thời ñiểm vật qua vị trí x
1
= 5
2
cm theo chiều dương lần thứ 2
3. Gọi M, N là 2 ñiểm có toạ ñộ x
M
= - 5 cm , x
N
= + 5 cm Tìm khoảng thời gian ñi từ M ñến N
4. Tìm tốc ñộ trung bình trên ñoạn MN
Bài 5 : Một con lắc lò xo treo thẳng ñứng gồm vật nhỏ có khối lượng m = 250 g và một lò xo nhẹ có ñộ cứng k = 100 N/m
.Kéo vật m xuống theo phương thẳng ñứng ñến vị trí mà lò xo giản ra 7,5 cm rồi thả nhẹ . Chọn gốc toạ ñộ ở VTCB trục
toạ ñộ thẳng ñứng , chiều dương hướng lên trên . Chọn gốc thời gian lúc thả vật lấy g = 10 m/s
2
.Coi vật dao ñộng ñiều hoà
.Viết phương trình dao ñộng và tìm thời gian kể từ lúc thả vật ñến vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất.
IV . LÒ XO GHÉP VÀ LÒ XO BỊ CẮT
A/ LÒ XO GHÉP
1) Ghép nối tiếp:
2)
L
1
L
2
F
1

= F
2
= F
x = x
1
+ x
2

L
1

2
2
1
1
k
F
k
F
x +=









+=⇒

21
11
kk
Fx

21
111
kkk
+=

L
2


2) Ghép song song:
x = x
1
= x
2

F = F
1
+ F
2

F = k
1
x
1
+k

2
x
2

L
1
L
2
L
1
L
2

F = ( k
1
+k
2
) x
21
kkk
+
=

B/ LÒ XO BỊ CẮT
Cho F
0
= F
1
= F
2

…
221100
lklklk ∆=∆=∆

Dưới tác dụng của lực F
0
lò xo có chiều dài l
0
giản ra
L
1
L
2

ñoạn
0
l∆
.vậy trong một mét chiều dài của l
0
thì giản L

ra một ñoạn
0
0
l
l
d
∆
=

Lò xo có chiều dài l
0
thì giản ra một ñoạn :
0
0
000
.
l
l
ldll
∆
==∆

Lò xo có chiều dài l
1
thì giản ra một ñoạn :
0
0
111
.
l
l
ldll
∆
==∆

Lò xo có chiều dài l
2
thì giản ra một ñoạn :
0

0
222
.
l
l
ldll
∆
==∆

⇒

0
0
22
0
0
11
0
0
00

l
l
lk
l
l
lk
l
l
lk

∆
=
∆
=
∆

⇒
221100
lklklk
=
=
và
210
111
kkk
+=

BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Gắn vật có khối lượng m vào lò xo thứ nhất có ñộ cứng k
1
thì chu kỳ dao ñộng là T
1
= 1,5 s .Khi gắn m vào lò xo thứ
hai có ñộ cứng k
2
thì chu kỳ dao ñộng là T
2
= 2 s . Biết chiều dài tự nhiên của hai lò xo là bằng nhau. Tính chu kỳ của con
lắc khi hai lò xo :
a) Mắc nối tiếp.

b) Mắc song song.
Bài 2:
Cho hai lò xo có ñộ cứng K
1
= 20 N/m và K
2
= 30 N/m , ghép nối tiếp thẳng ñứng ,một ñầu của K
1
gắn vào ñiểm
cố ñịnh ,ñầu còn lại của K
2
gắn vào vật nặng có khối lượng m = 30 g.
1/ Tính ñộ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng .lấy g = 10 m/s
2

2/ Kéo vật xuống dưới một ñoạn x
0
= 5 cm rồi buông nhẹ.
a) Chứng minh vật dao ñộng ñiều hoà.
b) Viết phương trình dao ñộng.Chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí x
1
= - 2,5 cm hướng về vị trí cân bằng.
c) Tính cơ năng của hệ.
d) Tính vận tốc của vật khi qua vị trí có li ñộ x
2
= + 3 cm theo chiều dương.
e) Tính lực ñàn hồi cực ñại và cực tiểu của lò xo.
a) BÀI TOÁN VA CHẠM CỦA CON LẮC LÒ XO
A. VA CHẠM ðÀN HỒI:
a. VCðH là va chạm mà cơ năng ñược bảo toàn

b. VCðH xuyên tâm là sau va chạm hai vật chuyển ñộng trên ñường thẳng
c. VCðH không xuyên tâm sau là va chạm hai vật chuyển ñộng khác phương.
Trong VCðH hệ tuân theo hai ñịnh luật bảo toàn:
1/ ðỊNH LUẬT BẢO TOÀN ðỘNG LƯỢNG:
/
22
/
112211
/
2
/
121
vmvmvmvmPPPP +=+⇒+=+

2/ ðỊNH LUẬT BẢO TOÀN ðỘNG NĂNG :
2/
22
2/
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2

1
vmvmvmvm +=+

II. VA CHẠM MỀM :
- Va chạm không ñàn hồi là va chạm mà cơ năng không ñược bảo toàn
- Va chạm mềm là sau khi va chạm hai vật dính vào nhau và chuyển ñộng cùng vận tốc
Trong va chạm mềm ñịnh luật bảo toàn ðỘNG LƯỢNG luôn ñược nghiệm ñúng còn ñịnh luật bảo toàn ðỘNG
NĂNG không còn nghiệm ñúng nữa.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Một vật có khối lượng M = 400 g .gắn vào lò xo có ñộ cứng k = 40 N/m ,ban ñầu vật M ñứng yên và có thể trượt
không ma sát trên mat phẳng ngang.Một vật m=100 g chuyển ñộng theo phương ngang với vận tốc v
0
=1 m/s tới va chạm
ñạn hồi với vật M .
 Tìm vận tốc của mỗi vật ngay sau va chạm.
 Chứng minh vật dao ñộng ñiều hoà.
 Tìm biên ñộ và năng lượng dao ñộng. ( Hình 1 )
Bài 2: Một ñĩa cân có khối lượng M = 400 g,gắn vào một lò xo treo thẳng ñứng có ñộ cứng k = 50 N/m ban ñầu ñứng
yên.Một vật có khối lượng m = 100 g thả rơi tự do từ ñộ cao h = 20 cm ( so với ñĩa cân ) xuống va chạm vào ñĩa.Sau va
chạm vật m dính vào ñĩa và cả hai dao ñộng ñiều hoà.Lấy g = 10 m/s
2
.Bỏ qua mọi lực cản.
A. Tính vận tốc của mỗi vật ngay sau va chạm. m
B. Tìm biên ñộ và năng lượng của hệ dao ñộng.( Hình 2 )

h
M