9 bài luyện thi vào 10 hình học có HD

Baỡi 1
Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D nũm giổợa A vaỡ B. Qua B
keớ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi CD, õổồỡng thúng naỡy cừt caùc õổồỡng
thúng CD vaỡ CA theo thổù tổỷ ồớ H vaỡ K.
a/ Chổùng minh rũng BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp.
b/ So saùnh hai goùc ACB vaỡ KHA.
c/ ổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc BHD cừt BC taỷi E (E B).
Chổùng minh ba õióứm K, D, E thúng haỡng.
Gi i
a/ BHAC laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp:
Theo giaớ thióỳt ta coù:
v1BHC =
vaỡ
v1BAC =
Suy ra H vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.
Vỗ vỏỷy tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.
b/ So saùnh hai goùc
ACB
vaỡ
KHA
:
Tổù giaùc BHAC nọỹi tióỳp õổồỹc õổồỡng troỡn nón ta coù:
v2ACBBHA =+
Maỡ:
v2KHABHA =+
(hai goùc kóử buỡ)
Suy ra:
KHAACB =
c/ Ba õióứm K, D, E thúng haỡng:
Trong tam giaùc BKC hai õổồỡng cao CH vaỡ BA giao nhau taỷi D nón D laỡ trổỷc
tỏm cuớa tam giaùc KBC.

Suy ra: KD BC (1)
Mỷt khaùc tổù giaùc BHDE nọỹi tióỳp nón ta coù:
v2BEDBHD =+
Maỡ:
v1BHD =
(gt)
Nón:
v1BED =
. Hay laỡ: DE BC (2)
Tổỡ (1) vaỡ (2) ta kóỳt luỏỷn: K, D, E thúng haỡng.
K
A
C
E
B
H
D
Bi 2 Cho tam giaùc ABC coù ba goùc õóửu nhoỹn nọỹi tióỳp trong õổồỡng
troỡn tỏm O. Caùc õổồỡng cao BE vaỡ CF cừt nhau taỷi H. Tổỡ B keớ õổồỡng
thúng song song vồùi CF cừt õổồỡng troỡn (O) taỷi õióứm thổù hai D.
a/ Chổùng minh AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O).
b/ Chổùng minh tổù giaùc BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh.
c/ Chổùng minh HB.HE = HC.HF.
d/ Goỹi I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC. Chổùng minh A, H, I thúng
haỡng vaỡ I nũm trón õổồỡng troỡn (O).
a/ AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O).
Theo giaớ thióỳt ta coù: BD // CF vaỡ AB CF
Nón :
v1ABD =
Suy ra B ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AD.

Maỡ: A, B, D (O).
Do õoù AD laỡ õổồỡng kờnh cuớa õổồỡng troỡn (O).
b/ Tổù giaùc BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh.
Ta coù: CD AC (C ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AD)
BE AC (gt)
Suy ra: CD// BE.
Mỷt khaùc: BD // CF (gt)
Do õoù BHCD laỡ hỗnh bỗnh haỡnh.
c/ HB.HE = HC.HF:
Xeùt hai tam giaùc vuọng HFB vaỡ HEC ta
coù:
EHCFHB =
(õọỳi õốnh)
Nón: HFB HEC
Suy ra:
HC
HB
HE
HF
=
Do õoù: HB.HE = HC.HF
d/ A, H, I thúng haỡng, I (O)
Vỗ I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón HI BC
Thóm vaỡo õoù: AH BC (H laỡ trổỷc tỏm tam giaùc ABC)
Vỗ vỏỷy A, H, I thúng haỡng.
Theo giaớ thióỳt I laỡ õióứm õọỳi xổùng vồùi H qua BC nón:
BHCBIC =
Maỡ :
BHCEHF =
(õọỳi õốnh)

Cho nón:
EHFBIC =
Mỷt khaùc:
v2BACEHF =+
(goùc coù caỷnh tổồng ổùng vuọng goùc)
A
E
F
C
B
O
H
I
D
Suy ra:
v2BACBIC =+
Vỗ vỏỷy tổù giaùc ABIC nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn.
Ta laỷi coù: A, B, C (O).
Do õoù I (O).
Baỡi 3: Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A (AB < AC) õổồỡng cao AH. M laỡ
õióứm trón caỷnh AC sao cho AB = AM. N laỡ õióứm trón caỷnh BC sao cho
MN // AH.
a/ Chổùng minh tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn.
b/ Chổùng minh HN = AH.
c/ Chổùng minh CM.HN = AB.CN.
d/ Caùc tióỳp tuyóỳn veợ tổỡ A, tổỡ B, tổỡ N vồùi õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp
tam giaùc ABN cừt nhau taỷi P, Q, R (N ồớ trón õoaỷn thúng QR).
Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc APBM khi PQ = 6cm vaỡ PR = 8cm
a/ Tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn.
Ta coù: AH // MN (gt)

AH BC (gt)
Suy ra:
v1BNM =
Mỷt khaùc:
v1BAM =
(gt)
Cho nón:
v2BAMBNM =+
Do õoù tổù giaùc ABNM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn.
b/ HN = AH:
Theo giaớ thióỳt ta coù: AB = AM vaỡ
v1BAM =

Suy ra ABM vuọng cỏn taỷi A.
Cho nón:
0
45AMB =
Maỡ:
AMBANB =
(cuỡng chừn cung AB)
Vỗ vỏỷy:
0
45ANB =
Mỷt khaùc:
v1AHN =
(gt)
Suy ra AHN vuọng cỏn taỷi H
Do õoù: AH = HN.
c/ CM.HN = AB.CN:
Do MN // AH nón ta coù:

NH
CN
AM
CM
=

Thóm vaỡo õoù: MA = AB (gt)
Vỗ vỏỷy:
NH.CMCN.AB
NH
CN
AB
CM
==
d/ Dióỷn tờch tổù giaùc APBM:
Goỹi I laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc ABM
thỗ I laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn thúng BM vỗ
v1BAM =
.
Tổù giaùc AIBP coù:
v1PBIPAI ==
(tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn)
v1AIB =
(AI laỡ trung tuyóỳn cuớa tam giaùc cỏn ABM)
Suy ra AIBP laỡ hỗnh chổợ nhỏỷt
Mỷt khaùc: BI = AI (baùn kờnh)
A
P
Q
I

B
C
H
N
M
R
Cho nón AIBP laỡ hỗnh vuọng.
Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng PQR ta coù:
)cm(10QR1006436PRPQQR
222
==+=+=
Theo tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn ta coù:AP = BP; AQ = QN vaỡ BR = NR.
Cho nón:
PQ + PR - QR = AP + AQ + PB + BR - RN - NQ = AP + PB = 2AP
Suy ra: AP = (PQ + PR - QR):2 = (6 + 8 -10):2 = 2(cm)
Tổỡ õoù ta coù: AP = PB = BI = IM = 2(cm)
Dióỷn tờch hỗnh thang APBM õổồỹc tờnh nhổ sau:
( ) ( )
)cm(6
2
2.42
2
PB.BMAP
S
2
)APBM(
=
+
=
+

=
Baỡi 4: Cho hỗnh vuọng ABCD caỷnh a. Goỹi N laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ trón
caỷnh DC (khọng truỡng vồùi D, C). Tia AN cừt tia BC taỷi M. ổồỡng thúng
vuọng goùc vồùi AN taỷi A cừt tia BC vaỡ tia CD theo thổù tổỷ taỷi P vaỡ Q.
a/ Chổùng minh tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn.
b/ Chổùng minh tam giaùc AQM vuọng cỏn.
c/ Tia PN cừt QM taỷi R. Goỹi K laỡ trung õióứm cuớa QM. Chổùng minh AK
// PR.
d/ Chổùng minh rũng khi N di õọỹng trón caỷnh DC (khọng truỡng vồùi D, C)
thỗ tờch QD.PB khọng õọứi.
:
a/ Tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp õổồỹc trong mọỹt õổồỡng troỡn:
Ta coù:
v1QAM =
(gt)

v1QCM =
(ABCD laỡ hỗnh vuọng)
Suy ra A, C ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh QM.
Vỗ vỏỷy tổù giaùc QACM nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh CM.
b/ Tam giaùc AQM vuọng cỏn:
Ta coù:
ACQAMQ =
(cuỡng chừn cung AQ)
0
45ACQ =
(AC laỡ õổồỡng cheùo hỗnh vuọng ABCD)
Suy ra:
0
45AMQ =

Mỷt khaùc:
v1QAM =
(gt)
Do õoù tam giaùc AQM vuọng cỏn taỷi A.
A
B
C
D
Q
K
R
N
M
P
c/ AK // PR:
MA vaỡ QC laỡ hai õổồỡng cao trong tam giaùc QPM giao nhau taỷi N nón N
laỡ trổỷc tỏm cuớa tam giaùc PQM.
Suy ra: PR QM
Mỷt khaùc AK QM (AK laỡ trung tuyóỳn cuớa tam giaùc cỏn AQM)
Vỗ vỏỷy: AK // PR.
d/ Tờch QD.PB khọng õọứi:
Xeùt hai tam giaùc vuọng ADQ vaỡ PAB ta coù:
PABAQD =
(õọửng vở)
Suy ra: ADQ PBA
Tổỡ õoù ta coù:
2
aBA.ADDQ.PB
BA
DQ

PB
AD
===
Do õoù tờch QD.PB khọng õọứi khi N di õọỹng trón caỷnh DC.
Baỡi 5 Tổỡ mọỹt õióứm A ồớ ngoaỡi õổồỡng troỡn (O), keớ caùc tióỳp tuyóỳn
AM, AN vaỡ caùt tuyóỳn ABC vồùi õổồỡng troỡn (O) [M, N, B, C ồớ trón õổồỡng
troỡn (O)]. I laỡ trung õióứm cuớa dỏy cung BC.
a/ Chổùng minh tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp õổồỹc trong õổồỡng troỡn.
b/ Chổùng minh : S
(AMI)
: S
(ANI)
= MI:NI
(S
(AMI)
, S
(ANI)
laỡ dióỷn tờch tam giaùc AMI vaỡ tam giaùc ANI)
a/ Tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp õổồỹc trong õổồỡng troỡn.
Ta coù:
v1OMA =
(Tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn)
v1ONA =
(Tờnh chỏỳt tióỳp tuyóỳn)
v1OIA =
(Tờnh chỏỳt õọỳi xổùng)
Suy ra M, N, I ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh OA.
Do õoù tổù giaùc AMIN nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh OA.
b/ S
(AMI)

: S
(ANI)
= MI:NI
Dổỷng MK AC vaỡ NH AC (K,H AC) ta coù:
AM = AN (AM = AN)
Suy ra:
NIKMIK =
Xeùt hai tam giaùc vuọng KMI vaỡ HNI ta coù:
NIKMIK =
(chổùng minh trón)
Suy ra: KMI HNI
NH
MK
NI
MI
=
Mỷt khaùc:
NH
MK
2:AI.NH
2:AI.MK
S
S
)ANI(
)AMI(
==
Do õoù: S
(AMI)
: S
(ANI)

= MI:NI
Baỡi 6:
A
N
M
O
I
H
K
B
C
Cho hỗnh vuọng ABCD, M laỡ mọỹt õióứm trón caỷnh BC (M khaùc B vaỡ C).
ổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AM cừt õoaỷn thúng BD taỷi B vaỡ N.
a/ Chổùng minh tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn.
b/ Chổùng minh N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC.
a/ Tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn:
Ta coù:
NM

ANB

A =
(cuỡng chừn cung AN)

0
45NB

A =
(ABCD laỡ hỗnh vuọng)
Suy ra:

0
45NM

A =

Mỷt khaùc:
v1MN

A =
(N ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh AM)
Do õoù tam giaùc ANM laỡ tam giaùc vuọng cỏn taiỷ N.
b/ N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC:
Vỗ BD laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa AC (ABCD laỡ hỗnh vuọng)
Cho nón NA = NC
Thóm vaỡo õoù: NA = NM (Tam giaùc ANM vuọng cỏn taỷi N)
Suy ra: NA = NC = NM
Do õoù N laỡ tỏm õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc AMC.
A D
C
B
M
N
Baỡi toaùn 7
Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A vaỡ mọỹt õióứm D lỏỳy trón õoaỷn AC. ổồỡng
vuọng goùc vồùi õổồỡng thúng BD veợ tổỡ C cừt õổồỡng thúng BD taỷi E vaỡ cừt
õổồỡng thúng AB taỷi F.
a/ Chổùng minh hai tam giaùc ABD vaỡ ECD õọửng daỷng.
b/ Chổùng minh tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong mọỹt õổồỡng troỡn. Tỗm
tỏm cuớa õổồỡng troỡn õoù.
c/ Trong cỏu naỡy, cho AB = AD = a vaỡ BC = 2a. ổồỡng thúng FD cừt BC taỷi

K. Tờnh caỷnh AC, õổồỡng cao AH cuớa tam giaùc ABC vaỡ õoaỷn FK.
x
1
= - (- 2) + 10 = 12 (thoaớ) ; x
2
= - (- 2) -10= - 8 (loaỷi)
Vỏỷy vỏỷn tọỳc cuớa ngổồỡi anh laỡ 12km/h vaỡ vỏỷn tọỳc cuớa ngổồỡi em laỡ
8km/h.
a/ ABD ECD :
Hai tam giaùc vuọng ABD vaỡ ECD coù:
EDCADB =
(õọỳi õốnh)
Suy ra: ABD ECD:
b/ Tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong mọỹt
õổồỡng troỡn. Xaùc õởnh tỏm:
Theo giaớ thióỳt ta coù:
v1BAC =

v1BEC =
Suy ra A vaỡ E ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.
Do õoù tổù giaùc ABCE nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn
õổồỡng kờnh BC coù tỏm laỡ trung õióứm cuớa õoaỷn thúng BC.
c/ Tờnh AC, AH, FK:
Aùp duỷng õởnh lyù Pythagore vaỡo tam giaùc vuọng ABC ta coù:
BC
2
= AB
2
+ AC
2

AC
2
= BC
2
- AB
2
= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AC =
3a
Aùp duỷng hóỷ thổùc lổồỹng vaỡo tam giaùc ABC vaỡ õổồỡng cao AH ta coù:
AH.BC = AB.AC
2
3a
a2
3a.a
BC
AC.AB
AH ===
Ta coù D laỡ giao õióứm hai õổồỡng cao CA vaỡ BE trong tam giaùc FBC nón D laỡ trổỷc
tỏm tam giaùc FBC. Suy ra FD BC.
Tam giaùc ABC vuọng taỷi A nón ta coù:
00
30DCKAFK60ABC
2
1

a2
a
AC
AB
CosABC ======
Ta coù: AD = a vaỡ AC =
3a
nón DC =
)13(a
Tam giaùc FDA vuọng taiỷ A nón:
B
A
H
K
E
C
D
F
a2
2
1
:a30Sin:aSinAFD:ADFD
FD
AD
SinAFD
0
=====
Tam giaùc DKC vuọng taiỷ K nón:
)13(
2

a
30Sin.CDSinDCK.CDDK
CD
DK
SinDCK
0
====
Do D FD nón:
FK = DF + DK =
)33(
2
a
)
2
1
2
3
2(a)13(
2
a
a2 +=+=+
Baỡi 8 : Cho tam giaùc cỏn ABC (AB = AC). Qua A veợ mọỹt õổồỡng thúng
cừt caỷnh BC taỷi M vaỡ cừt õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc õoù taỷi K (K
A).
a/ Chổùng minh AKC ACM.
b/ Chổùng minh hóỷ thổùc: AB
2
= AK.AM
c/ Cho bióỳt
0

30BAC =
, baùn kờnh õổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp tam giaùc ABC
laỡ R. Tờnh dióỷn tờch tam giaùc ABC theo R.
: a/ AKC ACM :
Vỗ AB = AC (gt) AB = AC
ACMAKC =
Hai tam giaùc AKC vaỡ ACM coù goùc KAC laỡ goùc chung
vaỡ
ACMAKC =
nón:
AKC ACM
b/ AB
2
= AK.AM :
Theo chổùng minh trón: AKC ACM
Suy ra:
AM.AKAC
AM
AC
AC
AK
2
==
Maỡ: AB = AC (gt)
Do õoù:
AM.AKAB
2
=
c/ Dióỷn tờch tam giaùc ABC:
Do OB = OC vaỡ AB = AC nón AO laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn BC.

Goỹi H laỡ giao õióứm cuớa AO vaỡ BC ta coù: OB = OC (baùn kờnh)
vaỡ
00
6030.2BAC2OBC ===
(cuỡng chừn cung BC)
Suy ra: BOC õóửu BC = OB = R vaỡ
2
3R
2
3BC
OH ==

( )
( )
4
R.32
2
R.
2
3R
R
2
BC.OHOA
2
BC.AH
S
2
)ABC(
+
=

+
=
+
==

A
O
C
B
K
M
H
Baỡi 9 Cho tam giaùc ABC vuọng taỷi A. Trón caỷnh AB lỏỳy õióứm M sao cho
MCAMCB <
. ổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC cừt caỷnh BC taỷi D.ổồỡng
thúng MD cừt õổồỡng thúng AC taỷi E.
a/ Chổùng minh EADB laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp.
b/ Trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC lỏỳy õióứm H sao cho M laỡ trung
õióứm cuớa cung DH. Chổùng minh: HD // EB.
c/ Goỹi N laỡ giao õióứm cuớa caùc õổồỡng thúng MC, EB. Chổùng minh
ba õióứm N, H, A thúng haỡng.
a/ EADB laỡ tổù giaùc nọỹi tióỳp:

Do D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh MC nón:
v1MDC =
Suy ra:
v1EDB =
Mỷt khaùc:
v1EAB =
(vỗ
v1BAC =
)
Cho nón A vaỡ D ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB.
Do õoù tổù giaùc EADB nọỹi tióỳp trong õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh EB.
b/ HD // EB:
Ta coù:
MADEDH =
( MD = HM )
MADBED =
(cuỡng chừn BD )
Suy ra:
BEDEDH =
Vỗ vỏỷy: EB // HD
c/ Ba õióứm N, H, A thúng haỡng:
Trong tam giaùc EBC, M laỡ giao õióứm hai õổồỡng
cao ED vaỡ BA nón M laỡ trổỷc tỏm tam giaùc EBC.
Suy ra: CN EB
Hay:
v1BNC =
Mỷt khaùc:
v1BAC =
(gt)
Cho nón N vaỡ A ồớ trón õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh BC.

Suy ra:
NCBNAB =
(cuỡng chừn cung NB)
Ta laỷi coù:
NCBHAB =
( MD = HM )
Vỗ thóỳ:
HABNAB =
Trón nổớa mỷt phúng bồỡ AB ta coù
HABNAB =
nón tia AH truỡng vồùi tia AN. Hay
noùi mọỹt caùch khaùc A, H, N thúng haỡng.
A
E
H
N
B C
D
M