Khảo sát hàm số ôn thi đại học

Tốn 12 Ban KHTN
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN
1. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
.CMR hàm số đồng biến trên khoảng xác
định.
2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2y x x= −
.
3. CMR hàm số
2
2y x x= −
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
và nghịch biến trên
khoảng
( )
1;2

.
4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2y x x= −
.
5. Cho hµm sè y=x
3
-3(2m+1)x
2
+(12m+5)x+2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
6. Cho hµm sè y=mx
3
-(2m-1)x
2
+(m-2)x-2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
7. Chứng minh rằng với x > 0, ta có:
3
sin
6
x
x x− <
8. Cho hàm số
( )
2sin tan 3f x x x x= + −
a. CMR hàm số đồng biến trên
0;
2
π
 
÷


 
b. CMR
2sin tan 3 , 0;
2
x x x x
π
 
+ > ∀ ∈
÷

 
II. CỰC TRỊ
1. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
+
−
a
d
x
2. Tìm cực trị các hàm số:

. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x a

c. y = sinx + cosx d. y = sin2x
∈
1
e. y = cosx + os2x f. y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
2
c
π
3. Chứng minh hàm số
( )
3 2
1
2 3 9
3
y x mx m x= − − + +
ln có cực trị với mọi giá
trị của tham số m.
1
Trường THPT Mang Thít
4. Xác định tham số m để hàm số
( )
3 2 2
3 1 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại
điểm
2x =
.
5. Cho hàm số
2

2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
, m là tham số , có đồ thị là
( )
m
C
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
, m là tham số , có đồ thị là
( )
m
C
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
7. Tìm a để hàm số
2

2 2x ax
y
x a
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x=2.
8. Tìm m để hàm số
( )
4 2
2 2 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại tại
1
2
x =
.
9. Tìm m để hàm số sau đây đạt cực trị
a)
3 2
2 2 3y x x mx= − + +
b)
( )
2
1 2
1
x m x
y
x
+ − +
=

+
c)
2
2
2 2
2
x x m
y
x
+ + +
=
+
10. Tính giá trị cực trị của hàm số
2
2 1
3
x x
y
x
− −
=
+
Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị.
11. Tính giá trị cực trị của hàm số
3 2
2 1y x x x x= − − +
.Viết pt đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị.
12. Tìm m để hàm số

( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
13. Chứng minh với mọi m, hàm số
( )
2 2 4
1 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=
−
luôn có cực đại,
cực tiểu. Tìm m để cực đại thuộc góc phần tư thứ nhất.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
( )
2
2 4y x x= + −
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3 10y x x= + −
.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
4y x x= −
.
4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )

4 2
2 1f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
0; 2
.
Gv: Nguyễn Thanh Sang 2
Toán 12 Ban KHTN
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
2 osxf x x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
( )
9
f x x
x
= +
trên đoạn
[ ]
2;4
7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )

4
1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
.
8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
3 2
2 6 1f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
2 1
3
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn

[ ]
0;2
.
10. Tìm GTLN – GTNN của hs:
2
f (x) x ln(1 2x)= − −
trên
[ ]
2;0−
TN 09
Bài tập
Bài 1:Tìm GTLN –GTNN của hàm số sau :
a)
[ ]
3 2
y 2x 3x 36x 10 trên -5;4= − − +
b)
4 2
y x 2x 5 trên ;
2 2
π π
 
= − + −
 
 
c) y=(1+sinx)cosx trên đoạn
[ ]
0;2
π
d) y=

1xcos3xsin2
1xsin3xcos2
24
24
++
−+
e) y=
xcosxsin
xcosxsin
44
66
+
+
f) y=
xsin3xcos2
xcos3xsin2
+
−
trên [
2
;0
π
]
g) y=sin2x(sinx+cosx) trên [
2
;0
π
].
IV. TIỆM CẬN
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)
2 1
2
x
y
x
−
=
+
b)
( )
2
2
2
1
x x
y
x
− −
=
−
c)
2
2
3
4
x x
y
x
+

=
−
d)
2
2
4 3
x
y
x x
−
=
− +
e)
2
1
3
x
y
x
+
=
+
f)
2
5
3
x
y
x
−

=
+
g)
2
2 4
3
x x
y
x
− +
=
−
h)
2
5
2
x
y
x
+
=
−
V.KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ:
Bài 1: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y = 4x
3
– 2x
2
– 3x + 1; 2) y = x
3

– 3x
2
– 4x + 12;
3) y = x
3
– 3x
2
+ 6x – 8 4) y = x
3
+ 15x
2
+68x - 96 ;
3
Trường THPT Mang Thít
5) y = x
3
-4x + 3 ; 6) y = x
3
+ 6x
2
+9x - 4
7) y = -x
3
– 3x
2
+ 4 8) y = -2x
3
+ 3x
2
- 4 ;

9) y = x
3
- 3x
2
+5x -2 10) y = -
3
3
x
+ 2x
2
– 3x -1 ;
11) y = 4x
3
– 3x ; 12) y = x
3
-3x
13) y = x
3
– 3x
2
+ 2x 14) y = - 2x
2
+ 1 ;
15) y = x
3 _
1 16) y = - x
3
– 2x
2 ;
17) y = -x

3
+ 3x
2
+ 9x -1 18) y = - x
3
– 2x
2
+ x
19) y = x
3
– 4x
2
+ 4x 20) y = -
1
3
x
2
– 2x
2
– 3x + 1;
21) y = x
3
– 3x
2
+ 2x 22) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 ;
23) y = x

3
– 6x
2
+9x – 1 24) y = - x
3
– 3x
2
– 4
25) y = x
3
– 7x + 6 26) y = x
3
+ 1
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.
1) y = x
4
– 2x
2
+ 1 ; 2) y = - x
4
– 2x
2
; 3) y = x
4
– 3x
2
+ 2
4) y = x
4
– 4x

2
+ 3 ; 5) y = x
4
– 5x
2
+ 4 ; 6) y = x
4
– 4x
2

7) y = -x
4
+ 2 ; 8) y = -x
4
+ 3 ; 9) y = x
4
– 2x
2

Bài 3: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y =
1
1
x
x
+
−
; 2) y =
3
3

x
x
+
−
; 3) y =
5 6
6
x
x
+
+
; 4) y =
2 3
3
x
x
+
+

5) y =
4 2
2
x
x
−
+
; 6) y =
6 1
3 1
x

x
−
+
7) y =
5 2
2 3
x
x
−
+
; 8) y =
3
3
x
x
+
−
9) y =
2
2
x
x
−
+
; 10) y =
5
3
x
x
−

+
11) y =
2 6
3
x
x
+
−
12) y =
4 2
5
x
x
−
+
13) y =
3 4
1
x
x
−
+
14) y =
5
2
x
x
+
−
15) y =

3
1
x
x
+
−
16) y =
4 2
7
x
x
−
+

Bài 4: Cho hàm số
3
3 2 ( )y x x C= − −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
( )
2; 4
o
M − −
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24 2008 ( )y x d= +
d. Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
1
2008 ( ')
3
y x d= −

e. Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
f. Biện luận số nghiệm của phương trình:
3
3 6 3 0x x m− + − =
theo m
Bài 5: Cho haøm soá
4 2
1 5
2 ( )
2 2
y x x C= − +
Gv: Nguyễn Thanh Sang 4
Tốn 12 Ban KHTN
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
2. Viết pt tt với đồ thò (C) tại điểm
5
2;
2
M
 
 ÷
 
3. Biện luận số nghiệm của pt:
4 2
1 5
2 0
2 2
m
x x
−

− + =
Bài 6:1. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
3 2
3y x x= − +
.
2. Dựa vào đồ thị
( )
C
, biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0x x m− + − =
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
3 2
2 3+ =x x m
Bài 8: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +
có đồ thị
( )
C

1. Khảo sát hàm số
2. Dựa vào
( )
C
, tìm m để phương trình:
4 2
2 0x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 9: Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là
( )
C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm cực đại của
( )
C
.
Bài 10: Cho hàm số:
3
1
3
4
y x x= −
có đồ thị

( )
C
1. Khảo sát hàm số
2. Cho điểm
( )
M C∈
có hồnh độ là
2 3x =
. Viết phương trình đường thẳng d
đi qua M và là tiếp tuyến của
( )
C
.
Bài 11: Cho hàm số
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có đồ thị
( )
m
C
, m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ
( )
1
C
của hàm số khi m=1.
2. Viết PTTT của đồ thị
( )
1
C

tại điểm có hồnh độ
1x =
.
Bài 12: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
3 2
6 9 .y x x x= − +
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
( )
C
.
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
2
y x m m= + −
đi qua trung điểm
của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
( )
C
.
5
Trường THPT Mang Thít
Bài 13. Cho hàm số
2
2 4
( )
2
x x
y C

x
− +
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b. Tìm m để (d): y = mx + 2 -2m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 14: (ĐH -KA –2002) ( C )
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + −
a-khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C ) khi m =1.
b- Tìm k để pt :
3 2 3
3 0x x k− + + =
Có 3 nghiệm phân biệt .
Bài 15: Cho hs : ( C )
3
3 2y x x= − + −
a-Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C ) .
b. Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)
c. Biện luận SNPT : x
3
- 3x+3 + 2m=0
Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

- Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
- Tại điểm có tung độ bằng 3.
- Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
- Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1
−
.
Bài 16: Cho hs : ( C )
2 4
1
x
y
x
+
=
+
a-KS-( C ) .
b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thò ( C ) tại hai điểm phân biệt A;B với mọi m . Xác
đònh m để AB ngắn nhất.
Bài 17: - Cho hs : ( C )
2
1

x
y
x
+
=
+
a-KSHS.
b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục tung.
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục
hoành.
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
2007
4
y x= − +
.
Bài 18: Cho HS ( C ) y = x
3
- 6x
2
+9x-1
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên.
Gv: Nguyễn Thanh Sang 6
Tốn 12 Ban KHTN
b. (d) qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
c. Cm đồ thò nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Bài 19: Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +

, gọi đồ thò là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết p trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 20: Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b. Viết ptrình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường thẳng y = 4x -2.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân
giác góc phần tư thứ nhất.
Bài 21: Cho hàm số
3
3 ( )y x x C= −
a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C).
b. Tìm k để đường thẳng
2y kx k= + +
tiếp xúc với (C).
Bài 22: Cho hàm số
3 2
4 6 1 ( )y x x C= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C).
b. Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9).
Bài 23: Cho hàm số

( )
1
x
y C
x
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b. Viết pttt tại điểm có hệ số góc bằng 4.
II) BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho hàm số
x
y
x 1
=
−
có đồ thị ( C) .
1)Khảo sát hàm số .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) tiệm cận xiên và các đường thẳng
x=2,x=4 .
3) Viết PTTT của (C) qua giao điểm hai tiệm cận .
Bài 2: Cho hàm số
2
(3m 1)x m m
y
x m
+ − +
=
+

Có đồ thị (Cm) (m ≠ 0)
1)Khảo sát hàm số khi m= -1 (C
-1

)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-1

) tiếp tuyến của (C
-1

) tại
A(-1;0) và trục tung .
3)Cmr (C
m
) ln tiếp xúc với đường thẳng d cố định song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất .Lập phương trình của đường thẳng d.
Bài 3 : Cho hàm số
3
y x 3x 2= − + −
có đồ thị (C ).
7
Trường THPT Mang Thít
1) Khảo sát hàm số .
2) Cho( D) là đường thẳng qua điểm uốn của ( C) với hệ số góc k .Biện luận theo k
vị trí tương đối của (D) và (C).
3) Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình
3
x 3x m 1 0− + + =
Bài 4 : Cho hàm số

4 2
y x mx (m 1)= + − +
có đồ thị (C
m
)
1) Khảo sát hàm số khi m=-2 (C
-2
)
2)CMR khi m thay đổi (C
m
) luôn đi qua 2 điểm M(-1;0), N(1;0) .Tìm m để tiếp tuyến
với (C
m
) tại M, N vuông góc với nhau .
3)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục hoành . Tính thể tích vật thể tròn
xoay khi (H) quay quanh trục hoành .
Bài 5 : Cho hàm số
3
y x kx (k 1)= + + +

1)Khảo sát hàm số khi k=-3.
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành .
3) Tìm các giá trị k để (C
k
) tiếp xúc với đ.thẳng (d) có phương trình y=x+1.
Bài 13: (07-08)

Câu 1: Cho hàm số y = x
4
− 2x
2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Viết p trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = − 2.
Câu 2 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : f (x)= x +9/ x trên đoạn [2; 4]
Bài 7 (Tnpt01-02) Cho hàm số y=-x
4
+2x
2
+3 (C)
1/ Khảo sát hàm số:
2/ Định m để phương trình x
4
-2x
2
+m=0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 8 (Tnpt03-04): Cho hàm số
3 2
1
y x x
3
= −

1/ Khảo sát hàm số.
2/ Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0)
3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y=0, x=0, x=3 quay
quanh trục Ox.

Bài 9 (Tnpt04-05) Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
+
có đồ thị (C)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị ( C)
3) Viết pttt của đồ thị ( C) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;3)
Bài 10(Tnpt05-06)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
3
y x 6x 9x= − +
.
2)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3)Với giá trị nào của m , đường thẳng y=x+m
2
–m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối
hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 11: (3.5 đ) (06-07)Cho hs
2
1
2 1
y x
x
= + −
−
, gọi đồ thị hs là (H).

Gv: Nguyễn Thanh Sang 8
Tốn 12 Ban KHTN
1. Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị hs.
2. Viết pt tiếp tuyến với đồ
thị (H) tại điểm A(0;3).
Tìm giá trị lớn nhất của hs
3 2
( ) 3 7 1f x x x x= − − +
trên đoạn [0;2]. (1 đ).
Bài 12: (06-07 lần 2)( 3. 5 Đ) Cho hs
3 2
3 2y x x= − + −
, gọi đồ thị hs là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs.
2. Viết pt tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của
(C).
Bài 13: Cho hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
−
(TN 09)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Viết pttt tại điểm có hệ số góc bằng -5.
PHẦN 2: HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Bài 1: LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức

Bài 1: Tính a) A =
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
3 5 : 2 : 16 : (5 .2 .3
−
   
   
   

b)
1 2 2 3 3
1 4 5 2
(0,25) ( ) 25 ( ) :( ) : ( )
4 3 4 3
− − −
 
+
 
 
Bài 2: a) Cho a =
1
(2 3)
−
+
và b =
1
(2 3)

−
−
.
Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1
b) cho a =
4 10 2 5+ +
và b =
4 10 2 5− +
. Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a) A =
5
3
2 2 2
b) B =
3
3
2 3 2
3 2 3
c) C =
3
3 9 27 3
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 1: Tính: a)
4
0 75
3

1 1
16 8
,− −
   
+
 ÷  ÷
   
(24) b)
3 3
4 4
144 9:
(8)
9
Trường THPT Mang Thít
c)
3 2 1 2 4 2
4 2 2. .
+ − − −
(8) d)
3 5
2 5 1 5
6
2 3.
+
+ +
(18)
e)
3 48 3 2
48 2 3:( . )
−

(9) f)
2
3 1 3
2 4
( )
.
−
(16)
Bài 2: Rút gọn:
a)
3 1
3
1
a .
a
−
 
 ÷
 
(a) b)
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a (a a )
a (a a )
−
−
+
+

(a)
c)
1 1
3 3
6 6
a b b a
a b
+
+
(
3
ab
) e)
4
3
2 3 2
3 2 3
(
5
24
2
3
 
 ÷
 
)
Bài 3: LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 10 : Tính logarit của một số
A = log

2
4 B= log
1/4
4 C =
5
1
log
25
D = log
27
9
E =
4
4
log 8
F =
3
1
3
log 9
G =
3
1
5
2
4
log
2 8
 
 ÷

 ÷
 
H=
1
3
27
3 3
log
3
 
 ÷
 ÷
 
I =
3
16
log (2 2)
J=
2
0,5
log (4)
K =
3
log
a
a
L =
52 3
1
log ( )

a
a a
Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
A =
2
log 3
4
B =
9
log 3
27
C =
3
log 2
9
D =
3
2
2log 5
3
2
 
 ÷
 
E =
2
1
log 10
2
8

F =
2
1 log 70
2
+
G =
8
3 4log 3
2
−
H =
3 3
log 2 3log 5
9
+
I =
log 1
(2 )
a
a
J =
3 3
log 2 3log 5
27
−
Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 12: Rút gọn biểu thức
A =
4
3

log 8log 81
B =
1
5
3
log 25log 9
Gv: Nguyễn Thanh Sang 10
Tốn 12 Ban KHTN
C =
3
2 25
1
log log 2
5
D =
3 8 6
log 6log 9log 2
E =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
F =
2
4
log 30
log 30
G =
5
625
log 3
log 3

H =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
−

I =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27+ −
Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 14: tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
2
3
log
10 x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
2
1
log
1
x

x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
5
2 3
log ( 2)
x
x
−
−
f) y =
1
2
2
log
1
x
x −
g) y =
2
1
2
log 4 5x x− + −
h) y =
2
1
log 1x −

i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
)
g) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1

i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
1
3
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
2
1
4
x
x −
Bài 16 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
2
2
x
c) ln(
2
1x x+ +

) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 17 : Giải ác phương trình sau
a)
4
3
2 4
x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9

x x x− + −
=
11
Trường THPT Mang Thít
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17
7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1

+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 18 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1

– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
2 1
)3 9.3 6 0

x x
h
+
− + =

i)
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
(TN – 2007) j)
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =

Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 19 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5

x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 20: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5

x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 21: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log

4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x+ + − =

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 22: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16

x = 2log
2
x
Gv: Nguyễn Thanh Sang 12
Tốn 12 Ban KHTN
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x
x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 23: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3

(3
x
– 8) = 2 – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 24: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+
 
<
 ÷
 
c)
6
2
9 3
x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +

>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +
−
 
<
 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 25: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 c)

1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15
f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8 g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x

< 4.9
-1/x

Bài 26: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
≤ 3 c) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
)
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 27: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2

( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log
8
( x- 3) > 2/3 f) log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
g)
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
Bài 28: Giải các bất phương trình
a) log
2

2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 ≤ 4 d)
1 1
1
1 log logx x
+ >
−
e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
f)
4 1

4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x
−
− ≤
Bài 29. Giải các bất phương trình
a) log
3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5
(2
x
+ 1) < 5 – 2x
c) log
2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
Bài tập:
13
Trường THPT Mang Thít

Bài 1: Giải các phương trình sau .
1/
1
25 125
x−
=
. 2/
3 3
3. log log 3 1 0x x− − =
.
3/
1 1
3 3
log 3 log 2 0x x− + =
4/
( )
2
3 3
2(log ) 5log 9 3 0x x− + =

5/
2 2
lg 3lg lg 4x x x− = −
6)
2 8
1
log (5 ) 2log 3 1
3
x x− + − =
7/

3 3
2( log 2) log 2
3 2 3
x x+ +
− =
8/
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
=
9/
6.2 2 1
x x−
= +
Bài2 : Giải các phương trình sau :
1/
1 2
9 10.3 1 0
− −
− + =
2 2
x +x x +x
2/
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
x x
− + =

3/

3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
x x
− + =

Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/
2 3
2
0,125.4
8
x
x
−
−
 
=
 ÷
 ÷
 
2/
3 9 27
log log log 11x x x+ + =

3/
3
5
log log 3
2

x
x + =
4/
2
5
1
2 9
4
x
x
−
−
 
= +
 ÷
 

5/
2
2
9 10 4
2 4
x
x−
+
=
6/
( )
2
3

2. 0,3 3
100
x
x
x
= +

7/
8 18 2.27
x x x
+ =
8/
5.25 3.10 2.4
x x x
+ =

9/
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
10/
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
+ =
.
Bài 4: Giải các phương trình sau :
1/
2
2

log 64 log 16 3
x
x
+ =
. 2/
2
4
3
2
4log x - log x +2=0
2
2
DẠNG 3 : Bất phương trình mũ cơ bản :
1/
2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
   
<
 ÷  ÷
   
2/
2
7 12
5 1
x x− +
>
3/

1
1
2
16
x
x−
 
>
 ÷
 
4/
1 2
4 2 3
x x− −
− <
5/
2 2 2
3 4.3 27 0
x x+ +
− + >

6/
2 1
5 26.5 5 0
x x+
− + >
7/
5
log (26 3 ) 2− >
x

8/
( )
3
log (13 4 ) 2 , 13 4 0
x x
− > − >
9/
3 9 27
log log log 11x x x+ + >

Gv: Nguyễn Thanh Sang 14
Toán 12 Ban KHTN
10/
( )
2
3 3
2(log ) 5log 9 3 0x x− + <
Bài 2 : Giải các bất phương trình :
1/
2 2 2
3 4.3 27 0
x x+ +
− + <
3/
3 4
1 3
3
3
log log log (3 ) 3x x x+ + >

3/ /
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
≤
4/
1
25 125
x−
≥
5/
4 1
4 3
x−
≥
.
BÀI TẬP: HÌNH HỌC 12
THỂ TÍCH - MẶT CẦU
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với đáy , cạnh bên SB bằng a
3
.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
b. Cm trung điểm của cạnh SC cách đều 5 đỉnh S,A,B,C,D. (TN PB 06 b)
c. Xác đinh tâm và tính bk mc ngoại tiếp hchóp.
2. Cho hchóp S.ABC có đáy
ABC∆
vuông tại đỉnh B,
( )SA ABC⊥
.Biết

SA=AB=BC=a.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC (TN PB 07 lần 1)
b. Xác định tâm và tính bk mc ngoại tiếp khối chóp.
3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA=AC .
a. Tính
.S ABCD
V
theo a (TN PB 07 lần 2)
b. Xác định tâm và tính bk mc ngoại tiếp khối chóp
4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a .Gọi I là
trung điểm của cạnh BC .
a. Chứng minh
SA BC
⊥
.
b. Tính
.S ABI
V
theo a . (TN PB 08 lần 1)
c. Xác định tâm và tính bk mc ngoại tiếp khối chóp
5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
( )SA ABC⊥
. Biết
AB=a , BC=a
3
, SA=3a .
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a .
b. Gọi I là trung điểm của SC , tính độ dài đoạn thẳng BI theo a .
6. Cho hchóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD).

( )
·
0
,( ) 30SC SAB =
.
a. Tính
SABCD
V
b. Tìm tâm và tính diện tích mc ngoại tiếp hc.
7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , BC = a ,
·
BAC
α
=
. Mặt
bên (SAB) vuông góc với đáy . Hai mặt bên (SBC) và (SAC) cùng tạo với đáy góc 45
0
.
a. Tính
SABC
V
b. Tìm tâm và tính diện tích mc ngoại tiếp hc.
15
Trường THPT Mang Thít
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,
( )SA ABCD⊥
. Biết
SA = a .
a. Tính thể tích hai khối chóp S.ABC và S.ABCD .
b. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .

c. Tính góc giữa (SBC) và (SDC) .
9. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a , ba góc ở đỉnh A cùng bằng 60
0
.
a. Kẻ A’H vuông góc (ABCD) tại H . Xác định H .
b. Tính diện tích mặt chéo ACC’A’và thể tích khối hộp
10. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên
và đáy là 30
0
. Hình chiếu vuông góc của A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm H
của B’C’.
a. Tính thể tích khối lăng trụ .
b. Tính góc giữa BC và AC’ .
c. Tính góc giữa (ABB’A’) và (ABC)
11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A .
Đường chéo A’B của mặt bên A’B’BA tạo với (ABC) góc
0
30
. Cho AB = a
a. Tính thể tích khối hộp ABC.A’B’C’ .
b. Tính diên tích tam giác B’AC .
12. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều . Mặt phẳng (A’BC)
tạo với mặt (ABC) góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC là 8 .
a. Tính thể tích khối lăng trụ .
b. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
13. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a , góc BAC là 120
0
, các cạnh bên đều tạo với

đáy góc nhọn
0
30
α
=
.
a. Tính thể tích hình chóp .
b. Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình
nón trên
14. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Các mặt bên (SAB),
(SAC) cùng vuông góc với mặt đáy .
a. Chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng đáy .
b. Tính thể tích của khối chóp.
c. Biết SA = a , tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hchóp
15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Biết
3 , , 2SA a AB a BC a= = =
.
a. Chứng minh đường thẳng AG vuông góc với đường thẳng BC.
b. Tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a.
c. Tính thể tích mc ngoại tiếp hình chop S.ABC.
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a,
( )
SA ABCD⊥
, cạnh
bên SC = 2a.
a. Cm các đỉnh của hình chóp đều thuộc mặt cầu đường kính SC. Tính diện tích mc
đường kính SC.
Gv: Nguyễn Thanh Sang 16
Toỏn 12 Ban KHTN

b. Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD.
c. Gi I, K ln lt l trung im ca SB v SD. Chng minh hai t din IACD v
KABC bng nhau.
17. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. OA = a, OB = 2a,
OC = a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA (ABC); SA =
3a
2
. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
19. Cho hình chóp tứ giác đều ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a
2
. Xác định
tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
20. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA
(ABCD); SA = 3a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a. các cạnh bên SA = SB =
SC = b . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
22. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và
vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (BCD).
a) Tính AH.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
24. Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA = a
2
, SA
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
25. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đờng thẳng vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm
O của hình vuông lấy một điểm S sao cho OS =

a
2
. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
26. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng A v D; AB = AD = a;
CD = 2a; SD (ABCD). T trung im E ca CD, k trong mt phng ng vuụng gúc
vi SC ct SC ti K. Chng minh rng sỏu im S, A, D, E, K, B trờn mt mt cu.
Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ú. Bit SD = h
27. Cho t din SABC cú SA (ABC), (SAB) (SBC). Bit SB = a
2
,
ã
0
B 45=AS
. Chng minh rng: BC SB. T ú xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din
SABC
28. Cho hỡnh chúp SABC cú SA = a, SB = b, SC = c v SA, SB, SC ụi mt vuụng gúc.
Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp
29. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC) v tam giỏc ABC vuụng B. K cỏc ng
cao AH, AK ln lt ca tam giỏc SAB, SAC. Chng minh rng nm im A, B, C, H,
K nm trờn mt mt cu. Bit AB = 10cm, BC = 24cm, xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt
cu ú
30. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, cnh bờn SA to vi mt ỏy
mt gúc 60
0
. Hỡnh chiu ca S lờn mt phng (ABC) trựng vi trung im ca BC.
a. Chng minh BC vuụng gúc vi SA.
17
Trường THPT Mang Thít
b. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC (Đề thi HK1 08-09)

31. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy. Biết
·
0
BAC 120=
, tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
MẶT TRỤ
Câu1: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
1. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
2. Tính thể tích của khối trụ
3. Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đó
Câu2: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tích tứ
diện OO’AB bằng 8cm
3
. Tính chiều cao của hình trụ, suy ra thể tích của hình trụ.
Câu3: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn chiều cao và bằng a. Trên đường
tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB
MẶT NÓN
Câu1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết
diện là tam giác đều cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thế tích
khối nón được tạo nên bởi hình nón đó ?
Câu2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết
rằng O’ là tâm của A’B’C’D’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Tính thể tích
hình nón có đỉnh O’ và đáy (T).
Câu3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng
O’ là tâm của A’B’C’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABC . Tính thể tích hình nón có
đỉnh O’ và đáy (T).
Câu4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một

góc 60
0
. Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích hình nón có đỉnh S và
đáy (T).
Câu 5: Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng 2. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón. ( để thi HK 2
năm 08-09)
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
2. f(x) =
2
4
32
x
x +

3. f(x) =
2
1
x
x −
4. f(x) =
2
22

)1(
x
x −

5. f(x) =
4
3
xxx ++
6. f(x) =
3
21
xx
−

Gv: Nguyễn Thanh Sang 18
Toán 12 Ban KHTN
7. f(x) =
x
x
2
)1( −
8. f(x) =
3
1
x
x −

9. f(x) =
2
sin2

2
x
10. f(x) = tan
2
x
11. f(x) = cos
2
x 12. f(x) = (tanx – cotx)
2

13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos

15. f(x) = sin3x 16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) 18. f(x) = e
x
(2 +

)
cos
2
x
e
x−

19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
20. f(x) = e
3x+1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3
3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0 4. f’(x) = x -
2
1
2
+
x
và f(1) = 2
5. f’(x) = 4x
3
– 3x

2
+ 2 và f(-1) = 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
1.
∫
− dxx )15(
2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
− 25
4.
∫
−12x
dx
5.
∫

+ xdxx
72
)12(
6.
∫
+ dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+

8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x
3
2

25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx

11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxx cossin
4

14.
∫

dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫

dx
x
e
x
21.
∫
− 3
x
x
e
dxe
22.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
− dxx .1
2

19
Trường THPT Mang Thít
24.
∫
−
2

4 x
dx
25.
∫
− dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx

27.
∫
−
2
2
1 x
dxx
28. .
∫
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
∫
−

31.
∫
+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos
3.
∫
+ xdxx sin)5(
2
4
∫
++ xdxxx cos)32(
2
5.
∫
xdxx 2sin
6.

∫
xdxx 2cos

7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxxln

10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
12.
∫
dxe
x
13.
∫

dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin

16.
∫
xdxe
x
cos.
18.
∫
dxex
x
2
3
19.
∫
+ dxxx )1ln(
2

20.

∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxxlg
22.
∫
+ dxxx )1ln(2

23.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM
CƠ BẢN:
1.
1
3
0

( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫

2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫

4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π

π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫

Gv: Nguyễn Thanh Sang 20
Toán 12 Ban KHTN
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx

x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫

10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫

12.
3
3

1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
∫
+
2
x.dx
2
-1
x
14.
2
e
7x 2 x 5
dx
x
1
− −
∫

15.
x 2
∫
+ + −
5
dx

2 x 2
6.
2
x 1 dx
2
1
x x x
+
∫
+
( ).
ln
17.
3
2
x dx
3
x
6
π
∫
π
cos .
sin
18.
4
tgx dx
2
0
x

π
∫
.
cos
19.
x x
1
e e
x x
e e
0
−
−
∫
−
+
dx
20.
x
1
e dx
x x
0
e e
∫
−
+
.
21.
2

dx
2
1
4x 8x
∫
+
22.
3
dx
x x
e e
0
∫
−
+
ln
.
22.
2
dx
1 x
0
π
∫
+ sin
24.
∫
−
++
1

1
2
)12( dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx

26.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.

dx
xx
∫






+
2
1
32
11
29.
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx

21
Trường THPT Mang Thít
30.
∫

e
e
x
dx
1
1
31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫









−
8
1
3
2
3
1
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.

2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+

∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫

10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1

2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x

e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

Gv: Nguyễn Thanh Sang 22
Toán 12 Ban KHTN
18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx

π
π
∫

20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

22.
2
1
2
0
x
e xdx

+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1

2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1

1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+

∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

23
Trường THPT Mang Thít
40.
2
2
1

(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0

1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
2

2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
5
0
+
∫
x x dx
53.

( )
2
4
sin 1 cos
0
+
∫
x xdx
π
54.
4
2
4
0
−
∫
x dx
55.
4
2
4
0
−
∫
x dx
56.
1
2
0
1

∫
+
dx
x

57.
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
58.
∫
−
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.

1
0
x
dx
2x 1+
∫

61.
1
0
x 1 xdx−
∫
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫

63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4

−
− +
∫
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫

Gv: Nguyễn Thanh Sang 24
Toán 12 Ban KHTN
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx

π
+
∫

67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫

69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π

+ +
+
∫
70.
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
72.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x

x

73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
74.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x

75.
∫
−
−+
+

0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

77.
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
78.
2
5
0
cos xdx

π
∫
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
81.
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
82.
4
4
0

1
dx
cos x
π
∫

83.
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
84.
4
0
1
dx
cosx
π
∫
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+

∫
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
25