Ôn thi tốt nghiệp phổ thông trung học môn toán

CHUYÊN ĐỀ 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Phần 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM S
I. Mục tiêu bài học:
- V kin thc: Hc sinh nắm chắc hơn định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa
khoảng, đoạn, điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, nửa khoảng, đoạn.
- Về kỹ năng: Giải tốn về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm. Áp dụng được đạo hàm để
giải các bài toán đơn giản.
- Về ý thøc, thái độ: Tớch cc,ch ng nm kin thc theo s hướng dẫn của GV, sáng tạo trong quá
trình tiếp thu kin thc mi.
II. Phơng tiện dạy học
SGK, SBT,lm bi tp nh
III. Phơng pháp dạy học chủ yếu:
Vấn đáp hot ng nhóm
IV. Tiến trình dạy học
2. Bài mới:
1 : Ơn lý thuyết
u cầu hs trình bày lại: Tính đơn điệu, hàm số đồng biến, hs nghịch biến, Mối quan hệ giữa dấu của
đạo hàm và sự biến thiên hàm số.
Để xét tính đơn điệu của hàm số ta làm theo quy tắc:
- Tìm TXĐ
- Tính y’=f’(x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó y’=0 hoặc không xác định
- lập bảng biến thiên và xét dấu y’
- kết luận y’ từ bảng xét dấu y’ tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
2 : Tổ chức luyện tập
1)Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x3-3x2+1.
b) y = f(x) = 2x2-x4.
c) y = f(x) =

x−3
x+2

.

x 2 − 4x + 4
.
1− x
x 2 − 3x + 3
y = f(x) =
.
x −1

d) y = f(x) =

e) y= f(x) = x3−3x2.

g)

h) y= f(x) = x4−2x2.
i) y = f(x) = sinx trên [0; 2π].
Tiếp tục yêu cầu các nhóm giải bài tập ,
Hướng dẫn nhanh cách giải ; Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, Để Hs đồng biến thì đạo hàm phải
dương,nghịch biến thì đạo hàm phải âm .
2) Cho hàm số y = f(x) = x3-3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số luôn đồng biên trên từng
khoảng xác định của nó
(ĐS:1 ≤ m ≤ 0)
3) Tìm m∈Z để hàm số y = f(x) =

mx − 1

x−m

đồng biên trên từng khoảng xác định của nó.

(ĐS:m = 0)
4) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng
xác định) của nó :
x −1
x2 − x −1
. c) y = 2x + 1 .
x −1
x 2 − 2mx + m + 2
y=
luôn đồng biến trên từng
x−m

a) y = x3−3x2+3x+2.
5) Tìm m để hàm số

b) y =

khoảng xác định của nó


Tiêt 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I/ Mục tiêu :
1/ Kiến thức : Nắm vững hơn về định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm số, hai quy tắc để tìm
cực trị của hàm số, tìm tham số m để hàm số có cực trị .
2/ Kĩ năng: Vận dụng thành thạo hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số, biết vận dụng cụ thể
từng trường hợp của từng qui tắc.

3/ Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận, chớnh xỏc.
II. Phơng tiện dạy học
SGK, SBT, lm bi tp nh
III. Phơng pháp dạy học chủ yếu:
Vấn đáp hot ng nhúm
IV. Tiến trình dạy học
1: Cng c lý thuyết
Để tìm cực trị của hàm số ta áp dụng quy tắc 1 sau:
- Tìm TXĐ
- Tính y’ và tìm các điểm xi (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc không xác định
- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các điểm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của hàm số ta cịn áp dụng quy tắc 2 sau:
- Tìm TXĐ
- Tính y’ và tìm các điểm xi (i =1, 2, …)mà tại đó y’=0 hoặc khơng xác định
- Tính y’’ và y’’(xi)
- Dựa vào dấu của y’’(xi) để kết luận các điểm cực trị của hàm số
2: Tổ chức luyện tập
1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I:
a) y = x3.

b) y = 3x +

3
x

+ 5.

.

2) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II:
a / y = x 4 − 3x 2 + 2
b) y = x2lnx
c) y = sin2x với x∈[0; π ]
3) Xác định tham số m để hàm số y = x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x = 2.
( m = 11)
4) Xác định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4
a.Khơng có cực trị.
( m ≥1)
b.Có cực đại và cực tiểu.
( m <1)
5) Xác định m để hàm số y = f(x) =
a. Có cực đại và cực tiểu.
b.Đạt cực trị tại x = 2.
c.Đạt cực tiểu khi x = -1
6) Tìm cực trị của các hàm số :
a) y = x +

1
x

.

b) y = −

x 2 − 4x + m
1− x

(m>3)
(m = 4)

(m = 7)

x4
+ 2x 2 + 6 .
4

7) Xác định m để hàm số sau đạt cực đại tại x =1: y = f(x) =

x3
3

-mx2+(m+3)x-5m+1.

(m = 4)
3 / Hướng dẫn học ở nhà : BT về nhà
B1. Hàm số y =

m 3
x − 2(m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
3

.


x 2 + mx
. Tìm m để hàm số có cực trị
1− x
x 2 + mx − 2m − 4
B3. Cho hàm số y =
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

x+2
B2. Cho hàm y =

Buổi 2: GTLN – GTNN – TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
Phần 1: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ hơn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs thành tạo trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số và biết ứng dụng
vào các bài toán thuwowngf gặp.
Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt.
Thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: Học bài ở nhà nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN. Chuẩn bị trước bt ở nhà.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp,hoạt động nhóm
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1/ Ổn định lớp:
2/ Bài mới:
1: Ơn lý thuyết :
- Tính y’. Tìm các điểm x1, x2,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’=0 hoặc khơng xác định
- Tính f(a), f(b), tính f(x1), f(x2),….
- Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên
max f ( x) = M ; min f ( x) = m
[ a ;b ]

[ a ;b ]

2: Tổ chức luyện tập
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3.
( Min f(x) = f(1) = 2)
R

2
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x -2x+3 trên [0;3].
( Min f(x) = f(1) = 2 và Max f(x) = f(3.) = 6
[ 0 ;3 ]
[ 0 ;3 ]
3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) =

x 2 − 4x + 4
x −1

với x<1.

( Max f(x) = f(0) = -4)
( −∞ ;1)

4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
5) Tìm GTLN: y = −x2+2x+3.
1
6) Tìm GTNN y = x – 5 +
với x > 0.
x

( Max y = f(1 ) = 4)
R
( Min y = f(1 ) = −3)
( 0 ; ±∞ )


 1 

7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x3+3x2−1 trên đoạn − 2 ;1


(

Max y = f (1) = 4
−1
[

2

;1]

;

Min y = f (0) = −1
−1
[

2

;1]

8) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x4-2x2+3.
b) y = x4+4x2+5.
Gv sửa sai,hoàn thiện lời giải

)

( Min y = f(±1) = 2; Khơng có Max y)
R
R
Min y=f(0)=5; Khơng có Max y)
( R
R

Phần 2 : TIỆM CẬN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về giới hạn của hàm số, Nắm kỹ hơn về tiệm cận,cách tìm
tiệm cận của đồ thị hàm số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị
hàm số và biết ứng dụng vào bài toán thực tế.
Về tư duy : Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt.
Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: nắm vững lí thuyết về giới hạn,tiệm cận của đồ thị. Chuẩn bị trước bt ở nhà.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp
IV/ Tiến trình tiết dạy:
1/ Ổn định lớp:
2/ Bài mới:
Phần 1 : Yêu cầu học sinh chia làm 4 nhóm nhắc lại một số kiến thức lý thuyết có liên quan đến bài
học như sau :
1 / Khái niệm giới hạn bên trái,giới hạn bên phải.
2 / Giới hạn vô cùng - Giới hạn tại vô cùng
3 / Khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị
4 / Khái niệm tiện cận đứng của đồ thị
Cả lớp thảo luận,bổ sung ,sửa sai,hoàn thiện phần lý thuyết để khắc sâu kiến thức cho Hs
2 : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải các bài tập.
Bài tập 1 : Chia lớp làm 4 nhóm u cầu mỗi nhóm giải mỗi câu sau.Tìm tiệm cận đứng,ngang của đồ

2x −1
3 − 2x
5
−4
thị các hàm số sau : a/ y =
b/ y =
c/ y =
d/ y =
2+ x
1 + 3x
2 − 3x
1+ x
Đại diện các nhóm trình bày trên bảng, lớp thảo luận bổ sung, góp ý, hồn chỉnh .ghi chép
2 x −1
2x −1
2x −1
= −∞, và lim−
= +∞, Nên đường thẳng x = - 2 là
ta có lim+
x →−2 2 + x
x →−2 2 + x
2+ x
đường tiệm cận đứng của đồ thị.
1
2−
2x −1
x = 2 nên đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị
= lim
Vì xlim
→±∞ 2 + x

x →±∞
2
1+
x
Bài tập 2 : Tiến hành tương tự cho bài tập 2 như sau :
x2 − x − 2
x 2 − 12 x + 27
y=
a./ y = 2
b/
( x − 1) 2
x − 4x + 5
2− x
x 2 + 3x
c/y= 2
d/ y= 2
x − 4x + 3
x −4
Gợi ý lời giải : a / y =

Đại diện các nhóm trình bày ,lớp thảo luận ,góp ý ,bổ sung.
Gợi ý lời giải :


x 2 − 12 x + 27
x 2 − 12 x + 27
Vì lim 2
= 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị
x →±∞ x − 4 x + 5
x2 − 4 x + 5

Vì x 2 − 4 x + 5 > 0 , ∀ x nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng
4/ Củng cố: Nhắc lại cách tìm giới hạn của hsố trên . Lưu ý cách tìm tiệm cận đứng nhanh bằng cách tìm
các giá trị làm cho mẫu thức bằng khơng.
a./ y =

BTVN: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a. y = x 4 − 3x3 − 2 x 2 + 9 x trong đoạn [ −2; 2]
2x +1
b. y =
trong đoạn [ 3; 4]
x−2
3
2
x ∈ [ 0; 4]
c. y = x − 6 x + 9 x ,
d.

y = x + 2 − x2 ,

x ∈ [ −2; 2]

Buổi 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số,
Nắm kỹ hơn về biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số .
Về tư duy : Đảm bảo tính logic
Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác,
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: nắm vững lý thuyết về khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.

III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm .
IV/ Tiến trình tiết dạy:
* Ơn lý thuyết :
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
1. Txđ
2. Sự biến thiên
a) Giới hạn và tiệm cận (Chỉ xét tiệm cận của các hàm phân thức)
b) Bảng biến thiên:
- Tính o hm
- Tìm các điểm xi sao cho phơng trình y(xi) = 0. Tính y(xi)
- Lập bảng biến thiên.
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến và cực trị.
3. Vẽ đồ thị:
- Tìm giao với các trục toạ độ (Hoặc một số điểm đặc biệt)
- Vẽ đồ thÞ
2. PTTT của đồ thị hàm số
a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; y0)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f ′ (x0)(x – x0)
Bước 2: Tính f ′ (x)
Bước 3: Tính f ′ (x0)
Bước 4: Thay x0, y0 và f ′ (x0) vào bước 1
b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước
Bước 1: Tính f ′ (x)
Bước 2: Giải phương trình f ′ (x0) = k ⇒ nghiệm x0
Bước 3: Tính y0 = f(x0)
Bước 4: Thay x0, y0 và k = f ′ (x0) vào PT: y – y0 = f ′ (x0)(x – x0)
* Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải các bài tập.
VD1 : Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 - 2
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm y=0

Giải:
a) Khảo sát hàm số:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:

a) Giới hạn: xlim y = m

x1 = 0 y1 = 2
b) Bảng biến thiên: y = - 3x2 + 6x, y’ = 0 ⇔ - 3x2 + 6x = 0 ⇔ 
 x2 = 2 ⇒ y1 = 2
X -
0
2
+
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2)
y
0
+ 0
và nghịch biến trên khoảng
+
2
y
-2
-
(- ; 0) và (2 ; +)
y
- Cực trị: Điểm cực đại (2 ; 2) cực tiểu (0 ; -2)
3. Đồ thị : - §iĨm n : y” = - 6x + 6; y” = 0 khi

x = 1 ⇒ y = 0. Ta có điểm uốn là: U(1 ; 0)
2
- Giao Ox : A(1 − 3;0); B(1 + 3;0);U (1;0)
- Giao Oy : D(0 ; -2)
Nhận xét : Đồ thi nhận điểm uốn U(1 ; 0) làm
O
x
tâm đối xứng.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0)
Hệ số góc k = f(1) = 3
-2
Vậy ta có phơng trình tiếp tuyÕn lµ :
y - y0 = k(x - x0) hay : y - 0 = 3(x - 1)
⇔ y = 3x - 3
Một số chú ý khi khảo sát hàm sè bËc ba :
1. Tx®: R
∞
2. a > 0 ⇒ lim y = ±∞; a < 0 ⇒ lim y = m
x →±∞

x →±∞

3. a > 0 : C§ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y> 0 hoặc
y< 0 xR)
4. Tìm điểm uốn trớc khi vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
VD 2: Cho hm s (C): y = -x3 + 3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

x − xA
y − yA
=
. ĐS: y = 2x + 2
x B − x A yB − yA

VD3: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
HD: Thế x = -1 vào (C) ⇒ y = 3: M(-1; 3). ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
ĐS: y = -2x + 1
VD4: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)


5

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = − x − 1 .

5

83

3

27

ĐS: y = − x +
3

5

115

3

3

27

;y= − x+

2

VD5: Cho hàm số (Cm): y = 2x + 3(m – 1)x + 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2

9
8

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y = − x − 1
Bµi tËp tù lun:
Bµi 1: Cho hµm sè: y = x3 − 12 x + 12 (C)

a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = - 4
1
Bài 2: Cho hµm sè y = x 3 − x 2 (C ) (Đề thi TN 2002)
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0)
1
Bài 3: Cho hàm số y = x 3 3x (C ) (Đề TN 2001)
4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 3 (d)
Bài 4: (Đề TN 99) Cho hàm số y = x3 - (m + 2)x + m
a) T×m m để hàm số có cự đại tơng ứng với x = 1
b) Khảo sát hàm số tơng ứng với m = 1(C)
c) BiƯn ln sè giao ®iĨm cđa (C) với đờng thẳng y = k
Bài 5 : (Đề 97) Cho hµm sè y = x3 - 3x + 1 (C)
Khảo sát hàm số (C)
Bai 6: (Đề 93) Cho hàm sè y = x3 - 6x2 + 9 (C)
a) Kh¶o sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm phơng trình y=0
c) Dựa vào (C) để biện luận số nghiệm của phơng trình x3 - 6x2 + 9 - m.
1
Bµi 8 : Cho hµm sè y = x 3 − x 2 + 2, (C )
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng d:
1
y = x+2
3

Bui 4: KHẢO SÁT HÀM SỐTRÙNG PHƯƠNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số,
Nắm kỹ hơn về biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số .
Về tư duy : Đảm bảo tính logic
Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác,
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: nắm vững lí thuyết về khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm .
IV/ Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 : Ơn lý thuyt :
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:


2/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ϕ (m) .
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thị (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y= ϕ (m) . Tùy theo m
dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C).
Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 – 6x2 + 9x – m
=
y
6
0
Giải:
4

Phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0
⇔ x3 – 6x2 + 9x = m
2
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thị ta có:
5
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
-2
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Phần 2 : Tiến hành hướng dẫn,gợi mở dẫn dắt để học sinh giải các bài tập.
Hµm sè bËc 4 trïng ph¬ng y = ax4 + bx2 + c
1
9
VD1: Cho hµm sè y = − x 4 + 2 x 2 + (C )
4
4
a) Khảo sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Giải:
a) Khảo sát hàm số
Tập xác định: R
Sự biến thiên
a) Giới hạn: lim y =
x →∞
9


 x1 = 0 ⇒ y1 = 4
3
b) B¶ng biÕn thiªn: y' = - x + 4x; y' = 0 ⇔ 
 x = ±2 ⇒ y = 25
2,3
 2,3

4
x
y’

-∞

y

-2
+ 0
25
4

-

0
0

+

2
0
25

4

+
-

9
-
4
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) vµ (2; +∞)
-∞

x


Cùc trÞ: x CD = ±2 ⇒ yCD =

25
9
; xCT = 0 yCT =
4
4

Đồ thị : (H2)
- Điểm uốn: y” = - 3x2 +4; y” = 0
2
161
⇔x=±
⇒ y=
36
3

- Giao víi Ox : A(-3 ; 0) vµ B(3 ; 0)
9
- Giao Oy : C (0; )
4

y

6

4

2

O

1

x
5

(H2)
b) x0 = 1 ⇒ y0 = 4, y(x0) = y(1) = 3. Nên phơng trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4 = 3(x - 1), hay : y
= 3x + 1.
Mét số lu ý khi khảo sát hàm số bậc 4 trùng phơng :
a) Txđ : R
b) a > 0 : lim y = + đt hàm số có hai cực tiểu - một cực đại hoặc chỉ có một cực tiĨu (y’ = 0 chØ
x →∞
cã mét nghiƯm, khi ®ã ®å thÞ gièng ®å thÞ parabol)
a < 0 : lim y = ; đt hàm số có hai cực đại - một cực tiểu hoặc chỉ có một cực đại.
x

c) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Kh«ng cã tiƯm cËn.
VD2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C) ⇒ x = ± 1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2
VD3: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24 – 43
VD4: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ĐS:
-14 < k < 0
Bµi tËp tù lun :
Bµi 1 : Cho hµm sè y = x4 - 2x2 - 3 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Dựa vào (C), tìm m để phơng trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Khảo sát hàm số: y = - x4 + 4x2 - 5
Bµi 3: Cho hµm sè: y = x4 + mx2 - m - 5 (Cm)
a) Khảo sát hàm sè víi m = 1 (C)
b) TÝnh diƯn tÝch h×nh phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
c) Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu.
1
9
Bài 4: Cho hµm sè: y = x 4 − mx 2 − (Cm)
2
4
a) Khảo sát hàm số với m = 3.

9
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; ) .
4
Bài số 5. Khảo sát các hàm số sau:


1) y = x 4 − 4x 2 + 3
2) y = x 4 + x 2 − 2
3) y = x 4 − 2x 2 + 1
Buổi 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I/ Mục tiêu:
Về kiến thức: Giúp học sinh nắm chắc hơn về sơ đồ khảo sát hàm số,
Nắm kỹ hơn về biến thiên,Cực trị,GTLN,GTNN,tiệm cận,cách vẽ đồ thị hàm số
Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số .
Về tư duy : Đảm bảo tính logic
Về thái độ : Thái độ nghiêm túc, cẩn thận.chính xác,
II/ Chuẩn bị của GV và HS
Hs: nắm vững lớ thuyt v khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
III/ Phng phỏp: Gi m, vn ỏp kt hợp hoạt động nhóm .
IV/ Tiến trình tiết dạy:
−x + 4
(C )
VD1: Cho hàm số: y =
x 1
a) Khảo sát hàm số.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đờng thẳng d: y = 2x + 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của
(C) tại các giao điểm trên.
Giải:
a) Khảo sát hàm số:

1.Tập xác định: D = R\{1}
2.Sự biến thiªn:
a) ChiỊu biÕn thiªn:
−3
y' =
> 0, ∀x ∈ D .
( x 1) 2
Nên hàm số nghịch biến trên (-; 1) và (1; +)
b) Cực trị: Đồ thị hàm số không có cực trị.
c) Giới hạn và tiệm cận:
+ lim y = ∞ ⇒ x = 1 lµ tiƯm cËn ®øng.
x →1
+ lim y = −1 ⇒ y = - 1 là tiệm cận ngang.
x

d) Bảng biến thiên :
x -
1
y
-

+
-

y
2

+
y

-1

-1
-

3.Đồ thị : (H3)
- Giao với Ox : A(4 ; 0)
- Giao với Oy : B(0 ; -4)
- Đồ thị nhận I(1 ; - 1)
làm tâm đối xứng
b) Hoành độ giao điểm của(C)
và đờng thẳng d là nghiệm
x1 = −2 ⇒ y1 = −2
−x + 4
2
= 2x + 2 ⇔ 2x + x − 6 = 0 ⇔ 
Cña phơng trình:
x2 = 3 y2 = 5
x 1

2
3
Vậy giao điểm của (C) và đờng thẳng d là: M 1 (−2; −2), M 2 ( ;5)
2

1

O
I
-2

-4

x
5


- Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M1 có hệ số góc là: k1 = y '(2) =

1
3

1
1
8
Nên có phơng trình là: y + 2 = ( x + 2) ⇔ y = − x −
3
3
3
3
- Ph¬ng trình tiếp của (C) tại M2 có hệ số góc là: k2 = y '( ) = 12 . Nên có phơng trình là:
2
3
y 5 = 12( x ) ⇔ y = −12 x + 23
2
Nh÷ng lu ý khi khảo sát hàm b1/b1:
d
1. Tập xác định: D = R \ { }.
c
2. Hàm số luôn đồng biến (y>0) hoặc luôn nghịch biến (y<0) trên các khoÃng xác định.

3. Đồ thị hàm số không có cực trị.
4. Giới hạn vµ tiƯm cËn:
d
+) limd y = ∞ ⇒ x = là tiệm cận đứng.
c
x
c

a
a
y = là tiệm cận ngang
x
c
c
+) Không có tiệm cận xiên.
+) lim y =

vd2. Cho hàm số y =

3x 1
có đồ thị (C).
x 3

1) Khảo sát hàm số.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1
3) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [0; 2].
Hớng dẫn giải.
1) Hs tự khảo sát. Đồ thị:
2) Có y ' =

−10

( x − 3)

2

5
⇒ y '( −1) = ; y( 1) = 1
8

Phơng trình tiếp tuyến: y = −

5
5
3
( x + 1) + 1 ⇔ y = x +
8
8
8

3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2].

1
3 [ 0;2]
x +1

Do đó: max y = y(0) = ; min y = y(2) = −5 .
[ 0;2]

VD3. Cho hàm số (C): y =

x−3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8
VD4.: Cho hàm số (Cm): y =

mx − 1
2x + m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của
nó
HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm)
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ). ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1;

3
1
1
). ĐS: y = x −
8
8
4


VD5: Cho hàm số (Cm): y =

(m + 1)x − 2m + 1

x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung ⇒ x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒ y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1
Bµi tËp tù lun
2x −1
(C ).
Bµi 1: Cho hàm số: y =
x +1
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2x 1
(C )
Bài 2: Cho hàm số y =
x 1
a) Khảo sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
x+4
(C )
Bài 3: Cho hàm số y =
2x
a) Khảo sát hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các trục toạ độ
Bài 4: (Đề TN - 99)
x +1
(C )
Cho hàm số y =

x 1
a) Khảo sát hàm số.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tai điểm A(0; 1)
x2
(C )
Bài 5: Cho hàm số y =
x +1
a) Khảo sát hàm số
b) Chứng minh rằng đờng thẳng dm: y = 2x + m (m là tham số) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
thuộc hai nhánh của đồ thị
c) Tìm toạ độ của M thuộc đồ thị (C) sao cho điểm M cách đều các trục toạ độ
x+2
(C )
Bài 6: Cho hàm số y =
x +1
a) Khảo sát hàm số
b) Tìm m ®Ĩ ®êng th¼ng dm: y = mx + m + 3 (m là tham số) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Khảo sát các hàm số
x+2
2x
a) y =
b) y =
x2
x 1
.
Chuyên Đề 2: Hàm Số Mũ và Lôgarit (5 bi=15 tiÕt)
(Tõ bi 6 ®Õn 13)
Bi 6: L thõa - mị( 3tiÕt)
I. Mục tiêu:
1) Về kiến thức:

C¸c kiÕn thøc vỊ l thõa vµ mị
2) Về kỹ năng:
– Thực hiện thnh tho vic giải các bài toán về đơn giản biểu thức, tính giá trị biểu thức, biến đổi
luỹ thừa.
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng
cao.


II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:
- Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Học sinh:
– Sách giáo khoa.
– Kiến thức về luü thõa mò
III. Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm..
IV. Tiến trình bi hc:
1. n nh lp.
2. Bi mi:.
I.
Định nghĩa luỹ thừa và căn
1. Luỹ thừa Căn
. Với n nguyên dơng, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a.
. Với n nguyên dơng lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a, kí hiệu là n a
. Với n nguyên dơng chẵn và a là số thực dơng, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có
giá trị dơng kí hiệu là n a , căn có giá trị âm kí hiệu là - n a .
. Số âm không có căn bậc chẵn.
aĂ ,nƠ *

a0
Lu ý: 00 , 0 n
a > 0, r =
Tính chất:

a n = a.a......a (n thừa số )
1
a−n = n , a0 = 1
a
khơng có ngha

m
,m ,nƠ ,n 2
n

m
n

a = a = n am
r

Cho a > 0, b > 0, α , β ∈ ¡ . Khi đó:
aα .a β = aα + β

aα
= aα − β
β
a

( a α ) β = aα . β

aα
a
= α
 ÷
b
b

α

(ab)α = aα .bα
Nếu: a > 1 thì a α > a β ⇔ α > β
Ví dụ: Cho a > 0, b > 0 . Rút gọn biểu thức:
a.
b.

1
2

1
3

1
6

1 1 1
+ +
2 3 6

a . a . a = a .a .a = a

=a
2( 3+ 2 ) 1− 2 −4 −
1− 2 −4 − 2
9 .3 .3
=3
.3 .3
3

3+ 2

6

Nếu: 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β

2

= 36+ 2

2 +1− 2 − 4 − 2

= 33 = 27


2. Hµm sè mị y=ax(a>0,a≠1)
a>1
. y’>0 víi mäi x ∈ R
. Hàm số đồng biến trên R
. lim a = +∞ ; lim a = 0
x → +∞

. lim a = 0 ; lim a = +∞
x → +∞

. B¶ng biến thiên

II.

0. y>0 với mọi x R
. Hàm số nghịch biến trên R
. Bảng biến thiên

x

x

x

x

x
y=ax

+

-

y=ax

x

x

x

BI

+

+

-

0
0
y

. Đồ thị

y

1
0

1
0

1.

TP T GII

n gin biu thc.

x

x


1.
a −1
4
3

a +a

1
2

.

4.
5.

x 6 . y 12 −

3

a +4 a
a +1
a2

x. y 2

5

)

5

2.

1

.a 4 + 1
− b2

2

(a 2

3

 1
m2 + 4   m 1
1

 m + 2 − m 3 + 2 2 . 2 − 2 + m 





3.
3

+1

− b 3 )2

2

(a

(

− 1)(a 2
a4

3

+a

3

−a

3

+ a3 3 )

1

 π 
 4 .ab 
(a + b ) − 




π

6.

3

π

π

2

2

2.

 4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1 
3
 với a > 0; a ≠ 1; a ≠
A= 1
+ 1
7.
1

1
−
−
2
 2

a2 − a 2 
 2a − 3a 2
Tính giá trị của biểu thức.
1.
3.
15.
17.

3.

81−0,75

 1 
+

 125 

2
3

1
27 +  
 16 

( )

 3


27 2

3





−

1
3

 1 
− 
 32 

−

3
5

1

4

8.

3

2

1

−1

41−2 3 .161+

(2 )

1
2

3

18.

4.

 1
− 2 
 4

16.

− 25

a +3 b

2. 0,001− 3 − (−2) − 2 .64 3 − 8 −13 + (9 0 ) 2

−0 , 75
0,5

4

a 3 b + ab 3

(−0,5) − 4 − 625 0, 25

+ 19(−3) −3

3

3 2

3
Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
17 5 3
3
2 .ax
1.
2.
a 5 .4 a
8

11
14
27.3 a
4.
5.
a a a a : a 6 , ( a > 0)
3

5

8

5

4

3.

8

b 3 .4 b

6.

5

23 2 2

Bi 7: L«garÝt( 3tiết)
I. Mc tiờu:

1) V kin thc:
Các kiến thức về lôgarit.
2) V k nng:
Thc hin thnh tho vic đơn giản biểu thức lôgarit, tính giá trị biểu thức lôgarit, biến ®ỉi
l«garit.
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng
cao.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:
- Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Học sinh:
– Sách giáo khoa.
– Kiến thức về l«garit.
III. Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm..
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp.
2. Bài mới:.
I: LƠGARIT.


Định nghĩa: Cho b > 0, 0 < a ≠ 1 .
log a b = α ⇔ b = aα
log b = α ⇔ b = 10α
ln b = α ⇔ b = eα
Tính chất:
log a 1 = 0

log a a = 1

log a ( aα ) = α

a loga b = b
Quy tắc:

0 < a ≠ 1, b > 0, c > 0 . Khi đó:
b
log a b.c = log a b + log a c
log a = log a b − log a c
c
0 < a ≠ 1, 0 < b, 0 < c ≠ 1 . Khi đó:
1
log a bα = α log a b
log aα b = log a b , ( α ≠ 0 )
α
log c b
1
log a b =
log a b =
, ( b ≠ 1)
log c a
log b a
Ví dụ 1: Cho a > 0, b > 0 . Rút gọn biểu thức:
log b ab + log a ab
1
1
M=
+

=
a.
log a ab logb ab logb ab.log a ab
log b a + 1 + 1 + log a b
logb a + 1 + 1 + log a b
=
=
=1
( 1 + log a b ) . ( log b a + 1) logb a + 1 + 1 + log a b
 a2 .3 a .5 a4 
1 4 1 173
N = log a 
÷ = log a a 2 . 3 a . 5 a 4 − log a 4 a = 2 + + − =
4

÷
3 5 4 60
a


Ví dụ 2: Biết log 5 2 = a, log 5 3 = b . Tính : A = log 5 12 theo a, b
Ta có. A = log 5 12 = log 5 4 + log 5 3 = 2 log 5 2 + log 5 3 = 2a + b

(

b.

II.

)

( )

BÀI TẬP TỰ GIẢI
1.
1.
3.
5.

Tính giá trị của biểu thức.
 1 − 1 log9 4

 81 4 2
+ 25 log125 8 .49 log7 2




1
log 7 9 − log 7 6

− log 5 4 

72 49 2
+5





log 2 3+ 3 log 5 5

log(2 + 3 ) 20 + log(2 − 3 ) 20

6.
8.

161+ log 4 5 + 42 2

4.

3 log( 2 + 1) + log(5 2 − 7)

7. ln e −1 + 4 ln(e 2 . e )

1

2.

ln e + ln

1
e

1
2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3
3

9.

1
log 36 2 − log 1 3
2
6

10.

log 1 (log 3 4. log 2 3)
4

Buổi 8: Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarít( 3tiết)
I. Mc tiờu:
1) V kin thc:
Các kiến thức về đạo hàm của hàm số mũ và lôgarít
2) V k nng:
Thc hin thnh tho vic giải bài toán về đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit.
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng
cao.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:
- Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Hc sinh:
Sỏch giỏo khoa.
Kin thc v đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit.

III. Phng phỏp:
Dựng cỏc phng pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm..
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp.
2. Bài mới:.
III.
ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT.

(e ) =e
( a ) = a .ln a
x '

x '

(x )

α '

a

x)

u '

'

1
x
1
= x

a ln a
'

u

u '

x

( ln x )
( log

( e ) = e .u '
( a ) = a .ln a.u '

x

u

( ln u )

=

( log

= α .xα −1 (α ≠ 0, x > 0)

a

u)

(u )

α '

'

1
= .u '
u
1
=
.u '
u.ln a

'

= α .uα −1 .u '

Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số:
x 1
y =  − ÷e 2 x
2 4

a.

HD:

'

 x 1   1
 x 1
y ' =   − ÷e 2 x ÷ = e 2 x +  − ÷2e 2 x = x.e 2 x
2 4
 2 4   2
b.
IV.
1.

y=

1
HD: y ' = 10 x − − 8sin x
x

y = 5 x 2 − ln x + 8cos x

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính đạo hàm của các hàm số sau.
y = ( x2 − 2x + 2) ex
1.

2.

y = ( sin x − cos x ) e 2 x

3.

5.

y = ln ( x 2 + 1)

6.

e x − e− x
e x + e− x
4.

y = 2x − ex

y=

ln x
x


7.

y = ( ln x + 1) ln x

8.

y = x 2 .ln x 2 + 1

9.

10.

y = xπ .π x

11.

y=3x

12.

y = 3 .log 3 x
x

y = 3 ln 2 2 x
2.
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
y = esin x
1.
CMR: y 'cos x − y sin x − y '' = 0
y = ln ( cos x )
2.
CMR: y ' tan x − y ''− 1 = 0
3.

y = ln ( sin x )

CMR: y '+ y ''sin x + tan

4.
5.

y = e x .cos x
y = ln 2 x

CMR: 2 y '− 2 y − y '' = 0
CMR: x 2 . y ''+ x. y ' = 2

x
=0
2

Buæi 9 PT, BPT, HPT, HBPT mò( 3tiÕt)
I. Mục tiêu:
1) Về kin thc:
Các kiến thức về luỹ thừa và mũ
2) V kỹ năng:
– Thực hiện thành thạo việc gi¶i PT, BPT, hƯ PT vµ hƯ BPT mị.
3) Về tư duy và thái độ:
– Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng
cao.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:
- Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Học sinh:
– Sách giáo khoa.
– Kiến thức về PT, BPT, hƯ PT vµ hƯ BPT mò.
III. Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm..
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp.
2. Bài mới:.
I.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: aM = aN ⇔ M = N
x
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 2

HD:

2x

2

+3 x − 2

=

2

+3 x − 2

=

1
4

2
1
⇔ 2 x +3 x − 2 = 2−2
4

x = 0
⇔ x 2 + 3x − 2 = −2 ⇔ x 2 + 3 x = 0 ⇔ 
 x = −3
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = −3
x 2 −3 x +1

1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :  
 ÷
 3
x 2 −3 x +1

HD:

1
 ÷
 3

= 3 ⇔ 3− ( x

2

− 3 x +1)

= 31

=3


x = 1

⇔ −( x 2 − 3 x + 1) = 1 ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1, x = 2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau :
2 x +1 + 2 x − 2 = 36
2x
HD: 2 x +1 + 2 x − 2 = 36 ⇔ 2.2 x + = 36
4
x
x
8.2 + 2
⇔
= 36 ⇔ 9.2 x = 36.4 ⇔ 2 x = 16 ⇔ 2 x = 2 4 ⇔ x = 4
4
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1, x = 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau :
5 x.22 x−1 = 50
HD:

x

5 .2

2 x −1

4x
= 50 ⇔ 5 . = 50 ⇔ 20 x = 100 ⇔ x = log 20 100
2
x

Vậy phương trình có nghiệm: x = log 20 100
2.

Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
HD:

38.32 x − 4.35.3 x + 27 = 0

( )

⇔ 6561. 3x

2

− 972.3x + 27 = 0 (*)

Đặt t = 3x > 0
 1
t = 9
2
Phương trình (*) ⇔ 6561t − 972t + 27 = 0 ⇔ 
t = 1
 27

1
t = ⇔ 3x = 3−2 ⇔ x = −2
Với
9
1

t=
⇔ 3x = 3−3 ⇔ x = −3
Với
27
Vậy phương trình có nghiệm: x = −2, x = −3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25 x − 2.5 x − 15 = 0
HD:

25 x − 2.5 x − 15 = 0 ⇔ ( 5 x ) − 2.5x − 15 = 0 (*)
2

Đặt t = 5 x > 0

t = 5
2
Phương trình (*) ⇔ t − 2t − 15 = 0 ⇔ 
t = −3 (loai)
x
Với
t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x =1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x + 2 − 32− x = 24
9
x+2
2− x
x
x 2
x
HD: 3 − 3 = 24 ⇔ 9.3 − x − 24 = 0 ⇔ 9. ( 3 ) − 24.3 − 9 = 0 (*)
3

Đặt t = 3x > 0
t = 3
2
Pt (*) ⇔ 9t − 24t − 9 = 0 ⇔ 
t = − 1 ( loai)
3

x
Với
t = 3 ⇔ 3 = 3 ⇔ x =1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1


3.

Phương pháp: Lấy logarit hai vế
8 x.5 x

Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
HD:

2

−1

=

1
8

Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
2
2
1
1
8 x.5 x −1 = ⇔ log8 8 x.5 x −1 = log8
8
8
x
x 2 −1
−1
⇔ log8 8 + log8 5
= log8 8 ⇔ x + x 2 − 1 log8 5 = −1

(

(

)

)

⇔ x + 1 + x 2 − 1 log8 5 = 0 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x − 1) log 8 5 = 0
x +1 = 0
⇔ ( x + 1) 1 + ( x − 1) log8 5 = 0 ⇔ 


1 + ( x − 1) log8 5 = 0
 x = −1
 x = −1

⇔
⇔
 x.log8 5 = log8 5 − 1  x = 1 − log 5 8
Vậy phương trình có nghiệm: x = −1, x = 1 − log5 8
2
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
3x.2 x = 1
HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
2
2
3x.2 x = 1 ⇔ log3 3x.2 x = log 3 1
⇔ x + x 2 log3 2 = 0 ⇔ x ( 1 + x log 3 2 ) = 0
x = 0
x = 0
x = 0
⇔
⇔
1 ⇔
x = −
1 + x log 3 2 = 0
 x = − log 2 3
log3 2


Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = − log 2 3
4.
Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính
đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C

có khơng q một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) =
C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 3x + 4 x = 5 x
x

HD:

x

3  4
3 + 4 = 5 ⇔  ÷ +  ÷ = 1 (*)
5  5
x

x

x

2

2

3  4
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì  ÷ +  ÷ = 1
5  5
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.

x
x
3  4
Thật vậy, xét f ( x) =  ÷ +  ÷
5  5
x

x

3 4
4
3
Ta có f ( x) đồng biến trên ¡ vì f '( x ) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0 , ∀x ∈ ¡ . Do đó
5 5
5
5
x

x

3  4
+ Với x > 2 thì f ( x ) < f (2) hay  ÷ +  ÷ < 1 , nên phương trình (*) thể có
5  5
nghiệm x > 2


x

x

3  4
+ Với x < 2 thì f ( x ) > f (2) hay  ÷ +  ÷ > 1 , nên phương trình (*) thể có
5 5
nghiệm x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
x=2
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Giải các phương trình sau:
x +10

x +5

1.

16 x −10 = 0,125.8 x −15

2.

32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0

3.

6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0

4.

( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x = 4

5.
7.

2 x − x − 22+ x − x = 3
2.22 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0

6.
8.

3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
12.3x + 3.15 x − 5 x+1 = 20

9.

log x  log 9 ( 3x − 9 )  = 1



10.

1
 ÷ = 2x +1
 3

11.

2x

13.
15.

2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 3x − 3x −1 + 3x − 2

2
( x 2 − x + 1) x −1 = 1
4x + 6
log 1
=0
x
3

14.
16.

2
2
= 16 2
x x −1 x − 2
2 .3 .5 = 12
log x 2.log 2 x 2.log 2 4 x = 1

18.

7 x + 2.71− x − 9 = 0

19.

22 x + 6 + 2 x + 7 − 17 = 0

20.

(2 + 3) x + (2 − 3) x − 4 = 0

21.

2.16 x − 15.4 x − 8 = 0

22.

(3 + 5) x + 16(3 − 5) x = 2 x+3

23.

(7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0

24.

2.4 x + 6 x = 9 x

25.

26.

5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 3x + 3x+1 + 3x + 2

27.

8 x − 2 x + 12 = 0
log 2 ( x + 3) = 1 + log 2 ( x − 1)

28.

x 2 − (3 − 2 x ) x + 2(1 − 2 x ) = 0

29.

2 x− 4 = 3 4

30.

32 x −3 = 9 x

32.

5
2
 ÷ − 2 ÷
2
5

17.

2

2

2

− x +8

x

12.

= 41−3 x

3 x +3

2

x +5
x −7

32

33.

5

35.

(

37.

22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0

− 53−

x

5+ 2 6

) (
+

1

1

2

+ 3 x −5
x+1

+

5−2 6

)

x

36.

= 10

( 4−

38.
2

) +( 4+

8
=0
5

32 x +1 − 9.3x + 6 = 0

15

x

15

)

x

=2

3x +1 = 5x − 2

39.
II.

1

34.

= 20
x

5

x

x +17
1
= .128 x −3
4

31.

x

x2 −6 x −

3x −3 = 5 x

b ≤ 0


b > 0


Phương trình vơ số nghiệm

−7 x +12

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.

Phương trình cơ bản:

 f ( x ) > log a b
Phương trình : a f ( x ) > b ⇔ 
 f ( x ) < log a b
Phương trình vô nghiệm

khi a > 1
khi 0 < a < 1


b ≤ 0


b > 0


b.
a f ( x) < b ⇔

 f ( x ) < log a b
Phương trình : a f ( x ) < b ⇔ 
 f ( x ) > log a b

2 x −1

≤ 2 ⇔ 2 x − 1 ≤ log 3 2 ⇔ x ≤

Giải bất phương trình: 3

Ví dụ 1:

khi a > 1
khi 0 < a < 1

1 + log 3 2
2

1 + log 3 2 

Vậy bất phương trình có nghiệm: S =  −∞;

2


Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
x
3 −1
3
< 3 ⇔ − 1 < 3. ( 3.3x + 1) ⇔ 3x − 3 < 27.3x + 9
x +1
3 +1
3
x −1

⇔ 26.3x > −12 ⇔ 3x > −

6

, ∀x ∈ ¡
13

Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( −∞; +∞ )
2.

Phương pháp:

a.

Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:

 f ( x ) > g ( x)
a f ( x ) > a g ( x) ⇔ 
 f ( x ) < g ( x)

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình:

HD:

( )
3

x
2

a >1
0 < a <1

khi
khi

( 3)

x
2

x

> 9 x− 2

2 x −4
⇔
> 9 x− 2 ⇔ 3 4 > 3

x
16
> 2 x − 4 ⇔ x > 8 x − 16 ⇔ x <
4
7

16 

Vậy bất phương trình có nghiệm: S =  −∞; ÷
7

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình:

HD:

Ta có:

(

5+2

)(

(

5+2

)

x −1

≥

(

5 −2

)

1
=

5+2

5 − 2 =1⇔ 5 − 2 =

Phương trình (1) ⇔

(

5+2

)

x −1

≥

(

5+2

)

− x2 +3

)

x2 −3

(1)

(

5+2

)

−1

⇔ x −1 ≥ x2 − 3

⇔ x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [ −1; 2]
3.

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình: 5 x + 52− x < 26

HD:

5 x + 52− x < 26 ⇔ 5 x +

2
25
− 26 < 0 ⇔ ( 5 x ) − 26.5 x + 25 < 0 (1)
x

5


Đặt t = 5 x > 0
Ta có: (1) ⇔ t 2 − 26t + 25 < 0 ⇔ 1 < t < 25
⇔ 1 < 5x < 25 ⇔ 50 < 5 x < 52 ⇔ 0 < x < 2
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( 0; 2 )
Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: 32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0

HD:

x
x
32x+1 − 10.3x + 3 ≤ 0 ⇔ 3. ( 3 ) − 10.3 + 3 ≤ 0 (1)
2

Đặt t = 3x > 0 .
2
Ta có: (1) ⇔ 3t − 10t + 3 ≤ 0 ⇔

⇔

1
≤t ≤3
3

1
≤ 3x ≤ 3 ⇔ 3−1 ≤ 3x ≤ 31 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1

3
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [ −1;1]

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x > 0 (*)

HD:

x
 5  x 
5
Chia (*) hai vế cho 4 > 0 ta được: 5 + 2.  ÷  − 7.  ÷ > 0 (**)
2
 2  



2

x

x

5
Đặt t =  ÷ > 0 .
2
  5 x
0 < t < 1 0 <  ÷ < 1
x < 0

2
2
⇔
Ta có: (**) ⇔ 2t − 7t + 5 > 0 ⇔  5 ⇔ 
x
 5
t >
x > 1
  > 5
 2
 ÷
2
 2 

Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( −∞;0 ) ( 1; +∞ )
.

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2 x+ 5

x− 4

≥8

2.

1
 ÷
 3

6
x+ 2

4.

4x

1.

16

3.

9 ≤3
x

2

4 x −15 x + 4

5.

1
 ÷
2

2

<9

− x +6

>1

2

4 x −15 x +13

< 23 x − 4

6.

1
 ÷
2

4 −3 x

1
< ÷
2

x

x 2 − 7 x +12

7.

5

9.

2 x + 2.5x + 2 ≤ 23 x.53 x

10.

11.

22 x + 6 + 2 2 x + 7 > 17

12.

13.

52 x −3 − 2.5 x −2 ≤ 3

14.

15

5.4 x + 2.25 x ≤ 7.10 x

16.

≤1

Bài 2: Giải các phương trình sau:

8.

1
2 > ÷
 16 
x−1
25 ≥ 125
x−1

( 2 − 3)
1

−1

x −1

1

−2

(

≥ 2+ 3

)

− x2 +3

4x > 2x + 3
2.16 x − 24 x − 42 x−2 ≤ 15

x +10
x −10

x +5
x −15

2.

32 x +8 − 4.3x +5 + 27 ≤ 0

6.9 x − 13.6 x + 6.4 x ≥ 0

4.

( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x < 4

5.

log 2 ( x + 3) > 1 + log 2 ( x − 1)

6.

7.

2.2 − 9.14 + 7.7 ≥ 0

8.

1.

16

3.

2x

≤ 0,125.8

x

2x

2 log 8 ( x − 2) + log 1 ( x − 3) =

9.

8

2
3

x2 −6 x −

5
2

2
> 16 2
x

12.3 + 3.15 x − 5 x+1 = 20
10.

2x

2

− x +8

= 41−3 x

Buæi 10: PT, BPT, HPT, HBPT lôgarít( 3tiết)
Buổi 10
I. Mc tiờu:
1) V kin thc:
Các kiÕn thøc vỊ l thõa vµ mị
2) Về kỹ năng:
– Thực hiện thành thạo việc gi¶i PT, BPT, hƯ PT và hệ BPT lôgarit.
3) V t duy v thỏi :
Tự giác, tích cực trong học tập.
– Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng
cao.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Giáo viên:
- Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập .
Học sinh:
– Sách giáo khoa.
– Kiến thc v PT, BPT, hệ PT và hệ BPT lôgarit.
III. Phương pháp:
Dùng các phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm..

IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định lớp.
2. Bài mới:.
V.
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
1.
Phương pháp : Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: log a M = log a N ⇔ M = N
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : log 2 x + log 2 ( x + 3) = log 2 4
HD: log 2 x + log 2 ( x + 3) = log 2 4 (1)
x > 0
x > 0
⇔
⇔ x>0
Điều kiện: 
x + 3 > 0
 x > −3
Do đó phương trình (1) ⇔ log 2 x ( x + 3) = log 2 4 ⇔ x( x + 3) = 4
x = 1
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ 
⇔ x =1
 x = −4 (loai)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
2
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : log 2 x + log 2 x = log 2 9 x

log 2 x + log 2 x 2 = log 2 9 x (1)
Điều kiện: x > 0
Phương trình (1) ⇔ log 2 x + 2 log 2 x = log 2 9 + log 2 x ⇔ 2 log 2 x = log 2 9
1
⇔ log 2 x = log 2 9 ⇔ log 2 x = log 2 3 ⇔ x = 3

2
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : log 2 x + 2 log 2 x − 2 = 0
2
HD:

2.

HD:

log 2 x + 2 log 2 x − 2 = 0 (1)
2


Điều kiện: x > 0
2
Phương trình (1) ⇔ log 2 x + log 2 x − 2 = 0
Đặt t = log 2 x
x = 2
log 2 x = 1
t = 1
⇔
⇔
Lúc đó: log x + log 2 x − 2 = 0 ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔ 
x = 1
t = −2
log 2 x = −2




4
1
Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x =
4
1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
HD: 1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4 (1)
2

2
2

x −1 > 0
x > 1
⇔
Điều kiện: 
x −1 ≠ 1
x ≠ 2

(*)

Phương trình (1) ⇔ 1 + log 2 ( x − 1) =

log 2 4
2
⇔ 1 + log 2 ( x − 1) =
log 2 ( x − 1)
log 2 ( x − 1)

⇔ [ log 2 ( x − 1) ] + log 2 ( x − 1) − 2 = 0 (2)
2

Đặt t = log 2 ( x − 1)
t = 1
2
Lúc đó: phương trình (2) ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔ 
 t = −2
 x −1 = 2
x = 3
log 2 ( x − 1) = 1

⇔
⇔
⇔
thỏa (*)
 x −1 = 1
x = 5
log 2 ( x − 1) = −2


4

4
5
Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x =
4
Phương pháp: Mũ hóa hai vế:
x
Ví dụ: log 3 (3 − 8) = 2 − x

3.

Điều kiện: 3x − 8 > 0
log 3 (3x − 8) = 2 − x ⇔ 3log3 (3

4.
•
•

x

−8)

= 32− x ⇔ 3x − 8 = 32− x

3x = −1(loai )
2
⇔ ( 3x ) − 8.3x − 9 = 0 ⇔  x
⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2
3 = 9
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Phương pháp: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy
nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có khơng q một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) =
C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .

( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : log 2 x + log 5 ( 2 x + 1) = 2
HD:

log 2 x + log 5 ( 2 x + 1) = 2 (1)
Điều kiện: x > 0
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì log 2 2 + log 5 ( 2.2 + 1) = 2
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.