Tài liệu ôn HSG toán 9

Ôn Thi Học sinh giỏi Toán 9
Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính tổng, tính giá trị của
biểu thức.
1. Toán quy luật:

Bài 1: (Bài 104/99 Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1)
Tính tổng:
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++=S
Bài 2: (Bài 105/100 Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1)
Tính tổng:
)10).(9(
1

)3).(2(
1
)2).(1(
1
)1(
1
1
++
++

++
+
++
+
+
+=
xxxxxxxx
S
Bài 3: (Bài 85/83 Luyện tập đại số 8)
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
9
1
7
1
5
1
3
1
1
1
1.9
1
3.7
1
5.5
1
7.3
1
9.1

1
++++
++++
=A
b)
12
1

5
1
3
1
1
1).12(
1
3).32(
1

)52.(5
1
)32.(3
1
)12.(1
1

++++

+

++

+

+

=
n
nnnnn
B
Bài 4: (Bài 1.90,1.91,ví dụ 31, 32/35,36,37 Toán nâng cao đại số 8)
Tính các tổng:
a) S = 1+ 2 + 3 + + n
b) S = 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2

c) S = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
Bài 5: (Bài 2.31/53 - Toán nâng cao đại số 8)

Cho n là số nguyên dơng, rút gọn các biểu thức:
a)
)12)(12(
1

7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
++++=
nn
A
b)
)13)(23(
1

10.7
1
7.4
1
4.1
1
+
++++=
nn
B
c)

)2).(1.(
1

5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++
++++=
nnn
C
Bài 6: (Bài 2.37/54 - Toán nâng cao đại số 8)
Rút gọn biểu thức:
143
141

113
111
.
19
17
.
15
13
2
2
2
2

2
2
2
2








=A
Bài 7: (Bài 21/15 Sách NC&PT Toán 9)
a) Rút gọn biểu thức:
22
)1(
11
1
+
++=
aa
A
với a > 0
b) Tính giá trị của tổng:
22222222
100
1
99
1

1
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1 ++++++++++++=B
Lời giải:
a)
22
2222
22
2
)1(
)1()1(
)1(
11
1
+
++++
=

+
++=
aa
aaaa
aa
A
22
224
22
222
)1(
)1()1(2
)1(
)1()112(
+
++++
=
+
+++++
=
aa
aaaa
aa
aaaa
=
2
2
22
22
)1(

1
)1(
)1(






+
++
=
+
++
aa
aa
aa
aa
Do a > 0 nên A > 0 và A =
)1(
1
2
+
++
aa
aa
b) Từ câu a suy ra:
22
)1(
11

1
+
++
aa
=
)1(
1
2
+
++
aa
aa
=
)1(
1
1
+
+
aa
1
11
1
+
+=
aa
Do đó:

+++






++






++






+=
100
1
99
1
1
4

1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1B
100
1
99
1

4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1

1
(99 +++++=
99,99
100
1
99 ==
Bài 8: (Ví dụ 11/16 - Sách NC&PT Toán 9)
Tính giá trị của biểu thức:
25242425
1

4334
1
3223
1
2112
1
+
++
+
+
+
+
+
=M
Lời giải:
Với mọi
*
Nn
, ta có:

)1(
1)1(
)1()1(
1)1(
1)1(
1
22
+
++
=
++
++
=
+++
nn
nnnn
nnn
nnnn
nnnn
1
11
+
=
nn
Do đó:
M =
25
1
24
1

4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
++++

5
4
5
1
1 ==
Bài 9: (Bài 28/17 - Sách NC&PT Toán 9)
Rút gọn biểu thức:
a)
nn
A
+
++
+
+
+

+
+
=
1
1

43
1
32
1
21
1
b)
nn
B







=
1
1

43
1
32
1

21
1
Hớng dẫn:
a) Trục căn thức ở mẫu
1
)1(
1

23
23
12
12
=


++


+


= n
nn
nn
A
b) Đáp số:
4251 =+
Bài 10: ( Bài 11/11 Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Cho số:
n = 1978(1979

9
+ 1979
8
+ + 1979
2
+ 1980) +1
a) Rút gọn n
b) Tìm chữ số hàng đơn vị của n
Lời giải:
a) n = (1979-1)( 1979
9
+ 1979
8
+ + 1979
2
+ 1979 + 1) +1
= 1979
10
+ 1979
9
+ 1979
8
+ + 1979
2
+ 1979 1979
9
1979
8
-
- 1979

2
1979 1 + 1 = 1979
10
Vậy n = 1979
10

b) Ta có: n = 1979
10
= (1979
2
)
5
Vì 1979
2
có chữ số hàng đơn vị là 1 nên (1979
2
)
5
cũng có chữ số hàng
đơn vị là 1. Vậy n có chữ số hàng đơn vị là 1.
Bài 11: (Bài 15/14 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Rút gọn biểu thức:
A = 75(4
1993
+ 4
1992
+ + 4
2
+ 5) + 25
Lời giải:

A = 25(4 1)( 4
1993
+ 4
1992
+ + 4
2
+ 4 + 1) + 25
Vận dụng hằng đẳng thức:
a
a
b
n
= (a b)(a
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+ + ab
n-2
+b
n-1
)
ta có:
A = 25.(4
1993
1) + 25 = 25. 4
1994

Bài 12: (Bài 30/25 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Tính tổng: S = 1
3
+ 5
3
+ 9
3
+ + (4n + 1)
3
Bài 13: (Đề 47, Bài 1.2/50 Tuyển tập đề thi môn toán THCS)
Rút gọn biểu thức:
20052001
1

139
1
95
1
51
1
+
++
+
+
+
+
+
=P