Tài liệu Đề ôn HSG Toán 9

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Môn Toán 9
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
Tính giá trị biểu thức: P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì ta có
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng
2
2 2 2
3 3

x y z x y z+ + + +
 
≥
 ÷
 
Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
a b
abc
+

≥
16
Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và
CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
AE AF AD
+ =
Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA =
2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Từ gt ta suy ra
2 2 2
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
+ = + = +

⇒

a b c b c a c a b
c a b
+ + + + + +
= =
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0
⇒
a + b = -c b + c = - a c + a = -b
Khi đó P =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
=
a b b c c a
a b c
+ + +
   
 ÷ ÷ ÷
   
=
( )c
a
−
.
( )a

b
−
.
( )b
c
−
=
abc
abc
−
= 1
Nếu a + b + c
≠
0
⇒
a = b = c
⇒
P = 2.2.2 = 8
Bài 2: Từ
1 1 1
2
a b c
+ + =

⇒

2
1 1 1
4
a b c

 
+ + =
 ÷
 

⇒

2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4
a b c ab bc ca
 
+ + + + + =
 ÷
 

⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
a b c abc
+ +
 
+ + + =
 ÷
 
theo giả thiết a + b + c = abc
⇒

1
a b c
abc
+ +
=

⇒

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
+ + + =

⇒

2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
(đpcm)
Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x
2
+ y
2

≥
2xy (1)

y
2
+ z
2

≥
2yz (2)
z
2
+ x
2

≥
2zx (3)
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
2( xy + yz + zx )
⇒
2( x
2
+ y
2
+ z
2

) + ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
( x
2
+ y
2
+ z
2
) + 2( xy + yz + zx )
⇔
3( x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
( x + y + z )
2
chia hai vế cho 9 ta được
2 2 2 2
( )
3 9

x y z x y z+ + + +
=
hay
2
2 2 2
3 9
x y z x y z+ + + +
 
=
 ÷
 
Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y
≥
2
xy
ta có ( a + b) + c
≥
2
( )a b c+
⇔
1
≥
2
( )a b c+

⇔
1
≥
4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b

≥
4(a + b)
2
c mà ta chứng minh được (a + b)
2

≥
4ab
Do đó a + b
≥
4(4ab)c hay a + b
≥
16abc từ đây suy ra đpcm
Bài 5:
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G
Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)
⇒
AE = AG
Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có
2 2 2
1 1 1
AG AF AD
+ =
do đó thay AG = AE ta được
2 2 2
1 1 1
AE AF AD
+ =
(đpcm)
Bài 6:

Kẻ AM
⊥
AC M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M
⇒
MI = AI = 2 5
Kẻ AH
⊥
MI
⇒
HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM
2
= MH.MC
⇒
(2 5 )
2
= x.(2x + 3)
⇒
2x
2
+ 3x – 30 = 0
⇔
( 2x – 5)(x + 4) = 0
⇒
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC
2
= MC

2
– AM
2
= 8
2
– (2 5 )
2
= 64 – 20 = 44
⇒
AC =
44
= 2
11
cm
⇒
AB = 2
11
cm
F
E
G
D
C
B
A
I
H
M
C
B

A