Đề thi và đáp án vào 10 tỉnh Hải Dương

Sở giáo dục và đào tạo
hảI dơng Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 06/07/2009( buổi chiều)
Câu I: (2,0 điểm)
1/ Giải phơng trình : 2.(x 1) = 3 - x
2/ Giải hệ phơng trình:
2
2 3 9
y x
x y
=


+ =


Câu II: (2,0 điểm)
1/ Cho hàm số y = f(x) =
2
1
2
x
. Tính f(0) ;f( 2 ) ; f(
1
2
); f(-
2
)

2/ Cho phơng trình (ẩn x) : x
2
2(m + 1).x + m
2
1 = 0. Tìm m để phơng
trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= x
1
x
2
+ 8 .
Câu III: (2,0 điểm)
1/ Rút gọn biểu thức:
A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x

ữ
ữ
+ + + +


với x > 0 và x
1
2/ Hai ô tô cùng xuất phát từ A đế B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai
mỗi giờ 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô,
biết quãng đờng AB là 300km.
Câu IV: (3,0 điểm).
Cho đờng tròn (O), dây AB không đI qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (
M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với
AN ( K thuộc AN).
1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn.
2. Chứng minh : MN là phân giác của góc BMK.
3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm cuat HK và BN. Xác
định vị trí của điểm M để ( MK.AN + ME.NB ) có giá trị lớn nhất.
Câu V: (1,0 điểm)
Cho x, y thoả mãn :
3 3
2 2x y y x+ = +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x
2
+ 2xy - 2y
2
+2y + 10

Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: .
Đề thi chính thức
Đáp án và biểu điểm
Câu I: (2đ)
1/ Phơng trình có nghiệm là x =
5
3
2/ Hệ PT có nghiệm là :
1
3
x
y
=


=

Câu II: (2đ)
1/ y = f(x) =
2
1
2
x
. Tính f(0)= 0 ;f( 2 ) = - 2 ; f(
1
2
)=
1

8

; f(-
2
) = -1
2/ + Để PT có nghiệm


'



0

m

-1
+ Theo vi ét
1 2
2
1 2
2( 1)
. 1
x x m
x x m
+ = +


=

thay vào hệ thức x
1
2
+ x
2
2
= x
1
x
2
+ 8 .
Ta tìm đợc m = - 4 +
17
( Thoả mãn), m = - 4 -
17
( loại)
Câu III: ( 2 đ)
1/ Rút gọn : A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x




ữ
ữ
+ + + +

=
2
1 1
:
( 1) ( 1) ( 1)
x x
x x x x x



ữ ữ
+ + +

=
2
1 1
:
( 1) ( 1)
x x
x x x


ữ ữ
+ +

=
( 1)x

x
+
2/ Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x ( x > 0; đơn vị km/h)
Thì vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 10 ( km/h)
Thời gian xe thứ nhất là
300
10x +
(h); Thời gian xe thứ hai là
300
x
(h);
Theo bài ta có PT
300 300
1
10x x
=
+
. Giải PT ta đợc x = 50 (t/m) ; x = - 60 ( loại)
Vậy vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h
Thì vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 10 = 60 ( km/h)
Câu IV: (3đ)
1/ Ta có MH

AB (gt) và MK

AN

ã
0
90MKA =

và
ã
0
90MHA =
4 điểm M, K, A, H thuộc 1 đờng tròn.
2/ Ta có :
ã
ã
HAN KMH=
(1) ( Cùng bù 2 góc bằng nhau)

ã
ã
HAN NMB=
(2) ( Góc nội tiếp cùng chắn cung NB)
Từ 1 và 2
ã
ã
KMH NMB=
Điều phải c/m
3/ Ta có

AHN đồng dạng

MKN
AH AN
MK MN
=
MK.AN = AH.MN (1)
Ta lại chứng minh đợc:

tứ giác MHEB nội tiếp ME

BN
1 1
. . . .
2 2
S HB MN ME BN
MNB
= =

BH.MN = ME.BN (2)
Từ (1) và (2)

MK.AN + ME.NB = AH.MN + BH.MN = AB.MN (*)
Để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất khi AB.MN lớn nhất, mà AB không đổi

MN lớn nhất

MN là dây đi qua tâm O, mặt khác MN

AB

Điểm M nằm
chính giữa của cung nhỏ AB.
Câu IV: (1đ)
Từ x, y thoả mãn :
3 3
2 2x y y x+ = +
. Điều kiện x

-2 ; y

-2
+ Nêú x > y thì
2 2x y+ > +
và x
3
> y
3


- y
3
> - x
3


3 3
2 2x y y x+ > +
( Mâu thuẫn) . Vậy x > y loại
+ Nêú x < y thì
2 2x y+ < +
và x
3
< y
3


- y
3

< - x
3


3 3
2 2x y y x+ < +
( Mâu thuẫn) . Vậy x < y loại
+ Nếu x = y thì
2 2x y+ = +
và x
3
= y
3


- y
3
= - x
3


3 3
2 2x y y x+ = +
thoả mãn.
Vậy x = y thì
3 3
2 2x y y x+ = +
Thay y = x vào biểu thức B ta đợc B = x
2
+ 2x + 10 =

( )
2
1 9 9x + +
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 Khi x + 1 = 0

x = -1

y = -1
H
K
M
N
E
B
A
Sở Giáo dục và đào tạo
Hải Dơng
Đề thi chính thức
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề.
Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Cõu 1(2.0 im):
1) Gii phng trỡnh:
x 1 x 1
1
2 4
+

+ =

2) Gii h phng trỡnh:
x 2y
x y 5
=


=

Cõu 2:(2.0 im )
1. Rỳt gn biu thc: A =
2( x 2) x
x 4
x 2

+

+
vi x

0 v x

4.
2. Mt hỡnh ch nht cú chiu di hn chiu rng 2 cm v din tớch ca nú l 15
cm
2
. Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú.
Cõu 3: (2,0 im)
Cho phng trỡnh: x

2
- 2x + (m 3) = 0 (n x)
1. Gii phng trỡnh vi m = 3.
2. Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x
1
,
x
2
v tha món iu kin: x
1
2
2x
2
+ x
1
x
2
= - 12
Cõu 4:(3 im)
Cho tam giỏc MNP cõn ti M cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip
ng trũn ( O;R). Tip tuyn ti N v P ca ng trũn ln lt ct tia MP v
tia MN ti E v D.
a) Chng minh: NE
2
= EP.EM
b) Chng minh t giỏc DEPN k t giỏc ni tip.
c) Qua P k ng thng vuụng gúc vi MN ct ng trũn (O) ti K
( K khụng trựng vi P). Chng minh rng: MN
2
+ NK

2
= 4R
2
.
Cõu 5:(1,0 im)
Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A =
2
6 8
1
x
x

+
Ht
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: .
Lêi G iải
Câu I.
a,
x 1 x 1
1 2(x 1) 4 x 1 x 1
2 4
− +
+ = ⇔ − + = + ⇔ = −
.Vậy tập nghiệm của phương trình S=
{ }
1−
b,
x 2y x 2y x 10
x y 5 2y y 5 y 5

= = =
  
⇔ ⇔
  
− = − = =
  
. Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5)
Câu II.
a, với x
≥
0 và x
≠
4.
Ta có:
2( 2) 2( 2) ( 2) ( 2)( 2)
1
( 2)( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x
A
x x x x x x x
− − + − − +
= + = = =
− + + − + − +
b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0
⇒
Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm)
Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 .
Giải ra tìm được :x
1
= -5 ( loại ); x

2
= 3 ( thỏa mãn ) .
Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm.
Câu III.
a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x
2
- 2x
( 2) 0x x
⇔ − =
⇒
x = 0 hoặc x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình S=
{ }
0;2
b, Để PT có nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì
'
0 4 0 4 (*)m m∆ > => − > => <
.
Theo Vi-et :
1 2
1 2
2 (1)
3 (2)
x x
x x m
+ =



= −

Theo bài: x
2
1
-
2x
2
+ x
1
x
2
= - 12 => x
1
(x
1
+ x
2
) -2x
2
=-12
⇒
2x
1
- 2x
2
= -12 ) ( Theo (1) )
hay x

1
- x
2
= -6 .
Kết hợp (1)
⇒
x
1
= -2 ; x
2
= 4 Thay vào (2) được :
m - 3 = -8
⇒
m = -5 ( TM (*) )
Câu IV .
a,
∆
NEM đồng dạng
∆
PEN ( g-g)
2
.
NE ME
NE ME PE
EP NE
=> = => =
b,
·
·
MNP MPN=

( do tam giác MNP cân tại M )
·
·
·
( ùng )PNE NPD c NMP
= =
=>
·
·
DNE DPE
=
.
Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE
dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp .
H
E
D
F
I
P
O
N
K
M
c,
∆
MPF đồng dạng
∆
MIP ( g - g )
2

. (1)
MP MI
MP MF MI
MF MP
=> = => =
.
∆
MNI đồng dạng
∆
NIF ( g-g )
2
IF
.IF(2)
NI
NI MI
MI NI
=> = => =
Từ (1) và (2) : MP
2
+ NI
2
= MI.( MF + IF ) = MI
2
= 4R
2
( 3).
·
·
NMI KPN=
( cùng phụ

·
HNP
) =>
·
·
KPN NPI=
=> NK = NI ( 4 )
Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5) . Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm .
Câu V .
+ C¸ch 1(Líp 8 )Ta cã: A =
2 2 2
2 2 2
6 8 2 8 8 2( 1) 2( 2)
2 2
1 1 1
x x x x x
x x x
− − + − + −
= = − ≥ −
+ + +
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ - 2 khi x – 2 = 0
⇔
x = 2
Ta cã: A =
2 2 2
2 2 2
6 8 8 8 2 8( 1) 2(2 1)
8 8
1 1 1
x x x x x

x x x
− − − − + + − +
= = + ≤
+ + +
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ 8 khi 2x +1 = 0
⇔
x =
1
2
−
+ C¸ch 2: (Líp 9,10)
2
2
6 8
x 8 6 0 (1)
1
x
A A x A
x
−
= <=> + + − =
+
+) A =0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0  x=
2
3
+)A
≠
0 thì (1) phải có nghiệm 
'
∆

= 16 - A (A - 6)
≥
0
2 8A
<=> − ≤ ≤
.
→
GTLN cña A = 8
⇔
x =
1
2
−
.
Vµ GTNN cña A = -2
⇔
x = 2 .