Đề thi và đáp án vào 10 Nghệ An năm 2009-2010

Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Nghệ An
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0đ). Cho biểu thức A =
1 1
1
1
x x x
x
x
+


+
1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4.
3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1.
CâuII: (2,5đ). Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x
2
(m+3)x + m = 0 (1).
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
+ x
2
=

5
2
x
1
x
2
.
3. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
=
1 2
x x
Câu III: (1,5đ).
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa
ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng
không thay đổi.
Câu IV: (3,0đ). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay
đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và
AD lần lợt tại E và F.
1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R
2
.
2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.
3. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định.
Gợi ý Đáp án
Câu I:

1. Đkxđ: x 0, x 1
A =
1 ( 1)( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x x x x x x
x x x x x x x
+ +
= =
+ + +
2. Với x = 9/4 => A =
3
2
3
3
1
2
=

.
3. Với A<1 =>
1 1
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1
x x x x
x
x x x x
+


x<1

Vậy để A < 1 thì 0 x < 1.
Câu II:
1. Với m = 2 thì phơng trình trở thành: 2x
2
5x + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm là: 2 và 1/2.
2. Ta có = (m + 3)
2
4.2.m = m
2
- 2m + 9= (m - 1)
2
+ 8
=> >0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Viét ta có:
1 2
1 2
3
2
2
m
x x
m
x x
+

+ =

=


Mà x
1
+ x
2
=
5
2
x
1
x
2
=>2(m+3) = 5m m = 2.
3. Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1

.x
2
= (m + 3)
2
:4 2m = (m
2
- 2m + 9):4 =
2
( 1) 8
2
4
m +


1 2
2x x

Vậy MinP =
2
m =1
Câu III: Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m)
Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y)
=>
45
3
2
x y
x
y x y
=

+ = +


Giải hệ ta đợc x = 60, y = 15 (thoả mãn)
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m
2
).
Câu IV:
a. Ta có tam giác AEF vuông tại A (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
Mà AB là đờng cao.
=> BE.BF = AB
2
(Hệ thức lợng trong tam giác vuông)
=> BE.BF = 4R
2
( Vì AB = 2R)
b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE)
Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân)
=> Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.
O
d
H
I
F
E
D
C

B
A
c. Gọi trung điểm của EF là H.
=> IH // AB (*)
Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của
tam giác vuông AEF, góc A = 90
0
) => góc HAC = góc
HEA (1)
Mà góc HEA + góc BAC = 90
0
(2)
Mặt khác góc BAC = góc ACO ( tam giác AOC cân
tại O) (3)
Từ (1), (2) và (3) => AH CD
Nhng OI CD
=> AH//OI (**)
Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R
(không đổi).
Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R =>
I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R.