Chuong5

Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Chương 5
TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
§1.KHÁI NIỆM
I.ĐỊNH NGHĨA HỆ SIÊU TĨNH
1. Định nghĩa:Hệ siêu tĩnh là những hệ mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh
học không thôi thì chưa đủ để xác định toàn bộ các phản lực và nội lực trong hệ. Nói cách
khác, đó là hệ bất biến hình và có liên kết thừa.
Ví dụ: Xét hệ trên hình (H.5.1a)
- Phần hệ BC là tĩnh định vì có thể xác định được ngay nội lực bằng các phương
trình cân bằng tĩnh học.
- Phần hệ AB chưa thể xác định được phản lực chỉ bằng các phương trình cân
bằng tĩnh học (4 phản lực VA, HA, MA, VB nhưng chỉ có 3 phương trình) nên cũng chưa
thể xác định được nội lực.
Vậy theo định nghĩa, hệ đã cho là hệ siêu tĩnh.
2. Tính chất hệ siêu tĩnh:
- Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơn trong hệ
tĩnh định có cùng kích thước và tải trọng.
→ Dùng hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vật liệu hơn so với hệ tĩnh định tương ứng.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 1
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
- Trong hệ siêu tĩnh phát sinh các nội lực do sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị của
các gối tựa, sự chế tạo và lắp ráp không chính xác.
a. Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ:
+ Hệ tĩnh định :Các liên kết không ngăn cản biến dạng của dầm nên không làm
xuất hiện phản lực và nội lực
+ Hệ siêu tĩnh: Các liên kết tại A, B ngăn cản biến dạng của dầm nên làm xuất
hiện phản lực và nội lực.
b. Nguyên nhân chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa:
+ Hệ tĩnh định: Các liên kết khộng ngăn cản chuyển vị tại gối B nên dầm chỉ bị
nghiên đi mà không biến dạng nên không làm xuất hiện phản lực và nội lực.

+ Hệ siêu tĩnh : Các liên kết tại A, B có xu hướng ngăn cản chuyển vị tại gối C
làm cho dầm bị uốn cong do đó làm xuất hiện phản lực và nội lực.
c. Nguyên nhân chế tạo, lắp ráp không chính xác:(H.5.1h)
Dầm tĩnh định AB nếu được ráp thêm thanh CD vào sẽ trở thành hệ siêu tĩnh. Nếu
thanh CD do chế tạo hụt 1 đoạn ∆ thì khi ráp vào, nó sẽ bị kéo dãn ra đồng thời dầm AB
sẽ bị uốn cong nên sẽ làm phát sinh phản lực và nội lực trong hệ.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 2
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
→ Có thể chế tạo sẵn trong hệ những nội lực và biến dạng ban đầu ngược chiều
với nội lực và biến dạng do tải trọng gây ra. Biện pháp này làm cho sự phân phối nội lực
trong cấu kiện của công trình được hợp lý hơn và do đó tiết kiệm được vật liệu.
- Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và kích thước của tiết diện trong
các thanh.
II. BẬC SIÊU TĨNH:
1) Định nghĩa bậc siêu tĩnh n:
Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh là số liên kết tương đương loại một ngoài số liên kết
cần thiết đủ để cho hệ là bất biến hình.
Theo cơ kết cấu I, công thức tính bậc siêu tĩnh n:
n = T+2K+3H-3(D-1)
n = T+2K+3H+C-3D
n = D + 3 -2M
n = D+C-2M
2) Thiết lập công thức tính bậc siêu tĩnh n (công thức thực hành)
Công thức này được thiết lập dựa trên số chu vi kín để tính bậc siêu tĩnh cho hệ
khung.
Số chu vi kín trong hệ đầu bằng không, trong các hệ sau bằng 1.
Số liên kết khớp trong: hệ 1: 0 hệ 2: 2 hệ 3: 1 hệ 4: 0
V: số chu vi kín ; K : số khớp đơn giản.
Nhận xét : Một chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng 3, nếu thêm vào chu vi kín đó 1
kkớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh giảm xuống một đơn vị. Giả sử hệ siêu tĩnh có V chu vi

kín và K khớp đơn giản thì:
n = 3V- K (5.1)
Chú ý:
- Khi gặp khớp phức tạp thì ta phải đổi về khớp đơn giản.
- Xem trái đất là một miếng cứng hở.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính bậc siêu tĩnh cho hệ sau đây.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 3
P P PP
P PPP
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
V=1 ; K = 0 → n = 3V- K = 3.1 – 0 = 3
Ví dụ 2: Tính bậc siêu tĩnh cho hệ sau đây.
V=5 ; K = 3 → n = 3V- K = 3.5 – 3 = 12
Ví dụ 3: Tính bậc siêu tĩnh cho hệ sau đây.
V= 6 ; K = 8 → n = 3V- K = 3.6 – 8 = 10
Ví dụ 4: Tính bậc siêu tĩnh cho hệ sau đây.
V= 3 ; K = 7 → n = 3V- K = 3.3 – 7 = 2
Ví dụ 5: Tính bậc siêu tĩnh cho hệ sau đây.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 4
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
V= 3 ; K = 0 → n = 3V- K = 3.3 – 0 = 9
§2.NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP LỰC.
I.HỆ CƠ BẢN (HCB):
Khi tính toán hệ siêu tĩnh, người ta không tính trực tiếp lên hệ siêu tĩnh mà thông
qua một hệ khác gọi là hệ cơ bản.
Hệ cơ bản của phương pháp lực được tạo ra từ hệ ban đầu bằng cách loại bỏ tất cả
hoặc một số liên kết thừa để hệ thu được là bất biến hình.
Tóm lại : Hệ cơ bản của phương pháp lực là một hệ bất biến hình được suy ra từ
hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay một số liên kết thừa.

Chú ý:
+ Nếu loại bỏ hoàn toàn liên kết thừa → hệ cơ bản là hệ tĩnh định.
+ Nếu loại bỏ một phần số liên kết thừa → HCB thu được là hệ siêu tĩnh có bậc
siêu tĩnh thấp hơn hệ ban đầu.
• Yêu cầu của HCB:
- Bắt buộc phải bất biến hình.
- Xác định được nội lực một cách dễ dàng.
• Loại bỏ các liên kết:
- Loại bỏ các liên kết nối đất (liên kết ngoại) : thuộc nhóm C (gối)
Liên kết ngàm:
+ Loại bỏ 1 liên kết:
Liên kết thẳng đứng →
Liên kết ngang →
Liên kết xoay →
+ Loại bỏ thêm 1 liên kết nữa:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 5
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Liên kết ngang →
(Liên kết momen)
Liên kết xoay →
Liên kết ngang →
Liên kết đứng →
+ Loại bỏ thêm 1 liên kết nữa: (tự do)
- Loại bỏ các liên kết nối giữa các miếng cứng với nhau (liên kết nội): thuộc nhóm
T, K, H.
Tương tự như các liên kết nối đất (liên kết ngàm vừa xét) nhưng các chuyển vị mà
liên kết ngăn cản là chuyển vị tương đối.
Ví dụ:
Loại bỏ liên kết ngăn cản chuyển vị xoay tại C (tương đối) →
Các ví dụ: Chọn HCB là hệ tĩnh định

GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 6
C
C
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Ví dụ 6:
Giải:
a) Loại bỏ ba liên kết tại B:
b) Tại A: Loại bỏ một liên kết ngăn cản chuyển vị xoay
Tại B: Loại bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay và 1 liên kết ngăn cản
chuyển vị ngang.
c) Tại A: Loại bỏ một liên kết ngăn cản chuyển vị xoay
Tại B: Loại bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay và 1 liên kết ngăn cản
chuyển vị thẳng đứng
Chú ý : Hệ trên không chọn làm hệ cơ bản vì nó là hệ biến hình tức thời
d) Loại bỏ 1 liên kết hàn tại C.
e) Tại A,B,C ta đều bỏ 1 liên kết ngăn cản chuyển vị xoay.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 7
C
A
B
n = 3
B
A
C
A
B
B
A
C
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC

Chú ý : Có rất nhiều HCB, nên chọn HCB nào dễ dàng xác định nội lực.
Ví dụ 7:
a)
Hệ BH → không chọn làm HCB
b)
Hệ BBH ( hệ ba khớp có thanh căng)
c) Nếu trên thanh không có tải trọng tác dụng → có thể xem là Hệ BBH → Hệ đơn giản.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 8
C
A
B
B
A
LKT
n = 2
LKT
A
B
C
B
A
LKT
A
B
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP LỰC:
• Đặt vấn đề: HCB là cho phép tính toán được nhưng giữa HCB và hệ siêu tĩnh
ban đầu là có sự khác nhau.
→ Cần so sánh sự khác nhau giữa HCB và hệ siêu tĩnh ban đầu.
→ Áp đặt các điều kiện để cho HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu.

So sánh sự khác nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho và HCB của nó
Hệ siêu tĩnh ban đầu
- Lực :Tại B nói chung tồn
tại 3 thành phần phản lực
V
B
; H
B
; M
B
.
- Chuyển vị: Tại B không
tồn tại chuyển vị.
Hệ cơ bản
- Lực: Tại B không tồn tại
phản lực.
- Chuyển vị : Nói chung tồn
tại ba thành phần
BBB
yx
ϕ
∆∆∆
;;
Để cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho thì trên hệ cơ bản thì:
+ Cần đặt vào B các lực X
1
,X
2
,X
3

tương đưong V
B
, H
B
;,M
B
.
+ Thiết lập chuyển vị tại B do các nguyên nhân là các lực mới đặt thêm vào
(X
1
,X
2
,X
3
) và tải trọng ban đầu P phải bằng không.
0),,,(
321
=∆
PXXXx
B
0),,,(
321
=∆
PXXXy
B
0),,,(
321
=∆
PXXX
B

ϕ
• Tổng quát:
Xét một hệ siêu tĩnh bậc n, chịu các nguyên nhân bất kỳ như tải trọng, sự
thay đổi nhiệt độ t
o
và sư chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa Z. Chọn HCB là hệ
tĩnh định. Để HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh ban đầu, thì trên HCB cần:
Tại các vị trí loại bỏ liên kết :
+ Trong hệ siêu tĩnh nói chung có các phản lực, còn trong hệ cơ bản không
có;
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 9
t
Z
HST
HCB
Z
t
P
A
B
X
2
1
X
X
3
B
M
V
B

B
H
B
n = 3
A
P
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
+ Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo các liên kết bị loại bỏ đều bằng không;
trong hệ cơ bản, các chuyển vị này có thể tồn tại.
Vậy muốn HCB làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho, ta cần:
+ Trong hệ cơ bản, đặt các lực X
1
,X
2
,X
3
,..........,X
n
tương ứng với phương và
vị trí của các liên kết bị loại bỏ (chiều tùy chọn).
+ Thiết lập điều kiện: chuyển vị trong HCB tưong ứng với vị trí và phương
của các liên kết bị loại bỏ bằng không.







=∆

=∆
=∆
0),,,,...,,(
..................................................
0),,,,...,,(
0),,,,...,,(
21
212
211
ZtPXXXx
ZtPXXXx
ZtPXXXx
nn
n
n
• Chú ý:
+ Khi loại bỏ các liên kết nối miếng cứng - miếng cứng (liên kết nội): thay
bằng một cặp lực ngược chiều nhau.
+ Khi loại bỏ các liên kết có chuyển vị cưỡng bức→
0
≠
VP
(bằng chuyển vị
cưỡng bức, có xét dấu)
Để VP = 0 thì:
- Tránh loại bỏ các liên kết có chuyển vị cưỡng bức.
- Cắt liên kết và thay bằng các cặp lực.
Ví dụ:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 10
B

A
a
A
B
A
B
X
1
1
X
X
1
HST HCB
Sai
Đúng
HCB
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:
Xét phương trình thứ k trong hệ phương trình cơ bản:
0),,,,...,,(
21
=∆
ZtPXXXX
nk
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:
0)()()()(...)()(
21
=∆+∆+∆+∆++∆+∆
ZXtXPXXXXXXX
Kkknkkk

Gọi
km
∆
là chuyển vị tương ứng với phương và vị trí X
k
do X
m
gây ra trong
HCB.
)(
mkkm
XX
∆=∆
Gọi
km
δ
là chuyển vị tương ứng với phương và vị trí X
k
do X
m
=1 gây ra
trong HCB.
mkmkm
X.
δ
=∆
Gọi
kZktkP
∆∆∆
,,

là chuyển vị tương ứng với phương và vị trí X
k
lần lượt do
P, t,Z gây ra trong HCB.
)(
)(
)(
ZX
tX
PX
kkZ
kkt
kkP
∆=∆
∆=∆
∆=∆
Thay vào phương trình, ta được
0...
332211
=∆+∆+∆+++++
kZktkPnknkkk
XXXX
δδδδ
Cho
nk ,1
=








=∆+∆+∆+++++
=∆+∆+∆+++++
=∆+∆+∆+++++
0...
.......
0...
0...
332211
2222323222121
1111313212111
nkZntnPnnnnnn
ZtPnn
ZtPnn
XXXX
XXXX
XXXX
δδδδ
δδδδ
δδδδ
(5.2)
(Hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực)
Trong đó:
km
δ
(k
≠
m): Các hệ số phụ

kk
δ
: Các hệ số chính
kZktkP
∆∆∆
,,
: Các số hạng tự do.
Chú ý:
0
>
kk
δ
;
0
<
=
>
km
δ
và
mkkm
δδ
=
(Theo định lý tương hỗ về chuyển vị
đơn vị)
IV. XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC:
Các hệ số là những chuyển vị → dùng công thức Morh để xác định.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 11
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Công thức Morh:

+++=∆
∑
∫
∑
∫
∑
∫
)( ds
GF
QQ
ds
EF
NN
ds
EJ
MM
mkmkmk
km
υ
∑∑
∫
∑
∫
−+−
j
m
j
kcmkmmk
ZRdstNdstt
h

M )))((
12
α
α
1) Xác định hệ số
km
δ
:
km
δ
: chuyển vị tại vị trí và theo phương X
k
do X
m
= 1 gây ra trên HCB.
)(
∑
∫
∑
∫
∑
∫
++=
ds
GF
QQ
ds
EF
NN
ds

EJ
MM
m
k
m
k
m
k
km
υδ
(5.3 a)
viết dưới dạng nhân biểu đồ:
))(())(())((
mk
mk
mk
km
NNQQMM
++=
δ
(5.3 b)
Trong đó:
)(),(),(
k
k
k
NQM
: các biểu đồ nội lực do lực X
k
= 1 gây ra trên

HCB.
)(),(),(
m
m
m
NQM
: các biểu đồ nội lực do lực X
m
= 1 gây ra trên HCB
2) Xác định
kP
∆
kP
∆
: chuyển vị tại vị trí và theo phương X
k
do tải trọng gây ra trên HCB.
)(
∑
∫
∑
∫
∑
∫
++=∆
ds
GF
QQ
ds
EF

NN
ds
EJ
MM
o
Pk
o
Pk
o
Pk
kP
υ
(5.4 a)
viết dưới dạng nhân biểu đồ:
))(())(())((
o
P
k
o
P
k
o
P
k
km
NNQQMM
++=
δ
(5.4 b)
Trong đó:

)(),(),(
o
P
o
P
o
P
NQM
: các biểu đồ nội lực do lực tải trọng gây ra trên
HCB.
3) Xác định
kt
∆
kt
∆
: chuyển vị tại vị trí và theo phương X
k
do nhiệt độ gây ra trên HCB.
viết dưới dạng nhân biểu đồ:

))((
12
∑
∫
∑
∫
+−=∆
dstNdstt
h
M

cmkmmkkt
α
α
(5.5 a)
Trong đó:
k
k
(M ),(N )
: các biểu đồ nội lực do lực X
k
= 1 gây ra trên HCB.
Nếu
httt
c
,,,,
21
α
là những hằng số trên mỗi đoạn thanh:
)()()()(
1212
k
c
k
k
c
k
kt
NtMtt
h
dsNtdsMtt

h
Ω+Ω−=+−=∆
∑∑∑
∫∫
∑
α
α
α
α
(
5.5 b)
Trong đó:
α
: hệ số dãn nở nhiệt.
21
,, ttt
c
: sự thay đổi nhiệt độ tại trục thanh và mặt trên, mặt dưới của thanh.
)(),(
k
k
NM
ΩΩ
: diện tích biểu đồ
)(),(
k
k
NM
(có dấu)
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 12

Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
4) Xác định
kZ
∆
∑
−=∆
j
j
m
j
kkZ
ZR

(5.6)
Trong đó:
j
k
R
: phản lực tại gối j (gối có chuyển vị cưỡng bức) do X
k
= 1
gây ra trên HCB.
j
Z
: chuyển vị cưỡng bức tại gối tựa j.
0
>
jj
k
ZR

→
jj
k
ZR ,
cùng chiều.
0
<
jj
k
ZR
→
jj
k
ZR ,
ngược chiều.
Thay giá trị các hệ số vào phương trình chính tắc → giải hệ phương trình
→ tính được X
1
,X
2
,X
3
,....X
n
.
V. VẼ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC TRONG HỆ SIÊU TĨNH:
1. Cách tính trực tiếp:
Sau khi giải hệ phương trình chính tắc xác định các ẩn số Xk (k = 1, n ), ta
xem chúng như các ngoại lực tác dụng lên hệ cơ bản cùng với các nguyên nhân tác
dụng lên hệ siêu tĩnh ban đầu. Giải hệ cơ bản chịu các nguyên nhân này sẽ tìm

được các nội lực của hệ. Vì hệ cơ bản thường là hệ tĩnh định nên có thể sử dụng
các phương pháp đã quen biết để tìm nội lực.
Ví dụ 7: Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung sau (Hình 5.2 a).
Hình 5.2 a
Giải
+ Bậc siêu tĩnh của khung: n = 3V- K = 3.1 – 2 = 1
+ Chọn hệ cơ bản như hình vẽ.
+ Phương trình chính tắc của khung:
0
1111
=∆+
P
X
δ
(a)
+ Tính
P111
,
∆
δ
- Vẽ biểu đồ (
1
M
) : Trên HCB đặt lực X
1
= 1 .
- Vẽ
)(
o
P

M
: Trên HCB chỉ cho tải trọng ban đầu tác dụng.
- Tính
P111
,
∆
δ
EJEJEJ
MM
3
160
464
3
1
4
3
2
44
2
11
))((
11
11
=×××+×××××==
δ
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 13
EJ
A
B
C

3EJ
q=5 KN/m
4m
6m
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
EJEJ
MM
PP
240
4690
3
11
))((
0
1
1
−
=××××
−
==∆
Thay các giá trị
P111
,
∆
δ
tính được vào (a):
0
240
3
160

1
=−
EJ
X
EJ
- Giải phương trình, ta có : X
1
= 4,5 KN .
Hình 5.2 b
+ Vẽ M
P
cho khung siêu tĩnh:
Ta cần tính tung độ biểu đồ M
P
tại vài điểm
M
A
= - 90 + 4.4,5 = - 72 kNm
M
C
= 0 + 4.4,5 = 18 kNm
M
B
= 0 kNm
Biểu đồ (M
P
) được vẽ như hình 5.2 b trên.
+ Vẽ biểu đồ Q
P
:

• Đoạn thanh AC:
01515
2
65
6
)72(18
2
=−=
×
−
−−
=−
−
=
AC
AC
tr
AC
ph
AC
ph
AC
ql
l
MM
Q
kN
ql
l
MM

Q
AC
AC
tr
AC
ph
AC
tr
AC
301515
2
65
6
)72(18
2
=+=
×
+
−−
=+
−
=
• Đoạn thanh CB:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 14
EJ
A
B
C
3EJ
q=5 KN/m

4m
6m
HCB
C
B
A
X
1 1
X = 1
A
B
C
4
4
4
M
1
P
M
0
90
C
B
A
A
B
C
72
M
P P

Q
30
C
B
A
P
N
4,5
C
B
A
18
18
+
-
4,5
4,5
+
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
kN
l
MM
QQQ
BC
tr
BC
ph
BC
BC
ph

BC
tr
BC
5,4
4
180
−=
−
=
−
===
Biểu đồ Q
P
được vẽ như hình trên.
+ Vẽ biểu đồ N
P
: Tách nút C và xét cân bằng:
000
==⇔=−⇔=
∑
CACBCACB
QNQNX
kNQNQNY
CBCACBCA
5,4)5,4(00
=−−=−=⇔=+⇔=
∑
Biểu đồ N
P
được vẽ như hình trên.

2) Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng:
Xét đại lượng nghiên cứu S nào đó:
)()()()(.....)()(
),,,,...,,(
21
21
ZStSPSXSXSXS
ZtPXXXSS
HCBHCBHCBnHCBHCBHCB
nHCBHST
++++++=
=

Gọi
k
S
: giá trị của đại lượng S do X
k
= 1 gây ra trong hệ cơ bản.
→
k
k
kHCB
XSXS
=
)(
Đặt
o
ZHCB
o

tHCB
o
PHCB
SZSStSSPS
===
)(;)(;)(
: lần lượt là giá trị của đại lượng
S do tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức gây ra trong HCB.
Viết lại công thức xác định đại lượng S:
o
Z
o
t
o
Pn
n
HCB
SSSXSXSXSS
++++++=
......
2
2
1
1
Áp dụng: Vẽ biểu đồ momen trong hệ siêu tĩnh.
)()()().(...).().()(
2
2
1
1

o
Z
o
t
o
Pn
n
HST
MMMXMXMXMM
++++++=
nếu HCB là hệ tĩnh định →
0)(,0)(
==
o
Z
o
t
MM
Nhận xét: Vẽ biểu đồ
HST
M )(
theo cách này không cần tính HCB khi nó
chịu X
1
,X
2
,X
3
,....X
n

,P,t,Z. Nhưng biểu đồ lực cắt và lực dọc trong HST chưa xác
định được.
• Suy từ
HST
M )(
→
HST
Q)(
Tải trọng tác dụng được mô tả trên (H.5.3). Trong đó q, Mtr, Mph đã biết,
Qtr, Ntr, Qph, Nph chưa biết, giả thiết có chiều dương theo vị trí người quan sát nhìn
sao cho tải trọng phân bố q hướng xuống.
Từ các điều kiện cân bằng mômen với điểm b và a, ta suy ra:
ph tr
ph
q
ph tr
tr
q
M M
Q cos . cos
l
M M
Q cos . cos
l
−
= α − µ ω α
−
= α − λ ω α
(5.7 a)
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 15

C
CB
N
Q
CB
Q
CA
N
CA
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Trong đó:
ωq: là hợp lực của tải phân bố q trên đoạn thanh ab.
λl, µl: lần lượt là khoảng cách từ hợp lực ωq đến đầu trái và phải của thanh
ab theo phương nằm ngang.
Hình 5.3
+ Nếu tải trọng tác dụng lên thanh ab là phân bố đều:
q = const thì ωq = ql,
1
2
λ = µ =
ph tr
ph
n
ph tr
tr
n
M M 1
Q cos q l
l 2
M M 1

Q cos q l
l 2
−

= α −



−

= α +


(5.7 b)
Trong đó q
n
là tải trọng phân bố vuông góc với trục thanh.
+ Đoạn thanh không có tải trọng thì q = 0 thì ωq= 0.
ph tr
M M
Q const cos
l
−
= = α
(5.7 c)
Sau khi xác định được lực cắt từ hai đầu mỗi đoạn thanh cũng chính là tại
các tiết diện đặc trưng, tiến hành vẽ biểu đồ lực cắt dựa vào dạng đường của nó
như trong phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định.
• Suy từ
HST

Q)(
→
HST
N)(
Cũng tương tự cho biểu đồ (Q), biểu đồ lực dọc (N) được vẽ bằng cách suy
ra từ biểu đồ lực cắt. Cách thực hiện như sau:
Tách và xét cân bằng hình chiếu cho mỗi nút của hệ sao cho tại mỗi nút có
không quá 2 lực dọc chưa biết. Khi khảo sát cân bằng, ngoài tải trọng tác dụng lên
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 16
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
nút còn có nội lực tại các đầu thanh quy tụ vào nút bao gồm: mômen uốn (đã biết
nhưng không cần quan tâm), lực cắt (đã biết, lấy trên biểu đồ lực cắt), lực dọc
(chưa biết, giả thiết có chiều dương)
Ngoài ra, khi xác định lực dọc cũng có thể vận dụng mối quan hệ giữa lực
dọc tại hai đầu thanh từ điều kiện của thanh được vẽ trên hình (Hình 5.3).
ph tr
q
N N .sin
= + ω α
(5.8)
Từ phương trình (5.8) cho thấy nếu trên đoạn thanh không chịu tải trọng
hoặc tải trọng tác dụng vuông góc với trục thanh thì lực dọc tại 2 đầu sẽ bằng nhau
và cùng gây kéo hoặc gây nén.
Sau khi xác định được lực dọc tại 2 đầu mỗi đoạn thanh, tiến hành vẽ biểu
đồ lực dọc như trong phần vẽ biểu đồ nội lực của hệ tĩnh định.
CÁC VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP LỰC
Ví dụ 8: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung siêu tĩnh chịu lực như hình 5.4 a sau.
Giải
+ Xác định bậc siêu tĩnh:
- Tính theo chu vi kín, ta có V = 2, K = 4 → n = 3V- K = 3.2 – 4 = 2

- Tính theo số liên kết thừa ta cũng có n = 2 (đúng bằng số liên kết thừa).
+ Chọn hệ cơ bản cho hệ như hình 5.1 b
Hệ phương trình chính tắc của hệ được viết



=∆++
=∆++
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
δδ
δδ
+ Tính
kPkkkm
∆
,,
δδ
- Vẽ các biểu đồ momen đơn vị (
1
M
),(
2
M
) (hình 5.4 c, d)

- Vẽ
)(
o
P
M
(hình 5.4 e)
EJEJEJ
MM
180
646
1
466
2
1
2
1
))((
11
11
=×××+××××==
δ
EJEJEJ
MM
180
646
1
466
2
1
2

1
))((
22
22
=×××+××××==
δ
EJEJ
MM
144
646
1
))((
21
2112
−=×××−===
δδ
EJEJ
MM
PP
864
6436
1
))((
0
1
1
=×××==∆
EJEJEJ
MM
PP

1026
)6436
1
5,4636
3
1
2
1
())((
0
2
2
−=×××+××××−==∆
+ Giải hệ phương trình chính tắc:
Thay các giá trị
kPkkkm
∆
,,
δδ
tính được ta có:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 17
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC







=−+

−
=+−
0
1026180144
0
864144180
21
21
EJ
X
EJ
X
EJ
EJ
X
EJ
X
EJ
- Giải phương trình, ta có : X
1
=
3
2
−
KN ; X
2
=
6
31
KN ;.

+ Vẽ M
P
cho khung siêu tĩnh: Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng
)().().()(
2
2
1
1
o
PHSTP
MXMXMM
++=
Ta cần tính tung độ biểu đồ M
P
tại vài điểm đặc biệt
M
A
= 0 kNm
M
B
= 0 kNm
- Trên đoạn AD:
kNmM
AD
4)
3
2
(6
D
−=−×=

- Trên đoạn DB:
kNmM
BD
536)
6
31
(6
D
−=−×=
- Trên đoạn DC
kNmM
DC
136
6
31
6)
3
2
()6(
D
−=−×+−×−=
kNmM
DC
136
6
31
6)
3
2
()6(

C
−=−×+−×−=
Biểu đồ (M
P
) được vẽ như hình g)
+ Vẽ biểu đồ Q
P
:
• Đoạn thanh DB:
kN
ql
l
MM
Q
DB
DB
tr
DB
ph
DB
ph
DB
6
31
2
62
6
)5(0
2
−=

×
−
−−
=−
−
=
kN
ql
l
MM
Q
DB
DB
tr
DB
ph
DB
tr
DB
6
41
2
62
6
)5(0
2
=
×
+
−−

=+
−
=
• Đoạn thanh AD:
kN
l
MM
QQQ
AD
tr
AD
ph
AD
AD
ph
AD
tr
AD
3
2
6
04
=
−−
=
−
===
• Đoạn thanh DC:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 18
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC

kN
l
MM
QQQ
DC
tr
DC
ph
DC
DC
ph
DC
tr
DC
0
4
)1()1(
=
−−−
=
−
===
Biểu đồ Q
P
được vẽ như hình 5.4 k
+ Vẽ biểu đồ N
P
: Tách nút D và xét cân bằng:
000
DADA

=+=⇔=−−⇔=
∑
DCDBDCDB
QNNNQNX
kNQQNQQNY
DBDADCDADBDC
5,7)
6
41
(
6
4
00
−=−−=−=⇔=−+⇔=
∑
( V ì xét tại nút A ta có ngay
0
DA
=
N
)
Biểu đồ N
P
được vẽ như hình 5.4 h.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 19
DC
N
DC
Q
DB

Q
N
ĐB
D
DA
N
Q
DA
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Hình 5.4
Ví dụ 9: Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình (H.5.5 a). Cho biết độ cứng trong thanh
đứng là EJ, trong thanh ngang là 2EJ. Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn.
1. Bậc siêu tĩnh:
n = 3V - K = 3.1 - 2 = 1
Hình 5.5 a, b,c
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 20
C
B
A
D
6
6
6
1
M M
2
6
6
6
D

A
B
C
X = 1
2
C
B
A
D
4
1
1
P
M
0
36
36
36
D
A
B
C
5
P
M
Q
P
f = 9
C
B

A
D
7,5
7,5
41/6
2/3
D
A
B
C
-
2/3
31/6
+
-
-
P
N
a) b)
d)c)
f)e)
h)g)
q = 2 kN/m
2EJ
2EJ
C
B
A
EJ
D

6m 6m
4m
D
EJ
A
B
C
2EJ
2EJ
q = 2 kN/m
HCB
X
1
X
2
1
X = 1
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: tạo trên hình vẽ (Hình 5.5 b )
- Hệ phương trình chính tắc:
11 1 1P
X 0
δ + ∆ =
3. Xác địnhcác hệ số của hệ phương trình chính tắc:
- Vẽ các biểu
0
1
P
(M ),(M )

(Hình 5.5 c, d)
Hình 5.5 d
1 1
11
1 1 2 1 36
(M )(M ) . .3.3. .3 .2 .3.4.3
EJ 2 3 2EJ EJ
 
δ = = + =
 
 
0
1
1P P
1 3.3 2 1 6.4 2 45,6
(M )(M ) . . .6 . .4.2,4 .3
EJ 2 3 2EJ 2 3 EJ
 
∆ = = + + =
 
 
Thay vào phương trình chính tắc :
1 1
36 45,6
X 0 X 1,266 0
EJ EJ
+ = → = − <
4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
a. Mômen:
0

1
1 P
(M) (M ).X (M )
= +
b. Lực cắt: Được vẽ bằng cách suy ra từ (M)
- Trên đoạn AC: q = 0
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 21
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Hình 5.5 e, f,g
Ví dụ 10: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ trên hình vẽ (H.5.6 a). Cho biết độ cứng
trong thanh đứng là 2EJ, trong các thanh ngang là EJ. Chỉ xét đến ảnh hưởng của
biến dạng uốn.
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 22
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Hình 5.6 a, b
1. Bậc siêu tĩnh:
n = 3V - K = 3.2 - 4 = 2
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: tạo trên hình vẽ.(H 5.6 b)
- Hệ phương trình chính tắc:
3. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:



=∆++
=∆++
0
0
2222121
1212111

P
P
XX
XX
δδ
δδ
-Vẽ các biểu đồ
0
1 2
P
(M ),(M ),(M )
(Hình 5.6 c,d,e)
Hình 5.6 c, d, e
-Xác định các hệ số:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 23
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 24
Chương V: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH THEO PHƯƠNG PHÁP LỰC
Hình 5.6 f, g, h
Ví dụ 11:Vẽ các biểu đồ nội lực trên hình vẽ (H 5.7 a).
Số liệu: α = 1,2.10-5.C-1; thanh ngang có độ cứng 2EJ, h = 0,4m; thanh đứng
là EJ, h = 0,3m; EJ = 1080T.m
2
Hình 5.7 a, b, c, d
1. Bậc siêu tĩnh:
n = 3V - K = 3.2 - 4 = 2
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: tạo trên hình vẽ.(H. 5.7.b)
- Hệ phương trình chính tắc:

11 1 12 2 1t
21 1 22 2 2t
X X 0
X X 0
δ + δ + ∆ =


δ + δ + ∆ =

GV: NGUYỄN PHÚ HOÀNG – Trang 25