Đề Toán TN Trường Lê Lợi

http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2010
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
( )C
của hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
2) Gọi
( )M C∈
có hoành độ
M
x m=
. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm
cận của
( )C
không phụ thuộc vào m
CÂU II (2 điểm)
1) Giải phương trình
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + =
2) Cho phương trình

(sin cos 1) 1 2sin cosm x x x x+ + = +
(1)
Xác đònh giá trò của tham số m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
CÂU III (2 điểm) Cho hệ phương trình:
1 2
1 2
x y m
y x m

+ + − =


+ + − =


(với
0m
≥
)
1) Giải hệ phương trình khi m=0.
2) Xác đònh m để hệ có nghiệm.
CÂU IV (2 điểm)
1) Tính tích phân :
4

2
0
(sin 2 cos )
dx
x x
∏
+
∫
2) Cho A là một tập hợp gồm 20 phần tử.
a) Có bao nhiêu tập hợp con của A
b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
PHẦN TỰ CHỌN
Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặc Vb
CÂU Va (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ De-cac vuông góc Oxy cho họ đường tròn:

2 2 2
( ) : 2 4 5 1 0
m
C x y mx my m+ − + + − =
1) Chứng minh rằng họ
( )
m
C
luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố đònh.
2) Tìm m để
( )
m
C
cắt đường tròn

2 2
( ) : 1C x y+ =
tại hai điểm phân biệt A và B.
Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB có phương không đổi.
CÂU Vb (2 điểm)
Cho tam diện ba góc vuông là Oxyz.Trên ba cạnh Ox, Oy, Oz ta lần lượt lấy các điểm
A, B, C sao cho OA=a ,OB=b, OC=c, trong đó a,b,c là ba số dương.
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác
ABC.Tính OH theo a, b, c
2) Chứng tỏ rằng
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ABC OAB OBC OCA
S S S S= + +
với
, , ,
ABC OAB OBC OCA
S S S S
lần lượt là diện tích của các tam giác ABC , OAB , OBC , OCA.

http://ductam_tp.violet.vn/
DAP AN
CÂU I:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
2 1
1
x x
y
x

+ +
=
+
• TXĐ: D = R\{-1}
2
2 4
'
2
( 1)
x x
y
x
+
=
+
0
' 0
2
x
y
x
=

= ⇔

= −

• Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1

y
x
= ∞
→ −
Ta có:
2
2 1
1
y x
x
= − +
+
Ψ Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì
2
lim 0
1x
x
=
+
→ ∞
• BBT
• Đồ thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.

http://ductam_tp.violet.vn/

2) Gọi M 0 (C) có X
M
= m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C)
không phụ thuộc m.

Ta có: X
M
= m
2
2 1
1
y m
M
m
⇒ = − +
+
Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d
1
(M, D1)
1
1
1
m
m
+
= = +
Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2)
d
2
(M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1

5 5 1
m m
m
m
− + − −
+
=
+
Suy ra d
1
.d
2
=
2 2
1
5 1 5
m
m
+ =
+
(không phụ thuộc m)
CÂU II:
1) Giải phương trình:
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + =
Ta có:
4 4 2 2 2 2 2
sin cos (sin cos ) 2sin cosx x x x x+ = + −
=
1

2
1 sin 2
2
x−
=
1 1 cos 4
1
2 2
x−
 
−
 
 
=
3 1
cos 4
4 4
x+

Do đó: Phương trình

3 1
4 cos 4 3 sin 4 2
4 4
cos 4 3 sin 4 1
1 3 1
cos 4 sin 4
2 2 2
2
cos 4 cos

3 3
x x
x x
x x
x
π π
 
⇔ + + =
 
 
⇔ + = −
⇔ + = −
 
⇔ − =
 
 

)(
212
24
Zk
kx
kx
∈







+−=
+=
ππ
ππ
2) Tìm m để
(sin cos 1) 1 2sin cosm x x x x+ + = +
có nghiệm thuộc
0;
2
∏
 
 
 
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
π
 
= + = +
 
 
http://ductam_tp.violet.vn/
Ta có:
3
0
2 4 4 4
x x
π π π π
≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤

2
sin 1
2 4
1 2
x
t
π
 
⇒ ≤ + ≤
 
 
⇒ ≤ ≤
Khi đó phương trình trở thành
2
( 1) 1 ( 1)m t t+ = + −
2
1
t
m
t
⇔ =
+
Xem hàm số:
f(t) =
2
1
t
t +
trên

1, 2
 
 

( )
2
2
'( ) 0, 1, 2
2
1
t t
f t t
t
+
 
⇒ = > ∀ ∈
 
+

Suy ra y = f(t) là hàm tăng trên
1, 2
 
 
.
Do đo:ù phương trình có nghiệm
(1) ( 2)f m f⇔ ≤ ≤
( )
1
2 2 1
2

m⇔ ≤ ≤ −
CÂU III:
1) Cho
1 2
1 2
x y m
y x m

+ + − =


+ + − =


(với
0m
≥
)
Giải hệ khi m = 9.
Điều kiện:
2
2
x
y
≥


≥

Khi đó:

Hệ phương trình
1 2 ( 1)( 2) (1)
1 2 ( 2)( 1) (2)
x y x y m
x y x y m

+ − + + − =

⇔

+ − + − + =


Lấy (1) trừ (2) được:

( 1)( 2) ( 2)( 1)
2 2 2 2
x y x y
xy x y xy x y
x y
+ − = − +
⇔ − + − = + − −
⇔ =
Do đó: Hệ phương trình
1 2 (3)
x y
x x m
=



⇔

+ + − =


Với m = 9, (3) trở thành
1 2 3x x+ + − =
33
3
52
5)2)(1(
2
=⇒=⇔



=
≤≤
⇔





−=−+
≥
⇔
yx
x
x

xxx
x
http://ductam_tp.violet.vn/
Vậy nghiệm của hệ khi m = 9 là:
3
3
x
y
=


=

2) Tìm m để hệ có nghiệm:
Xem hàm số f(x)=
1 2x x+ + −
trên
[
)
2;+∞
Ta có:
1 1
'( ) 0, 2
2 1 2 2
f x x
x x
= + > ∀ >
+ −
⇒
y = f(x) là hàm số tăng trên

[
)
2;+∞
Mặt khác
lim ( )f x
x
= +∞
→ +∞
nên:
Hệ có nghiệm
⇔
(3) có nghiệm
(2)
3
3
m f
m
m
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
CÂU IV:
1) Tính
4
2
0
(sin 2 cos )
dx
x x
∏

+
∫
Ta có :
4
2 2
cos ( 2)
0
dx
I
x tgx
π
=
∫
+
Đặt t = tgx
1
2
cos
dt dx
x
⇒ =
Đổi cận:

0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =

= ⇒ =
Suy ra
( )
1
1
1 1 1
2
2 6
0
2
0
I dt
t
t
−
= = =
∫
+
+
2) Cho A là tập hợp có 20 phần tử:
a) Có bao nhiêu tập con của A:
Số tập hợp con của A là:
0 1 2 20 20 20
(1 1) 2
20 20 20 20
C C C C+ + + + = + =
b) Ta có:
0=
20 0 1 2 3 20
(1 1)

20 20 20 20 20
C C C C C− = − + − + +
(*)
Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
2 4 6 20

20 20 20 20
C C C C+ + + +
=
1 3 19 0

20 20 20 20
C C C C+ + + −
(Do(*))
http://ductam_tp.violet.vn/
=
1
20 19
.2 1 2 1
2
− = −
(Do câu a)
CÂU Va:
(Cm) x
2
+ y
2
-2mx + 4my + 5m
2
– 1 = 0

1) (Cm) luôn luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh.
Cách 1:
Phương trình (Cm) là
( ) ( )
2 2
2 1x m y m− + + =
Ψ Tâm I(m, -2m) và R = 1.
Gọi đường thẳng luôn tiếp xúc (Cm) là: Ax + By + C = 0
)(∆
Ta có: d(I,
)(∆
) = R,
m∀
2 2
( 2 ) ,m A B C A B m⇔ − + = + ∀
2 0
2
2 2
5.
A B
A B
C B
C A B
− =

=

 
⇔ ⇔
 

= ±

= +



Vậy (Cm) tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh là:

2 5 0x y+ ± =
Cách 2:
Vì họ (Cm) có bán kính R = 1 bằnh nhau và tập hợp tâm I là đường thẳng d:2x + y = 0 nên luôn tồn
tại 2 đường thẳng
)(∆
cố đònh tiếp xúc với (Cm). Đường thẳng
)(∆
ở trên song song với d và cách d một
đoạn bằng 1.
)(∆
// d
⇒

)(∆
: 2x +y + C = 0
d(
)(∆
// d)=1
1
14
=
+

⇔
C
5C⇔ = ±
Vậy
)(∆
:
2 5 0x y+ + ± =
2) (Cm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
(C) có tâm O và bán kính R’=1
Ta có OI=
2 2
4 5m m m+ =
(Cm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
' 'R R OI R R⇔ − < < +

0 5 2 0m m⇔ < < ⇔ ≠
và
2
5
m <
Khi đó đường thẳng AB là trục đẳng phương của (Cm) và (C) có phương trình là:
2
2 4 5 0mx my m− + + =
2 4 5 0x y m⇔ − + + =
(vì
0m ≠
)
Suy ra:
AB có phương không đổi vì VTCP là
a

r
(2,1).
CÂU Vb:
http://ductam_tp.violet.vn/

0
H
K
A
B
C
1)

)(OAKBC
BC
BC
⊥⇒



⊥
⊥

OA có Ta
OK Vẽ

)(ABCOH
BC
AK
⊥⇒




⊥
⊥
OH có Ta
OH Vẽ

)(OHBAC
OH
OB
⊥⇒



⊥
⊥

AC
AC có Ta
⇒
ABC. tâm trực là H
BC và
AC
∆⇒



⊥
⊥

OH
HB

(*)Tính OH:

BOC∆
Có
1 1 1
2 2 2
OK OC OB
= +
(1)

AOK∆
Có
1 1 1
2 2 2
OH OK OA
= +
(2)
Từ (1) và (2) ta có
1 1 1 1
2 2 2 2
OH a b c
= + +
2 2 2 2 2 2
abc
OH
a b b c c a
⇒ =

+ +
2) Ta có
( )
2
1
2 2
4
S AK BC
ABC
=
( )
2 2
2 2 2
2
1 . . 1 . .
.
2
4 4
OAOK OB OC OA OB OC
S
ABC
OH OK
OH
   
⇒ = =
   
   
=
1
2 2 2 2 2 2

( )
4
a b b c c a+ +
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
S S S
OAB OBC OCA
+ +
http://ductam_tp.violet.vn/