Đề Toán TN Trường Đông Quan

http://ductam_tp.violet.vn/
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
( ) ( 3) 3 4y f x x m x x= = − + + +
(m là tham số)
1.Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương trình đường thẳng
đi qua 2 điểm cực trò này
2.Tìm m để
( ) 3f x x≥
với mọi
1x ≥
CÂU II:
Cho hệ phương trình:
3
3
2
( )
2
x y x m
I
y x y m

= + +


= + +


(m là tham số)
1.Giải hệ (I) khi m=2.

2.Xác đònh các giá trò của m để hệ (I) có nghiệm duy nhất
CÂU III:
Giải phương trình:
8 8
1
sin cos cos 4 0
8
x x x+ + =
CÂU IV:
1.Chứng minh:
0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1
. . . . 1001.2
k k
k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =
2. Cho tích phân:
0
s 2
3 2cos 2
m
in mx
I dx
x
∏
=
−

∫
(m là số nguyên không âm)
Chứng minh rằng:
2 1
3
m m m
I I I
− −
+ =
với mọi m>2
CÂU V:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol
2
( ) : 4P y x=
và M là điểm thay đổi trên đường thẳng
: 1x
∆ = −
1.Tìm tọa độ tiêu điểm,đường chuẩn của (P) . Hãy vẽ (P)
2.Chứng minh rằng từ M luôn luôn kẻ được 2 tiếp tuyến
1
D
,
2
D
đến parabol (P) và hai tiếp tuyến
này vuông góc với nhau.
3.Gọi
1
M
,

2
M
lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến
1
D
,
2
D
(ở câu 2) với (P) Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn
1 2
M M
DAP AN
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
( ) ( 3) 3 4y f x x m x x= = − + + +
(m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trò này.
Ta có:
2
' 3 2( 3) 3
2
' 0 3 2( 3) 3 0 (1)
y x m x
y x m x
= − + +
= ⇔ − + + =
Hàm số có CĐ, CT

⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
http://ductam_tp.violet.vn/
TRƯỜNG THPT ĐỒNG QUAN
__________________________

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010
Mơn thi: TỐN, Khối A
Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian phát đề.
http://ductam_tp.violet.vn/
2
' 0 ( 3) 9 0
2
6 0 6 0
m
m m m m
⇔ ∆ > ⇔ + − >
⇔ + > ⇔ < − ∨ >
Chia f(x) cho f’(x) ta được :
1 1 2 1
2
'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
 
= − + − + + +
 
 
Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là:
2 1

2
( 6 ) 5
9 3
y m m x m= − + + +
.
2) Tìm m để
( ) 3f x x≥
với mọi
1x ≥
Ta có:
( ) 3 , 1
3 2
( 3) 4 0 , 1
4
3 , 1
2
f x x x
x m x x
m x x
x
≥ ∀ ≥
⇔ − + + ≥ ∀ ≥
⇔ ≤ − + ∀ ≥
min ( )
1
m g x
x
⇔ ≤
≥
với

4
( ) 3
2
g x x
x
= − +

Ta có:
3
8 8
'( ) 1 , 1
3 3
'( ) 0 2
x
g x x
x x
g x x
−
= − = ∀ ≥
= ⇔ =
BBT:
min ( ) 0
1
g x
x
⇒ =
≥
Vậy:
0m
≤

CÂU II:
(I)
3
2 (1)
3
2 (2)
x y x m
y x y m

= + +



= + +

1) Giải hệ (I) khi m=2
Lấy (1) trừ (2) ta được :
3 3
x y y x− = −
2 2
( )( 1) 0
2 2 2
1 0 ( vì =-3y 4 0)
x
x y x yx y
y x
x yx y
y x
⇔ − + + + =
=



⇔
+ + + = ∆ − <


⇔ =
vo ânghiệm
http://ductam_tp.violet.vn/
Thế y = x vào ( 1) thì hệ (I) trở thành:
3
3 (*)x x m
y x


− =

=


Khi m = 2 thì hệ (I) trở thành:
3
3 2 0
2
( 1) ( 2) 0
1 2
1 2
x x
y x
x x

y x
x x
y y


− − =

=




+ − =
⇔

=


= − =
 
⇔ ∨
 
= − =
 
2) Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
Ta có:
Hệ (I) có nghiệm duy nhất.
⇔
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
Xem hàm số

3
3
2
' 3 3, ' 0 1
y x x
y x y x
= −
= − = ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp số:
2 2m m< − ∨ >
CÂU III:
Giải phương trình:
8 8
1
sin cos cos 4 0
8
x x x+ + =
Ta có:
8 8 4 4 2 4 4
sin cos (sin cos ) 2sin .cos
2
1 1
2 4
1 sin 2 sin 2
2 8
1
2 4
1 sin 2 sin 2
8

x x x x x x
x x
x x
+ = + −
 
= − −
 
 
= − +
Do đó:
Phương trình
http://ductam_tp.violet.vn/
1 1
2 4
1 sin 2 sin 2 cos 4 0
8 8
2 4 2
8 8sin 2 sin 2 (1 2sin 2 ) 0
4 2
sin 2 10sin 2 9 0
2
sin 2 1
2
sin 2 9 ( )
sin 2 1
2
2
x x x
x x x
x x

x
x
x
x k
π
π
⇔ − + + =
⇔ − + + − =
⇔ − + =

=

⇔

=

⇔ = ±
⇔ = +
loại
( )
4 2
x k k
π π
⇔ = + ∈¢
CÂU IV:
1) Chứng minh:
0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1
. . . . 1001.2
k k

k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =
Ta có:
1n
C n
n
−
=
do đó điều chứng minh trở thành:
0 1 2001 2002
2002. 2001. 1. 10001.2
2002 2002 2002
C C C+ + + =
Ta lại có:
2002 0 2002 1 2001 2001 2002
( 1)
2002 2002 2002 2002
x C x C x C x C+ = + + + +
Lấy đạo hàm 2 vế ta được :
2001 0 2001 1 2000 2001
2002.( 1) 2002. 2001. . 1.
2002 2002 2002
x C x C x C+ = + + +
Cho x = 1 và lưu ý
2001 2002
2002.2 1001.2=
ta được điều phải chứng minh.

2) Cho tích phân:
0
s 2
3 2cos 2
m
in mx
I dx
x
π
=
−
∫
(m là số nguyên không âm)
Chứng minh rằng:
2 1
3
m m m
I I I
− −
+ =
với mọi m>2.
Ta có:

( )
sin 2 sin 2( 2)
2
3 2 cos 2
0
2sin 2( 1) cos 2
3 2 cos 2

0
sin 2( 1) 2cos 2 3 3
3 2 cos 2
0
sin 2( 1)
sin 2( 1) 3
3 2 cos 2
0 0
1
cos 2( 1) 3
1
2( 1)
0
mx m x
I I dx
m m
x
m x x
dx
x
m x x
dx
x
m x
m x dx
x
m x I
m
m
π

π
π
π π
π
+ −
+ =
∫
−
−
−
=
∫
−
− − + 
 
=
∫
−
−
= − − +
∫ ∫
−
= − +
−
−
http://ductam_tp.violet.vn/

3
1
I

m
=
−
(đpcm)
CÂU V:
1) (P) :
2
4y x=
Ta có:
2
4 2y x p= ⇒ =
.
Vậy tiêu điểm F(1, 0); đường chuẩn x= -1.
Vẽ (P):
2) M
∈
đường thẳng
( )∆
x= -1 chọn M (-1, m).
Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc là k.
⇒
Phương trình (d): y = k(x + 1) + m
Phương trình tung độ giao điểm của (d) và (P):
2
4 4 4
2
4 4 4 0 (*)
y ky k m
ky y k m
= + +

⇔ − + + =
(d) là tiếp tuyến của (P)
⇒
(*) có nghiệm kép:

0
2
' 4 4 4 0 (*)
k
k mk
≠


⇔

∆ = − − + =


Do (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1
k
,
2
k
và
.
1 2
k k
= -1 nên qua M luôn kẻ được 2 tiếp tuyến đến (P)
và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

3)
1
( , )
1 1
M x y
;
( , )
2 2 2
M x y
là 2 tiếp điểm.
Toạ độ trung điểm I của
1 2
M M
là:
http://ductam_tp.violet.vn/
2 2
1
1. 2
1 2 1 2 1 2
.
2 8 8 2 4
1 2
2
y y
x x y y y y
x
y y
y

 

+ + +

 
= = = −

 

 
 


+

=


Ta có
1
M
ứng với hệ số góc tiếp tuyến là
1
k
.
2
M
ứng với hệ số góc tiếp tuyến là
2
k
.
Nên

1
y
và
2
y
là nghiệm kép của (*) ứng với 2 giá trò k là
1
k
,
2
k
.
2 2
1 2
1 2
y va y
k k
⇒ = =ø
4
. 4
1 2
.
1 2
y y
k k
⇒ = = −
Vậy toạ độ I là:
2
1
1 2

. 1
2 2
1 2
2
y y
x
y y
y

+
 

= +
 

 

 

+
  
=
 

 

 

Suy ra quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình:
2

2( 1)y x= −