Giáo trình kỹ thuật điều khiển 5 docx

45
thời gian, t. Biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển là cơ sở
của lý thuyết điều khiển hiện đại và tối ưu hệ thống. Trong chương này, chúng ta
sẽ phân tích biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển và các
phương pháp xác định đáp ứng theo thời gian của hệ thống.
3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động
Phương pháp phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển trong miền thời gian
sử dụng khái niệm trạng thái của hệ thống. Trong một hệ thống động, trạng thái
(state) của hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái (state
variables) {x
1
(t), x
2
(t), , x
n
(t)}. Các biến trạng thái là những biến quyết định
hành vi của hệ thống trong trong tương lai khi trạng thái hiện thời của hệ thống
và các tín hiệu vào đã được biết. Với một hệ thống như vậy, cho biết các tín hiệu
vào và giá trị khởi đầu của các biến trạng thái tại thời điểm t
0
là {x
1
(t
0
), x
2
(t
0
), ,
x
n

(t
0
)}, chúng ta có thể xác định giá trị của các tín hiệu ra và các biến trạng thái
tại bất cứ thời điểm nào trong tương lai.
Một ví dụ đơn giản về biến trạng thái là trạng thái của một công tắc ON/OFF.
Công tắc có thể ở vị trí ON hoặc OFF nên giá trị của biến trạng thái của công tắc
tại mỗi thời điểm sẽ là một trong hai giá trị này. Nếu công tắc đang ở tr
ạng thái
OFF và có một tín hiệu vào (nhấn công tắc) thì trạng thái tiếp theo của công tắc
sẽ là ON và ngược lại.
Xem xét lại ví dụ về hệ thống lò xo-vật-cản trong Hình 2.1, được mô tả bằng
phương trình (2.1). Để mô tả hệ thống này bằng phương pháp biến trạng thái,
chúng ta chọn hai biến trạng thái là vị trí và vận tốc của vật. Sử dụng hai biến
trạng thái x
1
và x
2
: x
1
(t) = y(t) và x
2
(t) = dy(t)/dt, phương trình (2.1) có thể viết lại
như sau:

)()()(
)(
12
2
tFtKxtfx
dt

tdx
M =++
(3.1)
Do vậy, chúng ta có thể biến đổi phương trình vi phân bậc hai (2.1) thành một hệ
hai phương trình vi phân bậc nhất:

)(
1
12
2
2
1
tF
M
x
M
K
x
M
f
dt
dx
x
dt
dx
+−−=
=
(3.2)
Hệ phương trình vi phân này mô tả hành vi của hệ thống bằng tốc độ thay đổi của
hai biến trạng thái.

Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 3.1). Trạng thái của hệ thống có thể mô
tả được bằng hai biến x
1
và x
2
, ở đó x
1
là hiệu điện thế v
c
(t) trên tụ điện và x
2
bằng
cường độ i
L
(t) của dòng điện đi qua cuộn cảm. Sự lựa chọn các biến trạng thái
này dựa trên việc chúng là hai đại lượng được dùng để xác định năng lượng tích
trong mạch:

2
22
cL
CvLi
E
+
=
(3.3)
46
Vì vậy, x
1
(t

0
) và x
2
(t
0
) đại diện cho năng lượng tổng cộng của mạng, nghĩa là
trạng thái của mạng, tại thời điểm t = t
0
. Trong một mạng RLC thụ động, số biến
trạng thái cần phải bằng số lượng các phần tử tích năng lượng trong mạch. Áp
dụng các định luật Kirchhoff cho dòng điện và hiệu điện thế, chúng ta có được
các phương trình sau đây:

dt
dv
Ci
c
c
=
(3.4)
và:

Lc
L
Riv
dt
di
L −= (3.5)

R

L
C
i(t) v
ra

Hình 3.1. Một mạch RLC
v
c

i
c

i
L


Dòng điện sinh ra bởi nguồn dòng rẽ thành hai nhánh trong mạch:
i(t) = i
c
+ i
L
(3.6)
Từ các phương trình (3.4), (3.5) và (3.6), chúng ta thiết lập được hai phương
trình vi phân bậc nhất với hai biến trạng thái x
1
và x
2
:
)(
11

2
1
ti
C
x
Cdt
dx
+−=
(3.7)
21
2
1
x
L
R
x
Ldt
dx
−= (3.8)
Tín hiệu ra của hệ thống:
v
ra
(t) = Ri
L
= Rx
2
(3.9)
Sử dụng các phương trình (3.7), (3.8), (3.9) và các điều kiện ban đầu x
1
(t

0
) và
x
2
(t
0
), chúng ta có thể xác định hành vi của hệ thống trong tương lai cũng như tín
hiệu ra của nó.
Tập hợp các biến trạng thái được chọn không phải là một tập hợp duy nhất,
mà chúng ta có thể có nhiều lựa chọn khác nhau. Trong ví dụ trên, bất kỳ hai tổ
hợp tuyến tính nào của x
1
(t) và x
2
(t) độc lập với nhau đều có thể là cặp biến trạng
thái của hệ thống. Trong thực tế, người ta thường chọn các biến trạng thái là
những biến có thể đo đạc được một cách dễ dàng.
Một phương pháp khác để xây dựng mô hình của một hệ thống là sử dụng đồ
thị liên kết. Đồ thị liên kết có thể sử dụng được cho các hệ th
ống điện, cơ, thủy
lực, nhiệt cũng như các hệ thống kết hợp nhiều loại phần tử khác nhau. Đồ thị
47
liên kết sẽ sinh ra hệ phương trình dưới dạng biến trạng thái.
Các biến trạng thái của một hệ thống đặc trưng cho hoạt động của hệ thống
đó. Mối quan tâm chính của chúng ta là các hệ thống vật lý, trong đó các biến là
hiệu điện thế, cường độ dòng điện, vận tốc, vị trí, áp suất, nhiệt độ và các đại
lượng vật lý tương tự. Tuy nhiên, khái niệ
m trạng thái của hệ thống không bị giới
hạn cho các hệ thống vật lý mà còn đặc biệt hữu ích cho việc phân tích các hệ
thống sinh học, xã hội, kinh tế và chính trị. Với những hệ thống đó, khái niệm

trạng thái vượt ra khỏi khái niệm năng lượng của hệ thống vật lý, trở thành
những khái niệm rộng lớn hơn, cho phép chúng ta dự báo được hoạt động của hệ
thống trong tương lai.
3.3. Phương trình vi phân của vector trạng thái
Trạng thái của một hệ thống tuyến tính mô tả được bởi một tập hợp các phương
trình vi phân bậc nhất của các biến trạng thái x
1
, x
2
, , x
N
. Các phương trình vi
phân này có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
dx
1
/dt = a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1N
x
N
+ b
11
u

1
+ b
12
u
2
+ + b
1M
u
M

dx
2
/dt = a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ + a
2N
x
N
+ b
21
u
1
+ b
22

u
2
+ + b
2M
u
M

(3.10)
dx
N
/dt = a
N1
x
1
+ a
N2
x
2
+ + a
NN
x
N
+ b
N1
u
1
+ b
N2
u
2

+ + b
NM
u
M

Hệ phương trình vi (3.10) có thể viết dưới dạng ma trận:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥

⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
M
NMNN
M
M
NNNNN
n
N
n
u
u
u
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x

x
dt
d











2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
(3.11)
hay:

BuAx

x
+=
dt
d
(3.12)
ở đó
x là vector trạng thái (state vector):

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
N
x
x
x

2
1
x (3.13)
u là vector của các biến vào:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
M
u
u
u

2
1
u (3.14)
Ma trận
A có kích thước N×N và ma trận B có kích thước N×M là các ma trận hệ
48
số, với M là số biến vào của hệ thống và N là số biến trạng thái. Phương trình vi
phân của vector trạng thái (state vector differential equation) thể hiện mối quan
hệ giữa tốc độ thay đổi của các biến trạng thái với trạng thái của hệ thống và các
tín hiệu vào. Các tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể xác định được từ các
biến trạng thái và các tín hiệu vào dưới dạng t

ổng quát như sau:
y = Cx + Du (3.15)
ở đó
y là vector biểu diễn các tín hiệu ra của hệ thống, C là một ma trận hệ số có
kích thước K×N và
D là một ma trận hệ số có kích thước K×M, với K là số biến
ra của hệ thống.
Để giải phương trình vi phân của vector trạng thái, trước hết chúng ta xem xét
trường hợp đơn giản với một biến vào và một biến trạng thái:

)()( tbutax
dt
dx
+= (3.16)
Biến đổi Laplace của phương trình (3.16):
sX(s) − x(0) = aX(s) + bU(s) (3.17)
hay:

)(
)0(
)( sU
as
b
as
x
sX
−
+
−
= (3.18)

Lấy biến đổi Laplace nghịch của phương trình (3.18), chúng ta có được biến
trạng thái x(t):

∫
−
+=
t
taat
dbuexetx
0
)(
)()0()(
ττ
τ
(3.19)
Nghiệm của phương trình tổng quát (3.12) cũng có dạng tương tự:

∫
−
+=
t
tt
deet
0
)(
)()0()(
ττ
τ
Buxx
ΑA

(3.20)
trong đó hàm e
At
được định nghĩa như sau:

∑
∞
=
+=
1
!
i
ii
t
i
t
e
A
I
A
(3.21)
I là ma trận đơn vị có kích thước bằng kích thước của ma trận A. Hàm ma trận
Φ(t) = e
At
được gọi là ma trận cơ sở (fundamental matrix) hay ma trận chuyển
tiếp (transition matrix) của hệ thống. Chúng ta có thể viết lại phương trình (3.20)
dưới dạng như sau:

∫
−+=

t
dttt
0
)()()0()()(
τττ
BuΦxΦx (3.22)
49
Tính Φ(t) theo công thức (3.21) khá phức tạp nếu không có máy tính, vì vậy
chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp tính ma trận này một cách đơn giản hơn.
Nếu tất cả các biến vào của hệ thống đều bằng không, nghĩa là
u(t) = 0, phương
trình (3.22) trở thành:
x(t) = Φ(t)x(0) (3.23)
Khi đó, phần tử
φ
ij
(t) của ma trận Φ(t) chính là đáp ứng của trạng thái x
i
(t) khi tất
cả các giá trị khởi đầu của các biến trạng thái đều bằng không, trừ x
j
(0) được đặt
bằng một, có nghĩa là:

φ
ij
(t) = x
i
(t)|
x

j
(0) = 1,∀k≠j: x
k
(0) = 0
(3.24)
Để làm ví dụ, lấy hệ thống biểu diễn trong Hình 3.1, với giá trị của các tham số
như sau: R = 3, L = 1 và C = 0,5. Các phương trình vi phân của các biến trạng
thái của hệ thống là (3.7) và (3.8). Để tính ma trận Φ(t) của hệ thống, trước hết
chúng ta cho cho biến vào i(t) = 0 và thực hiện biến đổi Laplace cho hai phương
trình để thu được các phương trình sau:

)(2)(
1
)0()(
2211
sXsX
C
xssX −=−=− (3.25)

)(3)()()(
1
)0()(
212122
sXsXsX
L
R
sX
L
xssX −=−=− (3.26)
Theo công thức (3.24), để tính

φ
11
(t) và
φ
21
(t) cần phải đặt x
1
(0) = 1 và x
2
(0) = 0.
Khi đó, (3.25) và (3.26) trở thành:
sX
1
(s) + 2X
2
(s) = x
1
(0) = 1 (3.27)
X
1
(s) − (s + 3)X
2
(s) = 0 (3.28)
Giải hệ hai phương trình trên chúng ta thu được:
)2)(1(
3
)(
1
++
+

=
ss
s
sX (3.29)
)2)(1(
1
)(
2
++
=
ss
sX
(3.30)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của hai hàm trên, chúng ta sẽ có được
φ
11
(t) và
φ
21
(t):
tt
eetxt
2
111
2)()(
−−
−=
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
++
+
==
2)1)(s(s
3s
L
φ
(3.31)
tt
eetxt
2
221
1
)()(
−−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
==
2)1)(s(s
L
φ

(3.32)
Để tính
φ
12
(t) và
φ
22
(t) chúng ta cần đặt x
1
(0) = 0 và x
2
(0) = 1. Khi đó, (3.25) và
(3.26) trở thành:
sX
1
(s) + 2X
2
(s) = 0 (3.33)
X
1
(s) − (s + 3)X
2
(s) = −x
2
(0) = −1 (3.34)
50
Giải hệ hai phương trình trên chúng ta thu được:
)2)(1(
2
)(

1
++
−
=
ss
sX
(3.35)
)2)(1(
)(
2
++
=
ss
s
sX
(3.36)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của hai hàm trên, chúng ta sẽ có được
φ
12
(t) và
φ
22
(t):
tt
eetxt
2
112
22
2
)()(

−−
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−
==
2)1)(s(s
L
φ
(3.37)
tt
ee
s
txt
2
222
2)()(
−−
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

++
==
2)1)(s(s
L
φ
(3.38)
Chúng ta có được hàm ma trận Φ(t):

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−
+−−
=
−−−−
−−−−
)2()(
)22()2(
)(
22
22
tttt
tttt
eeee
eeee

t
Φ
(3.39)
3.4. Đáp ứng theo thời gian rời rạc
Đáp ứng của một hệ thống biểu diễn bởi một phương trình vi phân của vector
trạng thái có thể được xác định bằng một xấp xỉ theo thời gian rời rạc (discrete-
time approximation). Để có được xấp xỉ đó, chúng ta cần xác định giá trị các biến
trạng thái tại các thời điểm t = 0, T, 2T, 3T, 4T
Từ định nghĩa của đạ
o hàm:

t
ttt
dt
td
t
∆
−
∆
+
=
→∆
)()(
lim
)(
0
xxx
(3.40)
chúng ta có thể xấp xỉ đạo hàm của
x(t) bằng công thức sau:

T
tTt
dt
td )()()(
xxx
−
+
= (3.41)
nếu T là một giá trị rất nhỏ. Thay vào phương trình (3.12), chúng ta có:

BuAx
xx
+=
−
+
T
tTt )()(
(3.42)
hay:
x(t + T) = TAx(t) + x(t) + TBu(t) = (TA + I)x(t) + TBu(t) (3.43)
Nếu giá trị khởi đầu
x(0) đã biết, chúng ta có thể xác định giá trị của vector trạng
thái
x(t) tại các thời điểm t = T, 2T, 3T, 4T bằng công thức đệ quy:
x[(k + 1)T] = (TA + I)x(kT) + TBu(kT) (3.44)
Phương pháp xấp xỉ theo thời gian rời rạc đặc biệt hữu ích đối với các hệ
thống phi tuyến, khi chúng ta không thể giải phương trình bằng cách sử dụng ma
51
trận chuyển tiếp như đã trình bày ở mục trước. Trường hợp tổng quát nhất, hệ

thống được biểu diễn ở dạng sau:

),,( t
dt
d
uxf
x
=
(3.45)
Sử dụng xấp xỉ (3.41), chúng ta có:

]),(),([
)()(
ttt
T
tTt
uxf
xx
=
−
+
(3.46)
hay:
x(t + T) = x(t) + Tf[x(t), u(t), t] (3.48)
Đặt t = kT, chúng ta có được công thức đệ quy:
x[(k + 1)T] = x(kT) + Tf[x(kT), u(kT), kT] (3.49)
Đối với các hệ thống phi tuyến, sử dụng xấp xỉ theo thời gian rời rạc là một
phương pháp thích hợp và dễ thực hiện, vì vậy vai trò của phương pháp này ngày
càng lớn kể từ khi máy tính được sử dụng trong các hệ thống điều khiển.
Bài tập

Bài 3.1. Một hệ thống tay máy một khớp được biểu diễn bằng phương trình vi
phân sau đây:
dv(t)/dt = −k
1
v(t) − k
2
y(t) + k
3
i(t)
ở đó v(t) là vận tốc, y(t) là vị trí và i(t) là cường độ dòng điều khiển động cơ.
Biểu diễn phương trình trạng thái của hệ thống dưới dạng ma trận.
Bài 3.2
. Một hệ thống có ma trận A của phương trình vi phân của vector trạng
thái được cho như sau:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
10
A
(a)
Xác định ma trận Φ(t)
(b)
Cho giá trị khởi đầu của các biến trạng thái là x
1
(0) = x

2
(0) = 1, xác định
x(t)
Bài 3.3
. Một mạch điện được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó tín hiệu vào là
v(t) và tín hiệu ra là v
c
(t).

~
v(t)
R L
C
v
c
(t)
i(t)

(a)
Xác định một tập hợp biến trạng thái phù hợp
52
(b) Sử dụng các biến trạng thái để thiết lập các phương trình vi phân bậc nhất
mô tả hệ thống
(c)
Biểu diễn các phương trình trạng thái của hệ thống dưới dạng ma trận
Bài 3.4
. Một mạch cầu cân bằng được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó v
1
và v
2

là các biến vào. Xác định các ma trận
A và B của phương trình vi phân của
vector trạng thái, với hai biến trạng thái là v
c
và i
L
.

v
1
(t)
R
2

L
C
v
c
(t)
i
L
(t)
~ ~
v
2
(t)
R
1
R

1

R
2


Bài 3.5
. Một hệ thống phi tuyến được biểu diễn bằng hệ phương trình vi phân
sau:
212
2
211
1
xbxhx
dt
dx
xaxkx
dt
dx
+−=
+=

Tính x
1
(t) và x
2
(t) với k = 1, h = 3, a = b = 0,5, x
1
(0) = x
2

(0) = 10.

53
Chương IV

ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
PHẢN HỒI

Tóm tắt nội dung
Với các mô hình toán học đã trình bày ở các chương trước, chúng ta đã có thể
nghiên cứu các công cụ phân tích sử dụng cho việc mô tả các đặc tính của hệ
thống điều khiển phản hồi. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm tín
hiệu sai khác của hệ thống. Tín hiệu này được dùng để điều khiển quá trình, với
mục tiêu cuối cùng là giảm sự sai khác tới mức nhỏ nhất có thể.
Chúng ta cũ
ng sẽ tìm hiểu khái niệm độ nhạy của hệ thống đối với sự thay đổi
của tham số, với mục đích nhằm giảm thiểu những ảnh hưởng gây ra bởi những
biến thiên không được mong muốn của các tham số. Chúng ta sẽ mô tả hiệu suất
nhất thời của hệ thống phản hồi và chỉ ra cách làm tăng hiệu suất này.
Một vấn đề quan tr
ọng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển là làm giảm
ảnh hưởng của những tín hiệu vào không được mong muốn (nhiễu) lên tín hiệu ra
của hệ thống. Đó cũng sẽ là một chủ đề trong chương này.
4.1. Hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín
Một hệ thống điều khiển là liên kết của nhiều thành phần tạo nên một cấu hình hệ
thống nhằm tạo ra một đáp ứng mong muốn. Trong hệ thống điều khiển phản hồi,
một tín hiệu tỷ lệ với sự sai khác giữa đáp ứng mong muốn và đáp ứng thật sự
của hệ thống được sử dụng để
điều khiển quá trình, tạo nên hệ thống vận hành
theo một chuỗi vòng kín: Điều khiển → Quá trình → Đáp ứng → Cảm biến (đo)

→ So sánh → Điều khiển. Việc sử dụng phản hồi rất cần thiết cho mục tiêu nâng
cao độ chính xác của hệ thống điều khiển. Chúng ta có thể thấy các hệ thố
ng
trong tự nhiên như các hệ thống sinh học và sinh lý đều là các hệ thống phản hồi,
ví dụ như hệ thống điều khiển nhịp tim của con người.
Để thể hiện các đặc trưng của phản hồi, chúng ta sẽ xem xét một hệ thống
phản hồi một vòng đơn giản. Mặc dù phần lớn các hệ thống điều khiển trong thực
tế là các hệ
thống phản hồi nhiều vòng, cách tốt nhất để tìm hiểu đầy đủ về phản
hồi là nghiên cứu hệ thống phản hồi một vòng. Những gì chúng ta rút ra được từ
đó có thể mở rộng ra cho các hệ thống phản hồi nhiều vòng.
Để ngắn gọn, khi chúng ta viết một tín hiệu sẽ có nghĩa là tín hiệu trong miền
thời gian hoặc biến đổi Laplace của tín hiệu đó. Mộ
t hệ thống vòng hở có tín hiệu
vào là R(s), tín hiệu ra là C(s) và hàm chuyển là G(s), được thể hiện bằng mối
quan hệ:
C(s) = G(s)R(s) (4.1)
Sai số của hệ thống là E(s) = R(s) − C(s). Sự khác biệt giữa các hệ thống vòng hở
và vòng kín là, trong các hệ thống vòng kín, một tín hiệu sai khác (error signal)
54
được sinh ra và được dùng để điều khiển quá trình. Trong hệ thống vòng kín
được biểu diễn ở Hình 4.1, tín hiệu E
a
(s) là tín hiệu sai khác:
E
a
(s) = R(s) − H(s)C(s) (4.2)
G(s)
H(s)
R(s) C(s) E

a
(s)
B(s)
+
−
Hình 4.1. Hệ thống điều khiển phản hồi âm

E
a
(s) sẽ bằng E(s) nếu H(s) = 1. Vậy tại sao chúng ta không dùng các hệ thống
phản hồi với H(s) = 1? Vấn đề là, tín hiệu vào của các hệ thống thường là các tín
hiệu điện, trong khi tín hiệu ra có thể là nhiệt độ, vị trí, vận tốc , vì vậy người ta
phải dùng cảm biến để đo được các tín hiệu ra và chuyển thành tín hiệu điện để
so sánh v
ới tín hiệu vào. Trong trường hợp đó, H(s) chính là hàm chuyển của bộ
phận cảm biến.
Quan hệ giữa biến vào và ra của hệ thống trong Hình 4.1 được thể hiện bằng
công thức:

)(
)()(1
)(
)( sR
sHsG
sG
sC
+
= (4.3)
Tín hiệu sai khác dùng để điều khiển quá trình:

)(
)()(1
1
)()()()( sR
sHsG
sCsHsRsE
a
+
=−=
(4.4)
Từ công thức (4.4) chúng ta thấy rằng nếu tích G(s)H(s) càng lớn thì E
a
(s) sẽ
càng nhỏ. Ý nghĩa của điều đó là, nếu chỉ xét tới sai số gây ra bởi nhiễu từ môi
trường chứ không tính sai số gây ra bởi bản thân các phần tử của hệ thống, thì khi
công suất của các phần tử của hệ thống điều khiển phản hồi càng lớn hệ thống sẽ
hoạt động càng chính xác.
4.2. Độ nhạy của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số
Bất cứ quá trình điều khiển nào đều phải đối mặt với những yếu tố tự nhiên có
ảnh hưởng tới hoạt động của nó như sự thay đổi của môi trường xung quanh, sự
lão hóa của thiết bị dẫn đến việc xác định không chính xác các tham số của hệ
thống. Trong hệ thống vòng hở, những sai số và thay đổi đó sẽ làm thay đổi và
làm tăng sai số củ
a đáp ứng của hệ thống. Với hệ thống điều khiển vòng kín,
những thay đổi của tín hiệu ra gây ra bởi những biến thiên trong quá trình có thể
được cảm nhận và khác phục. Độ nhạy (sensitivity) của hệ thống điều khiển đối
với sự biến thiên của các tham số hệ thống là yếu tố vô cùng quan trọng. Một
trong các điểm mạnh của
điều khiển phản hồi là khả năng làm giảm độ nhạy của
hệ thống đối với sự biến thiên của các tham số.

Từ công thức (4.3) suy ra, nếu G(s)H(s) >> 1 trong toàn bộ miền giá trị được
55
quan tâm của s, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:

)(
)(
1
)(
)()(
)(
)( sR
sH
sR
sHsG
sG
sC =≅
(4.5)
Điều đó có nghĩa là, nếu độ lớn của G(s)H(s) được tăng lên rất lớn thì ảnh hưởng
của G(s) lên tín hiệu ra sẽ suy giảm tới mức không đáng kể. Khi đó, ảnh hưởng
do biến thiên của các tham số
của quá trình biểu diễn bởi hàm chuyển G(s) lên tín
hiệu ra sẽ không đáng kể.
Tất nhiên, cho dù G(s)H(s) rất lớn thì sự biến thiên của các tham số vẫn sẽ
làm thay đổi tín hiệu ra. Giả sử những thay đổi trong quá trình làm hàm chuyển
của quá trình trở thành G(s) + ∆G(s) và tín hiệu ra trở thành C(s) + ∆C(s). Chúng
ta có:

)(
)()]()([1
)()(

)()( sR
sHsGsG
sGsG
sCsC
∆++
∆
+
=∆+ (4.6)
Sự thay đổi của tín hiệu ra được tính như sau:

)(
)]()(1)][()()()(1[
)(
)(
)()(1
)(
)()]()([1
)()(
)(
sR
sHsGsHsGsHsG
sG
sR
sHsG
sG
sHsGsG
sGsG
sC
+∆++
∆

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
∆++
∆+
=∆
(4.7)
Thường thì G(s) >> ∆G(s), do vậy G(s)H(s) >> ∆G(s)H(s), vì vậy chúng ta có
thể dùng công thức xấp xỉ:

)(
)]()(1[
)(
)(
2
sR
sHsG
sG
sC
+
∆
≅∆ (4.8)
Gọi T(s) là hàm chuyển của hệ thống điều khiển phản hồi:

)()(1
)(
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
sT
+
== (4.9)
Độ nhạy của hệ thống được định nghĩa là tỷ lệ giữa thay đổi của hàm chuyển của
hệ thống (tính theo phần trăm) và thay đổi của hàm chuyển của quá trình (tính
theo phần trăm):

)()(
)()(
sGsG
sTsT
S
∆
∆
= (4.10)
hay:

)(
)(
sT
sG

G
T
S ⋅
∂
∂
= (4.11)
Từ (4.9) và (4.11), chúng ta thu được: